11.2.1 三角形的内角和
基础知识
一、选择题
1.下列说法正确的是( )
A.三角形的内角中最多有一个锐角; B.三角形的内角中最多有两个锐角
C.三角形的内角中最多有一个直角; D.三角形的内角都大于60°
答案：C
2.(2012 广东省梅州市) 如图，在折纸活动中，小明制作了一张
纸片，点
、分别
是边
、
上，将
沿着
折叠压平，
与
重合，若
，则
（ ）
（A）
（B）
（C）
（D）
答案：A
3. (2012 山东省滨州市) 一个三角形的三个内角的度数之比为
3 7
∶∶，则这个三角形一定
是（ ）
（A）等腰三角形 （B）直角三角形 （C）锐角三角形 （D）钝角三角形
答案：D
4. (2012 云南省昆明市) 如图，在
中，
，
是
的
角平分线，则
的度数为（ ）．
（A）
（B）
（C）
（D）
答案：A
5. (2012 福建省漳州市) 将一副直角三角板，按如图所示叠放在一起，则图中∠
的度数是
（ ）
（A）45o （B）60o （C）75o （D）90o
答案：C
6. (2012 四川省绵阳市) 如图，将等腰直角三角形沿虚线裁去顶角后，∠1 +∠2 =（ ）．
A．225° B．235° C．270° D．与虚线的位置有关
答案：C
7. (2012 广西来宾市) 如图，在△ABC 中，已知∠A＝80°，∠B＝60°，DE∥BC，那么∠CED
的大小是 （ ）
A．40°
B．60°
C．120°
D．140°
答案：D
8. (2012 山东省聊城市) 将一副三角板按如图所示摆放，图中
的度数是（ ）
（A）
（B）
（C）
（D）
答案：C
9.如图，ABCDE 是封闭折线，则∠A+∠B+∠C+∠D+∠E 为（ ）度．
A．180 B．270
C．360
D．540
答案：A
10．直角三角形两锐角的平分线所夹的钝角等于（ ）
A．100° B．120° C．135° D．150°
答案：C
11.如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=50°，将其折叠，使点A落在边CB上A′处，折痕为
CD，则∠A′DB=（ ）
A．40°B．30°C．20°D．10°
1
2
答案：D
12．具备下列条件的△ABC 中，不是直角三角形的是（ ）
A．∠A-∠B=∠C B．∠A=3∠C，∠B=2∠C
C．∠A=∠B=2∠CD．∠A=∠B=
∠C
答案：C
13.如图，在三角形ABC 中，已知∠ABC=70º,∠ACB=60º,BE⊥AC 于E,CF⊥AB 于F,H 是BE 和
CF 的交点，则∠EHF=( )
A. 100º B. 110º C. 120º D.130º
答案：D
14．如图所示，把一个三角形纸片ABC 顶角向内折叠3 次之后，3 个顶点不重合，那么图
中∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6 的度数和是（ ）
A．180° B．270° C．360° D．无法确定
答案：C
二、填空题
1.三角形中,若最大内角等于最小内角的2 倍,最大内角又比另一个内角大20°,则此三角
形的最小内角的度数是________.
答案：40°
2.在△ABC 中,若∠A+∠B=∠C,则此三角形为_______三角形;若∠A+∠B<∠C,则此三角形是
_____三角形.
答案：直角；钝角
3.在△ABC 中,∠B,∠C 的平分线交于点O,若∠BOC=132°,则∠A=_______度.
答案：84°
4.如图所示,已知∠1=20°,∠2=25°,∠A=35°,则∠BDC 的度数为________.
2
1
D
C
B
A
答案：80°
5.（2013•上海）当三角形中一个内角α 是另一个内角β 的两倍时，我们称此三角形为“特征
三角形”，其中α 称为“特征角”．如果一个“特征三角形”的“特征角”为100°，那么这
个“特征三角形”的最小内角的度数为 .
答案：30º
6. (2012 内蒙古呼和浩特市) 如图，在
中，
，三角形的外角
和
的平分线交于点
，则
=____________．
答案：66.5°
7. (2012 江苏省徐州市) 将一副直角三角板如图放置．若AE∥BC，则∠AFD= °．
答案：75°
8.如图，AB∥CD，∠A=32°，∠AEB=100°，则∠C 的度数是 度．
答案：48º
9.△ABC 中，∠A=∠B+∠C，则∠A= 度．
答案：90
10．在△ABC 中，已知∠A=
∠B=
∠C，则三角形的形状是 三角形．
答案：直角三角形
F
E
D
C
B
A
（第15 题）
11．已知△ABC 中，∠A=2（∠B+∠C），则∠A 的度数为 度．
答案：120
8．如图，在△ABC 中，∠1=∠2，∠3=∠4，∠BOC=120°，则∠A= .
答案：60º
12．如图，AD、AE 分别是△ABC 的高和角平分线，∠B=58°，∠C=36°，∠EAD=
.
答案：11º
13.如图所示,在△ABC 中,∠B=∠C,FD⊥BC,DE⊥AB,∠AFD=150°, 则∠EDF=________度.
F
E
D
C
B
A
答案：60°
14.如图，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F= .
答案：360°
三、解答题
1.在△ABC 中,已知∠B-∠A=5°,∠C-∠B=20°,求三角形各内角的度数.
设∠A=x°,则∠B=(x+5)°, ∠C=(x+25)°可列方程
X+x+5+x+25=180
解得：x=50°
所以∠A=50°,∠B=55°, ∠C=75°
F
E
D
C
B
A
2.已知：如图，AB∥CD，直线EF 分别交AB、CD 于点E、F，∠BEF 的平分线与∠DFE 的平分线相
交于点P．求证：∠P=90°．
证明：∵AB∥CD，
∴∠BEF+∠DFE=180°．
又∵∠BEF 的平分线与∠DFE 的平分线相交于点P，
∴∠PEF=
∠BEF，∠PFE=
∠DFE，
∴∠PEF+∠PFE=
（∠BEF+∠DFE）=90°．
∵∠PEF+∠PFE+∠P=180°，
∴∠P=90°．
3.如图，△ABC 中，CD 是∠ACB 的角平分线，CE 是AB 边上的高，若∠A=40°，∠B=72°．
（1）求∠DCE 的度数；
（2）试写出∠DCE 与∠A、∠B 的之间的关系式．（不必证明）
答案：(1)在⊿ABC 中，∠ACB=180º-∠A-∠B=68º,
∵CD 是∠ACB 的角平分线
∴∠BCD=
∠ACB=34º
∵CE⊥AB,∠B=72º
∴∠BCE=18º
∴∠DCE=∠BCD-∠BCE=34º-18º=16º.
(2)∠DCE=
(∠B-∠A).
4.如图，已知在三角形ABC 中，∠C=∠ABC=2∠A，BD 是AC 边上的高，求∠DBC 的度数．
解：∵∠C=∠ABC=2∠A，
∴∠C+∠ABC+∠A=5∠A=180°，
∴∠A=36°．
则∠C=∠ABC=2∠A=72°．
又BD 是AC 边上的高，
则∠DBC=90°-∠C=18°．
5.如图，有一块直角三角板XYZ 放置在△ABC 上，恰好三角板XYZ 的两条直角边XY、XZ 分别经
过点B、C．△ABC 中，∠A=40°，求∠XBA+∠XCA 的度数.
解：∵∠A=40°，
∴∠ABC+∠ACB=180°-40°=140°，
∵∠X=90°，
∴∠XBC+∠XCB=180°-90°=90°，
∴∠XBA+∠XCA=（∠ABC+∠ACB）-（∠XBC+∠XCB）=140°-90°=50°．
6．如图，△ABC 中，∠ABC、∠ACB 的平分线相交于点O．
（1）若∠ABC=45°，∠ACB=55°，则∠BOC 的度数是 ；
（2）若∠A=80°，求∠BOC 的度数；
（3）若∠A=α，∠BOC=β，请猜想α 与β 之间的数量关系，并说明理由．
解：（1）∵∠ABC 和∠ACB 的平分线BD，CE 相交于点O，
∴∠DBC=
∠ABC，∠ECB=
∠ACB，又∠ABC=45°，∠ACB=55°，
∴∠DBC=22.5°，∠ECB=27.5°，
∴∠BOC=180°-∠DBC-∠ECB=180°-22.5°-27.5°=130°，
故答案为：130°；
（2）∵∠A=80°，
∴∠ABC+∠ACB=180°-80°=100°，
又∠ABC 和∠ACB 的平分线BD，CE 相交于点O，
∴∠DBC=
∠ABC，∠ECB=
∠ACB，
∴∠DBC+∠ECB=
（∠ABC+∠ACB）=50°，
则∠BOC=180°-（∠DBC+∠ECB）=180°-50°=130°；
（3）β=90+
α，
理由如下：∵∠ABC、∠ACB 的平分线相交于点O，
∴∠OBC=
∠ABC、∠0CB=
∠ACB，
∴∠OBC+∠0CB=
∠ABC+
∠ACB=
（180°-α）=90°-
α，
∴β=180°-（∠OBC+∠0CB）=180°-（90°-
α）=90°+
α．
7．如图，在△ABC 中，∠B=40°，∠C=60°，AD⊥BC 于D，AE 平分∠BAC 交BC 于E，DF⊥AE 于
F，求∠ADF 的度数．
解：∵∠B=40°，∠C=60°，
∴∠BAC=80°．
∵AE 平分∠BAC 交BC 于E，
∴∠BAE=
∠BAC=40°，
∴∠AED=∠B+∠BAE=80°．
∵AD⊥BC，
∴∠DAE=90°-80°=10°
∵DF⊥AE，
∴∠ADF=90°-10°=80．
能力提升
1.如图，已知:∠1= ∠2， ∠3= ∠4， ∠C=32°, ∠D=28°,求∠P 的度数。
答案：
∵∠AED=∠BEP
∴∠1+∠D=∠3+∠P
∴∠D-∠P=∠3-∠1
∵∠AFP=∠BFC
∴∠2+∠P=∠4+∠C
∴∠P-∠C=∠4-∠2
∵∠1=∠2， ∠3=∠4
∴∠D-∠P=∠P-∠C
∴∠P=
(∠C+∠D)=30º
2.如图所示,将△ABC 沿EF 折叠,使点C 落到点C′处,试探求∠1,∠2 与∠C 的关系.
2
1
C'
F
E
C
B
A
解:∵∠1=180°-2∠CEF,∠2=180°-2∠CFE,
∴∠1+∠2=360°-2(∠CEF+ ∠CFE)
=360°-2(180°-∠C)
=360°-360°+2∠C=2∠C.
3．将一块直角三角板DEF 放置在△ABC 上，使得该三角板的两条直角边DE、DF 恰好分别经过
点B、C．
（1）如图1，当∠A=45°时，∠ABC+∠ACB= 度，∠DBC+∠DCB= 度；
（2）如图2，改变直角三角板DEF 的位置，使该三角板的两条直角边DE、DF 仍然分别经过点B、
C，那么∠ABD+∠ACD 的大小是否发生变化？若变化，请举例说明；若没有变化，请探究
∠ABD+∠ACD 与∠A 的关系．
解：（1）在△ABC 中，∵∠A=45°，
∴∠ABC+∠ACB=180°-45°=135°，
在△DBC 中，∵∠DBC=90°，
∴∠DBC+∠DCB=180°-90°=90°；
故答案135，90．
（2）不变．理由如下：
∵90°+（∠ABD+∠ACD）+∠A=180°，
∴（∠ABD+∠ACD）+∠A=90°，
∴∠ABD+∠ACD=90°-∠A．
