文档文本内容
13.1.1 轴对称
一、单选题
1．如图，直线，
相交于点
．为这两直线外一点，且
．若点
关于直线，
的对称点分别是
点
，
，则
，
之间的距离可能是（ ）
A．0
B．5
C．6
D．7
【答案】B
【分析】连接
根据轴对称的性质和三角形三边关系可得结论．
【详解】连接
，如图，
∵
是P 关于直线l 的对称点，
∴直线l 是
的垂直平分线，
∴
∵
是P 关于直线m 的对称点，
∴直线m 是
的垂直平分线，
∴
当
不在同一条直线上时，
即
当
在同一条直线上时，
故选：B
【点评】此题主要考查了轴对称变换，熟练掌握轴对称变换的性质是解答此题的关键
2．下列四个图形分别是节能、节水、绿色食品和低碳标志，其中轴对称图形是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】根据轴对称图形的概念对各选项分析判断即可得到答案．
【详解】A.不是轴对称图形，故本选项错误；
B.不是轴对称图形，故本选项错误；
C.是轴对称图形，故本选项正确；
D.不是轴对称图形，故本选项错误．
故选：C．
【点评】本题考查了轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形沿着对称轴折叠后可完全重合
即为轴对称图形．
3．如图，在
中，
，将
沿直线
翻折，点
落在点
的位置，则
的度数
是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】由折叠可知，
，再根据三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和分别表示出
和
，进而得出
，最终得出答案．
【详解】如图，
如图，设直线
与
分别交于点
，点
，
令
与
的交点为
，且
，
沿直线
翻折，点
落在点
上，
，
在
中，
，
在
中，
，
，
，
即
故选：C．
【点评】本题主要考查了翻折变换与三角形外角性质得综合应用，熟练掌握三角形外角性质是解答本题的关
键．
4．
是网格中的格点三角形（三角形的各顶点都在网格的交叉点上），如图建立直角坐标系，将该三角
形先向下平移2 个单位，然后再将平移后的图形沿y 轴翻折
，得到
，则点B 对应点
的坐标为（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】根据网格求出点B 坐标，向下平移2 个单位，点 B 的横坐标不变，纵坐标减2 得对应点B1的坐标，再
沿y 轴翻折
，横坐标变为相反数，纵坐标不变即可得出点B′（-4，3）．
【详解】∵点B 坐标为（4，5）
向下平移2 个单位，得点B 对应点的坐标B1（4，5-2），即B1（4，3），
再沿y 轴翻折
，
点B′（-4，3），
故选择A．
【点评】本题考查根据平面直角坐标系写出点的坐标，平移的性质，轴对称性质，掌握平面直角坐标系点的坐
标构成，平移的性质，轴对称性质是解题关键．
5．如图，在Rt△ACB 中，∠BAC＝90°，AD⊥BC，垂足为D，△ABD 与△ADB’关于直线AD 对称，点B 的对称点是
点B’，若∠B’AC＝14°，则∠B 的度数为 （ ）
A．38°
B．48°
C．50°
D．52°
【答案】D
【分析】由对称的性质得
，根据∠BAC＝90°可得
，再根据直角三角形两锐角关
系求解即可．
【详解】∵△ABD 与△ADB’关于直线AD 对称，
∴
∵∠BAC＝90°，∠B’AC＝14°
∴
∴
∴
故选D．
【点评】本题考查了轴对称的性质以及直角三角形两锐角关系，掌握轴对称的性质是本题的关键．
6．现实生活中，对称现象无处不在，中国的方块字中也有些具有对称性，下列美术字既是轴对称图形又是中
心对称图形的是（ ）
A．吕
B．人
C．甲
D．日
【答案】D
【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．
【详解】A、“吕”字是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不合题意；
B、“人”字是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不合题意；
C、“甲”字是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不合题意；
D、“日”字既是轴对称图形，又是中心对称图形，故本选项符合题意．
故选：D．
【点评】本题主要考查了轴对称图形与中心对称图形的判断，准确分析是解题的关键．
7．如图，在△ABC 中，∠C＝90°，沿DE 翻折使得A 与B 重合，∠CBD＝26°，则∠ADE 的度数是（ ）
A．57°
B．58°
C．59°
D．60°
【答案】B
【分析】求出∠CDB 的度数，再根据翻折求出∠ADE 的度数即可．
【详解】∵∠C＝90°，∠CBD＝26°，
∴∠CDB=90°-∠CBD＝64°，
∴∠ADB=116°，
由翻折可知，∠ADE=∠BDE=58°；
故选：B．
【点评】本题考查了轴对称和三角形内角和，解题关键是明确翻折角相等的性质，熟练运用三角形内角和解决
问题．
8．一张正方形纸片按图1，图2 对折后，再按图3 打出一个半圆形小孔，则展开铺平后的图案是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】依据轴对称的性质，将纸片依次展开还原，即可得到正确结论．
【详解】将图3 展开可得小孔位于图2 中虚线的左右两侧，且关于该虚线对称；
把图2 展开可得小孔位于图1 中虚线的上下两侧，且关于该虚线对称；
故选：D．
【点评】本题主要考查了剪纸问题．解决这类问题要熟知轴对称图形的特点，关键是准确的找到对称轴．一般
方法是动手操作，拿张纸按照题目的要求剪出图案，展开即可得到正确的图案．
二、填空题
9．如图，点D 是锐角
内一点，
于点E，点F 是线段
的一个动点，点G 是射线
的一个
动点，连接
、
、
，当
的周长最小时，
与
的数量关系式是________．
【答案】
【分析】作D 关于OA 的对称点D′，作D 关于OB 的对称得D″，连接D′D″，交OA、OB 于F、G，此时△DFG 的周长
最小，最小值为D′D″，连OD、OD′、OD″，根据轴对称的性质得出△GOD≌△GOD″，△FOD≌△FOD′，即可得出
∠BOD=∠BOD′，∠ODG=∠OD″G，∠DOA=∠AOD′，∠ODF=∠ODF′，由∠D′OD″=2∠AOB，∠GDF=∠ODF′
+∠ODG″根据三角形内角和定理即可得出2∠AOB+∠GDF=180°．
【详解】作D 关于OA 的对称点D′，作D 关于OB 的对称得D″，连接D′D″，交OA、OB 于F、G，此时△DFG 的周长
最小，最小值为D′D″，连OD、OD′、OD″，
由轴对称的性质可知，△GOD≌△GOD″，△FOD≌△FOD′，
∴∠BOD=∠BOD″，∠ODG=∠OD″G，∠DOA=∠AOD′，∠ODF=∠OD′F，
∴∠D′OD″=2∠AOB，∠GDF=∠OD′F+∠OD″G，
∵∠D′OD″+∠OD′F+∠OD″G=180°，
∴2∠AOB+∠GDF=180°，
故答案为2∠AOB+∠GDF=180°．
【点评】本题考查了轴对称-最短路线问题，熟练掌握轴对称的性质是解题的关键．
10．一条两边沿互相平行的围巾按图甲所示折叠并将其绘制成图乙，已知
，且
，
则
___________度．
【答案】230
【分析】将围巾展开，根据折叠的性质得：则∠ADM=∠ADF，∠KCB=∠BCN，设∠ABC=x，根据平行线的性质得：
∠FDC=∠KCG=2x，由平角的定义列式：∠FDC+∠FDM=180°，可得x 的值，从而得结论．
【详解】如图乙，将围巾展开，则∠ADM=∠ADF，∠KCB=∠BCN，
设∠ABC=x，则∠DAB=x+10°，
∵CD∥AB，
∴∠ADM=∠DAB=x+10°=∠ADF，
∵DF∥CG，
∴∠FDC=∠KCG=2x，
∵∠FDC+∠FDM=180°，
∴2x+2（x+10°）=180°，
x=40°，
∴3∠DAB+2∠ABC=3（x+10°）+2x=5x+30°=230°，
故答案为：230．
【点评】此题考查了平行线性质，解题时注意：折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和
大小不变，位置变化，对应边和对应角相等．
11．在平面直角坐标系中有一个轴对称图形只有一条对称轴，其中点
和点
是这个图形上
的一对称点，若此图形上另有一点
，则点
的对称点的坐标是________．
【答案】
【分析】先根据点 A(1,−2) 和点 A′(−9,−2) 是这个图形上的一对称点找到相应的对称关系，再根据该对称关系
找到点 B 的对称点的坐标即可．
【详解】∵点 A(1,−2) 和点 A′(−9,−2) 是这个图形上的一对称点，
∴点A 与点 A′关于直线x=−4 对称，
∴点 B(
,3)关于直线x=−4 对称为（
），
故答案为：
．
【点评】此题考查轴对称的性质和轴对称与坐标的变化，找到对称轴是关键，难度一般．
12．如图，将一条对边互相平行的纸带进行两次折叠，折痕分别为
、
，若
，
，则
的大小为_______度．
【答案】60
【分析】由折叠的性质可得∠3=∠1=30°，从而求得∠4=120°，再根据平行线的性质定理求出∠ACD=∠4=120°，
最后再根据平行线性质定理求出∠2=60°．
【详解】如图，延长FA，由折叠的性质，可得∠3=∠1=30°，
∴∠4=180°-30°-30°=120°，
∵CD∥BE，BE∥AF，
∴∠ACD=∠4=120°，
又∵AC∥BD，
∴∠2=180°-∠ACD=180°-120°=60°．
故答案为：60．
【点评】本题考查了平行线的性质，解题的关键是根据平行线的性质找出图中角度之间的关系．
13．将一条两边互相平行的纸带沿
折叠，如图（1），
，
，设
（1）
_______（用含x 的代数式表示）
（2）若将图1 继续沿
折叠成图（2），
________（用含x 的代数式表示）．
【答案】
【分析】（1）由平行线的性质得
，
，折叠和三角形的外角得
，
，最后计算出
；
（2）由折叠和平角的定义求出
，再次折叠经计算求出
．
【详解】（1）如图1 所示：
，
，
，
又
，
，
又
，
，
又
，
；
（2）如图2 所示：
，
，
又
，
故答案为：（1）
；（2）
．
【点评】本题综合考查了平行线的性质，折叠问题，等腰三角形的性质，三角形的外角定理，平角的定义和角
的和差等相关知识，重点掌握平行线的性质，难点是折叠前后的变及不变的问题，二次折叠角的前后大小等
量关系．
14．如图，
的斜边
在x 轴上，
，C 在第一象限，
，
是线段
上
的动点，过点P 作
的垂线a，以直线a 为对称轴，线段
进行轴对称变换后得线段
．
（1）当点
和点C 重合时，m 的值为______________．
（2）当线段
与线段
没有公共点时，m 的取值范围是___________．
【答案】
或
【分析】（1）根据折叠的性质可知，当点
与点
重合时，点
是
的中点，过
点作
于点
，
求出
和
的长，依此可得
点坐标，再根据中点坐标公式即可求解；
（2）分线段
在线段
的上面和线段
在线段
的下面两种情况讨论即可求解．
【详解】（1）过
点作
于点
．
在
中，
，
，
，
，
在
中，
，
，
，
点坐标为
，
，
点坐标为
，
当点
与点
重合时，
点坐标为
，
，
的值为
；
（2）线段
在线段
的上方，
，
，
，
，
则
；
线段
在线段
的下方，
．
综上所述，
或
．
故答案为：
；
或
．
【点评】本题考查了翻折变换（折叠问题），涉及的知识点有：折叠的性质，中点坐标公式，以及分类思想的运
用．
三、解答题
15．如图，数轴上
、、三个数所对应的点分别为
、、，已知
，与
距离2 个单位，与
距
离6 个单位．
（1）①直接写出数
、
的值；
②求代数式
的值；
（2）若将数轴折叠，使得点
与点
重合，求与点
重合的点表示的数．
【答案】（1）①
，
；②4；（2）5
【分析】（1）①根据数轴上两点间的距离可求；②将代数式利用完全平方公式化简后，将a、b 的值代入后可求；
（2）根据轴对称的性质，设点B 与点M 重合，利用线段的中点的性质，求出线段DM 的长度即可求出点M 表
示的数．
【详解】（1）①∵
∴
，
．
②原式=
．
（2）设AC 的中点为D．
∵AC=AB+BC=2+6=8，
∴
．
∴
．
设折叠后点B 与点M 重合，且点M 表示的数为m，如图所示．
∴
．
∴
．
∴
．
∴与点
重合的点表示的数5．
【点评】本题考查了数轴、求代数式的值、轴对称等知识点，熟知数轴上两点间的距离的计算和轴对称的性质
是解题的关键．
16．如图，
与
关于直线
对称，
与
的交点
在直线
上．若
，
，
，
．
（1）求出
的长度；
（2）求
的度数．
【答案】（1）
＝3cm；（2）
＝18°
【分析】（1）根据△ABC 与△ADE 关于直线MN 对称确定对称点，从而确定对称线段相等即BC＝ED，即可求出
的值；
（2）根据△ABC 与△ADE 关于直线MN 对称，利用轴对称的性质得出对称角∠EAD＝∠BAC，即可解决问题；
【详解】（1）∵△ABC 与△ADE 关于直线MN 对称，ED＝4cm，FC＝1cm，
∴BC＝ED＝4cm，
∴BF＝BC−FC＝3cm．
（2）∵△ABC 与△ADE 关于直线MN 对称，∠BAC＝76°，∠EAC＝58°，
∴∠EAD＝∠BAC＝76°，
∴∠CAD＝∠EAD−∠EAC＝76°−58°＝18°．
【点评】本题考查轴对称的性质，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
17．已知：如图，
是一个长方形的台球面，有
、两球分别位于图中所在位置，试问怎样撞击球
，
才能使
先碰到台边
反弹后再击中球
？在图中画出
球的运动线路．
【答案】见解析
【分析】首先作出点A 关于FC 的对称点
，再连接
交FC 于点P，连接AP，PB，可得A 球的运动路线．
【详解】如图所示：运动路线：
．
【点评】本题主要考查生活中的轴对称现象，关键是掌握轴对称的性质．
18．如图，在平面直角坐标系中，A (-1， 4)， B(3， 2)， C(-1，0)
(1) 点A 关于y 轴的对称点
的坐标为 ，点B 关于x 轴的对称点
的坐标为 ， 线段AC 的垂
直平分线与y 轴的交点D 的坐标为 ．
(2)求(1)中的△
的面积．
【答案】（1）
、
、
；（2）5；
【分析】（1）依据对称的性质可得点
的坐标；然后利用垂直平分线的性质可得点D 的坐标；
（2）如图所示，将
补为直角梯形
，直角梯形面积
，即可；
【详解】（1）由题知点
关于y 对称的点为
，由对称性质可得：点
的坐标：
；
同理可得点
于x 对称的点为
，由对称性质可得：点
的坐标：
；
又AC 的垂直平分线为：y=2，与y 轴的交点为D，∴ 点
；
（2）将
补为直角梯形
，如下图所示：
∴
；
；
；
∴
；
【点评】本题考查平面坐标、对称的性质及不规则三角形的面积，关键不规图形的面积割补求法；
19．已知长方形纸片ABCD，点E 在边AB 上，点F、G 在边CD 上，连接EF、EG，将∠BEG 对折，点B 落在直线EG
上的点B′处，得折痕EM；将∠AEF 对折，点A 落在直线EF 上的点A′处，得折痕EN．
（1）如图1，若点F 与点G 重合，求∠MEN 的度数；
（2）如图2，若点G 在点F 的右侧，且∠FEG＝30°，求∠MEN 的度数；
【答案】（1）90°；（2）105°．
【分析】（1）由对折得EN 平分∠AEF，EM 平分∠BEF，可得∠NEF＝
∠AEF，∠MEF＝
∠BEF，从而可得：
∠MEN＝∠NEF+∠MEF＝
（∠AEF+∠BEF）＝
∠AEB，结合平角的定义可得答案；
（2）由对折可得EN 平分∠AEF，EM 平分∠BEG，证明∠NEF＝
∠AEF，∠MEG＝
∠BEG，可得
∠NEF+∠MEG＝
（∠AEF+∠BEG）＝
（∠AEB﹣∠FEG），从而可得答案．
【详解】（1）∵EN 平分∠AEF，EM 平分∠BEF
∴∠NEF＝
∠AEF，∠MEF＝
∠BEF
∴∠MEN＝∠NEF+∠MEF＝
∠AEF+
∠BEF＝
（∠AEF+∠BEF）＝
∠AEB
∵∠AEB＝180°
∴∠MEN＝
×180°＝90°
（2）∵EN 平分∠AEF，EM 平分∠BEG
∴∠NEF＝
∠AEF，∠MEG＝
∠BEG
∴∠NEF+∠MEG＝
∠AEF+
∠BEG＝
（∠AEF+∠BEG）＝
（∠AEB﹣∠FEG）
∵∠AEB＝180°，∠FEG＝30°
∴∠NEF+∠MEG＝
（180°
30°
﹣
）＝75°
∴∠MEN＝∠NEF+∠FEG+∠MEG＝75°+30°＝105°．
【点评】本题考查的是轴对称的性质，角的和差，平角的定义，掌握以上知识是解题的关键．
20．如图，
、分别是
的边
、
上的点，在
上求作一点
，使
的周长最小，并说
明你这样作的理由．
【答案】见解析
【分析】由于△PMN 的周长=PM+MN+PN，而PM 是定值，故只需在在AC 上找一点N，使MN+PN 最小即可，作
点P 关于直线AC 的对称点P′，连接MP′交直线AC 于点N，则此时△MNP 的周长最小．
【详解】作点P 关于直线AC 的对称点P′，连接MP′交直线AC 于点N，则PN=P′N，
由于△PMN 的周长=PM+MN+PN，而PM 是定值，故只需在在AC 上找一点N，使MN+PN 最小即可；
∵此时MN+PN=MN+P′N=MP′，MN+PN 最小，
∴此时△PMN 的周长最小，最小值等于PM+P′M．
【点评】本题考查的是轴对称-最短路线问题，凡是涉及最短距离的问题，一般要考虑线段的性质定理，结合本
节所学轴对称变换来解决，多数情况要作点关于某直线的对称点．
21．尺规作图（只保留作图痕迹，不要求写出作法及证明过程）：如图，已知点
在
内，分别在
、
边上求作点
和点
，使
的周长最小．
【答案】见解析
【分析】步骤：①作P 关于AB 的对称点P1．②作P 关于BC 的对称点P2．③连接P1P2．④P1P2与AB 的交点就是
E，P1P2与BC 的交点就是F．
即为所求．
【详解】如图：
即为所求，
注：①作
关于
的对称点
；
②作
关于
的对称点
；
③连接P1P2．
④P1P2与AB 的交点就是E，P1P2与BC 的交点就是F．
【点评】本题考查了作图-复杂作图，轴对称等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
22．如图，四边形ABCD 中，AD∥BC，DC⊥BC，将四边形沿对角线BD 折叠，点A 恰好落在DC 边上的点E 处，若
∠EBC=20°，求∠EBD 的度数．
【答案】
【分析】根据AD∥BC，DC⊥BC，∠EBC=20°，再利用三角形外角的性质，可求得∠DEB 的度数，由折叠的性质，
可得：∠A=∠DEB=110°，∠ABD=∠EBD，继而求得∠EBD 的度数．
【详解】∵AD∥BC，DC⊥BC，
∴∠C=90°，
∵∠EBC=20°，
∴∠DEB=∠EBC +∠C=20°+90°=110°，
由折叠的性质可得：∠A=∠DEB =110°，∠ABD=∠EBD，
∵AD∥BC，
∴∠ABC=180°-∠A=180°-110°=70°，
∴∠EBD=
．
【点评】本题考查图形的翻折变换，解题过程中应注意折叠是一种对称变换，它属于轴对称，根据轴对称的性
质，折叠前后图形的形状和大小不变．
