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12.1 全等三角形
一、单选题
1．百变魔尺，魅力无穷，如图是用24 段魔尺（24 个等腰直角三角形，把等腰直角三角形最长边看做1）围成的
长为4 宽为3 的长方形．用该魔尺能围出不全等的长方形个数为（ ）
A．3
B．4
C．5
D．6
【答案】A
【分析】根据14＝（1+6）×2＝（2+5）×2＝（3+4）×2，可知能围出不全等的长方形有3 个．
【详解】∵长为4、宽为3 的长方形，
∴周长为2×（3+4）＝14
14＝（1+6）×2＝（2+5）×2＝（3+4）×2，
∴能围出不全等的长方形有3 个，
故选：A．
【点评】此题考查了平面图形的规律变化，通过观察图形,分析、归纳并发现其中的规律，并应用规律解决问题
是解题的关键．
2．如图，锐角△ABC 中，D、E 分别是AB、AC 边上的点，△ADC≌△ADC′，△AEB≌△AEB′，且C′D
EB′
BC，BE、
CD 交于点F，若∠BAC＝α，∠BFC＝β，则（ ）
A．2α+β＝180°
B．2β
α
﹣＝180°
C．α+β＝150°
D．β
α
﹣＝60°
【答案】A
【分析】延长C′D 交AC 于M，如图，根据全等的性质得∠C′＝∠ACD，∠C′AD＝∠CAD＝∠B′AE＝α，再利用三角
究！
形外角性质得∠C′MC＝∠C′+∠C′AM＝∠C′+2α，接着利用C′D∥B′E 得到∠AEB＝∠C′MC，而根据三角形内角
和定理，三角形外角性质和等角代换，进一步变形后即可得到答案．
【详解】延长C′D 交AC 于M，如图，
∵△ADC≌△ADC′，△AEB≌△AEB′，
∴∠C′＝∠ACD，∠C′AD＝∠CAD＝∠B′AE＝α，
∴∠C′MC＝∠C′+∠C′AM＝∠C′+2α，
∵C′D∥B′E，
∴∠AEB′＝∠C′MC，
∵∠AEB′＝180°﹣∠B′﹣∠B′AE＝180°﹣∠B′﹣α，
∴∠C′+2α＝180°﹣∠B′﹣α，
∴∠C′+∠B′＝180°
3
﹣α，
∵β＝∠BFC＝∠BDF+∠DBF
＝∠DAC+∠ACD+∠B'
＝α+∠ACD+∠B′＝α+∠C′+∠B′
＝α+180°
3
﹣α＝180°
2
﹣α，
即：2α+β＝180°．
故选：A
．
【点评】本题考查了平行线的性质，全等三角形的性质，熟练掌握全等三角形的性质和灵活运用平行线的性质
是解题的关键．
3．如图，
，
，
，则
( )
究！
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】根据全等三角形对应角相等即可求解；
【详解】∵
，
∴ ∠A=∠
=110°，
∵∠ABC=30°，
∴∠ACB=180°-110°-30°=40°，
故选：A．
【点评】本题考查了全等三角形的性质，正确掌握全等三角形对应角相等是解题的关键；
4．如图，△ABC≌△ADE，AB＝AD，AC＝AE，∠B＝28，∠E＝95，∠EAB＝20，则∠BAD 等于（ ）
A．75
B．57
C．55
D．77
【答案】D
【分析】先根据全等三角形的对应角相等得出∠B=∠D=28°，再由三角形内角和为180°，求出∠DAE=57°，然后
根据∠BAD=∠DAE+∠EAB 即可得出∠BAD 的度数．
【详解】∵△ABC≌△ADE，
∴∠B=∠D=28°，
又∵∠D+∠E+∠DAE=180°，∠E=95°，
∴∠DAE=180°-28°-95°=57°，
究！
∵∠EAB=20°，
∴∠BAD=∠DAE+∠EAB=77°．
故选：D．
【点评】本题考查了全等三角形的性质，三角形内角和定理，比较简单．由全等三角形的对应角相等得出
∠B=∠D=28°是解题的关键．
5．下列命题的逆命题是真命题的是（ ）
A．两个全等三角形的对应角相等
B．若一个三角形的两个内角分别为
和
，则这个三角形是直角三角形
C．两个全等三角形的面积相等
D．如果一个数是无限不循环小数，那么这个数是无理数
【答案】D
【分析】根据原命题分别写出逆命题，然后再判断真假即可．
【详解】A、两个全等三角形的对应角相等，
逆命题是：对应角相等的两个三角形全等，是假命题；
B、若一个三角形的两个内角分别为 30° 和 60° ，则这个三角形是直角三角形，
逆命题是：如果一个三角形是直角三角形，那么它的两个内角分别为 30° 和 60° ，是假命题；
C、两个全等三角形的面积相等，
逆命题是：面积相等的两个三角形全等，是假命题；
D、如果一个数是无限不循环小数，那么这个数是无理数，
逆命题是：如果一个数是无理数，那么这个数是无限不循环小数 ，是真命题.
故选：D
【点评】本题考查了命题与定理，解决本题的关键是掌握真命题．
6．下列命题的逆命题是真命题的是（ ）．
A．
的平方根是3
B．
是无理数
C．1 的立方根是1
D．全等三角形的周长相等
【答案】C
【分析】根据把一个命题的条件和结论互换就得到它的逆命题，先得出逆命题，再进行判断即可．
【详解】A、
的平方根是3 的逆命题是：3 是
的平方根，是假命题；
究！
B、
是无理数的逆命题是：无理数是
，是假命题；
C、1 的立方根是1 的逆命题是：1 是1 的立方根，是真命题；
D、全等三角形的周长相等的逆命题是：周长相等的三角形全等，是假命题；
故选：C．
【点评】此题考查了命题的真假判断及互逆命题的知识，两个命题中，如果第一个命题的条件是第二个命题的
结论，而第一个命题的结论又是第二个命题的条件，那么这两个命题叫做互逆命题，其中一个命题称为另一
个命题的逆命题，判断命题的真假关键是要熟悉各知识点的性质定理．
7．如图，△ACB≌△A′C B′，∠ACB＝70°，∠ACB′＝100°，则∠BCA′度数是（ ）
A．40°
B．35
C．30°
D．45°
【答案】A
【分析】根据已知
ACB≌
A′CB′，得到∠A′CB′=∠ACB=70 ，再通过∠ACB′=100 ，继而利用角的和差求得
∠BCB′=30 ，进而利用∠BCA′=∠A′CB′-∠BCB′得到结论．
【详解】∵
ACB≌
A′CB′，
∴∠A′CB′=∠ACB=70 ，
∵∠ACB′=100 ，
∴∠BCB′=∠ACB′-∠ACB=30 ，
∴∠BCA′=∠A′CB′-∠BCB′=40 ，
故选：A．
【点评】本题考查了全等三角形的性质，熟练掌握全等三角形的性质是解题的关键．
8．如图，
，
，
，点
在线段
上，以
速度从点
出发向
点
运动，到点
停止运动．点
在射线
上运动，且
．若
与
全等，则点
运动的
时间为（ ）
究！
A．
B．
C．
或
或
D．
或
【答案】D
【分析】分△ABC≌△PQA 和△ABC≌△QPA 两种情况，根据全等三角形的性质解答即可．
【详解】当
时，
，
点
的速度为
，
；
当
时，当
，
点
的速度为
，
故选：
．
【点评】此题考查的是全等三角形的性质，掌握全等三角形的对应边相等，全等三角形的对应角相等是解题的
关键，注意分情况讨论思想的应用．
二、填空题
9．如图，
，点
、
、
、
在同一条直线上，
、
交于点
，
，则
的度数是______°．
【答案】60
【分析】根据全等三角形的性质得到∠DFE=∠ACB=30°，根据三角形的外角性质计算，得到答案．
究！
【详解】∵△ABC≌△DEF，
∴∠DFE=∠ACB=30°，
∵∠AMF 是△MFC 的一个外角，
∴∠AMF=∠DFE+∠ACB=60°，
故答案为：60．
【点评】本题考查的是全等三角形的性质、三角形的外角性质，掌握全等三角形的对应角相等是解题的关键．
10．如图，
，
，
，
，则
______．
【答案】3
【分析】根据全等三角形对应边相等可得AC=BD，再求出AB=CD，然后代入数据进行计算即可得解．
【详解】∵△ACE≌△DBF，
∴AC=DB，
∴AC-BC=BD-BC，
即AB=CD，
∵AD=8，BC=2，
∴AB=
（AD-BC）=
×（8-2）=3．
故答案为：3．
【点评】本题考查了全等三角形的性质，根据全等三角形对应顶点的字母写在对应位置上确定出对应边，然后
求出AB=CD 是解题的关键．
11．如图，
，B、E、C、F 在同一直线上，
，
，则CF 的长为___________．
究！
【答案】3
【分析】直接用全等三角形的性质可得CF=EF-CE=BC-CE，然后进行求解即可；
【详解】∵△ABC≌△DEF，
∴ BC=EF，
∵ BC=7，EC=4，
∴ CF=7-4=3，
故答案为：3．
【点评】本题考查了全等三角形的性质以及应用，正确理解全等三角形的性质是解题的关键．
12．如图，已知
，若
，
，则
________度．
【答案】30
【分析】先根据全等三角形的性质得到∠BAC=∠F=105°，然后根据三角形内角和计算∠B 的度数．
【详解】∵△ABC≌△FDE，
∴∠BAC=∠F=105°，
∵∠BAC+∠B+∠C=180°，
∴∠B=180°-105°-45°=30°．
故答案为30．
【点评】本题考查了全等三角形的性质：全等三角形的对应边相等；全等三角形的对应角相等．
13．下列命题，①对顶角相等；②两直线平行，同位角相等；③全等三角形的对应角相等．其中逆命题是真命
题的命题共有_________个．
【答案】1
究！
【分析】根据逆命题、对顶角、平行线、全等三角形的性质，对各个选项逐个分析，即可得到答案．
【详解】对顶角相等的逆命题为：相等的角是对顶角，故①错误；
两直线平行，同位角相等的逆命题为：同位角相等，两直线平行，故②正确；
全等三角形的对应角相等的逆命题为：对应角相等的三角形为全等三角形，故③错误；
逆命题是真命题的命题共有：1 个
故答案为：1．
【点评】本题考查了逆命题、对顶角、平行线、全等三角形的知识；解题的关键是熟练掌握对顶角、平行线、全
等三角形的性质，从而完成求解．
14．如图，在锐角
中，D、E 分别是
、
上的点，
，
，且
，
、
相交于点F，若
，则
_________．
【答案】110°
【分析】由全等三角形的对应角相等、三角形外角定理以及三角形内角和定理进行解答可求∠BFC 的度数．
【详解】设∠C′=α，∠B′=β，
∵△ADC≌△ADC′，△AEB≌△AEB′，
∴∠ACD=∠C′=α，∠ABE=∠B′=β，∠BAE=∠B′AE=35°，
∴∠CDB=∠BAC+ACD=35°+α，∠CEB′=35°+β．
∵C′D∥EB′∥BC，
∴∠ABC=∠C′DB=35°+α，∠ACB=∠CEB′=35°+β，
∴∠BAC+∠ABC+∠ACB=180°，即105°+α+β=180°．
则α+β=75°．
∵∠BFC=∠BDC+∠DBE，
∴∠BFC=35°+α+β=35°+75°=110°．
故答案为：110°．
究！
【点评】本题考查了全等三角形的性质，此题利用了“全等三角形的对应角相等”和“两直线平行，内错角相
等”进行推理的．
三、解答题
15．如图，
是直角坐标系
轴上一点，动点
从原点
出发，沿
轴正半轴运动，速度为每秒2 个单
位长度，以
为直角顶点在第一象限内作等腰
．设
点的运动时间为秒．
（1）若
轴，求的值；
（2）如图2，当
时，坐标平面内有一点
（不与
重合）使得以
、、为顶点的三角形和
全
等，请直接写出点
的坐标．
【答案】（1）1.5；（2）（8，−3），（3，7），（11，1）
【分析】（1）由AB∥x 轴，可找出四边形ABCO 为长方形，再根据△APB 为等腰三角形可得知∠OAP＝45°，从而
得出△AOP 为等腰直角三角形，由此得出结论；
（2）分类讨论：①△ABP≌△MBP，②△ABP≌△MPB，③△ABP≌△MPB，分别求解，即可．
【详解】（1）过点B 作BC⊥x 轴于点C，如图所示．
究！
∵AO⊥x 轴，BC⊥x 轴，且AB∥x 轴，
∴四边形ABCO 为长方形，
∴AO＝BC＝3．
∵△APB 为等腰直角三角形，
∴AP＝BP，∠PAB＝∠PBA＝45°，
∴∠OAP＝90°−∠PAB＝45°，
∴△AOP 为等腰直角三角形，
∴OA＝OP＝3．
∴t＝3÷2＝1.5（秒），
故t 的值为1.5；
（2）当t＝2 时，M、P、B 为顶点的三角形和△ABP 全等，
①如图，若△ABP≌△MBP，
则AP＝PM，过点M 作MD⊥OP 于点D，
∵∠AOP＝∠PDM，∠APO＝∠DPM，
∴△AOP≌△MDP（AAS），
∴OA＝DM＝3，OP＝PD＝4，
∴M（8，−3）．
究！
②如图，若△ABP≌△MPB，同理可求得M（3，7），
③如图，若△ABP≌△MPB，则△AOP≌△PNB≌△MCB，
同理可求得M（11，1）．
综合以上可得点M 的坐标为（8，−3），（3，7），（11，1）．
【点评】本题考查了全等三角形的性质、坐标与图形性质，本题综合性强，有一定难度，添加辅助线，构造全等
三角形，是解题的关键．
16．在
的方格纸中，每格的边长为1，请按下列要求画图．
（1）在图1 中画一个格点
，使
与
全等，且所画格点三角形的顶点均不与点B，C 重合．
究！
（2）在图2 中画一个面积为7 的格点四边形
，且
为锐角．
【答案】（1）见解析；（2）见解析
【分析】（1）利用轴对称的性质解决问题即可．
（2）构造梯形，利用数形结合的思想解决问题即可．
【详解】（1）如图1 中，△ADE 即为所求．
（2）如图2 中，四边形ABCD 即为所求．
【点评】本题考查作图-应用与设计，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会利用数形结合的思
想思考问题，属于中考常考题型．
17．如图，已知△ABC≌△EBD，
（1）若BE=6，BD=4，求线段AD 的长；
（2）若∠E=30°，∠B=48°，求∠ACE 的度数．
【答案】（1）2；（2）78°．
【分析】（1）根据△ABC≌△EBD，得AB=BE=6,根据AD=AB-BD 计算即可；
（2）根据△ABC≌△EBD，得∠A=30°，利用∠ACE=∠A+∠B 计算即可．
【详解】（1）∵△ABC≌△EBD，
∴AB=BE=6,
∵AD=AB-BD，BD=4，
究！
∴AD=6-4=2；
（2）∵△ABC≌△EBD，
∴∠A=∠E=30°，
∵∠ACE=∠A+∠B，∠B=48°，
∴∠ACE=30°+48°
=78°．
【点评】本题考查了全等三角形的性质，三角形外角和定理，熟练掌握全等三角形的性质和三角形外角和定理
是解题的关键．
18．如图所示，
，
，
三点在同一直线上，且
．
（1）求证：
；
（2）当
满足什么条件时，
？
【答案】（1）证明见解析；（2）
为直角时，
【分析】（1）根据全等三角形的性质求出BD=AE，AD=CE，代入求出即可；
2）根据全等三角形的性质求出∠E=∠BDA=
，推出∠BDE=
，根据平行线的判定求出即可．
【详解】（1）证明：∵
，
∴AE=BC，AC=DE，
究！
又∵
，
∴
．
（2）若
，则
，
又∵
，
∴
，
∴
，
又∵
，
∴
，
即当
满足
为直角时，
．
【点评】本题考查全等三角形的性质和平行线的判定的应用，关键是通过三角形全等得出正确的结论．
19．如图，在
中，
厘米，
厘米，点D 为AB 的中点，如果点P 在线段BC 上以2 厘
米/秒的速度由B 点向C 点运动，同时点Q 在线段CA 上由C 点向A 点运动，当一个点停止运动时，另一个点
也随之停止运动，当点Q 的运动速度为多少时，能够在某一时刻使
与
全等．
【答案】当点Q 的速度为
cm/s 或2cm/s 时，使得△BPD 与△CQP 全等．
【分析】设点P 的运动时间为t 秒，点Q 的运动速度为vcm/s，根据题意易得BP=2t 厘米，CP=（7-2t）厘米，
BD=4cm，CQ=vt 厘米，则由
与
全等，可分BP=PC 和PB=CQ，然后分别求解即可．
【详解】设点P 的运动时间为t 秒，点Q 的运动速度为vcm/s，
∵
厘米，
厘米，点D 为AB 的中点，
∴BD=4cm，
究！
∴BP=2t 厘米，CP=（7-2t）厘米，CQ=vt 厘米，
由
与
全等，则有：
①当BP=PC 时，则有BD=CQ=4cm，
∴
，
解得：
，
∴
，
解得：
；
②当PB=CQ 时，则有BD=CP=4cm，
∴
，
解得：
，
∴
，
解得：
；
综上所述：当点Q 的速度为
cm/s 或2cm/s 时，使得△BPD 与△CQP 全等．
【点评】本题主要考查全等三角形的性质，熟练掌握全等三角形的性质是解题的关键．
20．如图，△EFG≌△NMH，E，H，G，N 在同一条直线上，EF 和NM，FG 和MH 是对应边，若EH＝1.1cm，NH＝
3.3cm．求线段HG 的长．
【答案】2.2 cm
【分析】根据
，可得
，从而有
，再计算HG 的长即可．
【详解】（1）
，EF 和NM，FG 和MH 是对应边，
究！
，
，
又
EH＝1.1cm，NH＝3.3cm，
cm，
答：线段HG 的长为2.2 cm；
【点评】本题考查了全等三角形全等的性质，熟练找出两个全等三角形的对应边是解此题的关键．
21．
如图，
，
，
，求
的长；
如图
，在
中，
是
边上的高，点
是
上一点，
交
于点
，且
，求证：
是直角三角形．
【答案】（1）5；（2）见解析
【分析】（1）通过全等三角形的对应边转化为AD=AC，而使AF+DF=AC-AE 可利用已知的AD 与AE 的差求得；
（2）根据对顶角相等得到∠CMD=∠AEM，根据三角形内角和定理得到∠AEC=∠ADC=90°，即可证明结论．
【详解】（1）解：∵
，
∴
，
，
∴
，
∴
；
（2）∵AD 是BC 边上的高，
∴∠ADC=90°，
∵∠DCM=∠MAE，∠CMD=∠AME，
究！
∴∠AEC=∠ADC=90°，
∴△ACE 是直角三角形．
【点评】本题考查了全等三角形的性质，直角三角形的性质，三角形内角和定理．掌握全等三角形的性质以及
三角形内角和定理是解题的关键．
22．如图，在等腰
中，∠C=90°，F 是AB 边上的中点，点D、E 分别在AC、BC 边上运动，且保持
.连接DE、DF、EF.在此运动变化的过程中，下列结论：求证
是等腰直角三角形；
【答案】证明见解析
【分析】根据等腰直角三角形的性质：CF=AF，∠A=∠BCF，再由全等三角形判定SAS 得△ADF≌△CEF，由全等
三角形性质：全等三角形对应边、对应角相等得DF=EF，∠DFA=∠CFE，等量代换即可求得∠EFD=90°，从而得
证.
【详解】连接CF，
∵在等腰直角三角形ABC 中.
∠ACB=90°，F 是AB 边上中点
∴CF=AF，∠A=∠B=45°，∠ACF=∠BCF=45°
∴∠A=∠BCF
究！
在△ADF 与△CEF 中
∴
∴ DF=EF
即
∴
为等腰直角三角形
【点评】此题主要考察三角形全等及等腰直角三角形，熟练掌握三角形全等判定及性质是解题关键.
23．如图，在平面直角坐标系中，O 为坐标原点 A、B 两点的坐标分别 A（m，0），B（0，n），且|m n 3|
0 ，点 P 从 A 出发，以每秒 1 个单位的速度沿射线 AO 匀速运动，设点 P 运动时间为 t 秒．
（1）求 OA、OB 的长；
（2）连接 PB，若△POB 的面积不大于 3 且不等于 0，求 t 的范围；
（3）过 P 作直线 AB 的垂线，垂足为 D，直线 PD 与 y 轴交于点 E，在点 P 运动的过程中， 是否存在这样的
点 P，使△EOP≌△AOB?若存在，请求出 t 的值；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）
，
；（2）
或
；（3）
或
【分析】（1）利用绝对值和算术平方根的非负性求出n 和m 的值，就得到OA 和OB 的长；
（2）分两种情况讨论，P 再线段AO 上和P 再线段AO 的延长线上，用t 表示AP 和PO 长，从而表示出
的
究！
面积，再根据
的面积不大于3 且不等于0，列不等式解不等式，求出t 的取值范围；
（3）分情况画出对应的图象，利用全等三角形的性质求出P 运动的路程，得到使得
的时间t
的值．
【详解】（1）∵
，
，且
，
∴
，
，即
，
，
∴
，
；
（2）分情况讨论：①当P 在线段AO 上时，如图，
，
，
，
∵
的面积不大于3 且不等于0，
∴
，解得
；
②当P 在线段AO 的延长线上时，如图，
，
，
，
究！
∵
的面积不大于3 且不等于0，
∴
，解得
；
（3）①如图，
，
∴
，
则
；
②如图，
，
∴
，
，
则
，
综上：存在，
或
．
【点评】本题考查动点问题，涉及绝对值和算术平方根的非负性，解不等式，全等三角形的性质，解题的关键
是根据动点的运动时间t 设出线段长，去按题目要求列式求解．
24．综合与实践
（1）（探索发现）在
中.
，
，点
为直线
上一动点（点
不与点
，重合），
究！
过点
作
交直线
于点
，将
绕点
顺时针旋转
得到
，连接
．
如图（1），当点
在线段
上，且
时，试猜想：
①
与
之间的数量关系：______；
②
______．
（2）（拓展探究）
如图（2），当点
在线段
上，且
时，判断
与
之间的数量关系及
的度数，请说
明理由．
（3）（解决问题）
如图（3），在
中，
，
，
，点
在射线
上，将
绕点
顺时针旋转
得到
，连接
．当
时，直接写出
的长．
【答案】（1）①
；②
；（2）
，
．理由见解析；（3）
的长为1 或2．
【分析】（1）由“SAS”△ADF≌△EDB，可得AF=BE，再利用“8 字型”字母∠OBE=∠ADO=90°即可解决问题；
（2）结论：AF=BF，∠ABE=a．由“SAS”△ADF≌△EDB，即可解决问题；
（3）分当点D 在线段BC 上和当点D 在BC 的延长线上两种情形讨论，利用平行线分线段成比例可求解．
【详解】
（1）如图1 中，设AB 交DE 于O．
∵∠ACB=90°，AC=BC，
∴∠ABC=45°，
究！
∵DF∥AC，
∴∠FDB=∠C=90°，
∴∠DFB=∠DBF=45°，
∴DF=DB，
∵∠ADE=∠FDB=90°，
∴∠ADF=∠EDB，且DA=DE，DF=DB
∴△ADF≌△EDB（SAS），
∴AF=BE，∠DAF=∠E，
∵∠AOD=∠EOB，
∴∠ABE=∠ADO=90°
故答案为AF=BE，90°．
（2）
，
.
理由：∵
，
∴
，
.
∵
，
∴
.∴
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∴
∵
，
，
，
∴
.
又∵
，
∴
.
∴
，
.
∴
，
，
∴
.
（3）1 或2.
究！
解：当点
在线段
上时，过点
作
交直线
于点
，如图（1）.
∵
，∴
.
∵
，∴
.
∵
，∴
，
.
∵
，
，
∴
.
∵
，∴
.∴
.∴
.
又
，∴
，
.
当点
在线段
的延长线上时，过点
作
交
的延长线于点
，如图（2）.
∵
，
∴
.
∴
.
∴
.
同理可得
.
综上可得，
的长为1 或2.
究！
【点评】本题考查几何变换综合题、等腰三角形的性质、全等三角形的判定和性质、平行线分线段成比例定理
等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，属于中考压轴题．
究！
