文档内容
专题 21.2 平行四边形的性质
1. 掌握平行四边形的概念及其性质并能够熟练的进行相关的应用；
教学目标
2. 掌握平行线间的距离并熟练应用。
1. 重点
（1）平行四边形的性质；
（2）平行线间的距离。
教学重难点 2. 难点
（1）利用平行四边形的相关性质求线段或者角度；
（2）平行四边形的性质在平面直角坐标系中求点的坐标的应用以及求周长和面积的
应用。知识点01 平行四边形的定义
1. 平行四边形的概念：
有两组对边分别 平行 的四边形叫做平行四边形。用符号“
▱
”来表示。平行四边形ABCD表示
为“ ▱ABCD”。
知识点02 平行四边形的性质
1. 平行四边形的性质：
符号语言：
性质 若四边形ABCD是平行四 图形
边形，则
平行四边形的两组对边分
边 AD∥BC，AB∥CD
别平行且相等
平行四边形的邻角互补， ∠A＝∠C，∠B＝∠D，
角
对角相等 ∠A＋∠B＝180°...
OA＝OC＝
平行四边形的对角线相互
对角线 1 1
平分 AC，OB=OD= BD
2 2
平行四边形的面积等于底× S =AE⋅BC
ABCD
面积
高 =AF·CD
过对角线交点的直线平分
对角线 平行四边形的面积且直线 S =S
ABFE CDEF
交点 与对边的交点到对角线的 OE=OF
交点的距离相等
平行四边形是一个中心对
对称性
称图形
【即学即练1】
1．如图，在平行四边形ABCD中，下列结论不一定正确的是（ ）A．AC⊥BD B．∠BAD+∠ABC＝180°
C．AD＝BC D．OA＝OC
【答案】A
【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD＝BC，OA＝OC，AD∥BC，
∴∠BAD+∠ABC＝180°，
故B、C、D正确，不符合题意，A不一定成立，符合题意，
故选：A．
【即学即练2】
2．如图，过平行四边形ABCD对角线的交点O的一条直线，分别交边AB，DC于点E，F，则下列结论一
定正确的是（ ）
A．AE＝BE
B．OE＝DF
C．△AEO与△DFO全等
D．四边形BCOE与四边形DAOF的面积相等
【答案】D
【解答】解：∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AB＝CD，AO＝CO，AB∥CD，
∴∠BAC＝∠DCA，
在△AOE和△COF中，
{∠EAO=∠FCO
)
AO=CO ，
∠AOE=∠COF
∴△AOE≌△COF（ASA），
∴AE＝CF，OE＝OF，△AOE的面积＝△COF的面积，
∴BE＝DF，
∴平行四边形ABCD被直线EF分成了两个全等的梯形，
∴四边形BCOE与四边形DAOF的面积相等，
故A、B、C不正确，不符合题意，D选项叙述正确，符合题意，
故选：D．【即学即练3】
3．如图， ABCD中，CE⊥AB，E为垂足，如果∠D＝65°，则∠BCE等于 25 ° ．
▱
【答案】25°．
【解答】解： ABCD中，
∵∠D＝65°，
▱
∴∠B＝∠D＝65°，
∵CE⊥AB，E为垂足，
∴∠CEB＝90°，
∴∠BCE＝90°﹣65°＝25°，
故答案为：25°．
【即学即练4】
4．如图，在平行四边形ABCD中，AB＝3，AD＝9，AE，DF分别平分∠DAB，∠ADC，那么EF的长为（
）
A．3 B．4
C．5 D．以上都不对
【答案】A
【解答】解：∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AD∥BC，AB＝CD＝3，AD＝BC＝9，
∴∠DAE＝∠AEB，
∵AE平分∠DAB，
∴∠BAE＝∠DAE，
∴∠BAE＝∠AEB，
∴BE＝BA＝3，
同理CF＝CD＝3，
∴EF＝BC﹣BE﹣CF＝9﹣3﹣3＝3，
故选：A．
【即学即练5】
5．如图，平行四边形ABCD的对角线相交于点O，且AC⊥BD，若点B的坐标为（4，m），点D的坐标
为（n，2），则m+n的值为 ﹣ 6 ．【答案】﹣6．
【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，对角线AC、BD交于点O，
∴OB＝OD，
∴点B与点D关于原点O对称，
∵点B的坐标为（4，m），点D的坐标为（n，2），
∴m+2＝0，且4+n＝0，
∴m＝﹣2，n＝﹣4，
∴m+n＝﹣2﹣4＝﹣6，
故答案为：﹣6．
【即学即练6】
6．如图，EF过平行四边形ABCD对角线的交点O，交AD于点E，交BC于点F，若平行四边形ABCD的
周长为18，且四边形EFCD的周长为12，则EF的长是 3 ．
【答案】3．
【解答】解：∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AD∥BC，AO＝CO，
∴∠EAO＝∠FCO，
∴在△AEO和△CFO中，
{∠EAO=∠FCO
)
AO=CO ，
∠AOE=∠COF
∴△AEO≌△CFO（ASA），
∴AE＝CF，
∵平行四边形ABCD的周长为18，
∴2AD+2CD＝18，即AD+CD＝9，
∵四边形EFCD的周长为ED+CD+CF+EF＝AD+CD+EF＝12，
∴EF＝12﹣9＝3．
故答案为：3．【即学即练7】
7．如图，在 ABCD中，O是对角线AC，BD的交点，过点O的直线分别交AD，BC于点M、N，若
△AOM的面积为3，△BON的面积为8，则△COD的面积是（ ）
▱
A．9 B．10 C．11 D．12
【答案】C
【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，点O是对角线AC，BD的交点，
∴四边形ABCD是中心对称图形，OB＝OD，
∴S△CON ＝S△AOM ，S△BOC ＝S△COD ，
∵S△BOC ＝S△BON +S△CON ＝3+8＝11，
∴S△COD ＝S△BOC ＝11，
故选：C．
知识点03 平行线间的距离
1. 平行线间的距离的定义：
一组平行线中，其中一条平行线上任意一点到另一条平行线的 距离 是这一组平行间的距离。
2. 平行线间的距离的性质：
①两条平行线间的距离 处处相等 。
②平行线间的平行线段 相等 。
【即学即练1】
8．如图，直线a∥b，则直线a，b之间的距离是（ ）
A．线段AB的长度 B．线段CD的长度
C．线段AB D．线段CD
【答案】B
【解答】解：由直线a∥b，CD⊥b，得：
线段CD的长度是直线a，b之间距离，
故选：B．
【即学即练2】9．如图，a∥b∥c，a与b之间的距离为5cm，b与c之间的距离为4cm，则a与c之间的距离是（ ）
A．1cm B．6cm C．9cm D．1cm或9cm
【答案】C
【解答】解∵a∥b∥c，a与b之间的距离为5cm，b与c之间的距离为4cm，
∴a与c之间的距离是5+4＝9（cm）．
故选：C．
【即学即练3】
10．在同一平面内，已知直线a∥b∥c，若直线a与直线b之间的距离为5cm，直线b与直线c之间的距离
为2cm，则直线a与直线c之间的距离为 3 或 7 cm．
【答案】3或7．
【解答】解：依题意有以下两种情况：
①当直线c在直线a，b之间时，过直线a当的以点A作直线AB⊥直线a，交直线b于点B，交直线c
于点C，则AB⊥直线b，AB⊥直线c，如图1所示：
根据平行线间距离的定义得：AB＝5cm，BC＝2cm，
∴AC＝AB﹣BC＝3cm；
②当直线c在直线a，b之外时，过直线a当的以点A作直线AB⊥直线a，交直线b于点B，交直线c
于点C，则AB⊥直线b，AB⊥直线c，如图2所示：
根据平行线间距离的定义得：AB＝5cm，BC＝2cm，
∴AC＝AB+BC＝7cm，
综上所述：直线a与直线c之间的距离为3cm或7cm．
故答案为：3或7．题型01 熟悉理解平行四边形的性质
【典例1】关于平行四边形的性质，下列说法错误的是（ ）
A．对角线互相平分 B．对边平行且相等
C．对角线相等 D．对角相等
【答案】C
【解答】解：A、B、D中的说法正确，故A、B、D不符合题意；
C、平行四边形的对角线不一定相等，故C符合题意．
故选：C．
【变式1】如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于O，下列说法一定正确的是（ ）
A．AC＝BD B．AC⊥BD C．AO＝CO D．CO＝OB
【答案】C
【解答】解：由平行四边形的性质：①边：平行四边形的对边相等．②角：平行四边形的对角相等．
③对角线：平行四边形的对角线互相平分，可知选项C是正确的．
故选：C．
【变式2】如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，下列说法不正确的是（ ）
A．AD＝BC B．OB＝OD C．∠ABO＝∠DCO D．∠BAD＝∠BCD
【答案】C
【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OB＝OD，AD＝BC，∠BAD＝∠BCD，
故选：C．
题型02 利用性质求角度
【典例1】在平行四边形ABCD中，∠A：∠B＝5：4，则∠D的大小是（ ）
A．60° B．80° C．100° D．160°
【答案】B
【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，
∴∠A+∠B＝180°，
∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠B＝∠D，
∵∠A：∠B＝5：4，
4
∴∠D=∠B= ×180°=80°，
4+5
故选：B．
【变式1】如图，在平行四边形ABCD中，∠ABC的角平分线BE交AD于点E，若∠ABC＝60°，则∠AEB
的度数为（ ）
A．60° B．50° C．40° D．30°
【答案】D
【解答】解：∵BE平分∠ABC，∠ABC＝60°，
1
∴∠ABE=∠CBE= ∠ABC=30°，
2
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，
∴∠AEB＝∠CBE＝30°．
故选：D．
【变式2】在 ABCD中，AD＝BD，BE是AD边上的高，∠EBD＝20°，则∠C的度数为 55 ° 或 35 ° ．
【答案】55°或35°．
▱
【解答】解：根据平行四边形的性质和题意画出图形，分2种情况：①如图1所示
∵BE是AD边上的高，∠EBD＝20°，
∴∠BDE＝90°﹣20°＝70°，
∵AD＝BD，
1
∴∠A＝∠ABD= （180°﹣70°）＝55°，
2
∴∠C＝∠A＝55°；
②如图2所示：同①得：∠BDE＝70°，
∵AD＝BD，
∴∠A＝∠ABD，
∴∠C＝∠A＝70°÷2＝35°；
上所述：∠C的度数为55°或35°．【变式3】如图，在 ABCD中，∠ABC＝66°，AF⊥BC于F，AF交BD于E，若DE＝2AB，则∠AED的
大小是（ ）
▱
A．62° B．64° C．66° D．68°
【答案】D
【解答】解：如图，取DE中点H，连接AH，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴BC∥AD，
∴∠CBD＝∠ADB，
∵∠ABC＝66°，AE⊥BC，
∴∠BAE＝24°，∠EAD＝90°，
∵点H是DE中点，
1
∴AH＝DH＝EH= DE，
2
∵DE＝2AB，
∴AB＝AH＝DH＝EH，∴∠ABH＝∠AHB，∠ADH＝∠HAD，∠HAE＝∠HEA，
∵∠AHB＝∠HAD+∠HDA＝2∠HDA，
∴∠ABH＝2∠HDA＝2∠CBD，且∠CBD+∠ABD＝∠ABC＝66°，
∴∠CBD＝22°＝∠ADH，
∴∠AED＝90°﹣∠ADH＝68°，
故选：D．
题型03 利用性质求线段
【典例1】如图， ABCD的对角线AC与BD相交于点O，AB⊥AC，若AB＝4，AC=4❑√5，则BD的长
是（ ）
▱
A．8❑√5 B．8❑√6 C．8 D．12
【答案】D
【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
1 1
∴BD＝2BO，AO= AC= ×4❑√5=2❑√5，
2 2
∵AB⊥AC，
∴∠BAO＝90°，
∵AB＝4，
∴BO=❑√AB2+AO2=6，
∴BD＝2BO＝12．
故选：D．
【变式1】如图， ABCD中，对角线AC、BD相交于O，过点O作OE⊥AC交AD于点E，连结CE．若
AE＝4，DE＝3，DC＝5，则AC的长为（ ）
▱
A．6 B．8 C．4❑√2 D．5❑√2
【答案】C
【解答】解：如图，∵四边形ABCD是平行四边形，
∴CD＝AB＝5，OA＝OC，
∵OE⊥AC
∴CE＝AE＝4，
∵DE＝3，
∴CE2+DE2＝42+32＝25，CD2＝25，
∴CE2+DE2＝CD2，
∴△EDC是直角三角形，∠CED＝90°，
∴∠AEC＝90°，
∴AC=❑√AE2+CE2=❑√42+42=4❑√2，
故选：C．
【变式2】如图，在 ABCD中，AB＝6，BC＝8，∠BCD的平分线交AD于点E，交BA的延长线于点F，
则AE+AF的值等于（ ）
▱
A．2 B．3 C．4 D．6
【答案】C
【解答】解：∵FC平分∠BCD，
∴∠DCF＝∠BCF，
∵平行四边形ABCD，
∴AD∥BC，FB∥DC，
∴∠FEA＝∠FCB，∠AFE＝∠FCD，
∴∠AFE＝∠FEA，∠AFE＝∠FCB，
∴△FAE和△FBC是等腰三角形，
∴AF＝AE，BF＝BC，
∵AF＝BF﹣AB，
∴AF＝BC﹣AB＝8﹣6＝2，
∴AE+AF＝2AF＝4，故选：C．
【变式3】如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC与BD交于点O，BD＝12，过点O作EF⊥BD分别
交BC、AD于点E、F，若∠ADB＝30°，则EF的长为 4❑√3 ．
【答案】4❑√3．
【解答】解：∵在平行四边形ABCD中，对角线AC与BD交于点O，BD＝12，
1
∴AD∥BC，OB=OD= BD=6，
2
∴∠OAF＝∠OCE，∠OFA＝∠OEC，
∴△OAF≌△OCE（AAS），
∴OF＝OE，
∴EF＝2OF；
∵EF⊥BD，
∴∠FOD＝90°，
∵∠ADB＝30°，
∴DF＝2OF，
∴OD=❑√DF2−OF2=❑√3OF=6，
∴OF=2❑√3，
∴EF=4❑√3，
故答案为：4❑√3．
题型04 利用平行四边形的性质求坐标
【典例1】如图，在平面直角坐标系中， ABCD的对角线相交于点O，若点A的坐标是（﹣2，1），则
点C的坐标是（ ）
▱
A．（2，1） B．（2，﹣1） C．（1，﹣2） D．（﹣2，﹣1）
【答案】B【解答】解：∵平行四边形ABCD的对角线相交于点O，
∴点A与点C关于原点O对称．
∵点A（﹣2，1），
∴点C的坐标是（2，﹣1）．
故选：B．
【变式1】如图，在平面直角坐标系xOy中， ABCD的对角线交于点O，过点O的直线分别与边AB，
CD交于点E，F，若点E的坐标为（a，b），则点F的坐标为（ ）
▱
A．（a，b） B．（﹣a，b） C．（a，﹣b） D．（﹣a，﹣b）
【答案】D
【解答】解：如图，连接AC，
∵ ABCD的对角线交于点O，
∴OA＝OC，AB∥CD，
▱
∴∠OAE＝∠OCF，
在△OAE和△OCF中，
{∠OAE=∠OCF
)
OA=OC ，
∠AOE=∠COF
∴△OAE≌△OCF（ASA），
∴OE＝OF，
即点E和点F关于原点对称，
∵点E的坐标为（a，b），
∴点F的坐标为（﹣a，﹣b），
故选：D．
【变式2】如图，在平面直角坐标系中，A（1，0），B（4，0），C（2，3），在坐标系中找一点D，使
以点A，B，C，D为顶点的四边形是平行四边形，点D的坐标是 （ 5 ， 3 ）或（ 3 ，﹣ 3 ）或（﹣ 1 ， 3 ）
．【答案】（5，3）或（3，﹣3）或（﹣1，3）．
【解答】解：如图所示：
∵A（1，0），B（4，0），
∴AB＝4﹣1＝3，
①AB∥CD，AC∥BD时，
∵C（2，3），
∴D （5，3）；
1
②AB∥CD，AD∥BC，
∵C（2，3），
∴D （﹣1，3）；
3
③BC∥DA，AC∥DB，
∵A（1，0），B（4，0），C（2，3），
∴D （3，﹣3），
2
故D点坐标为（5，3）或（3，﹣3）或（﹣1，3），
故答案为：（5，3）或（3，﹣3）或（﹣1，3）．
题型05 平面四边形的面积与周长
【典例1】若平行四边形的周长为28，相邻两边的差为4，则较短边的长为 5 ．
【答案】5．
【解答】解：设较长边为a，较短边为b，
由平行四边形性质，相邻两边之和为周长的一半，即a+b＝14，
又相邻两边差为4，即a﹣b＝4，
{a+b=14)
得方程组 ，
a−b=4
{a=9)
解得 ，
b=5
故若平行四边形的周长为28，相邻两边的差为4，则较短边长为5，
故答案为：5．
【变式1】如图，在周长为20cm的 ABCD中，AB≠AD，AC，BD相交于点O，OE⊥BD交AD于E，则
△ABE的周长为（ ）
▱
A．4cm B．6cm C．8cm D．10cm
【答案】D
【解答】解：∵AC，BD相交于点O，
∴O为BD的中点，
∵OE⊥BD，
∴BE＝DE，
1
∴△ABE的周长＝AB+AE+BE＝AB+AD= ×20＝10（cm），
2
∴△ABE的周长为10cm．
故选：D．
【变式2】如图，点P在平行四边形ABCD的对角线BD上，过点P作EF∥BC，GH∥AB．已知S ＝
ABCD
22，S四边形BGPE ＝2，S四边形PFDH ＝10，则四边形AEPH的面积是（ ） ▱
A．4 B．5 C．6 D．7
【答案】B
【解答】解：如图，点P在平行四边形ABCD的对角线BD上，过点P作EF∥BC，GH∥AB，
∴四边形BGPE，四边形PFDH为平行四边形，由条件可知S三角形ABD ＝11，S四边形PFDH ＝10，S四边形BGPE ＝2，
∴S三角形PHD ＝5，S三角形BEP ＝1，
∴S四边形AEPH ＝S三角形ABD ﹣S三角形PHD ﹣S三角形BEP ＝5，
故选：B．
【变式3】如图，E是平行四边形内任一点，若S平行四边形ABCD ＝9，则图中阴影部分的面积是（ ）
A．3 B．3.5 C．4 D．4.5
【答案】D
【解答】解：设两个阴影部分三角形的高为h 、h ，则h +h 为平行四边形的高，
1 2 1 2
∵S平行四边形ABCD ＝9，
1 1 1 1
∴S +S = AD⋅h + CB⋅h = AD(h +h )= ×9=4.5．
△EAD △ECB 2 1 2 2 2 1 2 2
∴图中阴影部分的面积是4.5．
故选：D．
题型06 平行线的距离
【典例1】如图，已知直线AB∥CD，∠BAC＝60°，AC＝2，则AB与CD之间的距离为（ ）
A．2 B．1 C．❑√3 D．2❑√3
【答案】C
【解答】解：如图，过点C作CE⊥AB于E，
在Rt△ACE中，∠BAC＝60°，
∴∠ACE=30°
∵AC＝2，1 1
∴AE＝ AC＝2× =1．
2 2
∴CE=❑√AC2−AE2=❑√3
故选：C．
【变式1】如图，点P在直线m上移动，A，B是直线n上的两个定点，直线m∥n．对于下列各值，不会
随点P的移动而变化的是（ ）
A．∠APB的大小 B．线段PA的长度
C．△APB的周长 D．△APB的面积
【答案】D
【解答】解：点P在直线m上移动，A，B是直线n上的两个定点，直线m∥n．
由题意可得：点P与直线n的距离保持不变，
∵A，B是直线n上的两个定点，
∴点P到AB的距离不变，
∴△APB的面积不变，故D正确；
不会随点P的移动而变化的是D．
故选：D．
【变式2】在同一平面内，a，b，c是三条互相平行的直线，已知a与b之间的距离为5，b与c之间的距
离为1，则直线a上任意一点P到直线c的距离是（ ）
A．4 B．6 C．4或6 D．无法确定
【答案】C
【解答】解：①当直线c在直线a、b外时，
∵a与b之间的距离为5，b与c之间的距离为1，
∴a与c之间的距离为：5+1＝6；
②当直线c在直线a、b之间时，∵a与b之间的距离为5，b与c之间的距离为1，
∴a与c之间的距离为：5﹣1＝4；
∴直线a上任意一点P到直线c的距离是4；
综上，a与c之间的距离为6或4，
故选：C．
1．如图，四边形ABCD是平行四边形，其对角线AC，BD相交于点O，下列结论不成立的是（ ）
A．AO＝CO B．AD∥BC C．AB＝CD D．AC⊥BD
【答案】D
【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AO＝CO，故A正确；
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，故B正确；
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB＝CD，故C正确；
无法判断AC⊥BD，
故选：D．
2．如图，在 ABCD中，∠A+∠C＝80°，则∠D的度数是（ ）
▱
A．100° B．140° C．70° D．40°
【答案】B
【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠A＝∠C，AB∥CD，
又∵∠A+∠C＝80°，
∴∠A＝40°，
∴∠D＝180°﹣∠A＝140°．
故选：B．
3．在 ABCD中，∠A：∠B：∠C：∠D的值可以是（ ）
A．1：2：3：4 B．1：2：2：1 C．1：1：2：2 D．2：1：2：1
▱
【答案】D
【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠A＝∠C，∠B＝∠D，AB∥CD，AD∥BC，
∴∠B+∠C＝180°，∠A+∠D＝180°，
即∠A和∠C的度数相等，∠B和∠D的度数相等，且∠B+∠C＝∠A+∠D，
故选：D．
4．如图，四边形ABCD是平行四边形，BE平分∠ABC，交AD边于E，若BC＝7，CD＝5，则DE的长度
为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】A
【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB＝CD＝5，AD＝BC＝7，AD∥BC，
∴∠AEB＝∠CBE，
∵BE平分∠ABC，
∴∠CBE＝∠ABE，
∴∠AEB＝∠ABE，
∴AE＝AB＝5，
∴若BC＝7，CD＝5，则DE＝AD﹣AE＝7﹣5＝2．
故选：A．
5．如图，在平行四边形ABCD中，∠ABC的平分线交AD于点E，交CD的延长线于点F，连接AC．下列
说法正确的是（ ）A．AB＝AC B．CF＝BC
C．AC平分∠BCD D．△ABC是等边三角形
【答案】B
【解答】解：∠ABC的平分线交AD于点E，交CD的延长线于点F，
∵BF是∠ABC的平分线，
∴∠ABF＝∠CBF，
又∵AB∥CD，
∴∠ABF＝∠CFB，
∴∠CBF＝∠CFB，
∴CF＝BC，故B正确；而ACD无法判断．
故选：B．
6．如图，在平行四边形ABCD中，AB＝5，BC＝9，AE平分∠BAD交BC于点E，点O为BD的中点，连
接EO并延长交AD于点F，则AF的长为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】B
【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴BC＝AD，AD∥BC，
∴∠DAE＝∠AEB，∠FDO＝∠OBE，
∵AE平分∠BAD，
∴∠DAE＝∠BAE，
∴∠BEA＝∠BAE，
∴AB＝BE＝5，
∵点O为BD的中点，
∴BO＝DO，
在△FDO与△EBO中，
{∠FDO=∠EBO
)
BO=DO ，
∠BOE=∠DOF∴△FDO≌△EBO（ASA），
∴DF＝BE＝5，
∴AF＝AD﹣DF＝9﹣5＝4，
故选：B．
1
7．如图，在 ABCD中，按以下步骤作图：①分别以点A，点B为圆心，以大于 AB的长为半径作弧；
2
②过两弧▱相交的两点作直线交BC于点E，连接AE，已知CD＝4，∠B＝60°，则△ABE的面积为（
）
A．2❑√3 B．4❑√3 C．8❑√3 D．16
【答案】B
【解答】解：根据作图可知，EF垂直平分AB，
∴AE＝BE，
∵∠B＝60°，
∴△ABE为等边三角形，
∵ ABCD，CD＝4，
∴AB＝CD＝BE＝4，
▱
在Rt△BFE中，∠BEF＝30°，
1
∴BF= BE=2，EF=❑√3BF=2❑√3，
2
1 1
∴S = AB⋅EF= ×4×2❑√3=4❑√3．
△ABE 2 2
则△ABE的面积为4❑√3，
故选：B．
8．如图，在平面直角坐标系中， MNEF的两条对角线ME，NF交于原点O，MF平行x轴，点M的坐标
是（m，2），点F的坐标是（3，n），则点N的坐标是（ ）
▱A．（﹣3，﹣2） B．（﹣4，﹣3） C．（﹣2，﹣3） D．（﹣4，﹣2）
【答案】A
【解答】解：∵ MNEF的两条对角线ME，NF交于原点O，
∴点F与点N关于原点对称，点M与点E关于原点对称，
▱
∵点M的坐标是（m，2），点F的坐标是（3，n），
∴点E的纵坐标是﹣2，点N的横坐标是﹣3，
∵MF平行x轴，即MF∥NE，
∴点N的坐标是（﹣3，﹣2），
故选：A．
9．如图，F是 ABCD的边CD上的点，Q是BF中点，连接CQ并延长交AB于点E，连接AF与DE相交
于点P，若S
▱△APD
=2cm2，S
△BQC
=8cm2，则阴影部分的面积为（ ）cm2
A．24 B．17 C．18 D．10
【答案】C
【解答】解：连接EF，
∵F是 ABCD的边CD上的点，
∴BE∥CF，
▱
∴∠EBF＝∠CFB，∠BEC＝∠FCE，
∵BQ＝FQ，
∴△EBQ≌△CFQ，
∴EQ＝CQ，
∴四边形EBCF是平行四边形，
∴S =2S =16cm2 ，
△BEF △BQC∵S△AED ＝S△AEF ，
∴S =S =2cm2 ，
△APD △EPF
∴S =S +S =18cm2 ，
阴影 △EPF △EBF
故选：C．
10．如图，点P、Q是 ABCD的边AB、AD上一点，且PC＝CD，DP，BQ相交于R，连接RC，且RC恰
好平分∠BRD，若AB＝3，BQ＝5，则点C到BQ的距离为（ ）
▱
3 ❑√61 ❑√11
A． B．2 C． D．
2 4 2
【答案】D
【解答】解：如图所示，过点C作CE⊥BQ于点E，CF⊥PD于点F，
∵RC平分∠BRD，CE⊥BQ，CF⊥PD，
∴CF＝CE；
∵四边形ABCD是平行四边形，且点P、Q是平行四边形ABCD的边AB、AD上一点，
1 1
∴S = S ，S = S ，CD＝AB＝3，
△BCQ 2 平行四边形ABCD△PCD 2 平行四边形ABCD
∴S△BCQ ＝S△PCD ，
1 1
∴ PD⋅CF= BQ⋅CE，
2 2
∴PD＝BQ＝5；
∵PC＝CD，CF⊥PD，
1 5
∴DF= PD= ，
2 2
❑√11
∴CF=❑√CD2−DF2=
，
2
❑√11
∴CE= ，
2
❑√11
∴点C到BQ的距离为 ，
2故选：D．
11．已知直线a∥b，点M到直线a的距离是5cm，到直线b的距离是3cm，那么直线a和直线b之间的距
离为 2 cm 或 8 cm ．
【答案】2cm或8cm
【解答】解：当M在b下方时，距离为5﹣3＝2cm；
当M在a、b之间时，距离为5+3＝8cm．
故答案为：2cm或8cm
12．如图：AB∥CD，AD∥BC，AD＝5，BE＝8，△DCE的面积为6，则四边形ABCD的面积为 2 0 ．
【答案】20
【解答】解：作DG⊥BC于G，AH⊥BC于H，
∵AD∥BC，∴AH＝DG，
又AB∥CD，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∴BC＝AD＝5，又BE＝8，
∴CE＝3，又△DCE的面积为6，
∴DG＝4，
∴四边形ABCD的面积＝BC×AH＝20，
故答案为：20．
13．如图，平行四边形ABCD的对角线AC和BD相交于点O，过点O的直线分别交CD和AB于点E、F，
且AB＝7，BC＝4，∠BCD＝30°，那么图中阴影部分的面积为 7 ．
【答案】7
【解答】解：如图所示，过点D作DP⊥AB于点P，∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠DAB＝∠BCD＝30°，AD＝BC＝4，
1
∴DP= AD=2，
2
∴AP=❑√AD2−DP2=❑√42−22=2❑√3，
∵平行四边形ABCD的对角线AC和BD相交于点O，
∴AB∥CD，AO＝CO，
∴∠ECO＝∠FAO，
又∵∠EOC＝∠FOA，
∴△EOC≌△FOA（AAS）
∴S△EOC ＝S△FOA
同理：S△BOF ＝S△DOE
1 1
∴阴影部分面积面积S△A
B D
=
2
AB×PD=
2
×7×2=7，
故答案为：7．
14．如图，在 ABCD中，按以下步骤作图：①以点D为圆心，适当长为半径作弧，分别交DA、DC于
E、F两点；②分别以点E、F为圆心，大于EF的一半长为半径作弧，两弧交于点G；③作射线DG交
▱
CB的延长线于点M．链接AM，若∠C＝120°，AB＝4，BC＝2，则BM的长为 2 ．
【答案】2．
【解答】解：由作图过程可知，DM为∠ADC的平分线，
∴∠ADM＝∠CDM．
∵四边形ABCD为平行四边形，
∴CD＝AB＝4，AD∥BC，
∴∠ADM＝∠CMD，
∴∠CDM＝∠CMD，
∴CM＝CD＝4，
∴BM＝CM﹣BC＝4﹣2＝2．故答案为：2．
15．如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，过点O作BD的垂线交BC于点E，连接
DE．已知△DCE的周长是9cm，则平行四边形ABCD的周长是 1 8 cm．
【答案】18．
【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OB＝OD，BC＝AD，CD＝AB，
∵OE⊥BD，
∴OE垂直平分BD，
∴DE＝BE，
∴△DCE的周长＝DC+CE+DE＝CD+CE+BE＝DC+BC＝9cm，
∴平行四边形ABCD的周长＝2（BC+CD）＝2×9＝18（cm）．
故答案为：18．
16．在平行四边形ABCD中，E为BC上一点，点F为AE的中点，连接DF并延长，交CB的延长线于点
G，求证：BG＝CE．
【答案】证明见解答过程．
【解答】证明：∵点F为AE的中点，
∴AF＝FE，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，AD＝BC，
∴∠ADF＝∠EGF，
∵∠AFD＝∠EFG，
∴△AFD≌△EFG（AAS），
∴AD＝GE，
∴GE＝BC，
∴BG＝CE．
17．如图，直线a∥b，直线AB与a，b分别相交于点A，B，AC⊥AB，AC交直线b于点C．
（1）若∠1＝65°，求∠2的度数；
（2）若AC＝3，AB＝4，BC＝5，求直线a与b的距离．【答案】（1）25°；
12
（2） ．
5
【解答】解：（1）∵AC⊥AB，
∴∠2+∠3＝90°，
∵a∥b，
∴∠3＝∠1＝65°，
∴∠2＝90°﹣65°＝25°；
（2）设直线a与b的距离为h，
∵AC⊥AB，
1 1
∴S = AB⋅AC= BC⋅h，即：3×4＝5h，
△ABC 2 2
12
∴h= ；
5
12
∴直线a与b的距离为 ．
5
18．已知：如图，在 ABCD中，点E为边AC上，点F在边AD上，AF＝CE，EF与对角线BD相交于点
O．
▱
（1）求证：O是BD的中点．
（2）若EF⊥BD， ABCD的周长为24，连结BF，则△ABF的周长为 1 2 ．
▱
【答案】（1）证明见详解；
（2）12．
【解答】（1）证明：连接FB、DE，∵四边形ABCD是平行四边形．
∴AB＝DC，AD＝BC，AD∥BC，
∴FD∥BE．
又∵AD＝BC，AF＝CE，
∴FD＝BE．
∴四边形FBED是平行四边形．
∴BO＝OD．
即O是BD的中点．
（2）解：∵OB＝OD，OF⊥BD，
∴FB＝FD，
1
△ABF的周长＝AB+AF+FB＝AB+AF+FD＝AB+AD= ×24＝12．
2
故答案为：12．
19．如图，在平行四边形ABCD中，点F是AD中点，连接CF并延长交BA的延长线于点E．
（1）求证：AB＝AE．
（2）若BC＝2AE，∠E＝31°，求∠DAB的度数．
【答案】（1）见详解；（2）∠DAB＝62°．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB＝CD，AB∥CD，BC＝AD，
∴∠E＝∠DCF，
∵点F是AD中点，
∴AF＝DF，
∵∠EFA＝∠CFD，
∴△AFE≌△DFC（AAS），
∴CD＝AE，
∴AB＝AE；
（2）解：由（1）可得AF＝DF，BC＝AD，∵BC＝2AE，
∴AE＝AF，
∵∠E＝31°，
∴∠AFE＝∠E＝31°，
∴∠DAB＝2∠E＝62°．
20．如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC与BD交于点O，过点O作直线l⊥AC，分别交AD、BC于
点E、F，连接CE、AF．
（1）求证：△AOE≌△COF；
（2）若∠EAC＝30°，EF＝6，求四边形AECF的面积．
【答案】（1）见解答；
（2）18❑√3．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，对角线AC与BD相交于点O，
∴AD∥BC，OA＝OB，
∴∠OAE＝∠OCF，
∵过点O作直线l⊥AC，分别交AD、BC于点E、F，
∴∠AOE＝∠COF＝90°，
在△AOE和△COF中，
{
∠OAE=∠OCF
)
OA=OB ，
∠AOE=∠COF=90°
∴△AOE≌△COF（ASA）；
（2）解：∵△AOE≌△COF，EF＝6，
1
∴OE＝OF= EF＝3，
2
在Rt△AOE中，∠EAC＝30°，
∴AE＝2OE＝6，
由勾股定理得：OA=❑√AE2−OE2=❑√62−32=3❑√3，
∴OA＝OB=3❑√3，
∴AC＝OA+OB=6❑√3，
1 1 1 1
由三角形面积公式得：S△AEC =
2
AC•OE =
2
×6❑√3×3=9❑√3，S△AFC =
2
AC•OF =
2
×6❑√3×3=9❑√3，∴S四边形AECF ＝S△AEC +S△AFC =9❑√3+9❑√3=18❑√3．
