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平方根和开平方（基础）
【学习目标】
1．了解平方根、算术平方根的概念，会用根号表示数的平方根．
2．了解开方与乘方互为逆运算，会用开方运算求某些非负数的平方根，会用计算器求平方根．
【要点梳理】
要点一、平方根和算术平方根的概念
1.平方根的定义
如果
，那么
叫做
的平方根.求一个数
的平方根的运算，叫做开平方.
叫
做被开方数.平方与开平方互为逆运算.
2.算术平方根的定义
正数
的两个平方根可以用“
”表示，其中
表示
的正平方根（又叫算术平方
根），读作“根号
”；
表示
的负平方根，读作“负根号
”.
要点诠释：当式子
有意义时，
一定表示一个非负数，即
≥0，
≥0.
要点二、平方根和算术平方根的区别与联系
1．区别：（1）定义不同；（2）结果不同：
和
2．联系：（1）平方根包含算术平方根；
（2）被开方数都是非负数；
（3）0 的平方根和算术平方根均为0．
要点诠释：
（1）正数的平方根有两个，它们互为相反数，其中正的那个叫它的算术平方根；
负数没有平方根．
（2）正数的两个平方根互为相反数，根据它的算术平方根可以立即写出它的
另一个平方根.因此，我们可以利用算术平方根来研究平方根.
要点三、平方根的性质
要点四、平方根小数点位数移动规律
被开方数的小数点向右或者向左移动2 位，它的算术平方根的小数点就相应地向右或者
向左移动1 位.例如：
，
，
，
.
【典型例题】
类型一、平方根和算术平方根的概念
1、下列说法错误的是（ ）
A.5 是25 的算术平方根 B.l 是l 的一个平方根
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C.
的平方根是－4 D.0 的平方根与算术平方根都是0
【答案】C；
【解析】利用平方根和算术平方根的定义判定得出正确选项．
A.因为
＝5，所以本说法正确；
B.因为±
＝±1，所以l 是l 的一个平方根说法正确；
C.因为±
＝±
＝±4，所以本说法错误；
D.因为
＝0，
＝0，所以本说法正确；
【总结升华】此题主要考查了平方根、算术平方根的定义，关键是明确运用好定义解决问题．
举一反三：
【变式】判断下列各题正误，并将错误改正：
（1）
没有平方根．（ ）
（2）
．（ ）
（3）
的平方根是
．（ ）
（4）
是
的算术平方根．（ ）
【答案】√ ；×； √； ×，
提示：（2）
；（4）
是
的算术平方根．
2、 填空：
（1）
是 的负平方根．
（2）
表示 的算术平方根，
．
（3）
的算术平方根为 ．
（4）若
，则
，若
，则
．
【思路点拨】（3）
就是
的算术平方根＝
，此题求的是
的算术平方根.
【答案与解析】(1)16；(2)
(3)
(4) 9；±3
【总结升华】要审清楚题意，不要被表面现象迷惑.注意数学语言与数学符号之间的转化.
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举一反三：
【变式1】下列说法中正确的有（ ）：
①3 是9 的平方根． ② 9 的平方根是3．
③4 是8 的正的平方根．④
是64 的负的平方根．
A．1 个 B．2 个 C．3 个 D．4 个
【答案】B；
提示：①④是正确的.
【变式2】求下列各式的值：
（1）3
（2）
（3）
（4）
【答案】（1）15；（2）15；（3）－0.3；（4）
3、使代数式
有意义的
的取值范围是______________．
【答案】
≥
；
【解析】
＋1≥0，解得
≥
.
【总结升华】当式子
有意义时，
一定表示一个非负数，即
≥0，
≥0.
举一反三：
【变式】代数式
＝
有意义，则
的取值范围是 ．
【答案】
.
类型二、利用平方根解方程
4、求下列各式中的
.
（1）
（2）
；
（3）
【思路点拨】表面上看本题是一元二次方程，但是本题可以通过开平方的方法（2）小题将
看作一个整体，（3）小题将
看作一个整体，求出它们的解后，再求
.
【答案与解析】
解：（1）∵
∴
∴
（2）∵
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∴
∴
＋1＝±17
＝16 或
＝－18.
（3）∵
∴
∴
∴
【总结升华】本题的实质是一元二次方程，开平方法是解一元二次方程的最基本方法.（2）
（3）小题中运用了整体思想分散了难度.
类型三、平方根的应用
5、要在一块长方形的土地上做田间试验，其长是宽的3 倍，面积是1323 平方米．求长
和宽各是多少米？
【答案与解析】
解：设宽为
，长为3
，
由题意得，
·3
＝1323
3
＝1323
＝－21(舍去)
答：长为63 米，宽为21 米.
【总结升华】根据面积由平方根的定义求出边长，注意实际问题中边长都是正数.
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