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正比例函数（基础）
【学习目标】
1. 理解正比例函数的概念，能正确画出正比例函数
的图象；
2. 能依据图象说出正比例函数的主要性质，解决简单的实际问题．
【要点梳理】
要点一、正比例函数的定义
1、正比例函数的定义
一般的，形如
（
为常数，且
≠0）的函数，叫做正比例函数.其中
叫做比例系
数.
2、正比例函数的等价形式
（1）、
是
的正比例函数；
（2）、
（
为常数且
≠0）；
（3）、若
与
成正比例；
（4）、
（
为常数且
≠0）.
要点二、正比例函数的图象与性质
正比例函数
（
是常数，≠0）的图象是一条经过原点的直线，我们称它为直线
.当
＞0 时，直线
经过第一、三象限，从左向右上升，即随着
的增大
也增
大；当
＜0 时，直线
经过第二、四象限，从左向右下降，即随着
的增大
反而减小.
要点三、待定系数法求正比例函数的解析式
由于正比例函数
（
为常数，≠0 ）中只有一个待定系数
，故只要有一对
，
的值或一个非原点的点，就可以求得
值.
【典型例题】
类型一、正比例函数的定义
1、已知
，当
为何值时，
是
的正比例函数？
【思路点拨】正比例函数的一般式为
，要特别注意定义满足
，的指数为
1．
【答案与解析】
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解：由题意得，
解得
＝2
∴当
＝2 时，
是
的一次函数.
【总结升华】理解正比例函数的概念应抓住解析式中的两个主要特征：（1）不等于零；（2）
的指数是1.
举一反三：
【变式】如果函数
是正比例函数，那么
的值是________．
【答案】
解：由定义得
解得
∴
＝2．
类型二、正比函数的图象和性质
2、已知正比例函数
的函数值随着
的增大而减小，则大致图象为（ ）
A.
B.
C.
D.
【答案】D；
【解析】因为是正比例函数，所以
＝0，图象必经过原点．
【总结升华】了解正比例函数图象的性质：它是经过原点的一条直线．当
＞0 时，图象经过
一、三象限，随
的增大而增大；当
＜0 时，图象经过二、四象限，随
的增大而减小.
3、若正比例函数
中，
随
的增大而增大，则
的值为________.
【答案】1；
【解析】由题意可得：
，
，∴
＝1．
【总结升华】正比例函数
的定义条件是：为常数且
≠0，自变量次数为1．随
的
增大而增大，则
＞0．
举一反三：
【变式】关于函数
＝
，下列结论正确的是（ ）
A. 函数图象必经过点（1，2）
B．函数图象经过二、四象限
C．
随
的增大而减小
D．
随
的增大而增大
【答案】D；
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提示：A、当
＝1 时，＝
，错误；B、因为
＞0，所以图象经过第一、三象限，错误；
C、因为
＞0，所以
随
的增大而增大，C 错误.
4、如图所示，在同一直角坐标系中，一次函数
、
、
、
的
图象分别为
、
、
、
，则下列关系中正确的是（ ）
A．
＜
＜
＜
B．
＜
＜
＜
C．
＜
＜
＜
D．
＜
＜
＜
【答案】B；
【解析】首先根据直线经过的象限，知：
＜0，＜0，
＞0，
＞0，再根据直线越陡，|
|
越大，知：
＞|
|，|
|＜|
|．则
＜
＜
＜
【总结升华】此题主要考查了正比例函数图象的性质，首先根据直线经过的象限判断
的符
号，再进一步根据直线的平缓趋势判断
的绝对值的大小，最后判断四个数的大小.
类型三、正比函数应用
5、如图所示，射线
、
分别表示甲、乙两名运动员在自行车比赛中所走路程
与时间
的函数关系，则他们行进的速度关系是（ ）．
A．甲比乙快 B．乙比甲快 C．甲、乙同速 D．不一定
【思路点拨】观察图象，在t 相同的情况下，有
，故易判断甲乙的速度大小．
【答案】A；
【解析】由
知，
，观察图象，在
相同的情况下，有
，故有
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．
【总结升华】此问题中，
、
对应的解析式
中，
的绝对值越大，速度越快．
举一反三：
【变式】如图，OA，BA 分别表示甲、乙两名学生运动的函数图象，图中
和分别表示运动路
程和时间，根据图象判断快者的速度比慢者的速度每秒快（ ）
A.2.5 米 B.2 米 C.1.5 米 D.1 米
【答案】C；
提示：从图中可以看出甲用了8 秒钟跑了64 米，速度是8 米/秒，乙用了8 秒钟跑了
52 米，速度是
米/秒，所以快者的速度比慢者的速度每秒快1.5 米.
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