专题08 导数在研究函数图像与性质中的综合应用
十年大数据*全景展示
年
份
题号
考
点
考
查
内
容
2012
理10
导数与函数的单调性
函数的对称性及常见函数的导数、导数的运算法则及利用导数研究
函数的单调性，图像识别
理21
导数与函数的最值
函数的对称性及常见函数的导数、导数的运算法则及利用导数研究
函数的的最值，分类整合思想
文13
导数的几何意义
常见函数的导数、导数的运算法则及利用导数的几何意义求曲线的
切线
2013
卷1
理16[来源:学,
科,网]
导数与函数的最值[来源:学科网
ZXXK][来源:学科网]
函数的对称性及常见函数的导数、导数的运算法则、利用导数求函
数最值[来源:学科网ZXXK]
卷2
理10
文11
导数与函数的极值
常见函数的导数、导数的运算法则及利用导数研究函数的单调性、
极值、对称性
卷1
文9
导数与函数的极值
三角函数函数的图像与性质及利用导数研究初等函数的图像与性
质
卷1
文21
导数与函数的单调性
导数与函数的极值
利用导数的几何意义求曲线的切线、函数单调性与导数的关系、函
数最值，运算求解能力及应用意识
卷2
文21
导数与函数的极值
常见函数的导数、导数的运算法则及利用导数研究函数的极值、研
究函数的切线问题及取值范围问题，分类整合思想
2014
卷2
文11
导数与函数的单调性
已知函数单调性求参数范围
卷2
理8
导数的几何意义
常见函数的导数、导数的运算法则及利用导数的几何意义求曲线的
切线
卷2
理21
导数与函数的单调性
本题利用到研究函数的单调性、利用导数研究不等式恒成立问题及
利用函数进行近似计算
2015
卷1
文15
导数的几何意义
常见函数的导数、导数的运算法则及利用导数的几何意义求曲线的
切线
卷2
文16
导数的几何意义
常见函数的导数、导数的运算法则、利用导数的几何意义求曲线的
切线、直线与二次函数的位置关系
2016
卷1
理7
文9
导数与函数的单调性
利用导数判断函数的单调性、函数图像识别
卷1
文12
导数与函数的单调性
常见函数的导数、导数的运算法则、利用导数解函数单调性问题
卷2
理16
导数的几何意义
常见函数的导数、导数的运算法则及利用导数的几何意义求曲线的
切线
卷2
理21
导数与函数的最值
常见函数的导数、导数的运算法则、利用导数证明不等式、利用导
数求最值与值域
卷3
理15
导数的几何意义
函数的奇偶性、常见函数的导数、导数的运算法则及利用导数的几
何意义求曲线的切线
卷3
理21
导数与函数的最值
常见函数的导数、导数的运算法则、利用导数证明不等式、利用导
数求最值与值域
卷3
文16
导数的几何意义
函数的奇偶性、常见函数的导数、导数的运算法则及利用导数的几
何意义求曲线的切线
2017
卷2
理11
导数与函数的极值
函数的奇偶性、常见函数的导数、导数的运算及利用导数研究函数
的极值．
2018
卷1
理5
文6
导数的几何意义
函数的奇偶性、常见函数的导数、导数的运算及利用导数的几何意
义求曲线的切线
卷2
理13
导数的几何意义
常见函数的导数、导数的运算及利用导数的几何意义求曲线的切线
卷2
文3
导数与函数的单调性
利用导数判断函数的单调性、函数图像识别
卷2
文13
导数的几何意义
常见函数的导数、导数的运算及利用导数的几何意义求曲线的切线
卷3
理7
文9
导数与函数的单调性
利用导数判断函数的单调性、函数图像识别
卷3
理14
导数的几何意义
常见函数的导数、导数的运算及利用导数的几何意义求曲线的切线
2019
卷1
理13
文13
导数的几何意义
常见函数的导数、导数的运算及利用导数的几何意义求曲线的切线
卷3
理6
文7
导数的几何意义
常见函数的导数、导数的运算及利用导数的几何意义求曲线的切线
卷2
文10
导数的几何意义
常见函数的导数、导数的运算及利用导数的几何意义求曲线的切线
卷3
文20
导数与函数的最值
常见函数的导数、导数的运算法则、利用导数研究函数的单调性、
利用导数求最值及分类整合思想．
2020
卷1
理6
导数的几何意义
利用导数的几何意义求曲线的切线
文15
导数的几何意义
利用导数的几何意义求曲线的切线
卷3
理10
导数的几何意义
导数的几何意义的应用，直线与圆的位置关系
文15
导数的几何意义
常见函数的导数、导数的运算及利用导数的几何意义求曲线的切线
大数据分析*预测高考
考点
出现频率
2021 年预测
导数的几何意义
16/32
2021 年高考仍然重点利用导数的几何意义求函数的切线、利用
导数研究函数的单调性、极值与最值问题，难度可以基础题，也
可为中档题，也可为难题，题型为选择、填空或解答题．
导数与函数的单调性
7/32
导数与函数的极值
5/32
导数与函数的最值
5/32
十年试题分类*探求规律
考点26 导数的几何意义与常见函数的导数
1．(2020 全国Ⅰ理6)函数
4
3
2
f x
x
x
的图像在点
1,
1
f
处的切线方程为
(
)
A．
2
1
y
x
B．
2
1
y
x
C．
2
3
y
x
D．
2
1
y
x
2．(2020 全国Ⅲ理10)若直线l 与曲线y
x
和圆
2
2
1
5
x
y
相切，则l 的方程为
(
)
A．
2
1
y
x
B．
1
2
2
y
x
C．
1
1
2
y
x
D．
1
1
2
2
y
x
3．(2019 全国Ⅲ理6)已知曲线
e
ln
x
y
a
x
x
在点1
e
a
（，
）处的切线方程为y=2x+b，则
A．
e
1
a
b
，
B．a=e，b=1
C．
1
e
1
a
b
，
D．
1
e
a
，
1
b
4．(2019 全国Ⅱ文10)曲线y=2sinx+cosx 在点(π，–1)处的切线方程为
A．
1
0
x
y
B．2
2
1
0
x
y
C．2
2
1
0
x
y
D．
1
0
x
y
5．(2018 全国卷Ⅰ理5)设函数
3
2
( )
(
1)
f x
x
a
x
ax
，若
( )
f x 为奇函数，则曲线
( )
y
f x
在点(0,0)
处的切线方程为
A．
2
y
x
B．y
x
C．
2
y
x
D．y
x
6．(2014 全国卷2 理8)．设曲线y=ax-ln(x+1)在点(0，0)处的切线方程为y=2x，则a= ( )
A．0
B．1
C．2
D．3
7．(2016 年四川)设直线1l ，2l 分别是函数
( )
f x =
ln ,0
1,
ln ,
1,
x
x
x x
图象上点
1P ，
2P 处的切线，1l 与2l 垂
直相交于点P ，且1l ，2l 分别与y 轴相交于点A ，B ，则△PAB 的面积的取值范围是
A．(0，1)
B．(0，2)
C．(0，+∞)
D．(1，+∞)
8．(2016 年山东)若函数
( )
y
f x
的图象上存在两点，使得函数的图象在这两点处的切线互相垂直，则称
( )
y
f x
具有T 性质．下列函数中具有T 性质的是
A．
sin
y
x
B．
ln
y
x
C．
x
y
e
D．
3
y
x
9．(2020 全国Ⅲ文15)设函数
ex
f x
x
a
，若
e
1
4
f
，则a
．
10．(2020 全国Ⅰ文15)曲线
ln
1
y
x
x
的一条切线的斜率为2 ，则该切线的方程为
．
11．(2019 全国Ⅰ理13)曲线
2
3(
)ex
y
x
x
在点(0 )
0
，处的切线方程为____________．
12．(2018 全国卷3 理14)曲线
1 ex
y
ax
在点
0 1
，处的切线的斜率为2
，则a ________．
13．(2018 全国卷2 理13)曲线
2ln(
1)
y
x
在点(0, 0) 处的切线方程为__________．
14．(2018 全国卷2 文13)曲线
2ln
y
x
在点(1, 0) 处的切线方程为__________．
15．(2017 全国卷1 理14)曲线
2
1
y
x
x
在点(1，2)处的切线方程为______________．
16．(2016 年全国Ⅱ理16)若直线y
kx
b
是曲线
ln
2
y
x
的切线，也是曲线
ln(
1)
y
x
的切线，则
b
．
17．(2016 年全国Ⅲ理15) 已知
( )
f x 为偶函数，当
0
x
时，
( )
ln(
)
3
f x
x
x
，则曲线
( )
y
f x
，在点(1, 3)
处的切线方程是_________．
18．(2016 年全国III 文)已知
( )
f x 为偶函数，当
0
x ≤
时，
1
( )
x
f x
e
x
，则曲线
( )
y
f x
在点(1，2)
处的切线方程式_____________________________．
19．(2015 全国1 文14)已知函数
3
1
f x
ax
x
的图像在点
1,
1
f
的处的切线过点
2,7 ，则
a
．
20．(2012 全国文13)曲线
(3ln
1)
y
x
x
在点(1，1)处的切线方程为________
21．(2015 卷2 文16)已知曲线
ln
y
x
x
在点
1,1
处的切线与曲线
2
2
1
y
ax
a
x
相切，则
a=
．[来源：Z+xx+k．Com]
22．(2015 陕西)设曲线
x
y
e
在点(0，1)处的切线与曲线
1 (
0)
y
x
x
上点P 处的切线垂直，则P 的坐标
为
．
23．(2014 广东)曲线
2
5
x
e
y
在点
)
3,0
(
处的切线方程为
．
24．(2014 江苏)在平面直角坐标系xOy 中，若曲线
x
b
ax
y
2
(a，b 为常数)过点
)
5
,2
(
P
，且该曲线在点P
处的切线与直线
0
3
2
7
y
x
平行，则
b
a
的值是
．
25．(2014 安徽)若直线l 与曲线C 满足下列两个条件：
)
(i 直线l 在点
0
0, y
x
P
处与曲线C 相切；
)
(ii 曲线C 在P 附近位于直线l 的两侧，则称直线l 在点P 处
“切过”曲线C ．下列命题正确的是_________(写出所有正确命题的编号)
①直线
0
:
y
l
在点
0,0
P
处“切过”曲线C ：
3
y
x
②直线
1
:
x
l
在点
0,1
P
处“切过”曲线C ：
2)1
(
x
y
③直线
x
y
l
:
在点
0,0
P
处“切过”曲线C ：
x
y
sin
④直线
x
y
l
:
在点
0,0
P
处“切过”曲线C ：
x
y
tan
⑤直线
1
:
x
y
l
在点
0,1
P
处“切过”曲线C ：
x
y
ln
．
26．(2013 江西)若曲线
1
y
x
(
R
)在点(1,2) 处的切线经过坐标原点，则=
．
27．(2016 年北京)设函数
( )
a x
f x
xe
bx
，曲线
( )
y
f x
在点(2,
(2))
f
处的切线方程为
(
1)
4
y
e
x
，
(I)求a ，b 的值；
(II)求
( )
f x 的单调区间．
28．(2018 天津)已知函数
( )
x
f x
a
，( )
loga
g x
x
，其中
1
a
．
(1)求函数( )
( )
ln
h x
f x
x
a
的单调区间；
(2)若曲线
( )
y
f x
在点
1
1
( ,
(
))
x
f x
处的切线与曲线
( )
y
g x
在点
2
2
(
, (
))
x g x
处的切线平行，证明
1
2
2lnln
(
)
ln
a
x
g x
a
；
(3)证明当
1
ee
a≥
时，存在直线l ，使l 是曲线
( )
y
f x
的切线，也是曲线
( )
y
g x
的切线．
考点27 导数与函数的单调性
1．【2018 全国卷2 理3】函数
2
e
e
x
x
f x
x
的图像大致为(
)
2．(2018 全国卷3 理7)函数
4
2
2
y
x
x
的图像大致为(
)
3．(2016 卷1 理7)函数
|
|
2
2
x
e
x
y
|在[–2，2]的图像大致为(
)
4．(2016 全国1 文12)若函数
1
( )
sin 2
sin
3
f x
x -
x
a
x
在
,
单调递增，则a 的取值范围是(
)
(A)
1,1
(B)
1
1, 3
(C)
1 1
,
3 3
(D)
1
1,
3
5．(2014 全国卷2，文11)若函数
f x
kx
Inx
在区间
1,单调递增，则k 的取值范围是(
)
A．
, 2
B．
, 1
C．
2,
D．
1,
6．(2012 全国理10)已知函数
( )
f x =
1
ln(
1)
x
x
，则y =
( )
f x 的图像大致为(
)
7．(2014 全国卷2 理21)已知函数
f x =
2
x
x
e
e
x
(Ⅰ)讨论
f x 的单调性；
(Ⅱ)设
2
4
g x
f
x
bf x
，当
0
x
时，
0
g x
，求b 的最大值；
(Ⅲ)已知1.4142
2
1.4143
，估计ln2 的近似值(精确到0．001)
8．(2014 山东)设函数
1
( )
ln
1
x
f x
a
x
x
，其中a 为常数．
(Ⅰ)若
0
a
，求曲线
( )
y
f x
在点(1,
(1))
f
处的切线方程；
(Ⅱ)讨论函数
( )
f x 的单调性．
考点28 导数与函数的极值
1．(2017 全国卷2 理11)若
2
x 是函数
2
1
( )
(
1)e x
f x
x
ax
的极值点，则
( )
f x 的极小值为
A．1
B．
3
2e
C．
3
5e
D．1
2．(2013 全国卷2 理10)已知函数
( )
f x =
3
2
x
ax
bx
c
，下列结论错误的是
A．
0x
R
0
(
)
f x
=0，
B．函数y =
( )
f x 的图像是中心对称图形
C．若
1x 是
( )
f x 的极小值点，则
( )
f x 在区间( ，
1x )单调递减
D．若
1x 是
( )
f x 的极值点，则
1
(
)
f
x
=0，
3．(2013 全国卷1 文9) 函数
( )
f x =(1 cos )sin
x
x
在[
, ]
的图像大致为
4．(2011 福建)若
0
a
，
0
b
，且函数
3
2
( )
4
2
2
f x
x
ax
bx
在
1
x
处有极值，则ab 的最大值等于
A．2
B．3
C．6
D．9
5．(2011 浙江)设函数
2
, ,
f x
ax
bx
c a b c
R
，若
1
x 为函数
x
f x e 的一个极值点，则下列图
象不可能为
y
f x
的图象是
A
B
C
D
6．(2015 重庆)设函数
2
3
( )
(
)
ex
x
ax
f x
a
R
．
(Ⅰ)若
( )
f x 在
0
x
处取得极值，确定a 的值，并求此时曲线
( )
y
f x
在点(1,
(1))
f
处的切线方程；
(Ⅱ)若
( )
f x 在[3,
)
上为减函数，求a 的取值范围．
7．(2013 全国卷1 文21)已知函数
( )
f x =
2
(
)
4
xe ax
b
x
x
，曲线
( )
y
f x
在点(0，(0)
f
)处切线方程为
4
4
y
x
(Ⅰ)求a ，b 的值
(Ⅱ)讨论
( )
f x 的单调性，并求
( )
f x 的极大值
8．(2013 全国卷2 文21)已知函数
2
( )
x
f x
x e
．
(Ⅰ)求
( )
f x 的极小值和极大值；
(Ⅱ)当曲线
( )
y
f x
的切线l 的斜率为负数时，求l 在x 轴上截距的取值范围．
9．(2018北京)设函数
2
( )
[
(4
1)
4
3]
x
f x
ax
a
x
a
e
．
(1)若曲线
( )
y
f x
在点(1,
(1))
f
处的切线与x 轴平行，求a ；
(2)若
( )
f x 在
2
x
处取得极小值，求a 的取值范围．
10．(2017 山东)已知函数
2
2cos
f x
x
x
，
cos
sin
2
2
x
g x
e
x
x
x
，其中
2.71828
e
是自然对
数的底数．
(Ⅰ)求曲线
y
f x
在点( ,
( ))
f
处的切线方程；
(Ⅱ)令( )
( )
( )
h x
g x
af x
(
)
a
R
，讨论( )
h x 的单调性并判断有无极值，有极值时求出极值．
11．(2014 山东)设函数
)
ln
2
(
2
x
x
k
x
e
x
f
x
(k 为常数，
2.71828
e
是自然对数的底数)．
(Ⅰ)当
0
k
时，求函数
f x 的单调区间；
(Ⅱ)若函数
f x 在
0,2 内存在两个极值点，求k 的取值范围．
考点29 导数与函数的最值
1．(2011 湖南)设直线x
t
与函数
2
( )
f x
x
，( )
ln
g x
x
的图像分别交于点
,
M N ，则当MN 达到最
小时t 的值为
A．1
B．1
2
C．
5
2
D．
2
2
2．若函数
( )
f x =
2
2
(1
)(
)
x
x
ax
b
的图像关于直线x =－2对称，则
( )
f x 的最大值是______．
3．(2016 年全国Ⅱ)(I)讨论函数
2
( )
e
2
x
x
f x
x
的单调性，并证明当
0
x
时，(
2)e
2
0
x
x
x
；
(II)证明：当
[0,1)
a
时，函数
2
e
=
(
0)
x
ax
a
g x
x
x
有最小值．设
g x 的最小值为( )
h a ，求函数( )
h a 的
值域．
4．(2016 年全国Ⅲ) 设函数
( )
cos2
(
1)(cos
1)
f x
x
x
，其中
0
，
记|
( ) |
f x
的最大值为A ．
(Ⅰ)求
( )
f
x
；
(Ⅱ)求A ；
(Ⅲ)证明| ( )|
2
f
x
A
≤
．
5．(2015 新课标2 文21)已知函数
( )
ln
(1
)
f x
x
a
x
．
(Ⅰ)讨论
( )
f x 的单调性；
(Ⅱ)当
( )
f x 有最大值，且最大值大于2
2
a
时，求a 的取值范围．
6．(2017 北京)已知函数
( )
cos
x
f x
e
x
x
．
(Ⅰ)求曲线
( )
y
f x
在点(0,
(0))
f
处的切线方程；
(Ⅱ)求函数
( )
f x 在区间[0,
]
2
上的最大值和最小值．
7．(2012 全国理2 1)已知函数
( )
f x =
1
2
1
(1)
(0)
2
x
f
e
f
x
x
．
(Ⅰ)求
( )
f x 的解析式及单调区间；
(Ⅱ)若
( )
f x ≥
2
1
2 x
ax
b
，求(
1)
a
b
的最大值．
8．(2019 全国Ⅲ文20)已知函数
3
2
( )
2
2
f x
x
ax
．
(1)讨论
( )
f x 的单调性；
(2)当0<a<3时，记
( )
f x 在区间[0，1]的最大值为M，最小值为m，求M
m
的取值范围．
