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第六章 平面向量及其应用
6.2.2向量的减法运算
一、基础巩固
1．设非零向量 满足| ＋ |＝| － |，则（ ）
A． ⊥ B．| |＝| |
C． ∥ D．| |>| |
【答案】A
【详解】
利用向量加法的平行四边形法则．
在 ABCD中，设 ＝ ， ＝ ，
▱
由| ＋ |＝| － |知 ，如图所示.
从而四边形ABCD为矩形，即AB⊥AD，
故 ⊥ .
.
2．在五边形 中（如图）， （ ）A． B． C． D．
【答案】B
【详解】
.
3．如图， 分别为正方形 的边 的中点，设 ，则 （ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【详解】。
4．若 、 、 、 是平面内任意四点，给出下列式子：① ，②
，③ ．其中正确的有（ ）．
A．3个 B．2个 C．1个 D．0个
【答案】B
详解：①式的等价式是 = - ，左边= + ，右边= + ，不一定相等；
② 的等价式是： - = - ，左边=右边= ，故正确；
③ 的等价式是： = + ，左边=右边= ，故正确；
5．点 是平行四边形 的两条对角线的交点，则 等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】
数形结合可知：
.
6．如图，在空间四边形 中， ， ， ．点 在 上，且 ，
是 的中点，则 =（ ）A． B．
C． D．
【答案】B
【详解】
由题，在空间四边形 ， ， ， ．
点 在 上，且 ， 是 的中点，则 ．
所以
7．在平行四边形 中， ，则必有（ ）.
A． B． 或
C． 是矩形 D． 是正方形
【答案】C
【详解】
在平行四边形 中，
因为 ，
所以 ，即对角线相等，因为对角线相等的平行四边形是矩形，
所以 是矩形.
8．在△ABC中，N是AC边上一点，且 ＝ ，P是BN上的一点，若 ＝m ＋ ，则实
数m的值为( )
A． B． C．1 D．3
【答案】B
【详解】
设 ，
所以 所以
9．（多选）下列命题不正确的是（ ）
A．单位向量都相等
B．若 与 是共线向量， 与 (cid:3) ⃗ ⃗是共线向量，则 与 是共线向量
C． ，则 ⊥
D．若 与 单位向量，则| |=| |
【答案】AB
【详解】
长度为1的所有向量都称之为单位向量，方向可能不同，故A错误;
因为零向量与任何向量都共线，当 ， 与 可以为任意向量，故B错误;
，设 与 起点相同，利用平行四边形法则做出 ，如图所示，根据向量加法
和减法的几何意义可知此平行四边形对角线相等，故为矩形，所以邻边垂直，即 ⊥若 与 单位向量，则 ， |=| |
10.（多选）下列命题不正确的是（ ）
A．单位向量都相等
B．若 与 是共线向量， 与 是共线向量，则 与 是共线向量
C． ，则
D．若 与 是单位向量，则
【答案】AB.
【详解】
解：对A，D由单位向量的定义知：单位向量的模为 ，方向是任意的，故A错误，D正确；
对B，当 时， 与 可以不共线，故B错误；
对D， ，即对角线相等，此时四边形为矩形，邻边垂直，故D正确.
11．（多选）下列各式中，结果为零向量的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】BD
【详解】
对于选项 ： ，选项 不正确；
对于选项 ： ，选项 正确；对于选项 ： ，选项 不正确；
对于选项 ：
选项 正确.
12．（多选）已知正方体 的中心为 ，则下列结论中正确的有（ ）
A． 与 是一对相反向量
B． 与 是一对相反向量
C． 与 是一对相反向量
D． 与 是一对相反向量
【答案】ACD
【详解】
∵ 为正方体的中心，∴ ， ，故 ，
同理可得 ，
故 ，∴A、C正确；
∵ ， ，
∴ 与 是两个相等的向量，∴B不正确；
∵ ， ，
∴ ，∴D正确.
二、拓展提升
13．作图验证： ．
【答案】见解析
【详解】当 中至少有一个为 时， 显然成立（图略）；
当 不共线时，作图如图（1），显然 ；
当 共线时，同理可作图如图（2）所示．
14．如图，在 中， ，点 ， 分别在边 上，且
.
（1）若 ，试用 ， 线性表示 ；
（2）在（1）的条件下，求 的值.
【答案】（1） ；（2） .
【详解】
解：（1）∵ ，∴ ，
又 ，∴ .（2）由（1）可得 ，
∵ ，
∴
.
15．如图，已知空间四边形 ，连接 ， ， ， ， 分别是 ， ， 的中点，请
化简以下式子，并在图中标出化简结果.
（1） ；
（2） .
【答案】（1） ；作图见解析；（2） ；作图见解析.
【详解】
（1） ，如图中向量 .
（2） ，
如图中向量 .
