文档文本内容
12.1.1 同底数幂的乘法..........................................................................................................................................1
12.1.2 《幂的乘方》.............................................................................................................................................5
12.1 积的乘方.........................................................................................................................................................9
12.1.4 同底数幂的除法.......................................................................................................................................11
12.1.1 同底数幂的乘法
教学目标
1、 理解法则中“底数不变、指数相加”的意义；能熟练地应用同底数幂乘法法则进行计算。
2、从同底数幂乘法法则的推导过程中,培养学生观察、发现、归纳、概括、猜想等探究创新能力和
逻辑推理能力。
重点
同底数幂的乘法法则及法则的正确应用。
难点
同底数幂的乘法法则的推导。
教学流程
一、复习与回顾
回忆乘方、幂等概念。
二、创设情境，引出课题，探索新知
师：看来同学们对以前所学的知识还有印象。哎，有一件事情虽然过去两年多了，但是我相信大家一定印
象深刻——那就是2008 年北京奥运会。你们还记得奥运场馆的标志性建筑是什么吗？——对，鸟巢和
水立方！非常壮观，被列入北京十大建筑，同时也是世界上著名的节能环保建筑。你们认为他们最漂亮
的是什么时候呢？（出示鸟巢和水立方的夜景图）到了晚上他们就更漂亮了，是因为什么？（灯光）可能
大家有所不知，这里所需要的灯光大部分都不是来自发电厂，而是来自太阳能。
（出示: 中国奥委会为了把2008 年北京奥运会办成一个环保的奥运会，很多建筑都做了节能的设计，据
统计：奥运场馆一平方千米的土地上，一年内从太阳得到的能量相当于燃烧108千克煤所产生的能量。那
么105平方千米的土地上，一年内从太阳得到的能量相当于燃烧多少千克煤？）
【利用鸟巢和水立方夜景图及例1，一方面可以集中学生注意力，使之较快进入课堂学习状态，另一方面
不失时机加深学生的爱国主义教育和环保意识】
师：你们能列式吗？（学生讨论得出108×105）
师：108、105 我们称之为什么？（幂）
师：我们再来观察底数有什么特点？
生1：都是10
生2；是一样的
1
师：像这样底数相同的两个幂相乘的运算，我们把它叫做同底数幂的乘法。（揭示课题）
（一）合作学习、探索新知
1、探索 108×105 等于多少？（鼓励学生大胆猜想？）
学生可能会出现以下几种情况： ① 10013 ②1040 ③10040 ④1013
【猜想产生疑问，激发兴趣，为学生推导公式作好情感铺垫。】
师：那到底谁得猜想是正确呢？小组合作讨论（师提示：根据幂的意义）
生回答师板演：
10
8
× 10
5
=（10× 10×…×10）×（10 × 10×…×10）
（8 个10） （5 个10）
=10×10×…×10
13 个10
=10
13
即：10
8
× 10
5
=10
8+5
【师给出适当的提示后，相信学生能在已有的知识基础上，利用集体的智慧，找出猜想中的正确答案，并
通过“转化”思想得出结论，也找到了正确的推理过程。】
2、出示问题：（学生口答，课件显示过程）
a
6
· a
9
=（a · a…a）×（a · a…a）
6 个a 9 个a
=a · a…a
15 个a
＝a15
即：a
6
· a
9
=a
6+9
3 、观察以上两个式子，你有什么发现？( )
师：这是两个特殊的式子，他们的指数分别是8,5；6,9。同底的两数任何次幂相乘，都是底数不变，指数
相加吗？能找到一个具有一般性，代表性的式子吗？
a
m
· a
n
怎么计算？
2
【a
6
· a
9
和 a
m
· a
n
的推导过程由于10
8
· 10
5
打好了坚实的基础而且推导过程也重复，所
以我用填空的形式简化公式的推导过程，即避免了重复教学过程，也节约时间，同时也能达到让学生经
历从具体到一般的推导过程。】
板书：a
m
· a
n
= a
m+n
(m、n 都是正整数)
师补充解释m、n 都是正整数的原因，并请学生用自己的语言概括该结论，之后全体学生用精炼的文
字概括表述。
板书：同底数幂相乘底数不变，指数相加。
【多名学生参与到全班学生参与，经历从理解法则的含义的概括到用十分准确简练的语言概括过程，从
而发展全体学生数学语言和提高学生的表达能力。】
出示:1、计算下列各式，结果用幂的形式表示：
（1）（-9）
2
×（-9）
5
（2）x
m
·x
3m+1
（3）（x+y）
3
×（x+y）
教学（1）指名回答，师板演完整步骤
（2）（3）学生独立完成，要求书写完整的解答步骤。
师概括底数a 可以是任意有理数，也可以是单项式或多项式。
出示:2、计算下列各式，结果用幂的形式表示：
（1）a
·a
3
·a
6
（2）（-m）
3
×（-m）
5
×（-m）
教学（1）学生齐答，师板演完整步骤
（2）学生独立完成后师提问：你对法则有什么新的认识吗？
出示:3、计算下列各式，结果用幂的形式表示：
（1） -m
2
×（-m）
6
（2）a
·（-a）
2
·（-a）
3
教学 ：小组合作，讨论完成。
问：此类题有何特征？解题时应注意哪些问题？
第1 题（1）的教学活动目的让学生掌握解题的书写步骤，
（2）
（3）让学生独立完成进一步巩固解题的
书写步骤，第3 题小组合作解题。本例的教学活动既有教师的引导，学生独立思考又有学生的合作交流，
从而优化学生的思维体现了思维的合理化、严格化、程序化，特别是小组合作，能使学生在同伴交流过程
中也培养了团体合作意识。
师问： a
8
+a
8
等于多少？
生可能会快速回答：等于a
16
师追问 a
8
a
8
等于多少？
生：等于a
16
3
生在回答a
16
时立即发现了问题
师再追问：那么说a
8
+a
8
= a
8
a
8
?
生思考片刻：
a
8
+a
8
=2a
8
该教学活动让学生产生思想冲突，并又教师的追问使他们自己产生疑问，再让学生经过“比较”解
决冲突，也避免了以后出现同类项与同底数幂相乘产生混淆。
三、巩固新知
课件出示下面计算对吗？如果不对，应怎样改正？
（ ）
（ ）
（ ）
师：思考一至二分钟举手回答，可挑选自己喜欢的题目回答。
给学生充足的思维空间，养成思考习惯，让学生自主挑选回答主要是让后进生也能在课堂上体验成
功，有成就感；且该教学活动亦能培养学生仔细观察问题的习惯。
四、活用法则
课件出示：已知 am = 3 , an =5 , 求 am+n 的值。
（1）让学生在新知识的基础上结合旧知识解题。培养学生综合分析。同时也进一步巩固了同底数幂
乘法公式的理解和应用。
五、归纳小结
1、同桌之间用今天学到的知识，每人出一个最好的题让同伴解答。看谁出题最好、又看谁解答最
棒！
2、叙述本节课的收获。
另一方式的归纳总结法、既能让学生自己总结应用课堂所学的知识，也能让学生体验成功的喜悦。
教学反思：
本课我采用探究合作教学法进行教学，充分发挥了学生的主体作用，积极为学生创设一个和谐宽松
4
的情境，学生在自主的空间里自由的奔放地想象思维和学习取得交好的效果。
在这次教学的导入环节，我利用多媒体为学生创设美观热点生活情境，充分调动了学生的兴趣和积
极性；在同底数幂乘法公式推导过程中学生思维经历了猜测、质疑。推理论证的科学发现过程，也渗透了
转化和从特殊到一般的数学辩论思想，充分体现了自主探究的学习方式；而在巩固深化环节上精心设计
开放式题目。通过学生独立思考，小组合作等手段，让学生个个动手、人人参与，充分调动学生学习数学
的积极性。同时也使各层次的学生有不同的收获。
总之，学生的思维空间需要我们去开拓，学生身上闪耀出的智慧火花也另我倍受鼓舞。
12.1.2 《幂的乘方》
教学目标
知识与技能：
1. 会推导幂的乘方法则，并还能运用幂的乘方性质进行有关计算。
2. 幂的乘方与同底数幂的乘法的正确区分。
过程与方法
通过对现实事物如正方体的体积的认识初步了解幂的乘方的形式，体会幂的乘方的应用价值。
情感﹑态度与价值观
通过师生共同交流，学生自主发言，渗透数学知识解决实际问 题，激发学生学习的兴趣，帮学生树立自
信心。
学情介绍
从学生的认知规律看，他们已经学习了乘方的意义﹑幂的意义以及同底数幂的乘法，幂的乘方其实就是
以上的结合，从教学中引导学生讨论交流。
内容分析
本节课是在前面学习的基础上进一步学习幂的乘方，让学生体会乘方运算是一种比乘法还要高级的运
算，提高学生学习兴趣。
教学重难点
重点：幂的乘方法则的理解和应用。
难点：幂的乘方与同底数幂的乘法运算性质的区分。
教学方法及教具准备
教学方法：思考-探索-发现-归纳
教具准备：多媒体演示
5
教学过程
一﹑复习
1﹑学生叙述同底数幂的乘法运算法则，并用字母表示。
2﹑
=
（m ﹑ n 都是正整数）
用语言叙述为：同底数幂相乘，底数不变，指数相加。
3﹑复习练习
⑴
×
=____ ⑵
×
=_____
⑶
×
=____ ⑷
·
·
·
=_____
二﹑知识准备
1﹑一个正方体的棱长是10cm，则它的体积是多少？
=10×10×10
2﹑一个正方体的棱长是
cm，则它的体积是多少？
3﹑100 个
相乘怎么表示？又该怎么计算呢？
=
×
×…×
（100 个
）
4﹑猜一猜
=
·
···
（乘方的意义）
=
（同底数幂的乘法法则）
=
（乘法的意义）
三﹑新授
1﹑猜一猜
=
(m,n 为正整数)
推导：
=
·
···
（n 个
）
=
（n 个m）
=
结论：幂 的 乘 方的运算 法 则:
=
(m,n 为正整数)
用语言叙述：幂的乘方，底数不变，指数相乘。
2﹑师生共同完成。
(1)
（2）
6
（3）
（4）-
解：
（1）原式=
=
（2）原式=
=
（3）原式=
=
（4）原式=-
3﹑学生练习
（1）
（2）
m 是正整数
（3）
（4）
（5）
（6）
4﹑判断正误，错误的请改正。
（1）
·
=
（2）
(3)
·
(4)
在讲解的过程中强调同底数幂的乘法与幂的乘方的区别，以及符号的注意。
5﹑计算
（1）
（2）
·
这两题是混合运算，先乘方后乘法。
6﹑公式的逆向应用
若
则
=
例如 ：
=
=
=
=
·
·
7﹑公式逆用的例题
×
。
7
四﹑知识比较
运算名称
运算形式
运算法则
两种运算混合时的运算顺
序
底数
指数
同底数幂的乘法
·
不变
相加
先乘方，后乘法
幂的乘方
不变
相乘
先乘方，后乘法
五﹑板书设计
幂的乘方
一﹑复习
幂的运算性质1
=
(m,n 为正整数)
同底数幂相乘，底数不变，指数相加
二﹑猜一猜
=
(m,n 为正整数)
推导：
=
·
···
（n 个
）
=
（n 个m）
=
结论：幂 的 乘 方的运算 法
则:
=
(m,n 为正整数)
幂的乘方，底数不变，指数相
乘。
三﹑练习（见投影）
六﹑课堂小结
本节课学习了幂的运算的第二种，幂的乘方，掌握新知识的同时，但不能混淆，也就是说不要把幂
的乘方与同底数幂的乘法搞混。另一方面掌握基本知识的同时也要学会灵活运用。
8
12.1 积的乘方
教学目标：理解掌握和运用积的乘方法则，会进行积的乘方运算，进而会进行混合运算。
重点：积的乘方是整式乘除运算的基础，本节课的重点是积的乘方运算。
难点：弄清幂的运算的根据，避免各种不同运算法则的混淆。突出幂的运算法则的基础性，
注意区别与联系。
教学过程
一、回顾与思考
1、口述同底数幂的乘法运算法则。
2、口述幂的乘方运算法则。
3、计算：
（1）
(2) a
(3)
二、计算观察，探索规律
做一做：（1）（ab）2=(ab)·(ab)=(aa)·(bb) = a( )b( )
(2) (ab)3= = =a( )b( )
(3) (ab)4= = =a( )b( )
提出问题：
（1）同学们通过上述这几道题的计算 、观察一下，你能得到什么规律？
（2）如果设n 为正整数，将上述的指数改成n 即：
,其结果是什么呢？
9
（ab）n＝
＝ • ＝
即 （ab）n ＝ （n 为正整数）
这就是说：
积的乘方，等于把积的每一个因式 ，再把 相乘。
三、例题：
例3 计算：
（1）（2b）3； （2）
（2×a3）2； （3）
（－a）3； （4）（－3x）4
解 ： （1）（2b）3＝23b3＝8b3；
（2）（2×a3）2＝ ＝4a6
（3）（－a）3＝ ＝
（4）（－3x）4＝ ＝
四、随堂练习：
1、P21 页 练习1、2 题。
2、计算：
（1）（3ab）3; （2）（－5x2y4）3; （3）[(x+y)·(x+y)2]3;
（4）－[－(－a2)3]2; （5）(－
a2x4)2－(2ax2)4; （6）－a3·a4·a+(a2)4+(－2a4)2;
3、探索计算：
（1） 23×6×53 （2）（－
）2002·（－
）2004
4、已知am=2,bn=3,求a2m+b3n的值。
五、小结
积的乘方（ab）n ＝ a nbn （n 为正整数），使用范围：底数是积的乘方。
在运用幂的运算法则时，底数和指数可以是数也可以整式，对三个以上因式的积也适用。
注意前面学过的法则与新法则的区别与联系。
10
12.1.4 同底数幂的除法
教学目标：
使学生经历同底数幂的除法性质的探索过程。
使学生掌握同底数幂的除法性质，会用同底数幂除法法则进行计算。
重点难点：
1、难点：同底数幂除法法则及应用
2、重点：同底数幂的除法法则的概括。
教学过程：
引入
现要装配30 台机器，在
装配好6 台后，采用了新的技
术，每天的工作效率提高了一倍，结果共用了3 天完成任务。如果设原来每天能装配x 台机器，那么不难
列出方程：
3
2
6
30
6
x
x
这个方程左边的式子已不再是整式，这就涉及到分式与分式方程
的问题.
探索同底数幂除法法则：
我们知道同底数幂的乘法法
11
则：
n
m
n
m
a
a
a
，那么同底数幂怎么相除呢？
2、试一试
用你熟悉的方法计算：
（1）
2
5
2
2
________；（2）
＝
3
7
10
10
________；
（3）
3
7
a
a
________（a≠0）
3、概 括
由上
面的计算，我们发现:
2
5
2
2
23= ;
＝
3
7
10
10
104= ;
3
7
a
a
.
在学生讨论、计算的基础上，教师可提问，你能
发现什
么？
由学生回答，教师板书，发现
2
5
2
2
23=25-2 ；
＝
3
7
10
10
104=107
-3;
3
7
a
a
a4=a7-3.
你能根据除法的意义来
说明这些运算结果是怎么得到
的
吗？
分组讨论：各组选出一个代表来回答问题，师生达成共知识，除法与乘法是逆运算，所以除法的问
题实际上“已知乘积和一个乘数，去求另一个乘数”的问题，于是上面的问题可以转化为乘法问题
加以解决。即
（ ）×
2
2
=
52
（ ）×
3
10 =
7
10 （ ）×
3
a =
7
a
一般
地，设m 、n 为正整数，m>n ，a≠0 ，有
n
m
n
m
a
a
a
.
这就是说，同底数幂相除，底数不变，指数相减。
12
4、利用除法的意义来说明这个法则的道理。（让学生仿照问题3 的解决过程，讲清道理，并请几位
同学业回答问题，教师加以评析）
因为除
法是乘法的逆运算，
am÷
a
n=am-n 实际上
是要求一个式子（ ），使 an·（ ）= am
而由同底数幂的乘法法则，可知 an·am-n＝an+(m-n) =am,
所
以要求的式（ ），即商为am-n ，从而有
n
m
n
m
a
a
a
.
一、
例题讲解与练习巩固
例1 计算：
（1）
a8÷a3; （2 ）(-
a)10÷(-a) 3;
（3）(2a)7÷(2a)4; （4）x6÷x
例2 计算：（1
）
(2)(-x)6 ÷x2 (3)（a+b）4÷(a+b)2
例3 计算： (-a2)4÷(a3)2×a4
例4
计算：（1）273×92÷312 （2）
说明： 底数不同的情况下不能运用同底数幂的除法法则计算.
练习1 ：计算: x8÷x4 = ， b5÷b5 = 6y3÷y3 = (-
x)4
÷(-x)
=
13
(
ab)6÷
(ab
)2= ， yn+2÷yn = ， (m3
)4 ÷(m2)3 =
，
2
52÷52 = ， y9 ÷(y7 ÷y3) =
练习2：选择题
1、下面运算正确的是( )
A ．
6
3
3
2x
x
x
B ．
6
2
12
x
x
x
C ．
x
x
x
n
n
1
2
D．
20
4
5)
(
x
x
2．在下列计算中，①
4
2
2
5
2
3
a
a
a
②
6
3
2
6
3
2
a
a
a
③
a
a
a
2
3
)
(
)
(
④
6
3
2
3
3
6
)
2
(
2
a
a
a
a
正确的有（ ）个。
A、1 B、2 C、3 D、4
例4：讨论
探索：（1）已知xm=64.xn=8，求xm-n （2）已
知
，
，求
本课小结：
运用同底数幂的除法性质时应注意以下问题：
（1）运用法则的关键是看底数是否相同，而指数相减的是指被除式的指数减去除式的指数；
（2）因为零不能作除数，所以底数a
≠0，这是此性
质成立的前提条件；
（3）注意指数“1”的情况，如
，不能把 的指数当做0；
（4）多个同底数幂相除时，应按顺序计算.
布置作业：
14
15
