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11.4 三角形（单元检测）
一、单选题(共36 分)
1．(本题3 分)如图所示，在△ABC 中，∠C＝90°，EF∥AB，∠B＝39°，则∠1 的度数为( )
A．39°
B．51°
C．38°
D．52°
【答案】B
【分析】先根据∠B=39°得出∠CFE 的度数，再根据直角三角形两锐角互余的性质即可求出∠E 的度数，从而得
∠1 的度数．
【详解】∵∠B=39°，EF∥AB，
∴∠CFE=39°，
∵△ABC 是直角三角形，
∴∠CEF=90°-∠CFE=90°-39°=51°,
∴∠1=∠CEF=51°.
故选B．
【点评】本题考查的是直角三角形的性质及平行线的性质，考查的知识点为：两直线平行，同位角相等；直角
三角形的两锐角互余．
2．(本题3 分)如图，把△ABC 纸片沿 DE 折叠，当点 A 落在四边形 BCDE 内部时，则∠A 与∠1+∠2 之有一种
数量关系始终保持不变请试着找一找这个规律，你发现的规律是 （ ）
A．∠A=∠1+∠2
B．3∠A=2（∠1+∠2）C．3∠A=2∠1+∠2C
D．2∠A=∠1+∠2
【答案】D
【分析】利用三角形内角和定理得到
和
，在根据四边
形的内角和得
，利用这三组关系证明
与
、
的关系．
【详解】在
中，
，
在
中，
，
∵
，
∴
，
∴
．
故选：D．
【点评】本题考查折叠的性质，三角形内角和定理和多边形内角和定理，解题的关键是熟练运用三角形内角和
定理求解角度关系．
3．(本题3 分)如图，在
中，
，
，
，
，连接BC，CD，则
的度
数是（ ）
A．45°
B．50°
C．55°
D．80°
【答案】B
【分析】连接AC 并延长交EF 于点M．由平行线的性质得
，
，再由等量代换得
，先求出
即可求出
．
【详解】连接AC 并延长交EF 于点M．
，
，
，
，
，
，
，
故选B．
【点评】本题主要考查了平行线的性质以及三角形的内角和定理，属于基础题型．
4．(本题3 分)已知△ABC 的三边长为a，b，c，化简|a＋b－c|－|b－a－c|的结果是（ ）
A．2b－2c
B．－2b
C．2a＋2b
D．2a
【答案】A
【分析】已知a，b，c 分别是三角形的边长，根据三角形的三边关系可得a+b＞c，a+c＞b，即可得a+b-c＞0，b-a-
c＜0，再根据绝对值的性质去掉绝对值号，合并同类项即可求解.
【详解】∵a，b，c 分别是三角形的边长，
∴a+b＞c，a+c＞b，
∴a+b-c＞0，b-a-c＜0，
∴|a+b-c|-|b-a-c|=a+b-c-(-b+a+c) =2b-2c.
故选A.
【点评】本题考查了三角形的三边关系及绝对值的性质，根据三角形的三边关系得到a+b-c＞0、b-a-c＜0 是解
决问题的关键.
5．(本题3 分)如图，ΔABC 的面积为8cm ，AP 垂直
ABC 的平分线BP 于P，则ΔPBC 的面积为（ ）
A．2cm
B．3cm
C．4cm
D．5cm
【答案】C
【分析】延长AP 交BC 于E，根据AP 垂直
ABC 的平分线BP 于P，即可求出△ABP≌△BEP，又知△APC 和
△CPE 等底同高，可以证明两三角形面积相等，即可得出△PBC 的面积．
【详解】延长AP 交BC 于E，
∵AP 垂直
ABC 的平分线BP 于P，
∠ABP=∠EBP，∠APB=∠BPE=90°，
又∵BP=BP，
∴△ABP≌△BEP，
∴S△ABP=S△BEP，AP=PE，
∴△APC 和△CPE 等底同高，
∴S△APC=S△PCE，
∴S△PBC=S△PBE+S△PCE=
S△ABC=4cm2，
故选：C．
【点评】本题主要考查面积及等积变换的知识点．能正确作出辅助线并理解同底等高的三角形面积相等是解
题关键．
6．(本题3 分)如图，在四边形ABCD 中，∠ABC 与∠BCD 的平分线的交点E 恰好在AD 边上，则∠BEC=（ ）
A．∠A+∠D
45°
﹣
B．
（∠A+∠D）+45°
C．180°﹣（∠A+∠D）
D．
∠A+
∠D
【答案】D
【分析】根据四边形的内角和, ∠ABC+∠BCD=360°﹣（∠A+∠D），根据角平分线的定义可得
再根据三角形的内角和定理可得
然后整理即可得解；
【详解】∵四边形的内角和=360°，
∴∠ABC+∠BCD=360°﹣（∠A+∠D），
∵∠ABC 与∠BCD 的平分线的交点E 恰好在AD 边上，
∴
∴
∴∠BEC=180°﹣（∠EBC+∠ECB）
故选D．
【点评】考查四边形的内角和，三角形的内角和以及角平分线的性质，掌握角平分线的性质是解题的关键.
7．(本题3 分)如图，在
中，
，
，
是
上一点，将
沿
折叠，使
点
落在
边上的
处，则
等于（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】根据三角形的外角的性质可知∠DB′C=∠A+∠ADB′，只要求出∠DB′C 即可．
【详解】∵∠A+∠B+∠ACB=180°，∠ACB=100°，∠A=20°，
∴∠B=60°，
根据翻折不变性可知：∠CB′D=∠B=60°，
∵∠DB′C=∠A+∠ADB′，
∴60°=20°+∠ADB′，
∴∠ADB′=40°，
故选A．
【点评】此题考查三角形的内角和定理，三角形的外角的性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问
题．
8．(本题3 分)若一个多边形的内角和与外角和之和是1800°，则此多边形是（ ）边形．
A．八
B．十
C．十二
D．十四
【答案】B
【分析】任意多边形的一个内角与相邻外角的和为180°，然后根据题意可求得答案．
【详解】∵多边形的一个内角与它相邻外角的和为180°，
∴1800°÷180°=10.
故选B.
【点评】此题考查多边形内角（和）与外角（和），解题关键在于掌握其定理和运算公式.
9．(本题3 分)如图，在△ABC 中，AB＝AC，D 为BC 上一点，且DA＝DC，BD＝BA，则∠B 的大小为( )
A．40°
B．36°
C．30°
D．25°
【答案】B
【分析】根据AB＝AC 可得∠B＝∠C，CD＝DA 可得∠ADB＝2∠C＝2∠B，BA＝BD，可得∠BDA＝∠BAD＝2∠B，
在△ABD 中利用三角形内角和定理可求出∠B．
【详解】∵AB＝AC，
∴∠B＝∠C，
∵CD＝DA，
∴∠C＝∠DAC，
∵BA＝BD，
∴∠BDA＝∠BAD＝2∠C＝2∠B，
设∠B＝α，则∠BDA＝∠BAD＝2α，
又∵∠B＋∠BAD＋∠BDA＝180°，
∴α＋2α＋2α＝180°，
∴α＝36°，即∠B＝36°，
故选B．
【点评】本题主要考查等腰三角形的性质，掌握等边对等角是解题的关键，注意三角形内角和定理和方程思想
的应用．
10．(本题3 分)已知正多边形的一个外角等于
，那么这个正多边形的边数为
A．6
B．7
C．8
D．9
【答案】D
【详解】【分析】根据正多边形的外角和以及一个外角的度数，即可求得边数．
【详解】正多边形的一个外角等于
，且外角和为
，
则这个正多边形的边数是：
，
故选D．
【点睛】本题主要考查了多边形的外角和定理，熟练掌握多边形的外角和等于360 度是解题的关键．
11．(本题3 分)若一个正多边形的每个内角度数都为135°，则这个正多边形的边数是（ ）
A．6
B．8
C．10
D．12
【答案】B
【分析】根据题意可先求出这个正多边形的每个外角度数，再根据多边形的外角和是360°即可求出答案．
【详解】因为一个正多边形的每个内角度数都为135°，
所以这个正多边形的每个外角度数都为45°，
所以这个正多边形的边数是360°÷45°=8．
故选：B．
【点评】本题考查了正多边形的有关概念和多边形的外角和，属于基本题目，熟练掌握多边形的基本知识是解
题的关键．
12．(本题3 分)已知三角形的两边分别为1 和4，第三边长为整数 ，则该三角形的周长为（ ）
A．7
B．8
C．9
D．10
【答案】C
【分析】根据三角形的三边关系“第三边大于两边之差，而小于两边之和”，求得第三边的取值范围；再根据
第三边是整数，从而求得周长．
【详解】设第三边为x，
根据三角形的三边关系，得：4-1＜x＜4+1，
即3＜x＜5，
∵x 为整数，
∴x 的值为4．
三角形的周长为1+4+4=9．
故选C.
【点评】此题考查了三角形的三边关系．关键是正确确定第三边的取值范围．
二、填空题(共18 分)
13．(本题3 分)如图，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E=___________________度．
【答案】180
【分析】根据三角形外角的性质可知∠B+∠C=∠2，∠A+∠E=∠1，再根据三角形内角和定理即可得出结论．
【详解】∵∠2 是△OBC 的外角，
∴∠B+∠C=∠2，
∵∠1 是△AEF 的外角，
∴∠A+∠E=∠1，
∵∠1+∠2+∠D=180°，
∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E=180°．
故答案是：180．
【点评】考查的是三角形外角的性质及三角形内角和定理，熟知“三角形的一个外角等于和它不相邻的两个
内角的和”是解答此题的关键．
14．(本题3 分)有一程序，如果机器人在平地上按如图所示的步骤行走，那么机器人回到A 点处行走的路程是
________．
【答案】30 米
【分析】利用多边形的外角和等于360°，可知机器人回到A 点时，恰好沿着360°÷24°=15 边形的边走了一圈，
即可求得路程．
【详解】2×（360°÷24°）=30 米．
故答案为30 米．
【点评】本题需利用多边形的外角和解决问题．
15．(本题3 分)如图，△ABC 中，∠A＝70°，∠B＝50°，点M，N 分别是BC，AB 上的动点，沿MN 所在的直线折叠
∠B，使点B 的对应点B'落在AC 上．若△MB'C 为直角三角形，则∠MNB'的度数为_____．
【答案】55°或85°
【分析】利用三角形内角和定理求出∠C，∠CMB′，再根据折叠的性质求出∠NMB′即可解决问题．
【详解】∵∠C＝180°﹣∠A﹣∠B，∠A＝70°，∠B＝50°，
∴∠C＝180°
70°
50°
﹣
﹣
＝60°，
当∠CB′M＝90°，
∴∠CMB′＝90°
60°
﹣
＝30°，
由折叠的性质可知：∠NMB′＝
∠BMB′＝75°，
∴∠MNB′＝180°
75°
50°
﹣
﹣
＝55°，
当∠CMB′＝90°时，∠NMB＝∠NMB′＝45°，
∠MNB′＝180°
50°
45°
﹣
﹣
＝85°，
故答案为55°或85°．
【点评】考核知识点：三角形内角和.理解三角形内角和的性质定理是关键.
16．(本题3 分)如图，在Rt△ACB 中，∠ACB=90°，∠A=25°，D 是AB 上一点，将Rt△ABC 沿CD 折叠，使点B 落在
AC 边上的B′处，则∠ADB′等于_____．
【答案】40°．
【详解】∵将Rt△ABC 沿CD 折叠，使点B 落在AC 边上的B′处，
∴∠ACD=∠BCD，∠CDB=∠CDB′，
∵∠ACB=90°，∠A=25°，
∴∠ACD=∠BCD=45°，∠B=90°
25°=65°
﹣
，
∴∠BDC=∠B′DC=180°
45°
65°=70°
﹣
﹣
，
∴∠ADB′=180°
70°
70°=40°
﹣
﹣
．
故答案为40°．
17．(本题3 分)如图，在△ABC 中，∠C=90°，BC=8cm，AC=6cm，点E 是BC 的中点，动点P 从A 点出发，先以每秒
2cm 的速度沿A→C 运动，然后以1cm/s 的速度沿C→B 运动．若设点P 运动的时间是t 秒，那么当
t=___________________，△APE 的面积等于6．
【答案】1.5 或5 或9
【分析】分为两种情况讨论：当点P 在AC 上时：当点P 在BC 上时，根据三角形的面积公式建立方程求出其解
即可．
【详解】如图1，当点P 在AC 上．∵△ABC 中，∠C=90°，BC=8cm，AC=6cm，点E 是BC 的中点，∴CE=4，AP=2t．
∵△APE 的面积等于6，∴S△APE=
AP•CE=
AP×4=6．∵AP=3，∴t=1.5．
如图2，当点P 在BC 上．则t＞3∵E 是DC 的中点，∴BE=CE=4．
∵PE
，∴S=
EP•AC=
•EP×6=6，∴EP=2，∴t=5 或t=9．
总上所述，当t=1.5 或5 或9 时，△APE 的面积会等于6．故答案为1.5 或5 或9．
【点评】本题考查了直角三角形的性质的运用，三角形的面积公式的运用，解答时灵活运用三角形的面积公式
求解是关键．
18．(本题3 分)在图中过点P 任意画一条直线，最多可以得到____________个三角形.
【答案】6
【分析】根据题意画出图形，根据图形回答问题即可．
【详解】如图1，有2 个三角形；
如图2，有3 个三角形；
如图3，有4 个三角形；
如图4，有4 个三角形；
如图5，有5 个三角形，
如图6，有6 个三角形，
综上所述，最多有6 个三角形，
故答案为6.
【点评】本题考查了三角形，根据题意画出符合条件的图形，运用分类讨论以及数形结合思想是解题的关键.
三、解答题(共66 分)
19．(本题8 分)如图，△ABC 中，AD 是高，AE、BF 是角平分线，它们相交于点O，∠CAB＝50°，∠C＝60°，求
∠DAE 和∠BOA 的度数．
【答案】∠DAE＝5°，∠BOA＝120°
【分析】由∠CAB＝50°，∠C＝60°可求出∠ABC；由AE、BF 是角平分线，得到∠CBF＝∠ABF＝35°，∠EAF＝
∠EAB＝25°；由AD 是高，得到∠DAC；从而计算得到∠DAE 和∠BOA．
【详解】∵∠CAB＝50°，∠C＝60°
∴∠ABC＝180°
50°
60°
﹣
﹣
＝70°
∵AE、BF 是角平分线
∴∠CBF＝∠ABF＝35°，∠EAF＝∠EAB＝25°
又∵AD 是高
∴∠ADC＝90°
∴∠DAC＝180°
90°
﹣
﹣∠C＝30°
∴∠DAE＝∠DAC﹣∠EAF＝5°
又∵∠ABF＝35°，∠EAB＝25°
∴∠BOA＝180°-∠EAB-∠ABF＝180°-25°-35°＝120°
∴∠DAE＝5°，∠BOA＝120°．
【点评】本题考查了三角形角平分线、直角三角形的知识；求解的关键是熟练掌握三角形以及直角三角形的性
质，从而完成求解．
20．(本题8 分)如图，已知D 为△ABC 边BC 延长线一点，DF⊥AB 于F，且交AC 于E，∠A=30°，∠D=55°.
（1）求∠ACD 的度数；
（2）求∠FEC 的度数.
【答案】（1）65°；（2）120°
【分析】（1）利用三角形内角和定理求出∠B，再利用三角形的外角的性质求出∠ACD 即可．
（2）根据∠FEC=∠ECD+∠D 求解即可．
【详解】（1）∵DF⊥AB，
∴∠BFD=90°，
∴∠B=90°-∠D=35°，
∵∠ACD=∠B+∠A，∠A=30°，
∴∠ACD=65°．
（2）∵∠FEC=∠ECD+∠D，∠ECD=65°，∠D=55°，
∴∠FEC=55°+65°=120°．
【点评】考查三角形内角和定理，三角形的外角的性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识．
21．(本题8 分)如图，已知：点P 是
内一点．
（1）求证：
；
（2）若PB 平分
，PC 平分
，
，求
的度数．
【答案】（1）证明见解析；（2）110°
【分析】
（1）延长BP 交AC 于D，根据△PDC 外角的性质知∠BPC＞∠1；根据△ABD 外角的性质知∠1＞∠A，所
以易证∠BPC＞∠A．
（2）由三角形内角和定理求出∠ABC＋∠ACB＝140°，由角平分线和三角形内角和定理即可得出结果．
【详解】（1）延长BP 交AC 于D，如图所示：
∵∠BPC 是△CDP 的一个外角，∠1 是△ABD 的一个外角，
∴∠BPC＞∠1，∠1＞∠A，
∴∠BPC＞∠A；
（2）在△ABC 中，∵∠A=40°，
∴∠ABC+∠ACB=180°﹣∠A=180°
40°=140°
﹣
，
∵PB 平分∠ABC，PC 平分∠ACB，
∴∠PBC=
∠ABC，∠PCB=
∠ACB，
在△PBC 中，∠P=180°﹣（∠PBC+∠PCB）
=180°﹣（
∠ABC+
∠ACB）
=180°﹣
（∠ABC+∠ACB）
=180°﹣
×140°
=110°．
【点评】此题主要考查了三角形的外角性质、三角形内角和定理、三角形的角平分线定义；熟练掌握三角形的
外角性质和三角形内角和定理是解决问题的关键．
22．(本题8 分)问题情景：如图1，在同一平面内，点
和点
分别位于一块直角三角板
的两条直角边
，
上，点
与点
在直线
的同侧，若点
在
内部，试问
，
与
的大小是
否满足某种确定的数量关系？
（1）特殊探究：若
，则
_________度，
________度，
_________度；
（2）类比探索：请猜想
与
的关系，并说明理由；
（3）类比延伸：改变点
的位置，使点
在
外，其它条件都不变，判断（2）中的结论是否仍然成立？若
成立，请说明理由；若不成立，请直接写出
，
与
满足的数量关系式．
【答案】（1）125，90，35；（2）∠ABP+∠ACP=90°-∠A，证明见解析；（3）结论不成立．∠ABP-∠ACP=90°-∠A，
∠ABP+∠ACP=∠A-90°或∠ACP - ∠ABP =90°-∠A．
【分析】（1）根据三角形内角和即可得出∠ABC+∠ACB，∠PBC+∠PCB，然后即可得出∠ABP+∠ACP；
（2）根据三角形内角和定理进行等量转换，即可得出∠ABP+∠ACP=90°-∠A；
（3）按照（2）中同样的方法进行等量转换，求解即可判定.
【详解】（1）∠ABC+∠ACB=180°-∠A=180°-55°=125 度，∠PBC+∠PCB=180°-∠P=180°-90°=90 度，
∠ABP+∠ACP=∠ABC+∠ACB -（∠PBC+∠PCB）=125°-90°=35 度；
（2）猜想：∠ABP+∠ACP=90°-∠A；
证明：在△ABC 中，∠ABC+∠ACB＝180°-∠A，
∵∠ABC=∠ABP+∠PBC，∠ACB=∠ACP+∠PCB，
∴（∠ABP+∠PBC）+（∠ACP+∠PCB）=180°-∠A，
∴（∠ABP+∠ACP）+（∠PBC+∠PCB）=180°-∠A，
又∵在Rt△PBC 中，∠P=90°，
∴∠PBC+∠PCB=90°，
∴（∠ABP+∠ACP）+90°=180°-∠A，
∴∠ABP+∠ACP=90°-∠A．
（3）判断：（2）中的结论不成立．
证明：在△ABC 中，∠ABC+∠ACB＝180°-∠A，
∵∠ABC=∠PBC-∠ABP，∠ACB=∠PCB-∠ACP，
∴（∠PBC+∠PCB）-（∠ABP+∠ACP）=180°-∠A，
又∵在Rt△PBC 中，∠P=90°，
∴∠PBC+∠PCB=90°，
∴∠ABP-∠ACP=90°-∠A，∠ABP+∠ACP=∠A-90°
或∠ACP - ∠ABP =90°-∠A．
【点评】此题主要考查利用三角形内角和定理进行等角转换，熟练掌握，即可解题.
23．(本题8 分)已知，如图，∠XOY=90°，点A、B 分别在射线OX、OY 上移动，BE 是∠ABY 的平分线，BE 的反向延
长线与∠OAB 的平分线相交于点C，试问∠ACB 的大小是否发生变化？如果保持不变，请给出证明；如果随点
A、B 移动发生变化，请求出变化范围．
【答案】∠ACB 的大小不发生变化，且始终保持45°．
【分析】根据角平分线的定义、三角形的内角和、外角性质求解．
【详解】作∠ABO 的平分线交AC 于点D，
则∠BDA＝180°-(∠DAB+∠DBA)＝180°-
(∠OAB+∠OBA)＝135°，
因为BD，BE 分别是∠OBA 和∠YBA 的平分线，
所以BD⊥CB，
所以∠ACB＝∠BDA-∠DBC＝135°-90°＝45°．
即∠ACB 的大小始终为45°．
【点评】本题目是一道三角形角平分线的问题，互为邻补角的两个角的平分线垂直.
24．(本题8 分)如图，在△BCD 中，BC=1.5，BD=2.5，
（1）若设CD 的长为偶数，则CD 的取值是______．
（2）若AE∥BD，∠A=55°，∠BDE=125°，求∠C 的度数．
【答案】（1）2；（2）∠C=70°
【分析】（1）根据三角形三边关系定理求出CD 取值范围，再根据CD 的长为偶数即可得出CD 的取值；
（2）由平行线的性质和已知条件求解即可．
【详解】（1）∵在△BCD 中，BC=1.5，BD=2.5，
∴1＜CD＜4，
∵CD 的长为偶数，
∴CD 的取值是2．
故答案为2；
（2）∵AE∥BD，∠BDE=125°，
∴∠AEC=55°，
又∵∠A=55°，
∴∠C=70°．
【点评】本题考查了三角形三边关系定理，平行线的性质和判定，掌握定理与性质是解题的关键．
25．(本题8 分)
中，
，点
分别是边
上的点，点
是一动点，令
，
，
．
（1）若点
在线段
上，如图①所示，且
，则
_____ ；
（2）若点
在边
上运动，如图②所示，则
、
、
之间的关系为______；
（3）如图③，若点
在斜边
的延长线上运动
，请写出
、
、
之间的关系式，并说明理
由．
【答案】（1）140°；（2）∠1＋∠2＝90°＋α．（3）如图1，∠2−∠1＝90°＋∠α；如图2，∠α＝0°，∠2＝∠1＋90°；
如图3，∠1−∠2＝∠α−90°．
【分析】（1）根据四边形内角和定理以及邻补角的定义得出∠1＋∠2＝∠C＋∠α，进而得出即可；
（2）利用（1）中所求得出答案即可；
（3）利用三角外角的性质分三种情况讨论即可．
【详解】（1）∵∠1＋∠2＋∠CDP＋∠CEP＝360°，∠C＋∠α＋∠CDP＋∠CEP＝360°，∴∠1＋∠2＝∠C＋∠α，
∵∠C＝90°，∠α＝50°，∴∠1＋∠2＝140°；
（2）由（1）得出：∠α＋∠C＝∠1＋∠2，∴∠1＋∠2＝90°＋α．
（3）如图，
分三种情况：连接ED 交BA 的延长线于P 点，如图1，由三角形的外角性质，∠2＝∠C＋∠1＋∠α，∴∠2−∠1
＝90°＋∠α；如图2，∠α＝0°，∠2＝∠1＋90°；如图3，∠2＝∠1−∠α＋∠C，∴∠1−∠2＝∠α−90°．
【点评】本题考查三角形内角和定理和外角的性质、对顶角相等的性质和四边形内角和定理，熟练利用三角形
外角的性质是解决问题的关键．
26．(本题10 分)如图1，已知线段AB、CD 相交于点O，连接AC、BD，则我们把形如这样的图形称为“8 字型”．
(1)求证：∠A+∠C＝∠B+D；
(2)如图2，若∠CAB 和∠BDC 的平分线AP 和DP 相交于点P，且与CD、AB 分别相交于点M、N．
①以线段AC 为边的“8 字型”有 个，以点O 为交点的“8 字型”有 个；
②若∠B＝100°，∠C＝120°，求∠P 的度数；
③若角平分线中角的关系改为“∠CAP＝
∠CAB，∠CDP＝
∠CDB”，试探究∠P 与∠B、∠C 之间存在的数
量关系，并证明理由．
【答案】(1)证明见解析；(2)①3， 4；②∠P＝110°；③3∠P＝∠B+2∠C，理由见解析.
【分析】(1)由三角形内角和得到∠A+∠C=180°﹣∠AOC，∠B+∠D=180°﹣∠BOD，由对顶角相等，得到
∠AOC=∠BOD，因而∠A+∠C=∠B+∠D；
(2)①以线段AC 为边的“8 字形”有3 个，以O 为交点的“8 字形”有4 个；
②根据(1)的结论，以M 为交点“8 字型”中，∠P+∠CDP＝∠C+∠CAP，以N 为交点“8 字型”中，∠P+∠BAP
＝∠B+∠BDP，两等式相加得到2∠P+∠BAP+∠CDP=∠B+∠C+∠CAP+∠BDP，由AP 和DP 是角平分线，得到
∠BAP＝∠CAP，∠CDP＝∠BDP，从而∠P=
(∠B+∠C)，然后将∠B=100º，∠C=120º 代入计算即可；
③与②的证明方法一样得到3∠P=∠B+2∠C.
【详解】(1)在图1 中，有∠A+∠C＝180°﹣∠AOC，∠B+∠D＝180°﹣∠BOD，
∵∠AOC＝∠BOD，
∴∠A+∠C＝∠B+∠D；
(2)解：①以线段AC 为边的“8 字型”有3 个：
以点O 为交点的“8 字型”有4 个：
②以M 为交点“8 字型”中，有∠P+∠CDP＝∠C+∠CAP，
以N 为交点“8 字型”中，有∠P+∠BAP＝∠B+∠BDP
∴2∠P+∠BAP+∠CDP＝∠B+∠C+∠CAP+∠BDP，
∵AP、DP 分别平分∠CAB 和∠BDC，
∴∠BAP＝∠CAP，∠CDP＝∠BDP，
∴2∠P＝∠B+∠C，
∵∠B＝100°，∠C＝120°，
∴∠P＝
（∠B+∠C）=
（100°+120°）＝110°；
③3∠P＝∠B+2∠C，其理由是：
∵∠CAP＝
∠CAB，∠CDP＝
∠CDB，
∴∠BAP＝
∠CAB，∠BDP＝
∠CDB，
以M 为交点“8 字型”中，有∠P+∠CDP＝∠C+∠CAP，
以N 为交点“8 字型”中，有∠P+∠BAP＝∠B+∠BDP
∴∠C﹣∠P＝∠CDP﹣∠CAP＝
（∠CDB﹣∠CAB），
∠P﹣∠B＝∠BDP﹣∠BAP＝
（∠CDB﹣∠CAB）．
∴2（∠C﹣∠P）＝∠P﹣∠B，
∴3∠P＝∠B+2∠C．
故答案为(1)证明见解析；(2)①3， 4；②∠P＝110°；③3∠P＝∠B+2∠C，理由见解析.
【点评】本题考查了三角形内角和定理：三角形内角和是180°．也考查了角平分线的定义．
