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12.4 全等三角形（单元检测）
一、单选题(共36 分)
1．(本题3 分)如图，在
中，
，
，
的平分线与
的外角的
平分线交于E 点，连接AE，则
的度数是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】作EF⊥AC 交CA 的延长线于F，EG⊥AB 于G，EH⊥BC 交CB 的延长线于H，根据角平分线的性质
和判定得到AE 平分∠FAG，求出∠EAB 的度数，根据角平分线的定义求出∠ABE 的度数，根据三角形内角
和定理计算得到答案．
【详解】作EF⊥AC 交CA 的延长线于F，EG⊥AB 于G，EH⊥BC 交CB 的延长线于H，
∵CE 平分∠ACB，BE 平分∠ABD，
∴EF＝EH，EG＝EH，
∴EF＝EF，又EF⊥AC，EG⊥AB，
∴AE 平分∠FAG，
∵∠CAB＝40°，
∴∠BAF＝140°，
∴∠EAB＝70°，
∵∠ACB＝90°，∠CAB＝40°，
∴∠ABC＝50°，
∴∠ABH＝130°，又BE 平分∠ABD，
∴∠ABE＝65°，
∴∠AEB＝180°−∠EAB−∠ABE＝45°，
故选B．
【点评】本题考查的是角平分线的性质，掌握角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解题的关键，注
意三角形内角和定理和角平分线的定义的正确运用．
2．(本题3 分)如图，E 是
的平分线AD 上任意一点，且
，则图中全等三角形有（ ）
A．4 对
B．3 对
C．2 对
D．1 对
【答案】B
【分析】根据题意可知：AB=AC，E 是角平分线AD 上任意一点，根据三角形全等的判定方法可知全等的三
角形有：△ABD≌△ACD，△ABE≌△ACE，△BDE≌△CDE．
【详解】∵AD 平分∠BAC，
∴∠BAD=∠CAD，
在△ABD 和△ACD 中，
，
∴△ABD≌△ACD（SAS），
∴BD=CD，∠ADB=∠ADC，
在△BED 和△CED 中，
，
∴△BDE≌△CDE（SAS），
在△ABE 和△ACE 中，
，
∴△ABE≌△ACE（SAS），
共3 对全等三角形，
故选：B．
【点评】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，关键是掌握全等三角形的判定方法：SSS、SAS、
ASA、AAS．以及HL．
3．(本题3 分)如图，AD 是
的中线，E，F 分别是AD 和AD 延长线上的点，且
，连结BF，
CE．下列说法：①CE＝BF；②△ABD 和△ACD 面积相等；③BF∥CE；④△BDF≌△CDE．其中正确的有（
）
A．1 个
B．2 个
C．3 个
D．4 个
【答案】C
【分析】根据“
”可证明
，则可对④进行判断；利用全等三角形的性质可对①进行
判断；由于
与
不能确定相等，则根据三角形面积公式可对②进行判断；根据全等三角形的性质得
到
，则利用平行线的判定方法可对③进行判断．
【详解】
是
的中线，
，
，
，
，所以④正确；
，所以①正确；
与
不能确定相等，
和
面积不一定相等，所以②错误；
，
，
，所以③正确；
故选：
．
【点评】本题考查了全等三角形的判定，熟悉全等三角形的5 种判定方法是解题的关键．
4．(本题3 分)如图，
是
的中线，
，
分别是
和
延长线上的点，且
，连
结
，
．下列说法：①
；②
和
面积相等；③
；④
．其中正确的有（ ）
A．个
B．
个
C．
个
D．
个
【答案】D
【分析】根据三角形中线的定义可得BD=CD，然后利用“边角边”证明△BDF 和△CDE 全等，根据全等三
角形对应边相等可得CE=BF，全等三角形对应角相等可得∠F=∠CED，再根据内错角相等，两直线平行可得
BF∥CE，最后根据等底等高的三角形的面积相等判断出②正确．
【详解】∵AD 是△ABC 的中线，
∴BD=CD，
在△BDF 和△CDE 中，
∴△BDF≌△CDE（SAS），故④正确
∴CE=BF，∠F=∠CED，故①正确，
∴BF∥CE，故③正确，
∵BD=CD，点A 到BD、CD 的距离相等，
∴△ABD 和△ACD 面积相等，故②正确，
综上所述，正确的是①②③④共4 个．
故选：D．
【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质，等底等高的三角形的面积相等，平行线的判定，熟练掌握
三角形全等的判定方法并准确识图是解题的关键．
5．(本题3 分)下列叙述中错误的是（ ）
A．能够完全重合的图形称为全等图形
B．全等图形的形状和大小都相同
C．所有正方形都是全等图形
D．形状和大小都相同的两个图形是全等图形
【答案】C
【解析】
解：A．能够重合的图形称为全等图形，说法正确，故本选项错误；
B．全等图形的形状和大小都相同，说法正确，故本选项错误；
C．所有正方形不一定都是全等图形，说法错误，故本选项正确；
D．形状和大小都相同的两个图形是全等图形，说法正确，故本选项错误；
故选C．
6．(本题3 分)如图，在
中，
分别是
上的点，且
，则
的度数为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】根据AB=AC，∠A=112°求得∠B=∠C=34°，再证明△BED≌△CDF 得到∠BDE=∠CFD，由
∠BDE+∠EDF+∠CDF=180°，∠CFD+∠C+∠CDF=180°，推出∠EDF=∠C=34°.
【详解】∵AB=AC，∠A=112°，
∴∠B=∠C=34°，
∵
,
∴△BED≌△CDF，
∴∠BDE=∠CFD，
∵∠BDE+∠EDF+∠CDF=180°，∠CFD+∠C+∠CDF=180°，
∴∠EDF=∠C=34°，
故选：B.
【点评】此题考查等腰三角形的性质，全等三角形的判定及性质，三角形的内角和的运用.
7．(本题3 分)如图，
是
上一点，
交
于点
，
，
，若
，
，则
的长是( )
A．0.5
B．1
C．1.5
D．2
【答案】B
【分析】根据平行线的性质，得出
，
，根据全等三角形的判定，得出
，根据全等三角形的性质，得出
，根据
，
，即可求线段
的
长．
【详解】∵
，
∴
，
，
在
和
中
，
∴
，
∴
，
∵
，
∴
.
故选B．
【点评】本题考查了全等三角形的性质和判定，平行线的性质的应用，能判定
是解此题的
关键．
8．(本题3 分)如图，已知在四边形
中，
，
平分
，
，
，
，则四边形
的面积是（ ）
A．24
B．30
C．36
D．42
【答案】B
【分析】过D 作DE⊥AB 交BA 的延长线于E，根据角平分线的性质得到DE=CD=4，根据三角形的面积公式
即可得到结论．
【详解】如图，过D 作DE⊥AB 交BA 的延长线于E，
∵BD 平分∠ABC，∠BCD=90°，
∴DE=CD=4，
∴四边形
的面积
故选B.
【点评】本题考查了角平分线的性质，三角形的面积的计算，正确的作出辅助线是解题的关键．
9．(本题3 分)如图,△ABC≌△DCB,若∠A=80°,∠ACB=40°,则∠ACD 等于（ ）
A．80°
B．60°
C．40°
D．20°
【答案】D
【分析】根据三角形内角和定理求出∠ABC 的度数，根据全等三角形的性质求出∠DCB 的度数，计算即可．
【详解】∵∠A=80°，∠ACB=40°，
∴∠ABC=60°，
∵△ABC≌△DCB，
∴∠DCB=∠ABC=60°，
∴∠ACD=∠DCB-∠ACB=60°-40°=20°，
故选D．
【点评】本题考查的是全等三角形的性质和三角形内角和定理，掌握全等三角形的对应边相等、全等三角
形的对应角相等是解题的关键．
10．(本题3 分)平面上有
与
，其中
与
相交于
点，如图．若
，
，
，
，
，则
的度数为
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】易证
，由全等三角形的性质可知：
，再根据已知条件和四边形的内角和
为
，即可求出
的度数．
【详解】在
和
中，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
故选：C．
【点评】此题考查全等三角形的判定和性质，三角形的内角和定理，四边形的内角和定理，解题的关键是
利用整体的数学思想求出
．
11．(本题3 分)如图，一种测量工具，点 O 是两根钢条AC、BD 中点，并能绕点O 转动 .由三角形全等可得
内槽宽AB 与CD 相等，其中△OAB≌△OCD 的依据是（ ）
A．SSS
B．ASA
C．SAS
D．AAS
【答案】C
【分析】由O 是AC、BD 的中点，可得AO=CO，BO=DO，再由∠AOB=∠COD，可以根据全等三角形的判定
方法SAS，判定△OAB≌△OCD，即可得出结论．
【详解】∵O 是AC、BD 的中点，∴AO=CO，BO=DO．
在△OAB 和△OCD 中，∵AO=CO，∠AOB=∠COD，BO=DO，∴△OAB≌△OCD（SAS），∴AB=CD．
故选C．
【点评】本题主要全等三角形的应用，关键是掌握全等三角形的判定方法：SSS、SAS、ASA、AAS，HL，要
证明两个三角形全等，必须有对应边相等这一条件．
12．(本题3 分)下列条件不能判定两个直角三角形全等的是（ ）
A．两条直角边对应相等
B．斜边和一锐角对应相等
C．斜边和一直角边对应相等
D．两个锐角对应相等
【答案】D
【分析】根据三角形全等的判定对各选项分析判断后利用排除法求解．
【详解】
、可以利用边角边判定两三角形全等，故本选项不合题意；
、可以利用角角边判定两三角形全等，故本选项不合题意；
、根据斜边直角边定理判定两三角形全等，故本选项不合题意；
、三个角对应相等不能证明两三角形全等，故本选项符合题意；
故选：D．
【点评】本题考查了直角三角形全等的判定方法；本题主要利用三角形全等的判定，运用好有一对相等的
直角这一隐含条件是解题的关键．
二、填空题(共12 分)
13．(本题3 分)如图10，某同学把一块三角形的玻璃打碎成三片，现在他要到玻璃店去配一块完全一样形
状的玻璃．那么最省事的办法是带________去配，这样做的数学依据是是
_______________________________．
【答案】③ 两角和它们的夹边分别相等的两个三角形全等
【分析】已知三角形破损部分的边角，得到原来三角形的边角，根据三角形全等的判定方法，即可求解．
【详解】第一块和第二块只保留了原三角形的一个角和部分边，根据这两块中的任一块均不能配一块与原
来完全一样的；
第三块不仅保留了原来三角形的两个角还保留了一边，则可以根据ASA 来配一块一样的玻璃．
故答案为③；两个角及它们的夹边对应相等的两个三角形全等．
【点评】本题考查了全等三角形的判定，解题的关键是要认真观察图形，根据已知选择判定方法．
14．(本题3 分)如图，AB=12，CA⊥AB 于A，DB⊥AB 于B，且AC=4m，P 点从B 向A 运动，每分钟走1m，Q
点从B 向D 运动，每分钟走2m，P、Q 两点同时出发，运动_______分钟后△CAP 与△PQB 全等．
【答案】4
【分析】设运动x 分钟后△CAP 与△PQB 全等；则BP=xm，BQ=2xm，则AP=（12-x）m，分两种情况：①若
BP=AC，则x=4，此时AP=BQ，△CAP≌△PBQ；②若BP=AP，则12-x=x，得出x=6，BQ=12≠AC，即可得出结
果．
【详解】∵CA⊥AB 于A，DB⊥AB 于B，
∴∠A=∠B=90°，
设运动x 分钟后△CAP 与△PQB 全等；
则BP=xm，BQ=2xm，则AP=（12-x）m，
分两种情况：
①若BP=AC，则x=4，
AP=12-4=8，BQ=8，AP=BQ，
∴△CAP≌△PBQ；
②若BP=AP，则12-x=x，
解得：x=6，BQ=12≠AC，
此时△CAP 与△PQB 不全等；
综上所述：运动4 分钟后△CAP 与△PQB 全等；
故答案为：4．
【点评】本题考查了直角三角形全等的判定方法、解方程等知识；本题难度适中，需要进行分类讨论．
15．(本题3 分)如图，己知
，
的延长线过点E 且交
点F，
，
，
，则
_________.
【答案】35°.
【分析】由△ABC≌△ADE 可得∠B=∠D=50°，再在△ACF 和△DEF 中应用三角形的内角和定理求解即可.
【详解】∵△ABC≌△ADE，∴∠B=∠D=50°，
∵∠ACB=105°，∴∠ACE=75°，
在△ACF 和△DEF 中，∵∠ACE+∠CAF+∠AFC=∠D+∠DEF+∠DFE，∠AFC=∠DFE，
∴75°+10°=50°+∠DEF，
∴∠DEF=35°.
故答案为35°.
【点评】本题考查了全等三角形的性质和三角形的内角和定理，难度不大，属于基础题型，掌握相关性质
和定理是关键.
16．(本题3 分)如图,已知△ABC 的两条高AD、BE 交于F,AE=BE,若要运用“HL”说明△AEF≌△BEC，还需添加
条件：_______________.
【答案】AF=BC
【解析】
HL 指的是斜边、直角边定理，只能添加两条斜边相等，即AF=BC.
三、解答题(共72 分)
17．(本题8 分)如图，△ABC≌△DBE，点D 在边AC 上，BC 与DE 交于点P，已知∠ABE＝162°，∠DBC＝
30°，求∠CDE 的度数．
【答案】∠CDE＝66°．
【分析】先求出∠ABD+∠CBE＝132°，再根据三角形全等得到∠ABC＝∠DBE，∠C＝∠E，进而求出∠ABD
＝∠CBE＝66°，最后根据三角形内角和得到∠CDE＝∠CBE＝66°．
【详解】∵∠ABE＝162°，∠DBC＝30°，
∴∠ABD+∠CBE＝132°，
∵△ABC≌△DBE，
∴∠ABC＝∠DBE，∠C＝∠E，
∴∠ABD＝∠CBE＝132°÷2＝66°，
∵∠CPD＝∠BPE，
∴∠CDE＝∠CBE＝66°．
【点评】本题考查了全等三角形的性质，三角形的内角和，根据全等性质证明∠ABD＝∠CBE 是解题关键.
18．(本题8 分)如图（1），AB＝7cm，AC⊥AB，BD⊥AB 垂足分别为A、B，AC＝5cm．点P 在线段AB 上以
2cm/s 的速度由点A 向点B 运动，同时点Q 在射线BD 上运动．它们运动的时间为t（s）（当点P 运动结束
时，点Q 运动随之结束）．
（1）若点Q 的运动速度与点P 的运动速度相等，当t＝1 时，△ACP 与△BPQ 是否全等，并判断此时线段
PC 和线段PQ 的位置关系，请分别说明理由；
（2）如图（2），若“AC⊥AB，BD⊥AB”改为“∠CAB＝∠DBA”，点Q 的运动速度为xcm/s，其它条件不变，
当点P、Q 运动到何处时有△ACP 与△BPQ 全等，求出相应的x 的值．
【答案】（1）△ACP≌△BPQ，PC⊥PQ，理由见解析；（2）2 或
【分析】（1）利用AP＝BQ＝2，BP＝AC，可根据“SAS”证明△ACP≌△BPQ；则∠C＝∠BPQ，然后证明
∠APC＋∠BPQ＝90°，从而得到PC⊥PQ；
（2）讨论：若△ACP≌△BPQ，则AC＝BP，AP＝BQ，即5＝7
2t
﹣
，2t＝xt；②若△ACP≌△BQP，则AC＝
BQ，AP＝BP，即5＝xt，2t＝7
2t
﹣
，然后分别求出x 即可．
【详解】（1）△ACP≌△BPQ，PC⊥PQ．
理由如下：∵AC⊥AB，BD⊥AB，
∴∠A＝∠B＝90°，
∵AP＝BQ＝2，
∴BP＝5，
∴BP＝AC，
∴△ACP≌△BPQ（SAS）；
∴∠C＝∠BPQ，
∵∠C＋∠APC＝90°，
∴∠APC＋∠BPQ＝90°，
∴∠CPQ＝90°，
∴PC⊥PQ；
（2）①若△ACP≌△BPQ，
则AC＝BP，AP＝BQ，可得：5＝7
2t
﹣
，2t＝xt
解得：x＝2，t＝1；
②若△ACP≌△BQP，
则AC＝BQ，AP＝BP，可得：5＝xt，2t＝7
2t
﹣
解得：x＝
，t＝
．
综上所述，当△ACP 与△BPQ 全等时x 的值为2 或
．
【点评】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，掌握全等三角形的判定方法（即SSS、SAS、ASA、AAS
和HL）和全等三角形的性质（即全等三角形的对应边相等、对应角相等）是解题的关键．注意：AAA、
SSA 不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角
必须是两边的夹角．
19．(本题8 分)如图，在△ABC 中，AB=AC=10cm；BC=6cm，点D 为AB 的中点．
（1）如果点P 在线段BC 上以1cm/s 的速度由点B 向点C 运动，同时，点Q 在线段CA 上由点C 向点A 运动．
①若点Q 的运动速度与点P 的运动速度相等，经过1 秒后，△BPD 与△CQP 是否全等，请说明理由；
②若点Q 的运动速度与点P 的运动速度不相等，当点Q 的运动速度为多少时，能够使△BPD 与△CQP 全等？
（2）若点Q 以②中的运动速度从点C 出发，点P 以原来的运动速度从点B 出发都逆时针沿△ABC 三边运动，
直接写出经过多少秒后，点P 与点Q 第一次在△ABC 的那一条边上相遇．
【答案】（1）①△BPD 与△CQP 全等，②点Q 的运动速度是
cm/s．（2）经过30 秒后点P 与点Q 第一次
在△ABC 的边BC 上相遇．
【分析】（1）①根据SAS 即可判断；②利用全等三角形的性质，判断出对应边，根据时间．路程、速度之
间的关系即可解决问题；（2）求出Q 的运动路程，与根据三角形ABC 周长的整数倍进行比较，即可得出
相遇点的位置．
【详解】（1）①△BPD 与△CQP 全等，
∵点P 的运动速度是1cm/s，
∴点Q 的运动速度是1cm/s，
∴运动1 秒时，BP=CQ=1cm，
∵BC =6cm，
∴CP=5cm，
∵AB=10，D 为AB 的中点，
∴BD=5，
∴BD=CP，
∵AB=AC，
∴∠B=∠C，
∴△BPD≌△CQP．
②点Q 的运动速度与点P 的运动速度不相等，则BP≠CQ，
若△BPD 与△CQP 全等，只能BP=CP=3cm，BD=CQ=5cm，
此时，点P 运动3cm，需3 秒，而点Q 运动5cm，
∴点Q 的运动速度是
cm/s．
（2）设经过t 秒时，P、Q 第一次相遇，
∵P 的速度是1 厘米/秒，Q 的速度是
厘米/秒，
∴10+10+t=
t，
解得：t=30，
此时点Q 的路程=30×
=50（厘米），
∵50＜2×26，
∴此时点Q 在BC 上，
∴经过30 秒后点P 与点Q 第一次在△ABC 的边BC 上相遇．
【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质以及数形结合思想的运用，解题的关
键是熟练掌握三角形全等的判定和性质．解题时注意全等三角形的对应边相等．
20．(本题8 分)如图，一个四边形纸片ABCD，
，把纸片按如图所示折叠，使点B 落在AD 边
上的
点，AE 是折痕．
（1）判断
与DC 的位置关系，并说明理由；
（2）如果
，求
的度数．
【答案】（1）B′E∥DC，理由见解析；（2）65°
【分析】（1）由于
是
的折叠后形成的，可得
，可得B′E∥DC；
（2）利用平行线的性质和全等三角形求解．
【详解】（1）由于
是
的折叠后形成的，
，
；
（2）
折叠，
△
，
，即
，
，
，
．
【点评】本题考查了三角形全等的判定及性质；把纸片按如图所示折叠，使点
落在
边上的
点，则
△
，利用全等三角形的性质和平行线的性质及判定求解．
21．(本题8 分)已知
和
位置如图所示，
，
，
．
（1）试说明：
；
（2）试说明：
．
【答案】(1)见解析；(2)见解析．
【分析】（1）根据SAS 可证明△ADB≌△AEC，再根据全等三角形的性质即得结论；
（2）由
可得
，根据全等三角形的性质可得
，然后根据三角形的内
角和定理即可推出结论．
【详解】（1）在△ADB 和△AEC 中，
∴△ADB≌△AEC（SAS），
∴BD=CE；
（2）∵
，
∴
，
∵△ADB≌△AEC，
∴
，
∴
，
即
．
【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质以及三角形的内角和定理，属于常见题型，熟练掌握全等三
角形的判定和性质是解题的关键．
22．(本题10 分)（1）如图①，在四边形
中，
，点
是
的中点，若
是
的
平分线，试判断
，
，
之间的等量关系．
解决此问题可以用如下方法：延长
交
的延长线于点
，易证
得到
，从
而把
，
，
转化在一个三角形中即可判断．
，
，
之间的等量关系________；
（2）问题探究：如图②，在四边形
中，
，
与
的延长线交于点
，点
是
的中点，若
是
的平分线，试探究
，
，
之间的等量关系，并证明你的结论．
【答案】（1）
；（2）
，理由详见解析.
【分析】（1）先根据角平分线的定义和平行线的性质证得
，再根据AAS 证得
≌
，
于是
，进一步即得结论；
（2）延长
交
的延长线于点
，如图②，先根据AAS 证明
≌
，可得
，再
根据角平分线的定义和平行线的性质证得
，进而得出结论.
【详解】（1）
.
理由如下：如图①，∵
是
的平分线，∴
∵
，∴
，∴
，∴
.
∵点
是
的中点，∴
，
又∵
，
∴
≌
（AAS），∴
.
∴
.
故答案为
.
（2）
.
理由如下：如图②，延长
交
的延长线于点
.
∵
，∴
，
又∵
，
，
∴
≌
（AAS），∴
，
∵
是
的平分线，∴
，
∵
，∴
，∴
，
∵
，∴
.
【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质、平行线的性质、角平分线的定义和等角对等边等知识，添
加恰当辅助线构造全等三角形是解本题的关键．
23．(本题10 分)如图，AB=AC，AD=AE，∠BAC=∠DAE．求证：BE=CD．
【答案】证明见解析
【解析】
试题分析：首先证明∠BAE=∠CAD，再利用SAS 证明△BAE≌△CAD 即可．
试题解析：∵∠BAC=∠DAE，
∴∠BAC+∠CAE=∠DAE+∠CAE，
∴∠BAE=∠CAD，
∵AB=AC，AD=AE，
∴△BAE≌△CAD(SAS)，
∴BE=CD.
24．(本题12 分)在△ABC 中，∠ABC 与∠ACB 的平分线相交于点P．
（1）如图①，若∠BPC＝α，则∠A＝ ；（用α 的代数式表示，请直接写出结论）
（2）如图②，作△ABC 外角∠MBC、∠NCB 的角平分线交于点Q，试探究∠Q 与∠BPC 之间的数量关系，
并说明理由；
（3）如图③，延长线段CP、QB 交于点E，△CQE 中，存在一个内角等于另一个内角的2 倍，求∠A 的度数．
【答案】（1）2α
180°
﹣
；（2）∠BPC+∠BQC＝180°．理由见解析；（3）∠A 的度数是90°或60°或120°．
【分析】（1）利用角平分线的定义以及三角形的内角和定理求解即可．
（2）证明∠Q=90°-
∠A，∠BPC=90°+
∠A，可得结论．
（3）首先证明∠A=2∠E，∠ECQ=90°，再分四种情形分别求解即可解决问题．
【详解】（1）如图①中，
∵∠ABC 与∠ACB 的平分线相交于点P，
∴∠BPC=180°﹣（∠PBC+∠PCB）
=180°
（∠ABC+∠ACB）
=180°
（180°﹣∠A），
=90°
∠A，
∵∠BPC=α，
∴∠A=2α
180°
﹣
．
故答案为2α
180°
﹣
．
（2）结论：∠BPC+∠BQC=180°．
理由：如图②中，
∵外角∠MBC，∠NCB 的角平分线交于点Q，
∴∠QBC+∠QCB
（∠MBC+∠NCB）
（360°﹣∠ABC﹣∠ACB）
（180°+∠A）
=90°
∠A，
∴∠Q=180°﹣（90°
∠A）=90°
∠A，
∵∠BPC=90°
∠A，
∴∠BPC+∠BQC=180°．
（3）延长CB 至F，
∵BQ 为△ABC 的外角∠MBC 的角平分线，
∴BE 是△ABC 的外角∠ABF 的角平分线，
∴∠ABF=2∠EBF，
∵CE 平分∠ACB，
∴∠ACB=2∠ECB，
∵∠EBF=∠ECB+∠E，
∴2∠EBF=2∠ECB+2∠E，
即∠ABF=∠ACB+2∠E，
又∵∠ABF=∠ACB+∠A，
∴∠A=2∠E，
∵∠ECQ=∠ECB+∠BCQ
∠ACB
∠NCB
=90°，
如果△CQE 中，存在一个内角等于另一个内角的2 倍，那么分四种情况：
①∠ECQ=2∠E=90°，则∠E=45°，∠A=2∠E=90°；
②∠ECQ=2∠Q=90°，则∠Q=45°，∠E=45°，∠A=2∠E=90°；
③∠Q=2∠E，∵∠Q+∠E=90°，∴∠E=30°，则∠A=2∠E=60°；
④∠E=2∠Q，∵∠Q+∠E=90°，∴∠E=60°，则∠A=2∠E=120°．
综上所述，∠A 的度数是90°或60°或120°．
【点评】本题考查了角平分线的定义，三角形内角和定理等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问
题，学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考压轴题．
