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11.2.2 三角形的外角
一、单选题
1．如图，把
纸片沿DE 折叠，点A 落在四边形BCED 的外部，
，
，则
的度数为
（ ）
A．32°
B．30°
C．28°
D．26°
【答案】C
【分析】根据翻折的性质可得
，再利用三角形外角的性质表示出
，然
后根据角的和差整理即可得解．
【详解】解：如图，由翻折的性质得，
∴
，
∴在△ADE 中，
，
∵
，
∴
，
∴
，
∵
，
，
∴
．
故选：C．
【点评】本题考查了翻折变换的性质，三角形外角的性质，理解折叠前后对应角相等是解题关键．
2．如图，
，点
在
上，
，
，则下列结论正确的个数是（ ）
（1）
；（2）
；（3）
；（4）
A．1 个
B．2 个
C．3 个
D．4 个
【答案】B
【分析】利用平行线的性质和三角形的性质依次判断即可求解．
【详解】解：∵AB∥CD，
∴∠A+∠C＝180°，
又∵∠A＝110°，
∴∠C＝70°，
∴∠AED＝∠C+∠D＝85°，故（2）正确，
∵∠C+∠D+∠CED＝180°，
∴∠D+∠CED＝110°，
∴∠A＝∠CED+∠D，故（3）正确，
∵点E 在AC 上的任意一点，
∴AE 无法判断等于CE，∠BED 无法判断等于45°，故（1）、（4）错误，
故选：B．
【点评】本题考查了平行线的性质，三角形的外角的性质，掌握平行线的性质是本题的关键．
3．如图，CE 是△ABC 的外角∠ACD 的平分线，若∠B＝35°，∠ACE＝60°，则∠A＝（ ）
A．105°
B．95°
C．85°
D．75°
【答案】C
【分析】根据角平分线的性质，求得∠ACD＝120°，利用三角形的外角性质求解即可.
【详解】∵CE 是△ABC 的外角∠ACD 的平分线，∠ACE＝60°，
∴∠ACD＝120°，
∵∠ACD＝∠A+∠B，且∠B＝35°，
∴∠A＝85°，
故选C.
【点评】本题考查了角平分线的性质，三角形外角的性质，熟练运用两条性质是解题的关键.
4．如图，在△ABC 中，∠ACB=90°，D 在AB 上，将△ABC 沿CD 折叠，点B 落在AC 边上的点B′处，若
，则∠A 的度数为（ ）
A．25°
B．30°
C．35°
D．40°
【答案】C
【分析】利用翻折不变性，三角形内角和定理和三角形外角的性质即可解决问题．
【详解】∵∠ACB＝90°，
∴∠A＋∠B＝90°，
∵△CDB′是由△CDB 翻折得到，
∴∠CB′D＝∠B，
∵∠CB′D＝∠A＋∠ADB′＝∠A＋20°，
∴∠A＋∠A＋20°＝90°，
解得∠A＝35°．
故选：C．
【点评】本题考查三角形内角和定理和三角形外角的性质，翻折变换等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，
属于中考常考题型．
5．如图，
和
相交于点
，
，则下列结论中不正确的是（ ）．
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】利用三角形的外角性质，对顶角相等逐一判断即可.
【详解】∵∠1=∠2，∠A=∠C，∠1=∠A+∠D，∠2=∠B+∠C，
∴∠B=∠D，
∴选项A、B 正确；
∵∠2=∠A+∠D，
∴
，
∴选项C 正确；
没有条件说明
故选：D.
【点评】本题考查了对顶角的性质，三角形外角的性质，熟练掌握并运用两条性质是解题的关键.
6．已知，
是
的边
上一点，
，
和
的平分线交于点
，若
，则
的大小为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】先利用角平分线和三角形外角的性质可得
，再根据平行线的性质定理即可得出
的大小．
【详解】解：如下图所示，
∵
和
的平分线交于点
，
∴
，
∵
，
，
∴
，
∵
，
∴
，
∵
，
∴
，
故选：C．
【点评】本题考查三角形外角的性质，平行线的性质定理，与角平分线有关的计算．正确理解三角形外角等于
与它不相邻的两个内角之和是解题关键．
7．下列命题是假命题的是（ ）
A．三角形的内角和是180°
B．两直线平行，内错角相等
C．三角形的外角大于任何一个内角
D．同旁内角互补，两直线平行
【答案】C
【分析】根据三角形内角和定理、外角性质、平行线的性质与判定进行判断即可．
【详解】解：A 选项，三角形的内角和是180°，是真命题，不符合题意；
B 选项，两直线平行，内错角相等，是真命题，不符合题意；
C 选项，三角形的外角大于任何一个内角，是假命题，符合题意；
D 选项，同旁内角互补，两直线平行，是真命题，不符合题意；
故选：C．
【点评】本题考查了三角形内角和定理和外角的性质，平行的性质与判定，解题关键是熟练准确掌握基础知识．
8．如图，AE、AD 分别是
的高和角平分线，且
，
，则
的度数为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】根据三角形内角和定理求出∠BAC=
，利用AD 平分∠BAC 及三角形的外角性
质求出∠ADC=∠B+∠BAD=
，再根据∠AED=
求出答案．
【详解】∵
，
，
∴∠BAC=
，
∵AD 平分∠BAC，
∴∠BAD=
，
∴∠ADC=∠B+∠BAD=
，
∵AE⊥BC，
∴∠AED=
，
∴∠DAE=
-∠ADE=
，
故选：B．
【点评】此题考查三角形的内角和定理，三角形的外角性质，垂直的定义，角平分线的性质，直角三角形两锐
角互余，这是三角形的基础题型．
二、填空题
9．已知
，直线
交
于点
，交
于点
是直线
上一动点，过
作直线
的垂线
交
于点
．若
，则
__________．
【答案】90°或30°
【分析】先由两直线平行，内错角相等得出∠EFC＝∠PEF．若设∠PEF＝x，则∠EFC＝x，∠APQ＝2x，∠EQP＝x，
再由EF⊥PQ，根据三角形内角和定理得到∠PEF＋∠APQ＝90°，即x＋2x＝90°，解方程求出x＝30°，然后根据
三角形外角的性质即可求出∠AEQ 的度数．
【详解】解：①如图：
∵AB∥CD，
∴∠EFC＝∠PEF．
设∠PEF＝x，则∠EFC＝x，∠APQ＝2∠EFC＝2x，∠EQP＝∠EFC＝x．
∵EF⊥PQ，
∴∠PEF＋∠APQ＝90°，即x＋2x＝90°，
解得x＝30°，
∴∠EQP＝x＝30°，∠APQ＝2x＝60°，
∴∠AEQ＝∠EQP＋∠APQ＝30°＋60°＝90°．
②如图：
易知∠EFC＝∠FEB＝∠HEA，∠APQ＝∠HPE，
又∵∠PHE＝90°，
故∠EFC＝30°，∠EQP＝30°，∠APQ＝60°；
故∠AEQ＝∠APQ−∠EQP＝30°．
综上所述：
90°或30°．
故答案是：90°或30°．
【点评】本题考查了平行线的性质，三角形内角和定理及外角的性质，难度适中．设出适当的未知数，列出方
程，是解题的关键．
10．如图，在△ABC 中，BD 平分∠ABC，连接CD，若∠A＝∠D＝40°，∠ACD＝30°，则∠DCE 的度数为_____．
【答案】70°．
【分析】由三角形的外角的性质定理得到∠ACE＝∠A+∠ABC，∠DCE＝∠CBD+∠D，再由已知∠ABD＝∠CBD，
∠A＝∠D＝40°，∠ACD＝30°解方程组可求得结果．
【详解】∵BD 平分∠ABC，
∴∠ABD＝∠CBD，
∵∠ACE＝∠A+∠ABC＝40°+2∠CBD，
∴∠DCE+∠ACD＝∠A+2∠CBD，
∵∠DCE＝∠CBD+∠D，∠A＝∠D＝40°，∠ACD＝30°，
∴∠DCE+30°＝40°+2∠CBD，即∠DCE＝2∠CBD+10°①，
∠DCE＝40°+∠CBD ②，
由①②得∠DCE＝70°，
故答案为：70°．
【点评】本题主要考查了三角形的外角的性质定理，角平分线的定义，熟练应用三角形的外角的性质定理是解
决问题的关键．
11．如图，
，点
，分别在射线
，
上，
平分
，
的反向延长线与
的平分线交于点
，则
的度数是_______．
【答案】
【分析】根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和，列式求出
，再根据角平分线的定义
求出
和
，然后根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和，列式计算即可得解．
【详解】解：根据三角形的外角性质，可得
，
平分
，
平分
，
，
，
，
，
，
，
，
，
．
故答案为：45°．
【点评】本题考查了三角形外角的性质，以及角平分线的定义，解题时注意：三角形的一个外角等于和它不相
邻的两个内角的和．
12．已知
，一个含
角的直角三角板按如图所示放置，
，则
_____．
【答案】75°．
【分析】利用外角求∠5，再根据平行线的性质求∠1．
【详解】解：由题意可知∠4=45°，∠2=∠3=30°，
∠5=∠2+∠3=75°，
∵
，
∴∠1=∠5=75°，
故答案为：75°．
【点评】本题考查了三角形外角的性质和平行线的性质，解题关键是熟练运用相关知识进行推理计算．
三、解答题
13．如图，在
中，
，直线
分别交
的边
、
和
的延长线于点
、、
．
（1）若
，则
__________．
（2）
、
、
有什么数量关系？请说明理由．
【答案】（1）
；（2）∠F+∠FEC=2∠A，理由见解析
【分析】（1）在△ABC 中，利用三角形内角和定理求得∠C 的度数，再在△EFC 中，利用三角形内角和定理即可
求解；
（2）根据三角形外角的性质，可得出∠FEC=∠A+∠ADE，∠F+∠BDF=∠ABC，再根据∠A=∠ABC，即可得出答案．
【详解】（1）在△ABC 中，∠A=∠ABC，且∠A=70°，
∴∠C=
，
∴∠F+∠FEC=
；
故答案为：
；
（2）∠F+∠FEC=2∠A，
理由：∵∠FEC=∠A+∠ADE，∠F+∠BDF=∠ABC，
∴∠F+∠FEC=∠F+∠A+∠ADE，
∵∠ADE=∠BDF，
∴∠F+∠FEC=∠A+∠ABC，
∵∠A=∠ABC，
∴∠F+∠FEC=∠A+∠ABC=2∠A．
【点评】本题考查了三角形的内角和定理，以及三角形的外角性质，解题的关键是利用三角形外角的性质．
14．将△ABC 纸片沿DE 折叠，其中∠B＝∠C．
（1）如图1，点C 落在BC 边上的点F 处，AB 与DF 是否平行？请说明理由；
（2）如图2，点C 落在四边形ABCD 内部的点G 处，探索∠B 与∠1+∠2 之间的数量关系，并说明理由．
【答案】（1）平行，理由见解析；（2）∠1+∠2＝2∠B，理由见解析
【分析】（1）AB 与DF 平行．根据翻折可得出∠DFC＝∠C，结合∠B＝∠C 即可得出∠B＝∠DFC，从而证出
AB∥DF；
（2）连接GC，由翻折可得出∠DGE＝∠ACB，再根据三角形外角的性质得出∠1＝∠DGC+∠DCG，∠2＝
∠EGC+∠ECG，通过角的运算即可得出∠1+∠2＝2∠B．
【详解】解：（1）AB 与DF 平行．理由如下：
由翻折，得∠DFC＝∠C．
又∵∠B＝∠C，
∴∠B＝∠DFC，
∴AB∥DF．
（2）连接GC，如图所示．
由翻折，得∠DGE＝∠ACB．
∵∠1＝∠DGC+∠DCG，∠2＝∠EGC+∠ECG，
∴∠1+∠2＝∠DGC+∠DCG+∠EGC+∠ECG＝（∠DGC+∠EGC）+（∠DCG+∠ECG）＝∠DGE+∠DCE＝2∠ACB．
∵∠B＝∠ACB，
∴∠1+∠2＝2∠B．
【点评】本题考查了平行线的判定以及翻折得性质，解题的关键是：（1）找出∠B=∠DFC；（2）根据三角形外角
的性质利用角的计算求出∠1+∠2=2∠B．本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，找出相等（或互
补）的角是关键.
15．在
中，
与
的平分线相交于点
．
（1）如图①，如果
，求
的度数；
（2）如图②，作
外角
，
的角平分线，且交于点
，试探索
，
之间的数量关系；
（3）如图③，在图②中延长线段
，
交于点
若
中存在一个内角等于另一个内角的2 倍，求
的度数．
【答案】（1）
；（2）
；（3）
的度数是90°或60°或120°
【分析】（1）运用三角形的内角和定理及角平分线的定义，首先求出∠PBC+∠PCB，进而求出∠BPC 即可解决
问题；
（2）根据三角形的外角性质分别表示出∠MBC 与∠BCN，再根据角平分线的性质可求得∠CBQ+∠BCQ，最后
根据三角形内角和定理即可求解；
（3）在△BQE 中，由于∠Q=90°
∠A，求出∠E=
∠A，∠EBQ=90°，所以如果△BQE 中，存在一个内角等于
另一个内角的2 倍，那么分四种情况进行讨论：①∠EBQ=2∠E=90°；②∠EBQ=2∠Q=90°；③∠Q=2∠E；
④∠E=2∠Q；分别列出方程，求解即可．
【详解】（1）∵
，
∴
，
又∵点
是
和
的平分线的交点，
∴
，
∴
；
（2）∵外角
，
的角平分线交于点
，
∴
，
，
∵
，
，
∴
，
，
∴
，
∴
；
（3）延长BC 至F，
∵CQ 为△ABC 的外角∠NCB 的角平分线，
∴CE 是△ABC 的外角∠ACF 的平分线，
∴∠ACF=2∠ECF，
∵BE 平分∠ABC，
∴∠ABC=2∠EBC，
∵∠ECF=∠EBC+∠E，
∴2∠ECF=2∠EBC+2∠E，
即∠ACF=∠ABC+2∠E，
又∵∠ACF=∠ABC+∠A，
∴∠A=2∠E，即∠E=
∠A，
∵∠EBQ=∠EBC+∠CBQ
=
∠ABC+
∠MBC
=
（∠ABC+∠A+∠ACB）
=90°．
如果△BQE 中，存在一个内角等于另一个内角的2 倍，那么分四种情况：
①∠EBQ=2∠E=90°，则∠E=45°，∠A=2∠E=90°；
②∠EBQ=2∠Q=90°，则∠Q=45°，∠E=45°，∠A=2∠E=90°；
③∠Q=2∠E，则∠E=30°，解得∠A=2∠E=60°；
④∠E=2∠Q，则∠E=60°，解得∠A=2∠E=120°．
综上所述，∠A 的度数是90°或60°或120°．
【点评】本题是三角形综合题，考查了三角形内角和定理、外角的性质，角平分线定义等知识；灵活运用三角
形的内角和定理、外角的性质进行分类讨论是解题的关键．
16．（1）已知直线
，小亮把一块含
角的直角三角尺的直角顶点放在直线
上．
①若三角尺与平行线的位置如图1 所示，
，求
的度数；
②若三角尺与平行线的位置如图2 所示，且
，则
的度数又是多少？
（2）已知直线
，小亮把一块含
角的直角三角尺按图3 所示放置，若
，求
的度数．
【答案】（1）①50°；②20°；（2）35°
【分析】（1）①由直角三角板的性质可知∠3=180°-∠1-90°，再根据平行线的性质即可得出结论；
②首先过点B 作BD∥a，由直线a∥b，可得BD∥a∥b，由两直线平行，内错角相等，即可求得答案∠4 的度数，
又由△ABC 是含有45°角的三角板，即可求得∠3 的度数，继而求得∠2 的度数；
（2）先根据三角形外角的性质求出∠3 的度数，再由平行线的性质得出∠4 的度数，由直角三角形的性质即可
得出结论．
【详解】解：（1）①如图①∵∠1=40°，
∴∠3=180°-∠1-90°=180°-40°-90°=50°，
∵a∥b，
∴∠2=∠3=50°；
②如图②过点B 作BD∥a，
∵直线a∥b，
∴BD∥a∥b，
∴∠4=∠1=25°，
∵∠ABC=45°，
∴∠3=∠ABC-∠4=45°-25°=20°，
∴∠2=∠3=20°；
（2）如图3，∵∠3 是△ADG 的外角，
∴∠3=∠A+∠1=30°+25°=55°，
∵直线a∥b，
∴∠3=∠4=55°，
∵∠4+∠EFC=90°，
∴∠EFC=90°-55°=35°，
∴∠2=35°．
【点评】本题考查的是平行线的性质，三角形外角的性质，熟练掌握两直线平行，同位角相等是解题的关键．
17．△ABC 中，AD 是∠BAC 的角平分线，AE 是△ABC 的高．
（1）如图1，若∠B＝40°，∠C=60°，求∠DAE 的度数；
（2）如图2，∠B＜∠C，则DAE、∠B，∠C 之间的数量关系为___________；
（3）如图3，延长AC 到点F，∠CAE 和∠BCF 的角平分线交于点G，求∠G 的度数．
【答案】（1）10°；（2）∠DAE＝
(∠C−∠B)；（3）45°．
【分析】（1）根据三角形的内角和定理可求得∠BAC＝80°，由角平分线的定义可得∠CAD 的度数，利用三角形
的高线可求∠CAE 得度数，进而求解即可得出结论；
（2）根据（1）的推理方法可求解∠DAE、∠B、∠C 的数量关系；
（3）设∠ACB＝
，根据角平分线的定义得∠CAG＝
∠EAC＝
（90°−
）＝45°−
，∠FCG＝
∠BCF
＝
（180°−
）＝90°−
，再利用三角形外角的性质即可求得结果．
【详解】解：（1）∵∠B＝40°，∠C＝60°，∠BAC＋∠B＋∠C＝180°，
∴∠BAC＝80°，
∵AD 平分∠BAC，
∴∠CAD＝∠BAD＝
∠BAC＝40°，
∵AE 是△ABC 的高，
∴∠AEC＝90°，
∵∠C＝60°，
∴∠CAE＝90°−60°＝30°，
∴∠DAE＝∠CAD−∠CAE＝10°；
（2）∵∠BAC＋∠B＋∠C＝180°，
∴∠BAC＝180°−∠B−∠C，
∵AD 平分∠BAC，
∴∠CAD＝∠BAD＝
∠BAC，
∵AE 是△ABC 的高，
∴∠AEC＝90°，
∴∠CAE＝90°−∠C，
∴∠DAE＝∠CAD−∠CAE＝
∠BAC−（90°−∠C）＝
（180°−∠B−∠C）−90°＋∠C＝
∠C−
∠B，
即∠DAE＝
(∠C−∠B)．
故答案为：∠DAE＝
(∠C−∠B)．
（3）设∠ACB＝
，
∵AE⊥BC，
∴∠EAC＝90°−
，∠BCF＝180°−
，
∵∠CAE 和∠BCF 的角平分线交于点G，
∴∠CAG＝
∠EAC＝
（90°−
）＝45°−
，
∠FCG＝
∠BCF＝
（180°−
）＝90°−
，
∵∠FCG＝∠G＋∠CAG，
∴∠G＝∠FCG −∠CAG＝90°−
−（45°−
）＝45°．
【点评】本题考查了三角形的内角和定理、三角形的高及角平分线等知识，熟练掌握三角形内角和定理并能灵
活运用三角形的高、角平分线这些知识解决问题是关键．
18．如图，已知在
中，
是外角
的平分线，
是
的平分线．
（1）求证：
．
（2）若
，求证：
．
【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析．
【分析】（1）根据角平分线的性质和三角形的外角性质即可求证；
（2）由∠A=2∠E，∠A=∠ABC，∠ABC=2∠ABE 得∠ABE=∠E，从而AB∥CE．
【详解】证明：（1）∵
是
的一个外角，
是
的一个外角，
∴
，
，
∴
，
．
∵
是外角
的平分线，
是
的平分线，
∴
，
，
∴
．
（2）由（1）可知
．
∵
，
，
∴
，
即
，
∴
．
【点评】本题考查了三角形的综合问题，涉及平行线的判定，三角形的外角性质，角平分线的性质，灵活运用
所学知识是解题的关键．
19．已知直线
与
互相垂直，垂足为O，点A 在射线
上运动，点B 在射线
上运动，点A，B 均不
与点O 重合．
（1）如图1，
平分
平分
．若
，则
______ ．
（2）如图2，
平分
交
于点I，
平分
的反向延长线交
的延长线于点D．
①若
，则
_______ ．
②在点A，B 的运动过程中，
的大小是否会发生变化？若不变，求出
的度数；若变化，请说明理
由．
（3）如图3，已知点E 在
的延长线上，
的平分线
的平分线
与
的平分线所在
的直线分别相交于点D，F．在
中，如果有一个角的度数是另一个角的3 倍，请直接写出
的度数．
【答案】（1）135；（2）①45；②
的大小不会发生变化，
；（3）
或
．
【分析】（1）先求出∠IBA、∠MAB，根据∠AIB=180°-（∠IBA+∠IAB）求解即可；
（2）①由∠CBA=∠D+∠BAD 求出∠CBA、∠BAD 即可解答；②由点A、B 在运动的过程中，∠ADB=45°，可得
∠D=∠CBA-∠BAD=
∠MBA-
∠BAO=
（∠MBA-∠BAO）=
∠AOB 进行计算即可；
（3）先证明∠ABO=2∠D，∠DAF=90°，再分①当
时，②当∠DAF=3∠F 时，③当
时，④当
时四种情况分别解答即可．
【详解】解：如图：
（1）∵
，
∴
∵
，
∴
．
∵
平分
平分
，
∴
，
∴
．
（2）①∵
，且
平分
平分
，
∴
．
∵
，
∴
．
②
的大小不会发生变化．
∵
．
故
的大小不会发生变化，
．
（3）∵
的平分线
，
的平分线
与
的平分线所在的直线分别相交于点D，F，
∴
，
∴
，
∴
．
①当
时，
，
∴
；
②当
时，
，
∴
（舍去）；
③当
时，
，
∴
；
④当
时，
，
∴
（舍去）．
综上，当
或
时，在
中，有一个角的度数是另一个角的3 倍．
【点评】本题主要考查三角形综合题、三角形内角和定理、角平分线的定义、三角形的外角等知识点，掌握分
类讨论的思想并灵活应用相关知识成为解答本题的关键．
20．如图，
平分
．
（1）如图1，求证：
//
；
（2）如图2，点F 为线段
上一点，连接
，求证：
；
（3）如图3，在（2）的条件下，在射线
上取点G，连接
，使得
，当
时，求
的度数．
【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）
．
【分析】(1)根据角平分线的定义得出；∠BAE=∠CAE，求出∠CEA=∠BAE；根据平行线的判定得出即可；
(2) 过F 作FH/AB，求出AB//FH//CD，根据平行线的性质得出∠BAF+∠AFE=180°，∠DEF+∠EFH=180°，即可求出
答案，
(3)设 ∠C=x，∠CEF=y ，由∠GEF=∠C=x，得到∠GED=2，∠DEF=3x，∠CAE=y+35°再根据角平分线性质，AE 平分
∠BAC 得到∠BAC=2y+70°，由∠CEF+∠DEF=180°， ∠BAF+∠AFE+∠DEE=360°，列二元一次方程组求出解．
【详解】证明： （1）∵AE 平分∠BAC，
（解平分线定义），
，
，
（内错角相等两直线平行），
（2）证明：如图，过F 作
（两直线平行同旁内角互补），
由（1）得
，
又
，
（同平行于一条直线的两直线平行），
（两直线平行，同旁内角互补），
，
，
（3）解：设
，
，
，
，
，
，
平分
，
，
即
，
为
外角，
，
由（1）得
，
，
，
（一平角
），
，
，
解得
，
，
【点评】本题考查了平行线的性质和判定，角平分线的定义等知识点，能灵活根据平行线的性质和判定进行推
理是解此题的关键.
