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让更多的孩子得到更好的教育
实数（基础）
责编：康红梅
【学习目标】
1. 了解无理数和实数的意义；
2. 了解有理数的概念、运算法则在实数范围内仍适用 .
【要点梳理】
【高清课堂：389317 立方根、实数，知识要点】
要点一、有理数与无理数
有限小数和无限循环小数都称为有理数.无限不循环小数又叫无理数.
要点诠释：（1）无理数的特征：无理数的小数部分位数无限.无理数的小数部分不循环，
不能表示成分数的形式.
（2）常见的无理数有三种形式：①含
类.②看似循环而实质不循环的数，如：
1.313113111…….③带有根号的数，但根号下的数字开方开不尽，如
.
要点二、实数
有理数和无理数统称为实数.
1.实数的分类
按定义分：
实数
按与0 的大小关系分：
实数
2.实数与数轴上的点一一对应.
数轴上的任何一个点都对应一个实数，反之任何一个实数都能在数轴上找到一个点与之
对应.
要点三、实数大小的比较
对于数轴上的任意两个点，右边的点所表示的实数总是比左边的点表示的实数大.
正实数大于0，负实数小于0，两个负数，绝对值大的反而小.
要点四、实数的运算
有理数关于相反数和绝对值的意义同样适合于实数.
当数从有理数扩充到实数以后，实数之间不仅可以进行加、减、乘、除（除数不为0）、乘
方运算，而且正数及0 可以进行开平方运算，任意一个实数可以进行开立方运算.在进行实
数的运算时，有理数的运算法则及运算性质等同样适用.
【典型例题】
类型一、实数概念
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1、指出下列各数中的有理数和无理数：
【思路点拨】对实数进行分类时，应先对某些数进行计算或化简，然后根据它的最后结果进行
分类，不能仅看到根号表示的数就认为是无理数.π 是无理数，化简后含π 的代数式也是无
理数.
【答案与解析】有理数有
无理数有
……
【总结升华】有限小数和无限循环小数都称为有理数.无限不循环小数又叫无理数.
常见的无理数有三种形式：①含
类.②看似循环而实质不循环的数，如：
0.1010010001…….③带有根号的数，但根号下的数字开方开不尽，如5 5 ，
3 9 ，
2 ，
1
2
.
举一反三：
【变式】（2015 春•聊城校级月考）在下列语句中：
①无理数的相反数是无理数；
②一个数的绝对值一定是非负数；
③有理数比无理数小；
④无限小数不一定是无理数．
其中正确的是（ ）
A．②③B．②③④
C．①②④
D．②④
【答案】C；
解：①因为实数包括有理数和无理数，无理数的相反数 不可能式有理数，故本选项正确；
②一个数的绝对值一定≥0，故本选项正确；
③数的大小，和它是有理数还是无理数无关，故本选项是错误的；
④无限循环小数是有理数，故本选项正确．
类型二、实数大小的比较
2、比较
和0.5 的大小．
【答案与解析】
解：作商，得
．
因为
，即
，所以
．
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【总结升华】根据若a ，b 均为正数，则由“
1
a
b
，
1
a
b
，
1
a
b
”分别得到结论“a
b
，
a
b
，a
b
，”从而比较两个实数的大小．比较大小的方法有作差法和作商法等，根据具
体情况选用适当的方法.
举一反三：
【变式】比较大小
【答案】＜； ＞； ＜； ＜； ＜； ＞； ＜.
3、（2015•枣庄）实数a，b，c 在数轴上对应的点如图所示，则下列式子中正确的是
（ ）
A．ac＞bc
B．|a
b|=a
b
﹣
﹣
C．﹣a＜﹣b＜c
D．﹣a
c
﹣＞﹣b
c
﹣
【答案】D；
【解析】
解：∵由图可知，a＜b＜0＜c，
A
∴、ac＜bc，故A 选项错误；
B、∵a＜b，
a
b
∴﹣＜0，
|a
b|=b
a
∴﹣
﹣，故B 选项错误；
C、∵a＜b＜0，
a
∴﹣＞﹣b，故C 选项错误；
D、∵﹣a＞﹣b，c＞0，
a
c
∴﹣﹣＞﹣b
c
﹣，故D 选项正确．
故选：D．
【总结升华】本题考查的是实数与数轴，熟知数轴上各点与实数是一一对应关系是解答此题
的关键．
类型三、实数的运算
4、化简：
(1)
(2)
(3)
【答案与解析】
解：
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.
【总结升华】有理数关于相反数和绝对值的意义同样适合于实数.有理数的运算法则及运算
性质等同样适用.
5、若
，则
________．
【思路点拨】由有限个非负数之和为零，则每个数都应为零可得到方程中
，b，c 的值.
【答案】3；
【解析】
解：由非负数性质可知：
，即
，∴
．
【总结升华】初中阶段所学的非负数有|a |，
2 ,
a
a ，非负数的和为0，只能每个非负数分别
为0 .
举一反三：
【变式】已知
，求
的值．
【答案】
解：由已知得
，解得
．
∴
＝
.
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