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【巩固练习】
一.选择题
1. 如图，EF 过矩形ABCD 对角线的交点O，且分别交AB、CD 于E、F，那么阴影部分的面积是矩
形面积的( )
A.
B.
C.
D.
2. 将下列图形绕其对角线的交点逆时针旋转90°，所得图形一定与原图形重合的是（ ）
A．平行四边形 B．矩形 C．菱形 D．正方形
3. （2014 春•定州市期末）如图，在平行四边形ABCD 中，E、F 是对角线AC 上的两点且AE=CF，
在；①BE=DF；②BE∥DF；③AB=DE；④四边形EBFD 为平行四边形；⑤S△ADE=S△ABE；
⑥AF=CE．这些结论中正确的是（ ）
A．①⑥ B．①②④⑥ C．①②③④
D．①②④⑤⑥
4. 如图，在矩形ABCD 中，点P 是BC 边上的动点,点R 是CD 边上的定点。点E、F 分别是AP,PR
的中点。当点P 在BC 上从B 向C 移动时，下列结论成立的是（ ）
A. 线段EF 的长逐渐变大；
B. 线段EF 的长逐渐减小；
C. 线段EF 的长不改变；
D. 线段EF 的长不能确定.
5. 如图是一块矩形ABCD 的场地，长AB＝102m ，宽AD＝51m ，从A、B 两处入口的中路宽都
为1m ，两小路汇合处路宽为2m ，其余部分为草坪，则草坪面积为 ( )
A.5 050
2
m
B.4 900
2
m
C.5 000
2
m
D.4 998
2
m
6. 如图，矩形ABCD 的周长是20cm ，以AB、CD 为边向外作正方形ABEF 和正方形ADGH，若正
方形ABEF 和ADGH 的面积之和68
2
cm ,那么矩形ABCD 的面积是 ）
A．21
2
cm B．16
2
cm C．24
2
cm D．9
2
cm
7. 正方形内有一点A，到各边的距离从小到大依次是1、2、3、4，则正方形的周长是（ ）
Ａ．10 Ｂ．20 Ｃ．24 Ｄ．25
8．如图，在正方形ABCD 中，E 为DC 边上的点，连接BE，将△BCE 绕点C-顺时针方向旋转90°
得到△DCF，连接EF．若∠BEC=60°，则∠EFD 的度数为（ ）
A.10° B.15° C.20° D.25°
二.填空题
9.如图，矩形ABCD 中，AB＝3，BC＝4，如果将该矩形沿对角线BD 折叠，那么图中阴影部分的
面积是________.
10．在正方形ABCD 中，E 在AB 上，BE＝2，AE＝1，P 是BD 上的动点，则PE 和PA 的长度之和最
小值为___________．
11．如图，矩形ABCD 的面积为5，它的两条对角线交于点O1，以AB，AO1为两邻边作平行四边
形ABC1O1，平行四边形ABC1O1的对角线交于点O2，同样以AB，AO2为两邻边作平行四边形
ABC2O2……依此类推，则平行边形
n
n
ABC O 的面积为___________．
12. 如图所示，在口ABCD 中，E、F 分别是边AD、BC 的中点，AC 分别交BE、DF 于点M、N．给出下
列结论：①△ABM≌△CDN；②AM＝
1
3 AC；③DN＝2NF；④
1
2
AMB
ABC
S
S
△
△
．其中正确的
结论是________．(只填序号)
13.已知菱形的两条对角线长分别是6cm,8cm. 则菱形的周长是_____cm, 面积是_____ cm2.
14.（2015 春•启东市期中）如图，在四边形ABCD 中，∠ADC=∠ABC=90°，AD=CD，DP⊥AB 于P．
若四边形ABCD 的面积是18，则DP 的长是
．
15. 如图所示，平行四边形ABCD 中，点E 在边AD 上，以BE 为折痕，将△ABE 向上翻折，点A
正好落在CD 上的F 处，若△FDE 的周长为8，△FCB 的周长为22，则FC 的长为________．
16.（2016•怀柔区一模）在数学课上，老师提出如下问题：
如图1，将锐角三角形纸片ABC（BC＞AC）经过两次折叠，得到边AB，BC，CA 上的点D，E，F．
使得四边形DECF 恰好为菱形．
小明的折叠方法如下：
如图2，
（1）AC 边向BC 边折叠，使AC 边落在BC 边上，得到折痕交AB 于D； （2）C 点向AB 边折
叠，使C 点与D 点重合，得到折痕交BC 边于E，交AC 边于F．
老师说：“小明的作法正确．”
请回答：小明这样折叠的依据是
．
三.解答题
17.（2015 春•泗洪县校级期中）如图，BE，CF 是△ABC 的角平分线，AN⊥BE 于N，AM⊥CF 于M，
求证：MN∥BC．
18.在△ABC 中，AB=AC，点D 在边BC 所在的直线上，过点D 作DF∥AC 交直线AB 于点F，
DE∥AB 交直线AC 于点E．
（1）当点D 在边BC 上时，如图①，求证：DE+DF=AC．
（2）当点D 在边BC 的延长线上时，如图②；当点D 在边BC 的反向延长线上时，如图③，请分
别写出图②、图③中DE，DF，AC 之间的数量关系，不需要证明．
（3）若AC=6，DE=4，则DF=___________.
19. 探究问题：
(1)方法感悟：
如图，在正方形ABCD 中，点E，F 分别为DC，BC 边上的点，且满足∠EAF＝45°，连接EF，
求证DE＋BF＝EF．感悟解题方法，并完成下列填空：将△ADE 绕点A 顺时针旋转90°得
到△ABG，此时AB 与AD 重合，由旋转可得：AB＝AD，BG＝DE，∠1＝∠2，∠ABG＝∠D＝
90°，∴ ∠ABG＋∠ABF＝90°＋90°＝180°，因此，点G，B，F 在同一条直线上．
∵ ∠EAF＝45°∴ ∠2＋∠3＝∠BAD－∠EAF＝90°－45°＝45°．
∵ ∠1＝∠2，∠1＋∠3＝45°．
即∠GAF＝∠________．
又AG＝AE，AF＝AF
∴ △GAF≌△________．
∴ _________＝EF，故DE＋BF＝EF．
(2)方法迁移：
如图，将Rt△ABC 沿斜边翻折得到△ADC，点E，F 分别为DC，BC 边上的点，且∠EAF＝
1
2
∠DAB．试猜想DE，BF，EF 之间有何数量关系，并证明你的猜想．
20.（2016•青岛）已知：如图，在▱ABCD 中，E，F 分别是边AD，BC 上的点，且AE=CF，直线EF 分
别交BA 的延长线、DC 的延长线于点G，H，交BD 于点O．
（1）求证：△ABE≌△CDF；
（2）连接DG，若DG=BG，则四边形BEDF 是什么特殊四边形？请说明理由．
【答案与解析】
一.选择题
1.【答案】B；
【解析】由题意先证明△AOE≌△COF，∴S 阴影=S△COD=
S 矩形ABCD.
2．【答案】D；
【解析】由题意可得，此四边形的对角线互相垂直、平分且相等，则这个四边形是正方形．
3.【答案】D；
【解析】解：连接BD 交AC 于O，过D 作DM⊥AC 于M，过B 作BN⊥AC 于N，
∵四边形ABCD 是平行四边形，
∴DO=BO，OA=OC，
∵AE=CF，
∴OE=OF，
∴四边形BEDF 是平行四边形，
∴BE=DF，BE∥DF，∴①正确；②正确；④正确；
∵根据已知不能推出AB=DE，∴③错误；
∵BN⊥AC，DM⊥AC，
∴∠BNO=∠DMO=90°，
在△BNO 和△DMO 中
，
∴△BNO≌△DMO（AAS），
∴BN=DM，
∵S△ADE= ×AE×DM，S△ABE= ×AE×BN，
∴S△ADE=S△ABE，∴⑤正确；
∵AE=CF，
∴AE+EF=CF+EF，
∴AF=CE，∴⑥正确；
故选D．
4.【答案】C；
【解析】由三角形中位线定理，EF长度为AR的一半.
5.【答案】C；
【解析】根据平移的性质：平移不改变图形的大小.本题可将两侧的草坪分别向中间平移1
m ，向下平移1m ，三块草坪拼成了一个长为100m ，宽为50m 的矩形，因此草
坪的面积为100×50＝5 000
2
m .
6.【答案】B；
【解析】设两个正方形的边长分别为x
y
，,根据题意得：
10
68
2
2
y
x
y
x
，
则
2
2
2
100,
x
y
xy
，解得
16
xy
.
7.【答案】B；
【解析】1＋2＋3＋4＝周长的一半.
8.【答案】B；
【解析】证△ECF 为等腰直角三角形.
二.填空题
9.【答案】
75
16 ；
【解析】由折叠的特性可知∠DBC′＝∠DBC，由AD∥BC 得∠ADB＝∠DBC，因此∠DBC′＝
∠ADB，故BE＝DE.可设AE＝x ，则BE＝4－x ，在Rt△ABE 中，由勾股定理可得
2
2
2
AB
AE
BE
，即
2
2
2
3
4
x
x
，解得x ＝8
7
，BE＝8
25
.因此阴影部分
的面积为
16
75
3
8
25
2
1
.
10．【答案】13
；
【解析】连接CE，因为A，C 关于BD 对称，所以CE 为所求最小值13 .
11．【答案】
n
2
5
；
【解析】 每一次变化，面积都变为原来的
1
2 .
12.【答案】①②③；
【解析】易证四边形BEDF 是平行四边形，△ABM≌△CDN．∴ ①正确．
由BEDF 可得∠BED＝∠BFD，∴∠AEM＝∠NFC．又∵AD∥BC．∴∠EAM＝∠NCF，
又AE＝CF∴ △AME≌△CNF，∴AM＝CN．由FN∥BM，FC＝BF，得CN＝MN，∴CN＝MN
＝AM，AM＝
1
3 AC．∴ ②正确．
∵ AM＝
1
3 AC，∴
1
3
AMB
ABC
S
S
△
△
，∴④不正确．
FN 为△BMC 的中位线，BM＝2NF，△ABM≌△CDN，则BM＝DN，∴DN＝2NF，
∴③正确．
13.【答案】20；24；
14.【答案】3
；
【解析】解：如图，过点D 作DE⊥DP 交BC 的延长线于E，
∵∠ADC=∠ABC=90°，
∴四边形DPBE 是矩形，
∵∠CDE+∠CDP=90°，∠ADC=90°，
∴∠ADP+∠CDP=90°，
∴∠ADP=∠CDE，
∵DP⊥AB，
∴∠APD=90°，
∴∠APD=∠E=90°，
在△ADP 和△CDE 中，
，
∴△ADP≌△CDE（AAS），
∴DE=DP，四边形ABCD 的面积=四边形DPBE 的面积=18，
∴矩形DPBE 是正方形，
∴DP=
=3
．
故答案为：3
．
15.【答案】7；
【解析】∵ 四边形ABCD 是平行四边形，∴ AD＝BC，AB＝CD． 又∵ 以BE 为折痕，将
△ABE 向上翻折到△FBE 的位置，∴ AE＝EF，AB＝BF．已知DE＋DF＋EF＝8，即
AD＋DF＝8，AD＋DC－FC＝8．∴ BC＋AB－FC＝8．① 又∵BF＋BC＋FC＝22，即AB
＋BC＋FC＝22．②，两式联立可得FC＝7．
16.【答案】CD 和EF 是四边形DECF 对角线，而CD 和EF 互相垂直且平分（答案不唯一）；
【解析】解：如图，连接DF、DE．
根据折叠的性质知，CD⊥EF，且OD=OC，OE=OF．
则四边形DECF 恰为菱形．
故答案是：CD 和EF 是四边形DECF 对角线，而CD 和EF 互相垂直且平分（答案不
唯一）．
三.解答题
17.【解析】
证明：延长AN、AM 分别交BC 于点D、G．
∵BE 为∠ABC 的角平分线，BE⊥AG，
∴∠BAG=∠BGA，
∴△ABG 为等腰三角形，
∴BN 也为等腰三角形的中线，即AN=GN．
同理AM=DM，
∴MN 为△ADG 的中位线，
∴MN∥BC．
18.【解析】
解：（1）证明：∵DF∥AC，DE∥AB，
∴四边形AFDE 是平行四边形．
∴AF=DE，
∵DF∥AC，
∴∠FDB=∠C
又∵AB=AC，
∴∠B=∠C，
∴∠FDB=∠C
∴DF=BF
∴DE+DF=AB=AC；
（2）图②中：AC+DE=DF．图③中：AC+DF=DE．
（3）当如图①的情况，DF=AC-DE=6-4=2；
当如图②的情况，DF=AC+DE=6+4=10．
故答案是：2 或10．
19. 解：(1)EAF、△EAF、GF．
(2)DE＋BF＝EF，理由如下：
假设∠BAD 的度数为m，将△ADE 绕点A 顺时针旋转m°得到△ABG，如图，此时AB 与AD
重合，由旋转可得：
AB＝AD，BG＝DE，∠1＝∠2，∠ABG＝∠D＝90°，
∴ ∠ABG＋∠ABF＝90°＋90°＝180°，
因此，点G，B，F 在同一条直线上．
∵
1
2
EAF
m
°
，
∴
1
1
2
3
2
2
BAD
EAF
m
m
m
°
°
°
．
∵ ∠1＝∠2，∴ ∠1＋∠3＝
1
2 m°
．
即∠GAF＝∠EAF．
又AG＝AE，AF＝AF．
∴ △GAF≌△EAF．
∴ GF＝EF．
又∵ GF＝BG＋BF＝DE＋BF，
∴ DE＋BF＝EF．
20. 【解析】
（1）证明：∵四边形ABCD 是平行四边形，
∴AB=CD，∠BAE=∠DCF，
在△ABE 和△CDF 中，
，
∴△ABE≌△CDF（SAS）；
（2）解：四边形BEDF 是菱形；理由如下：
如图所示：
∵四边形ABCD 是平行四边形，
∴AD∥BC，AD=BC，
∵AE=CF，
∴DE=BF，
∴四边形BEDF 是平行四边形，
∴OB=OD，
∵DG=BG，
∴EF⊥BD，
∴四边形BEDF 是菱形．
