文档内容
第02讲 平行四边形的性质和判定
考点1：平行四边形的定义
考点2：平行四边形的性质
考点3：平行四边形的判定定理
考点4：平行线的间的距离
考点5：三角形的中位线定理
重点：
（1）平行四边形性质的应用
（2）平行四边形的判定
（3）三角形中位线定理的灵活运用
难点：
（1）平行四边形性质与判定的综合证明
（2）动态几何中的平行四边形存在性问题
（3）遇中点连中位线，转化线段关系或平行关系。
知识点1：平行四边形的性质
1. 边的性质：两组对边分别平行且相等，如下图：AD∥BC，AD=BC，AB∥CD，AB=CD；
2. 角的性质：两组对角分别相等，如图：∠A=∠C，∠B=∠D
3. 对角线的性质：对角线互相平分。如图：AO=CO，BO=DO
【题型1 根据平行四边形的性质求边长/周长】【典例1】如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，若AC=6，则AO的值是（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】B
【分析】本题考查了平行四边形的性质，熟练掌握平行四边形的对角线互相平分是解题的关键．
根据平行四边形的性质求解即可．
【详解】解：∵四边形ABCD是平行四边形，对角线AC与BD交于点O，
1
∴AO=OC= AC，
2
∵AC=6，
∴AO=3，
故选：B．
【变式1】如图，在平行四边形ABCD中，AD=5，BE=3，则CE的长为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．6
【答案】A
【分析】本题主要考查了平行四边形的性质，根据平行四边形对边相等得到BC的长，再根据线段的和
差关系即可得到答案．
【详解】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴BC=AD，
∵AD=5，BE=3，
∴BC=5，
∴CE=BC−BE=5−3=2，
故选：A．
【变式2】在▱ABCD中，AB=6，则CD的长为（ ）
A．2 B．4 C．6 D．12
【答案】C【分析】本题考查了平行四边的性质，掌握平行四边形的对边相等是解题的关键．
根据平行四边形的对边相等即可求解．
【详解】解：∵四边形ABCD是平行四边形，AB=6，
∴CD=AB=6，
故选：C．
【变式3】已知在▱ABCD中，AB=4cm，BC=7cm，则▱ABCD的周长为（ ）
A．11cm B．28cm C．22cm D．44cm
【答案】C
【分析】本题考查平行四边形的性质，掌握对边相等是解题的关键.
根据平行四边形对边相等的性质，直接计算周长即可.
【详解】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB=CD=4cm，BC=AD=7cm，
∴周长=AB+BC+CD+AD=4+7+4+7=22cm.
故▱ABCD的周长为22cm.
故选：C.
【题型2 根据平行四边形的性质求角度】
【典例2】如图，在平行四边形ABCD中，∠B=50°，则∠D的度数是（ ）
A．30° B．40° C．50° D．130°
【答案】C
【分析】本题考查了平行四边形的性质．
根据平行四边形对角相等作答即可．
【详解】解：在平行四边形ABCD中，∠B=50°，
则∠D=∠B=50°．
故选：C．
【变式1】如图，在▱ABCD中，∠A=32°，则∠B的度数是（ ）A．32° B．148° C．158° D．168°
【答案】B
【分析】本题主要考查平行四边形的性质，熟知∠A+∠B=180°是解题的关键．
根据∠A+∠B=180°求解即可．
【详解】由题知，∠A+∠B=180°，
∴∠B=180°−32°=148°．
故选：B．
【变式2】如图，在▱ABCD中，若∠A+∠C=130°，则∠B的度数是（ ）
A．65° B．130° C．135° D．115°
【答案】D
【分析】本题考查了平行四边形的性质．熟练掌握平行四边形的性质是解题的关键．
平行四边形的性质有：平行四边形的邻角互补，即∠A+∠B=180°，平行四边的对角相等，即
∠A=∠C．根据∠A=∠C求出∠A的度数，再根据邻角互补求出∠B的度数即可．
【详解】解：∵ 四边形ABCD是平行四边形，
∴ ∠A=∠C，
∵ ∠A+∠C=130°，
∴ 2∠A=130°，
∴ ∠A=65°，
∵ ∠A+∠B=180°，
∴ ∠B=115°．
故选D．
【变式3】如图，在▱ABCD中，∠ABC的平分线交AD于E，若∠AEB=30°，则∠C的大小为（ ）A．150° B．135° C．130° D．120°
【答案】D
【分析】本题考查了平行四边形的性质以及角平分线的性质．熟练掌握平行四边形的性质以及角平分
线的性质是解题的关键．平行四边形的对边平行，即AD∥BC，由此可得内错角相等；角平分线会将
一个角分成两个相等的角．我们可以利用这些性质求出∠ABC的度数，再根据平行四边形邻角互补求
出∠C的大小．
【详解】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴ AD∥BC，
∴ ∠AEB=∠EBC=30°，
∵ BE是∠ABC的平分线，
∴ ∠ABC=2∠EBC=2×30°=60°，
∵ ∠ABC+∠C=180°，
∴ ∠C=180°−∠ABC=180°−60°=120°．
故选：D．
【题型3 根据平行四边形的性质求点坐标】
【典例3】如图，将▱ABCO放置在平面直角坐标系xOy中，O为坐标原点．若点A的坐标是(6，0)，点
C的坐标是(1，4)，则点B的坐标是（ ）
A．(6，4) B．(4,6) C．(7，4) D．(4，7)
【答案】C
【分析】本题考查了平行四边形的性质，点的坐标；由平行四边形的性质得CB=OA=6，CB∥OA，
从而可得点B的坐标．
【详解】解：∵▱ABCO，A(6，0)
∴CB=OA=6，CB∥OA；
∵点C的坐标是(1，4)，
∴点B的横坐标为1+6=7，纵坐标为4，
即点B的坐标为(7，4)；故选：C．
【变式1】如图，在平面直角坐标系中，已知点A(3,1)，C(0,5)．若四边形OABC是平行四边形，则点B
的坐标为（ ）
A．(3,2) B．(3,4) C．(3,6) D．(3,9)
【答案】C
【分析】本题考查了平行四边形的性质、坐标与图形，熟知平行四边形的性质是解题的关键；
根据四边形OABC是平行四边形可得AB=OC,AB∥OC，再由A、C的坐标即可得解.
【详解】解：∵四边形OABC是平行四边形，
∴AB=OC,AB∥OC，
∵A(3,1)，C(0,5)，OC=5，
∴点B的坐标为(3,6)；
故选：C.
【变式2】如图，四边形ABCD为平行四边形，则点B的坐标为（ ）
A．(−2,−1) B．(−1,−2) C．(−1,−1) D．(−2,−2)
【答案】A
【分析】本题考查平行四边形的性质、坐标与图形，先根据坐标与图形性质得到AD=4，再根据平行
四边形的性质得到BC=AD=4，AD∥BC∥x轴，再利用坐标与图形求解即可．
【详解】解：由图可知，A(−1,2)，D(3,2)，
∴AD=3−(−1)=4，AD∥x轴，
∵四边形ABCD为平行四边形，
∴BC=AD=4，AD∥BC∥x轴，∵C(2,−1)，
∴B(2−4,−1)，即B(−2,−1)，
故选：A．
【变式3】如图，在平面直角坐标系中，▱ABCD的顶点A，B，C的坐标分别是(2,0)，(−2,0)，(0,3)，
则顶点D的坐标为（ ）
A．(2,2) B．(2,3) C．(3,3) D．(4,3)
【答案】D
【分析】本题考查平行四边形的基本性质和坐标，数形结合是解题的关键．
根据CD∥AB可得C点纵坐标与D点相同为3，由AB=CD，顶点A，B，C的坐标，结合图形可得C
点横坐标为4，继而得出结论．
【详解】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴CD∥AB，AB=CD，
∵CD∥AB，C(0,3)，
∴C点纵坐标与D点相同为3，
∵顶点A，B，C的坐标分别是(2,0)，(−2,0)，(0,3)，
∴AB=CD=4，
∴D点横坐标为0+4=4，
∴D点的坐标是(4,3)，
故选：D．
知识点2：平行线之间的距离与平行四边形的综合
定义：两条平行线中，一条直线上任意一点到另一条直线的距离，叫做这两条平行线之
间的距离.
性质：平行线之间距离处处相等【题型4 利用平行线间距离的性质求解】
【典例4】如图，l ∥l ，AB=4，S =4，则点C到AB的距离为（ ）
1 2 △DAB
A．2 B．8 C．10 D．12
【答案】A
【分析】本题主要考查平行线的性质，运用平行线之间三角形面积相等是解题的关键．
首先利用平行线之间三角形面积相等，得到△ACB的面积，再根据面积公式求解点C到AB的距离即
可．
【详解】解：∵l ∥l ，S =4，
1 2 △DAB
∴S =S =4，
△DAB △CAB
2×4
∴点C到AB的距离为 ，
4
故选：A．
【变式1】如图，已知直线a∥b∥c，直线d与它们分别垂直且相交于A，B，C三点．若AB=4，
AC=10，则平行线b，c之间的距离是（ ）
A．2 B．4 C．6 D．14
【答案】C
【分析】本题考查线段的和与差，平行线间的距离．利用数形结合的思想是解题关键．
根据题意可求出BC=AC−AB=6，再根据平行线间的距离的定义即可解答．
【详解】解：∵AB=4，AC=10，
∴BC=AC−AB=6．
∵a∥b∥c，直线d与它们分别垂直且相交于A，B，C三点，
∴平行线b，c之间的距离是6．故选：C．
【变式2】如图，a∥b，点A在直线a上，点B，C在直线b上，AC⊥b，如果AB=5cm，AC=4cm，
那么点A到直线b的距离为（ ）
A．5cm B．4cm C．3cm D．不能确定
【答案】B
【分析】本题考查了平行线之间的距离，从一条平行线上的任意一点到另一条直线作垂线，垂线段的
长度叫两条平行线之间的距离，由此可得出答案．
【详解】解：平行线a、b之间的距离=AC=4cm．
故选：B．
【变式3】如图，在平行四边形ABCD中，AB=3，BC=4，过点A作AE⊥BC，垂足为E，AE=2，则
AB与CD之间的距离为（ ）
8 4
A． B．6 C．❑√7 D．
3 3
【答案】A
【分析】本题考查平行四边形的性质，平行线间的距离，解题的关键是由平行四边形的面积公式得到
AB⋅h=BC⋅AE；
本题根据平行四边形的性质，可得AB∥CD，设AB与CD之间的距离为h，可得：AB⋅h=BC⋅AE，
然后代入即可求解；
【详解】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，
设AB与CD之间的距离为h，
∵AE⊥BC，
∴平行四边形ABCD的面积=AB⋅h=BC⋅AE，
∴3×h=4×2，8
∴h= ，
3
8
∴AB与CD之间的距离为 ．
3
故选：A．
知识点3：平行四边形的判定
1. 与边有关的判定：
（1）两组对边分别平行的四边形是平行四边形
（2）两组对边分别相等的四边形是平行四边形
2. 与角有关的判定：两组对角分别相等的四边形是平行四边 形
3. 与对角线有关的判定：对角线互相平分的四边形是平行四 边形
【题型5 添一个条件成为平行四边形】
【典例5】如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，对角线AC和BD交于点O，要使四边形ABCD成为平
行四边形，则应添加的条件是（ ）
A．AB=CD B．AC=BD C．AO=DO D．AO=CO
【答案】D
【分析】本题考查平行四边形的判定定理，三角形全等的判定，平行线的性质，掌握平行四边形的判
定条件是解题关键．
根据平行四边形的判定定理对选项依次判断即可．
【详解】解：已知AD∥BC，要使四边形ABCD为平行四边形，
选项A：仅AD∥BC且AB=CD，四边形可能是等腰梯形，无法判定为平行四边形，故 A错误；
选项B：AD∥BC且AC=BD，四边形可能是等腰梯形，无法判定为平行四边形，故 B错误；选项C：平行四边形要求对角线互相平分，仅AO=DO不满足，故C错误；
选项D：∵ AD∥BC，
∴ ∠DAO=∠BCO，
在△DAO和△BCO中，
{∠DAO=∠BCO
)
AO=CO ,
∠AOD=∠COB
∴ △DAO≌△BCO(ASA)，
∴ AD=BC，
∴四边形ABCD为平行四边形．
故D正确．
故选：D．
【变式1】如图，要使四边形ABCD为平行四边形，则需要添加的条件是（ ）
A．∠B=∠A B．AD=BC C．AB=DC D．∠B+∠C=180°
【答案】C
【分析】本题主要考查平行四边形的判定，根据已知条件可得AB∥CD，再根据平行四边形的判定
方法逐项判断即可．
【详解】解：由图可得∠A+∠D=105°+75°=180°，
∴ AB∥CD，
A、添加∠B=∠A，可得∠A+∠B=75°+75°=150°，推出AD与BC不平行，四边形ABCD不是
平行四边形；
B、添加AD=BC，四边形ABCD中一组对边平行，另一组对边相等，不能判定四边形ABCD为平行
四边形；
C、添加AB=DC，四边形ABCD中一组对边平行且相等，能判定四边形ABCD为平行四边形；
D、添加∠B+∠C=180°，可得AB∥CD，四边形ABCD中仅一组对边平行，不能判定四边形
ABCD为平行四边形；
故选：C．
【变式2】如图，在四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，且BO=DO，请你添加的一个条件是，使四边形ABCD是平行四边形．
【答案】AD∥BC（答案不唯一）
【分析】本题考查了平行四边形的判定，平行四边形的判定方法有：①两组对边分别平行的四边形是
平行四边形；②一组对边平行且相等的四边形是平行四边形；③两组对边分别相等的四边形是平行四
边形；④对角线互相平分的四边形是平行四边形；⑤．两组对角分别相等的四边形是平行四边形．
根据平行四边形的判定方法作答即可．
【详解】解：添加条件：AD∥BC，
证明：∵AD∥BC，
∴∠DAO=∠BCO，
在△AOD和△COB中，
{∠DAO=∠BCO
)
∠AOD=∠COB ，
DO=BO
∴△DAO≌△BCO(AAS)
∴AD=BC，
∴四边形ABCD是平行四边形．
故答案为：AD∥BC（答案不唯一）．
【变式3】如图，在四边形ABCD中，DE⊥AC,BF⊥AC，垂足分别为点E，F，连接BE,FD，请你
只添加一个条件（不另加辅助线），使得四边形DFBE为平行四边形，你添加的条件是
【答案】DE=BF（答案不唯一）
【分析】本题考查添加条件使四边形成为平行四边形，根据平行四边形的判定方法，添加条件即可．
【详解】解：添加条件为：DE=BF，
∵DE⊥AC,BF⊥AC，
∴DE∥BF，
∵DE=BF，∴四边形DFBE为平行四边形；
故答案为：DE=BF．
【题型6 平行四边形的判定】
【典例6】已知如图，AB⊥BD，CD⊥BD，AD=BC求证：四边形ABCD是平行四边形．
【答案】见解析
【分析】本题考查了平行四边形的判定，熟练掌握判定定理是解题的关键．利用两组对边相等的四边
形是平行四边形证明即可．
【详解】证明：∵AB⊥BD，CD⊥BD，
∴∠ABD=∠CDB=90°，
在Rt△ABD和Rt△CDB中
{BC=AD)
BD=BD
∴Rt△ABD≌Rt△CDB(HL)，
∴AB＝CD，又AD=BC，
∴四边形ABCD是平行四边形．
【变式1】如图，▱ABCD中，E，F分别是边AB,CD的中点．求证：DE=BF．
【答案】见解析
【分析】本题考查了平行四边形的性质与判定，熟练掌握平行四边形的性质与判定是解题的关键；
先利用平行四边形的性质，推出AB=CD,AB∥CD，再结合题中条件证明四边形DEBF是平行四边
形，可得DE=BF．
【详解】∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB=CD,AB∥CD，即BE∥DF，
又∵E,F分别是边AB,CD的中点，
∴BE=DF，∴四边形DEBF是平行四边形，
∴DE=BF．
【变式2】如图，点B、F、C、E在一条直线上，FB=CE，AB∥DE，AC∥DF．求证：BD=AE．
【答案】见解析
【分析】本题考查了全等三角形的证明以及平行线的性质，由角边角的证明三角形全等并得到四边形
ABDE是平行四边形解决本题的关键．
首先由角边角的方法证明△ABC与△≝¿全等，则可得到AB=DE，再由平行四边形的判定，即“一
组对边平行且相等的四边形为平行四边形”即可证明．
【详解】证明：∵FB=CE，
∴FB+CF=CE+CF，
∴BC=EF，
∵AB∥DE，AC∥DF．
∴∠ABC=∠≝¿，∠ACB=∠DFE．
∴△ABC≌△≝¿．
∴AB=DE．
又∵AB∥DE．
∴四边形ABDE是平行四边形．
∴BD=AE．
【变式3】已知：如图，在平行四边形ABCD中，点E，F分别在边AB，CD上，且AE=CF．
(1)若∠A=70°，求∠C的度数；
(2)求证：四边形DEBF是平行四边形．
【答案】(1)70°
(2)见解析【分析】此题考查了平行四边形的性质和判定，
（1）根据平行四边形的性质求解即可；
（2）首先得到AB=CD，AB∥CD，然后由AE=CF，得到BE=DF，即可得到四边形DEBF是平
行四边形．
【详解】（1）∵四边形ABCD为平行四边形，
∴∠A=∠C．
∵∠A=70°，
∴∠C=70°；
（2）∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AB=CD，AB∥CD，
∵AE=CF，
∴AB−AE=CD−CF，
即BE=DF，
∴四边形DEBF是平行四边形．
【题型7 求与已知三点组成平行四边形的点的个数】
【典例7】在下面的网格图中有A，B，D三个点，其中点A和点D在网格线的交点处，点B在网格线上．
请在本网格图中找出点C，使得以A，B，C，D为顶点的四边形是平行四边形，符合要求的点C有
（ ）
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
【答案】C
【分析】本题考查了平行四边形的判定，根据对角线互相平分的四边形是平行四边形解答即可求解，
掌握平行四边形的判定是解题的关键．
【详解】解：当BD为平行四边形的对角线时，点C的位置如图所示：当AB为平行四边形的对角线时，点C的位置如图所示：
∴符合要求的点C有2个，
故选：C．
【变式1】在平面直角坐标系中，已知点A(−1,0)、B(2,2)、C(0,3)，在坐标平面内找一点D，使得以
A，B，C，D四点组成的四边形为平行四边形，请写出D点坐标 ．
【答案】(3,5)，(−3,1)， (1,−1)
【分析】需要分类讨论：以AB为边的平行四边形和以AB为对角线的平行四边形．
【详解】解：①当AB为边且AB、AC为邻边时：如图
因为点A(−1,0)、B(2,2)，
所以点A先向右平移3个单位，再向上平移2个单位得点B，
相应的点C先向右平移3个单位，再向上平移2个单位得点D，
∵C(0,3)，∴D(3,5)；
②当AB为边且AB、AD为邻边时：如图
因为点B(2,2)、C(0,3)，
所以点B先向左平移2个单位，再向上平移1个单位得点C，
相应的点A先向左平移2个单位，再向上平移1个单位得点D，
∵A(−1,0)，
∴D(−3,1)；
③当AB为对角线时：如图
因为点B(2,2)、C(0,3)，
所以点C先向右平移2个单位，再向下平移1个单位得点B，
相应的点A先向右平移2个单位，再向下平移1个单位得点D，∵A(−1,0)，
∴D(1,−1)；
故答案为：(3,5)，(−3,1)， (1,−1)．
【点睛】本题考查平行四边形的判定及点的平移问题，解题关键是准确作出对应图形，利用数形结合
思想解决．
【变式2】小区有一块空地要栽树，为了美观想栽成平行四边形的形状．已知其中三棵树的位置如图所示，
请根据这三棵树的位置确定出第四棵树的位置，共有几种情况？请在图中画出．
【答案】3种情况，画图见解析
【分析】先连接AB，BC，AC，再分别以A，C为圆心，BC，AB为半径画圆，得到交点E，同法
可得D，再延长EA，DB交于点F，从而可得答案．
【详解】解：如图，第四棵树的位置有3个位置，
【点睛】本题考查的是平行四边形的作图，掌握利用尺规画平行四边形是解本题的关键．
【变式3】△ABC在平面直角坐标系中的位置如图所示（坐标系内正方形网格的单位长度为1）：(1)在网格内画出△ABC关于y轴对称的图形△A B C ；
1 1 1
(2)平面内有一点D，使得以点A，B，C，D构成平行四边形，请直接写出点D的坐标．
【答案】(1)见解析；
(2)(5，4)，(−1,4)或(3,−2)．
【分析】（1）先找到A、B、C点关于y轴的对称点，顺次连接即可；
（2）将点A向右平移3个单位长度得到点D ，将点A向左平移3个单位长度得到点D ，将点B向下
1 2
移动3个单位，再向右移动2个单位得到点D ．
3
【详解】（1）△A B C 如图所示：
1 1 1（2）∵一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，
∴将点A向右平移3个单位长度得到点D (5，4)，将点A向左平移3个单位长度得到点D (−1,4)，
1 2
将点B向下移动3个单位，再向右移动2个单位得到点D (3,−2)．
3
所以，点D的坐标为：(5，4)，(−1,4)或(3,−2)．
【点睛】本题考查画轴对称图形，平行四边形的判定，有一组对边平行且相等的四边形是平行四边形．
【题型8 利用平行四边形的判定与性质求解】
【典例8】如图，在平行四边形▱ABCD中，点M，N分别在边AB,CD上，且AM=CN，连接DM，
BN．
(1)求证：四边形DMBN为平行四边形．
(2)若已知∠A=50°，CN=CB，求∠ABN的度数
【答案】(1)见解析
(2)65°
【分析】本题主要考查平行四边形的判定和性质，等边对等角，熟练掌握相关的判定和性质，是解题
的关键．
（1）根据平行四边形的性质，得到DN∥BM,DN=BM，即可得出结论；
（2）根据平行线的性质得出AB∥DC,∠A=∠C=50°，根据等边对等角，求出1
∠CNB=∠CBN= (180°−50°)=65°，根据平行线的性质求出∠ABN的度数即可．
2
【详解】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥DC,AB=CD，
∵AM=CN，
∴AB−AM=CD−CN，
∴DN=BM，
∴DN∥BM,DN=BM，
∴四边形DMBN是平行四边形；
（2）解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥DC,∠A=∠C=50°，
∵CN=CB，
1
∴∠CNB=∠CBN= (180°−50°)=65°，
2
∵AB∥CD，
∴∠ABN=∠CNB=65°．
【变式1】如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，∠A=∠C．
(1)求证：AD=BC；
(2)若∠A=40°，求∠B的度数．
【答案】(1)证明见解析
(2)140°
【分析】本题考查平行四边形的判定和性质，平行线的判定和性质，
（1）证明四边形ABCD是平行四边形，然后根据平行四边形的性质即可得证；
（2）根据平行线的性质可得答案；
掌握平行四边形的判定和性质是解题的关键．
【详解】（1）证明：如图，连接BD，∵AB∥CD，∠A=∠C，
∴∠ABD=∠CDB，
∵∠ADB=180°−∠ABD−∠A，∠CBD=180°−∠CDB−∠C，
∴∠ADB=∠CBD，
∴AD∥BC，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∴AD=BC；
（2）解：由（1）知：AD∥BC，
又∵∠A=40°，
∴∠ABC=180°−∠A=180°−40°=140°，
即∠ABC的度数为140°．
【变式2】如图，在▱ABCD中，过点B作BM⊥AC，交AC于点E，交CD于点M，过点D作
DN⊥AC，交AC于点F，交AB于点N．
(1)求证：四边形BMDN是平行四边形；
(2)已知AF=12,EM=5，求AN的长．
【答案】(1)见解析
(2)13
【分析】本题考查平行四边形的性质和判定、全等三角形的判定和性质、勾股定理；
（1）证明DN∥BM，DM∥BN即可证明四边形BMDN是平行四边形；
（2）证明△CEM≌△AFN，可得FN=EM=5，在Rt△AFN中，根据勾股定理AN=❑√AF2+FN2
即可解决问题．
【详解】（1）解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴CD∥AB，∵BM⊥AC，DN⊥AC，
∴DN∥BM，
∴四边形BMDN是平行四边形；
（2）∵四边形BMDN是平行四边形，
∴DM=BN，
∵CD=AB，CD∥AB，
∴CM=AN，∠MCE=∠NAF，
∵∠CEM=∠AFN=90°，
∴△CEM≌△AFN(AAS)，
∴FN=EM=5，
在Rt△AFN中，AN=❑√AF2+FN2=❑√52+122=13．
【变式3】如图，在▱ABCD中，E，F分别是AD，BC边上的点，且AE=CF．
(1)求证：四边形BEDF是平行四边形；
(2)连接CE，若CE平分∠DCB，CF=2，DE=3，求▱ABCD的周长．
【答案】(1)见解析
(2)16
【分析】本题考查了平行四边形的判定与性质，角平分线的定义、等角对等边，熟练掌握以上知识点
并灵活运用是解此题的关键．
（1）通过证明“ED=FB，ED∥FB”即可证得四边形BEDF是平行四边形；
（2）证明∠DCE=∠DEC，得出DC=DE=3，从而得出AB=DC=3，再求出
AD=AE+DE=2+3=5，最后结合平行四边形的性质即可得出答案．
【详解】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥CB，AD=CB．
∵AE=CF，
∴AD−AE=CB−CF，
∴ED=FB．∵ED∥FB，
∴四边形BEDF是平行四边形；
（2）解：∵AD∥CB，
∴∠DEC=∠BCE，
∵CE平分∠DCB，
∴∠DCE=∠BCE，
∴∠DCE=∠DEC，
∴DC=DE=3．
∴AB=DC=3，
∴AE=CF=2，
∴AD=AE+DE=2+3=5．
∴AB+DC+CB+AD=3+3+5+5=16，
∴平行四边形ABCD的周长是16．
知识点4：三角形的中位线定理
1.定义：连接三角形两边中点的线段，叫做三角形的中位线（一个三角形有3条中位线）。
2.核心定理：三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半。
3.推论：三条中位线围成的三角形，周长是原三角形的 ，面积是原三角形的
【题型9 与三角形中位线有关的求解问题】
【典例9】如图，点D，E，F分别为△ABC三边的中点，若△≝¿的周长为5，则△ABC的周长为（ ）
A．12 B．10 C．5 D．2．5【答案】B
【分析】本题考查了三角形的中位线的性质的应用，能根据三角形的中位线性质得出BC=2DF、
AC=2DE、AB=2EF是解此题的关键．根据三角形的中位线性质得出BC=2DF，AC=2DE，
AB=2EF，即可求出答案．
【详解】解：∵点D、E、F分别为△ABC三边AB、BC、AC的中点，
∴BC=2DF，AC=2DE，AB=2EF，
∵△≝¿的周长为5，
∴DF+DE+EF=5，
∴AB+BC+AC=10，
即△ABC的周长为10.
故选：B．
【变式1】如图，为测量池塘两端A、B的距离，小明在池塘外选取了一个点C，使得点C可以直接到达A、
B，他分别找到AC、BC的中点D、E，并且测得DE的长为16米，则池塘两端A、B的距离为（ ）
A．8米 B．20米 C．25米 D．32米
【答案】D
【分析】本题考查三角形中位线的定义，三角形中位线定理，掌握三角形中位线定理是解题关键．
根据题意判定DE是△ABC的中位线，再利用三角形中位线定理，得出“AB=2DE”然后代入DE的
长度计算出AB的距离．
【详解】解：∵ D、E分别为AC、BC的中点，
∴ DE是△ABC的中位线，
∴ AB=2DE，
∵ DE=16米，
∴ AB=2×16=32（米）．
故选：D．
【变式2】如图，D是△ABC内一点，连接DA，DB，DC，E，F，G，H分别为AB，BD，CD，AC
的中点．若BC=10，AD=6，则四边形EFGH的周长是（ ）A．8 B．12 C．16 D．20
【答案】C
【分析】本题主要考查了三角形中位线定理，根据三角形中位线定理可求出EF，EH，GH，FG
的长，再根据四边形周长计算公式可得答案．
【详解】解；∵E，F，G，H分别为AB，BD，CD，AC的中点，
∴EF，EH，GH，FG分别是△ABD，△ABC，△ACD，△BCD的中位线，
1 1 1 1
∴EF= AD=3，EH= BC=5，GH= AD=3，FG= BC=5，
2 2 2 2
∴四边形EFGH的周长=EF+FG+GH+EH=3+3+5+5=16，
故选：C．
【变式3】如图，DE是△ABC的中位线，∠ABC的角平分线交DE于点F，AB=6，BC=9，则EF的长
为（ ）
A．0.5 B．1 C．1.5 D．2
【答案】C
【分析】本题考查的是三角形中位线定理、平行线的性质，解题的关键是掌握三角形的中位线平行于
第三边，且等于第三边的一半．
1 1
根据三角形中位线定理得到DE∥BC，DE= BC=4.5，BD=AD= AB=3，根据等腰三角形的
2 2
判定定理求出DF，计算即可．
【详解】解：∵DE是△ABC的中位线，
1 1
∴DE∥BC，DE= BC=4.5，BD=AD= AB=3，
2 2
∴∠DFB=∠FBC，∵BF平分∠ABC，
∴∠DBF=∠FBC，
∴∠DFB=∠DBF，
∴DF=BD=3，
∴EF=DE−DF=4.5−3=1.5，
故选C．
1．如图，在▱ABCD中，AB=4，BC=5，则AD的值为（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
【答案】B
【分析】本题考查了平行四边形的性质，根据平行四边形的对边相等即可求解，掌握平行四边形的性
质是解题的关键．
【详解】解：∵在▱ABCD中，AB=4，BC=5，
∴AD=BC=5，
故选：B．
2．如图，在▱ABCD中，若∠A=138°，则∠C的度数为（ ）
A．148° B．42° C．120° D．138°
【答案】D
【分析】本题主要考查了平行四边形的性质，根据平行四边形的对角相等，进行解答即可．
【详解】解：∵四边形ABCD为平行四边形，
∴∠C=∠A，
∵∠A=138°，
∴∠C=138°．故选：D．
3．如图，在▱ABCD中，点O是对角线AC，BD的交点，下列结论错误的是（ ）
A．AC=BD B．AD∥BC C．OB=OD D．AD=BC
【答案】A
【分析】本题考查了平行四边形的性质，熟练掌握平行四边形的性质是解答本题的关键．平行四边形
的性质有：平行四边形对边平行且相等；平行四边形对角相等，邻角互补；平行四边形的对角线互相
平分；平行四边形是中心对称图形，对称中心是两条对角线的交点．根据平行四边形的性质判断即可.
【详解】解：∵▱ABCD，
∴AD∥BC，OB=OD，AD=BC，
AC=BD不一定成立，结论A错误，符合题意．
故选：A．
4．以下条件不能判断四边形ABCD是平行四边形的是（ ）
A．AB=CD,BC=AD B．AB=CD,AB ∥CD
C．∠A=∠C,∠B=∠D D．AB=CD,AD ∥BC
【答案】D
【分析】本题考查了平行四边形的判定，解题的关键是掌握平行四边形的判定方法．
根据平行四边形的判定方法一一判断即可．
【详解】解：A：由AB=CD，BC=AD，可以推出四边形ABCD是平行四边形，故该选项不符合题
意；
B：由AB=CD，AB∥CD，可以推出四边形ABCD是平行四边形，故该选项不符合题意；
C：由∠A=∠C，∠B=∠D，可以推出四边形ABCD是平行四边形，故该选项不符合题意；
D：由AB=CD，AD∥BC，不可以推出四边形ABCD是平行四边形，可能是等腰梯形，故该选项符
合题意．
故选：D ．
5．如图，在▱ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，AC⊥BC．若BD=8，AC=4，则AB的长为
（ ）A．❑√22 B．2❑√7 C．❑√30 D．2❑√13
【答案】B
1
【分析】本题考查平行四边形的性质，勾股定理，先根据平行四边形的性质得出AO=OC= AC=2，
2
1
BO=OD= BD=4，再根据勾股定理得出BC=❑√BO2−OC2=2❑√3，最后根据勾股定理即可得出
2
答案.
【详解】解：∵在▱ABCD中，BD=8，AC=4，
1 1 1 1
∴AO=OC= AC= ×4=2，BO=OD= BD= ×8=4，
2 2 2 2
∴BC=❑√BO2−OC2=❑√42−22=2❑√3，
∴AB=❑√AC2+BC2=❑√42+(2❑√3)❑ 2=2❑√7，
故选：B.
6．如图，在▱ABCD中，AB=7，AD=5，则▱ABCD的周长为 ．
【答案】24
【分析】本题考查了平行四边形的性质，熟练掌握平行四边形的性质是解题关键．根据平行四边形的
性质可得CD=AB=7,BC=AD=5，由此即可得．
【详解】解：∵在▱ABCD中，AB=7，AD=5，
∴CD=AB=7,BC=AD=5，
∴▱ABCD的周长为AB+AD+CD+BC=7+5+7+5=24，
故答案为：24．
7．如图，在平面直角坐标系中，平行四边形ABCD的顶点A(−3,2)，B(−1,−2)，C(3,−2)，则点D的坐标为 ．
【答案】(1,2)
【分析】本题考查平行四边形的性质，坐标与性质，先求出BC=3−(−1)=4，根据平行四边形的性
质得出AD=BC=4，进而得出点D的横坐标为−3+4=1，纵坐标与A相同为2，即可得出答案．
【详解】解：∵平行四边形ABCD的顶点A(−3,2)，B(−1,−2)，C(3,−2)，
∴AB∥CD，AD∥BC，
∴BC=3−(−1)=4，
∴AD=BC=4，
∴点D的横坐标为−3+4=1，纵坐标与A相同为2，
∴点D的坐标为(1,2)
故答案为：(1,2)．
8.如图，MN∥AB，P，Q为直线MN上的任意两点，若S =5，则S = ．
△ABP △ABQ
【答案】5
【分析】本题考查了三角形的面积，平行线间的距离，根据平行线间的距离相等可以得出△ABP和
△ABQ的面积相等，从而得出答案．
【详解】解：∵MN∥AB，
∴MN与AB之间的距离相等，
∴S =S =5，
△ABQ △ABP
故答案为：5．
9．如图，∠1=∠2，AD∥BC．求证：四边形ABCD是平行四边形．【答案】证明过程见详解
【分析】本题主要考查平行四边形的判定，掌握其判定是关键，根据内错角相等，两直线平行得到
AB∥CD，结合题意，根据两组对边平行的四边形是平行四边形即可求解．
【详解】证明：∵∠1=∠2，
∴AB∥CD，
又∵AD∥BC，
∴四边形ABCD是平行四边形．
10．如图，四边形ABCD是平行四边形，点E、F分别在边BC、AD上，且BE=DF，连接AC、EF、
AE、CF，AC与EF相交于点P，求证：PA=PC．
【答案】证明过程见详解
【分析】本题考查了平行四边形的判定与性质，熟练掌握性质定理和判定定理是解题的关键，平行四
边形的五种判定方法与平行四边形的性质相呼应，每种方法都对应着一种性质，在应用时应注意它们
的区别与联系．
根据DF=EB可得AF=CE且平行，证明四边形AECF是平行四边形，再根据平行四边形的性质∶对
角线互相平分得到AC与EF互相平分即可得结论．
【详解】证明∶ ∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD=CB，AD∥CB，
∵BE=DF，
∴AD−DF=BC−EB，
∴AF=CE，
∵AD∥BC，
∴四边形AECF是平行四边形，
∴PA=PC．11．如图，在▱ABCD中，点E、F分别在边BC、AD上，且BE=DF，连结AE，CF．
(1)求证：四边形AECF是平行四边形；
(2)连结AC，若AC平分∠EAF，∠ABC=90°，AB=12，BC=16，求AF的长．
【答案】(1)见解析
(2)AF=12.5
【分析】本题考查了平行四边形的判定与性质，勾股定理，正确掌握相关性质内容是解题的关键．
（1）先结合四边形ABCD是平行四边形，得AD=BC，AD∥BC，又因为BE=DF，故AF=EC，
即可证明四边形AECF是平行四边形；
（2）由（1）得四边形AECF是平行四边形，结合AC平分∠EAF，得∠EAC=∠FAC=∠ACE，
则AE=CE=AF，把数值代入AB2+BE2=AE2进行计算，即可作答．
【详解】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD=BC，AD∥BC，
∵BE=DF，
∴AD−DF=BC−BE，
∴AF=EC，
∴四边形AECF是平行四边形；
（2）解：由（1）得四边形AECF是平行四边形，
∴AF∥CE，
∴∠FAC=∠ACE，
∵AC平分∠EAF，
∴∠EAC=∠FAC=∠ACE，
∴AE=CE=AF，
设AF=AE=EC=x，
∵∠ABC=90°，
∴AB2+BE2=AE2，
∴122+(16−x) 2=x2，
∴x=12.5，∴AF=12.5．
