2011-2020年高考数学真题分专题训练专题02常用逻辑用语（教师版含解析）_初高中资料库_高中资料库（转存避免链接过期失效）_高中数学

十年大数据*全景展示
大数据分析*预测高考
十年试题分类*探求规律
专题 02 常用逻辑用语
年份
题号
考点
考查内容
2011
课标卷
理 10
命题及其关系
平面向量模与夹角、命题真假判断
2012
新课标
理 2
命题及其关系
复数的概念与运算、命题真假的判定
2014
卷 1
理 9
全称量词与特称量词
二元一次不等式表示的平面区域、全称命题与特称命题
真假的判定
卷 2
文 3
充分条件与必要条件
导数与极值的关系、充要条件的判定
2015
卷 1
理 3
全称量词与特称量词
特称命题的否定
2017
卷 1
理 2
命题及其关系
复数的有关概念与运算
2019
卷 2
理 7
充分条件与必要条件
面面平行的判定与性质、充要条件判定
卷 3
文 11
1.全称量词与特称量词
2.简单逻辑联结词
二元一次不等式表示的平面区域、全称命题与特称命题
真假判断、含逻辑联结词命题的判定
2020
卷 2
文理16
简单逻辑联结词
含逻辑联结词命题真假的判断
卷 3
理 16
命题及其关系
命题真假的判断，三角函数图象及其性质
考点
出现频率
2021 年预测
考点 5 命题及其关系
4/10
2021 年仍将与其他知识结合，考查命题及其关系、含简单逻
辑连接词的敏体真假判断、特称命题与全称命题真假判断及
其否定的书写、充要条件的判定，其中充要条件判定为重点.
考点 6 简单逻辑联结词
2/10
考点 7 全称量词与特称量词
3/10
考点 8 充分条件与必要条件
2/10
考点 5 命题及其关系
1．(2020 新课标 III 理 16)关于函数 f  x  sin x 

1 ．
sin x
① f  x 的图像关于 y 轴对称；② f  x 的图像关于原点对称；
③ f  x 的图像关于 x   对称；④ f  x 的最小值为2 ．
2
其中所有真命题的序号是            
 
 ．
1
2
【答案】②③
【解析】
【分析】利用特殊值法可判断命题①的正误；利用函数奇偶性的定义可判断命题②的正误；利用对称性的   定
义可判断命题③的正误；取 x  0 可判断命题④的正误．综合可得出结论．
【详解】对于命题①， f    1  2  5 
， f      1  2   5 
，则 f    






f   ，
 6 
2

6 
2
2

6 
 6 








∴函数 f  x  的图象不关于 y 轴对称，命题①错误；
对于命题②，函数 f  x  的定义域为x x  k, k  Z ，定义域关于原点对称，
f x   sin x 

1
  sin x 

1
  sin x 

1
  
f
x  ，
sin x
sin x

sin x 


∴函数 f  x  的图象关于原点对称，命题②正确；
 f   x   sin  x  
1
 cos x 
1
对于命题③，
 2

 2

 

cos x ，




sin 

x 
f  x   sin  x  1
 cos x 
1




 2

 2



cos x ，则 
f
x  f
x ，




sin
 x
 2

 2

 2







∴函数 f  x  的图象关于直线 x  
对称，命题③正确；对于命题④，当  x  0 时， sin x  0 ，则
2
f  x  sin x 

1
sin 
x
 0  2 ，命题④错误，故答案为：②③．
2.(2017 新课标Ⅰ)设有下面四个命题
p1 ：若复数 z 满足 
z 
 R ，则 z  R ；
p ：若复数 z 满足 z
2  R ，则 z  R ；
p3 ：若复数 z1 ， z2 满足 z1 z2  R ，则 z1  z2 ；
p4 ：若复数 z  R ，则 z  R ．
 其中的真命题为
A.
p1 ， p3
B.
p1 ， p4
C.
p2 ， p3
D.
p2 ， p4
【答案】B【解析】设 z  a  bi ( a, b  R )，则 1 

z
1

(a  bi)
a  bi
a 
2  
b
2
 R ，得b  0 ，所以 z  R ， p1 正
2
2
2

确；z
2   (a  bi)
2   a
2   b
2   2abi R ，则 ab  0 ，即 a  0 或b  0 ，不能确定 z  R ，p  不正确；若 
z  R ，则b  0 ，此时 z  a  bi  a  R ， p4 正确．选 B．
3.(2011 新课标)已知a ， b 均为单位向量，其夹角为，有下列四个命题
p :| a  b | 1  [0, 2
1
3
p : | a  b | 1   ( 2,]
2
3
p3 :| a  b | 1  


[0,
)
3
p4 : | a  b | 1  


(
,] 
3
其中真命题是
A.
p1, p4
B.
p1, p3
C.
p2 , p3
D.
p2 , p4
【答案】A【解析】由 a  b 
a
2  b
2  2ab cos 
2  2 cos  1 得，cos  1 
，
2
 0, 2 。由 a  b 
a
2  b
2   2ab cos 
2  2 cos  1 得cos 1

3 
2
  ．选 A．
 3 
,   


4.(2012 新课标，理 3)下面是关于复数 z = 2
的四个命题： p ：| z |=2； p ： z
2  2i ； p ： z 的共轭复
1 i
数为1 i ； p4 ： z 的虚部为－1；其中真命题为
1
2
3
A . p2 , p3
B . p1 , p2
C . p2 , p4
D . p3 , p4
2
【答案】C.【解析】∵ z = 
1 
i
= 1 i ,∴| z |
=
， z
2  2i ， z 的共轭复数为1 i ，虚部为－1，故 p ，
p4 是真命题，故选 C.
5.(2014 陕西)原命题为“若 an  an1  a ， n  N ，则a 为递减数列”，关于逆命题，否命题，逆否命题
2
n

n
真假性的判断依次如下，正确的是
A．真，真，真
B．假，假，真
C．真，真，假
D．假，假，假
【答案】A【解析】 从原命题的真假人手，由于 an   an1   a   a  a  a 为递减数列，即原命题
2
n
n1
n
n
和否命题均为真命题，又原命题与逆否命题同真同假，则逆命题、否命题和逆否命题均为真命题，选 A．
6.(2014 江西)下列叙述中正确的是
A.
若 a, b, c  R ，则"ax
2  bx  c  0" 的充分条件是"b
2  4ac  0"
B.
若 a, b, c  R ，则"ab
2  cb
2 "的充要条件是"a  c"
C.
命题“对任意 x  R ，有 x
2  0 ”的否定是“存在 x  R ，有 x
2  0 ”
)
2

0
D.
l 是一条直线，,是两个不同的平面，若l  , l  ，则/ /
【答案】D【解析】"b
2  4ac  0" 推不出"ax
2  bx  c  0"，因为与 a 的符号不确定，所以 A 不正确；
当b
2    0 时，由"a  c" 推不出"ab
2   cb
2 "，所以 B 不正确；“对任意 x  R ，有 x
2   0 ”的否定是“存在 x 
 R ，有 x  0 ”，所以 C 不正确．选 D．
7.(2013 陕西文)设 z 是复数, 则下列命题中的假命题是
A．若 z
2  0 , 则 z 是实数
B．若 z
2  0 , 则 z 是虚数
C．若 z 是虚数,  则 z
2  0
D．若 z 是纯虚数, 则 z
2  0
【答案】C【解析】设z  a  bi, a, b  R  z 
2  a 
2  b 
2  2abi ．
对选项 A
 对选项 B:
 对选项 C:
对选项 D:
若z 
2  0,则b  0  z 为实数,所以 z 为实数为真．
若z 
2  0,则a  0, 且b  0  z 为纯虚数,所以 z 为纯虚数为真．
若z 为纯虚数,则a  0, 且b  0  z 
2  0 ,所以 z 
2  0 为假．
若z 为纯虚数,则a  0, 且b  0  z 
2  0 ,所以 z 
2  0 为真．所以选 C．
8.(2012 湖南)命题“若 
，则tan 1”的逆否命题是
4
A．若  
，则tan 
1
4
C．若tan 1 ，则 
4
B．若 
，则tan 1
4
D．若tan 1 ，则 
4
【答案】C【解析】因为“若 p ，则 q ”的逆否命题为“若 p ，则q ”，所以 “若 
，则tan 1”的逆
4
否命题是 “若tan 1 ，则
”．
4
9.(2012 福建)下列命题中，真命题是
A. x   R, e
x0    0
C． a  b  0 的充要条件是 a  1
b
B. x  R, 2
x  x 
2
D． a  1, b  1 是 ab  1 的充分条件
【答案】D【解析】∵ x  R, e
x  0 ，故排除 A；取 x=2,则2
2  2
2 ，故排除 B； a  b  0 ，取 a  b  0 ，
a
则不能推出
b  1 ，故排除 C；应选 D．
10.(2011 山东)已知 a, b, c  R ，命题“若 a  b  c =3，则 a
2  b
2  c
2 ≥3”，的否命题是
A．若 a  b  c  3 ，则 a
2  b
2  c
2 <3
B．若 a  b  c  3 ，则 a
2  b
2  c
2 <3
C．若 a  b  c  3 ，则 a
2  b
2  c
2 ≥3
D．若 a
2  b
2  c
2 ≥3，则 a  b  c  3
【答案】A【解析】 a  b  c  3 的否定是 a  b  c  3 ， a
2  b
2  c
2 ≥3 的否定是
a
2  b
2  c
2 <3，故选 A．
11.(2011 陕西)设a, b 是向量，命题“若a  b ，则 a  b ”的逆命题是
A．若a  b ，则 a  b
B．若a  b ，则 a  b
C．若 a  b ，则a  b
D．若 a  b ，则a  b


【答案】D【解析】根据定义若“若 a  b ，则 a  b ”．
12.(2018 北京)能说明“若 f (x) 

一个函数是          
 
 ．
f (0) 对任意的 x (0, 2] 都成立，则 f (x) 在[0, 2] 上是增函数”为假命题的
【答案】 y  sin x (不答案不唯一)【解析】这是一道开放性试题，答案不唯一，只要满足 f (x) f (0) 对任
意的 x (0, 2] 都成立，且函数 f (x) 在[0, 2] 上不是增函数即可，如， f (x)  sin x ，答案不唯一．
考点 6  简单逻辑联结词
1．(2020 年高考全国Ⅱ卷文理 16)设有下列四个命题：
p1 ：两两相交且不过同一点的三条直线必在同一平面内．
p2 ：过空间中任意三点有且仅有一个平面．
p3 ：若空间两条直线不相交，则这两条直线平行．
p4 ：若直线l  平面，直线 m  平面，则 m  l ．
则下述命题中所有真命题的序号是                  
 
 ．
① p1  p4
② p1  p2
③ p2  p3
④ p3  p4
【答案】①③④
【思路导引】利用两交线直线确定一个平面可判断命题 p1 的真假；利用三点共线可判断命题 p2 的真假；利
用异面直线可判断命题 p3 的真假，利用线面垂直的定义可判断命题 p4 的真假．再利用复合命题的真假可得出
结论．
【解析】对于命题 p1 ，可设l1 与l2 相交，这两条直线确定的平面为；若l3 与l1 相交，则交点 A 在平面内，
同理l3 与l2 的交点 B 也在平面内，∴ AB ，即l3  ，命题 p1 为真命题；对于命题 p2 ，若三点共线，
 则过这三个点的平面有无数个，命题 p2 为假命题；对于命题 p3 ，空间中两条直线相交、平行或异面，命题


p3 为假命题；对于命题 p4 ，若直线 m  平面，则m 垂直于平面内所有直线，直线l  平面， 
直线 m  直线l ，命题 p4 为真命题．
综上可知， p1  p4 为真命题， p1  p2 为假命题， p2  p3 为真命题， p3  p4 为真命题．故答案为：
①③④．
x  y6,
2.(2019 全国Ⅲ文11)记不等式组2x  y  0 
表示的平面区域为D.命题
p : (x, y)  D, 2x  y9 ；命题 q : (x, y)  D, 2x  y12 .下面给出了四个命题
① p  
q
② p  
q
③ p  
q
④ p  q
这四个命题中，所有真命题的编号是
①③
B．①②
C．②③
D．③④
 x  y6
【答案】A．【解析 】作出不等式组2x  y0 
的平面区域如图阴影部分所示.
由图可知，命题 p :  x, y D, 2x  y9 ；是真命题，则p 假命题；
 命题 q :  x, y D, 2x  y12 是假命题，则￢q 真命题；
所以：由或且非逻辑连词连接的命题判断真假有：
 p  q 真； p  q 假； p  q 真； p  q 
假； 故答案正确．故选 A．
3.(2017 山东)已知命题 p ： x  0 ， ln(x 1)  0 ；命题 q ：若 a  b ，则 a
2  b
2 ，下列命题为真命题
的是

A.
p  q
B.
p 
 q
C.
 p  q
D.
 p 
 q
【答案】B【解析】x  0 ， x 1  1，所以ln(x 1)  0 ，所以 p 为真命题；若 a  b  0 ，则 a
2  
b
2 ， 若b  a  0 ，则0  a  b ，所以 a
2  b
2 ，所以q 为假命题．所以 p 
 q 为真命题．选 B．
4.(2017 山东)已知命题 p ： x  0 ， ln(x 1)  0 ；命题 q ：若 a  b ，则 a
2  b
2 ，下列命题为真命题的
是
A.
p  q
B.
p 
 q
C.
 p  q
D.
 p 
 q
【答案】B【解析】x  0 ， x 1  1，所以ln(x 1)  0 ，所以 p 为真命题；若 a  b  0 ，则 a
2  
b
2 ， 若b  a  0 ，则0  a  b ，所以 a
2  b
2 ，所以q 为假命题．所以 p 
 q 为真命题．选 B．
5.(2014 湖南)已知命题 p ：若 x  y ，则  x   y ；命题q ：若 x  y ，则 x
2   y
2 ．在命题① p  q
② p  q
③ p  (q)
④ (p)  q 中，真命题是
A．①③
B．①④
C．②③
D．②④
【答案】C【解析】由不等式的性质可知，命题 p 是真命题，命题q 为假命题，故① p  q 为假命题，② p  
q 为真命题，③ q 为真命题，则 p  (q) 为真命题，④  p 为假命题，则(p)  q 为假命题，所以选 C．
 6.(2013 湖北)在一次跳伞训练中，甲．乙两位学员各跳一次，设命题 p 是“甲降落在指定范围”， q 是“乙
降落在指定范围”，则命题“至少有一位学员没有降落在指定范围”可表示为
A． p  
q
B． p  q
C． p  
q
D． p  q
【答案】A【解析】“至少有一位学员没有降落在指定范围”即：“甲或乙没有降落在指定范围内”．


7.(2012 山东)设命题 p：函数 y  sin 2x 的最小正周期为 2 ；命题 q：函数 y  cos x 的图象关于直线 x  
2 
对
称.则下列判断正确的是
A．p 为真
B． q 为假
C． p  q 为假
D． p  q 为真
C【解析】∵命题 p 为假,命题 q 也为假,∴ p  q 为假 ，故选 C．
考点 7  全称量词与特称量词
1.(2015 新课标)设命题 p ： n  N ， n
2  2
n ，则 p 为
A． n  N , n
2  
2
n
C． n  N , n
2 ≤ 
2
n
B． n  N , n
2 ≤ 2
n
D． n  N , n
2 = 2
n
【答案】C【解析】命题 p 是一个特称命题，其否定是全称命题．
x  y  1
2.(2014 新课标卷 1，理 9)9 不等式组x  2 y  4 
的解集记为 D .有下面四个命题：
p1 ： (x, y)  D, x  2 y  2 ， p2 ： (x, y)  D, x  2 y  2 ,
0
0
P3 ： (x, y)  D, x  2 y  3 ， p4 ： (x, y)  D, x  2 y  1.
其中真命题是
A . p2 ， 
P3
【答案】C
B . p1 ， p4
C . p1 ， p2
D . p1 ， P3
【解析】作出可行域如图中阴影部分所示，作出直线l0 ： x  2 y  0 ，
平移l0 ，由图可知，当直线：x  2 y  z 过 A2, 1 时， zmin  2  2 
 0
∴ z  0 ，∴命题 p1 、 p2 真命题，选 C.
3.(2014 福建)命题“ x 0, .x
3   x  0 ”的否定是
A． x 0, .x
3   x  0
B． x , 0.x
3   x  0
C． x 0, .x 
3  x  0
D． x 0, .x 
3  x  0
0
0
0
0
0
0
【答案】C【解析】 把量词“  ”改为“  ”，把结论否定，故选 C
4.(2013 重庆)命题“对任意 x  R ，都有 x
2  0 ”的否定为
A．对任意 x  R ，都有 x
2   0
B．不存在 x  R ，都有 x
2  0
C.
存在 
x0
 R ，使得 x 
2  0
D.
存在 
x0
 R ，使得 x 
2  0
【答案】D【解析】否定为：存在 x0  R ，使得 x  0 ，故选 D．
2
5．(2013 四川)设 x  Z ，集合 A 是奇数集，集合 B 是偶数集，若命题 p ： x  A, 2x  B ，则
A． 
 p ： x  A, 2x 
 B
C． 
 p ： x  A，
2x  B
B． 
 p ： x  A，2x  B
D． 
 p ： x  A，2x  B
【答案】C【解析】由命题的否定易知选 C．
6.(2012 湖北)命题“ x ð Q ， x 
3 Q ”的否定是
0
R
0
A． x  ð Q ， x 
3 Q
B． x ð Q ， x 
3 Q
0
R
0
0
R
0
C． x ð Q ， x
3  Q
D． x ð Q ， x
3  Q
R
R
【答案】D【解析】存在性命题的否定为“  ”改为“  ”，后面结论加以否定，故为x0  CRQ,x0
3  Q ．
7.(2012 湖北)命题“存在一个无理数，它的平方是有理数”的否定是
A.
任意一个有理数，它的平方是有理数
B.
任意一个无理数，它的平方不是有理数
C.
存在一个有理数，它的平方是有理数
D.
存在一个无理数，它的平方不是有理数
【答案】B【解析】根据特称命题的否定，需先将存在量词改为全称量词，然后否定结论，故该命题的否定   为
0
“任意一个无理数,它的平方不是有理数”，故选 B．

8.(2011 安徽)命题“所有能被 2 整聊的整数都是偶数”的否．定．是
A．所有不能被 2 整除的数都是偶数
B．所有能被 2 整除的整数都不是偶数
C．存在一个不能被 2 整除的数都是偶数
D．存在一个能被 2 整除的数都不是偶数
【答案】D【解析】
根据定义容易知 D 正确．
9.(2015 山东)若“ x [0,
]， tan x ≤ m ”是真命题，则实数 m 的最小值为 ．
4


【答案】1【解析】“ x [0,
]， tan x  m ”是真命题，则 m 
 tan
4
4
考点 8  充分条件与必要条件
 1 ，于是实数m 的最小值为 1。
1．(2020 年高考浙江卷 6)已知空间中不过同一点的三条直线 m , n , l ，则“ m , n , l 在同一平面”是“ m , n , l
两两相交”的
(
)
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】
【分析】将两个条件相互推导，根据能否推导的结果判断充分必要条件．
【详解】解法一：由条件可知当 m, n, l 在同一平面，则三条直线不一定两两相交，由可能两条直线平行，或
三条直线平行，反过来，当空间中不过同一点的三条直线m, n, l 两两相交，如图，
三个不同的交点确定一个平面，则 m, n, l 在同一平面，∴“ m, n, l ”在同一平面是“ m, n, l 两两相交”的
必要不充分条件，故选 B．
解法二：依题意m, n, l 是空间不过同一点的三条直线，
当m, n, l 在同一平面时，可能 m//n//l ，故不能得出 m, n, l 两两相交．
当m, n, l 两两相交时，设 m  n  A, m  l  B, n  l  C ，根据公理2 可知 m, n 确定一个平面，而
B  m  , C  l  ，根据公理1 可知，直线 BC 即l ，∴ m, n, l 在同一平
面． 综上所述，“ m, n, l 在同一平面”是“ m, n, l 两两相交”的必要不充分条件．故选 
B． 2．(2020 年高考天津卷 2)设 a  R ，则“ a  1 ”是“ a2  a ”的(
)
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】解二次不等式 a2  a 可得： a  1 或 a  0 ，据此可知： a  1 是 a2  a 的充分不必要条件，故选 A．
 3．(2020 年高考上海卷 16)命题 p : 若存在 a  R 且 a  0 ，对任意的 x  R ，均有 f (x  a)  f (x)  f (a) 
恒
成立，已 知命题 q1  : f (x) 单调递减，且 f (x)  0 恒成立；命题 q2 :
f (x) 单调递减，存在 x0  0 使得
f (x0 )  0 ，则下列说法正确的是(
)
A． q1 , q2 都是 p 的充分条件
B．只有q1 是 p 的充分条件
C． 只有 q2 是 p 的充分条件
D． q1 , q2 都不是 p 的充分条件
【答案】A
【解析】q1 : 当 a  0 ， f a  0 ，因为函数 f  x 单调递减，所以 f  x  a  f  x  f  x  f a ，
即
f  x  a  f  x  f a，存在 a  0 ，当满足命题 q1 时，使命题 p 成立，
q2 :
当a  x0  0 时， f a  
0
，因为函数 f  x 单调递增，所以 f  x  a  f  x  f  x  f a ，
即
f  x  a  f  x  f a，存在 a  0 ，当满足命题 q2 时，命题 p 成立，
 综上可知命题 q1 、q2 都是命题 p 的充分条件，故选 A．
4．(2020 年高考北京卷 9)
已知, R ，则“存在 k  Z ，使得 kπ  (1)
k ”是“ sin sin ”的
(
)
A．充分而不必要条件
B．必要而不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分也不必要条件
【答案】C
【解析】∵ k (1)
k ，且 y  sin x 周期为2，∴当 k 为偶数时，与终边相同，
∴ sin sin 一定成立，
当 k 为奇数时，则 k ，∴ sin sin 成立，充分条件成立．
反之，当sin sin 时，与终边相同，或与终边关于 y 轴对称，∴必要条件也成立，故选 C．
5.(2019 全国Ⅱ理 7)设α，β 为两个平面，则α∥β 的充要条件是
A．α 内有无数条直线与β 平行
B．α 内有两条相交直线与β 平行
AB    AC
BC
C．α，β 平行于同一条直线
D．α，β 垂直于同一平面
【答案】B
【解析】对于   A，内有无数条直线与平行，则与相交或∥，排除； 
对于 B，内有两条相交直线与平行，则∥；
对于 C，， 平行于同一条直线，则与相交或∥，排除；
对于 D，， 垂直于同一平面，则与相交或∥，排除．故选 B．
6.(2014 新课标 2)函数 f (x) 在 x=x0 处导数存在，若 p：f  x0   0 ， q : x  x0 是 f (x) 的极值点，则
A． p 是 q 的充分必要条件
B． p 是 q 的充分条件，但不是 q 的必要条件
C． p 是q 的必要条件，但不是 q 的充分条件
D． p 既不是 q 的充分条件，也不是q 的必要条件
【答案】C【解析】设 f (x)  x
3 ， f (0)  0 ，但是 f (x) 是单调增函数，在 x  0 处不存在极值，故若 p 则
q 是一个假命题，由极值的定义可得若 q 则 p 是一个真命题，故选 C．
7.(2019 天津理 3)设 x  R ，则“ x
2  5x  0 ”是“| x 1| 1”的
A.充分而不必要条件
B.必要而不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
【答案】【解析】由 x
2  5x  0 ，可得0  x  5 ，由 x 1  1 ，得0  x  2 ，因为0  x  5 不能推出0  x 
 2 ，但0  x  2 可以推出0  x  5 ， 所以0  x  5 是0  x  2 的必要不充分条件， 即0  x  5 是 x 1 
 1 的必要不充分条件，故选 B．
8.(2019 北京文 6) 设函数 f(x)=cosx+bsinx(b 为常数)，则“b=0”是“f(x)为偶函数”的
(A)充分而不必要条件
(B)必要而不充分条件
(C)充分必要条件
(D)既不充分也不必要条件
【答案】C【解析】 若b  0 ，则 f  x  cos x 是偶函数；反之，若 f  x 为偶函数，则 f x  f  
x ， 即cosx  b sin x  cos x  b sin x  cos x  b sin x ，即b sin x  0 对x 成立，
可得b  0 ，故“ b  0 ”是“ f  x 为偶函数”的充分必要条件.故选 C.
9.(2019 北京理 7)设点A,B,C 不共线，则“
与
的夹角是锐角”是“ 
uuur 
 
uuur  
  
uuur  
”的
(A) 充分而不必要条件
(B)必要而不充分条件
(C)充分必要条件
(D)既不充分也不必要条件
uur
uuur
uuur
uur
uuur
uur
uuur
【答案】C【解析】点 A，B，C 三点不共线， AB  AC  BC  AB  AC  AB  AC
uur
uuur 2
  AB  AC

uur
uuur 
2
AB  AC
uur uuur
 AB  AC  0 

“ AB 与 AC 的夹角为锐角”.



uur
uuur
uuur
所以“ AB 与 AC 的夹角为锐角”是“ AB  AC  
BC
的充要条件．故选 C．
10.(2019 浙江 5)若 a＞0，b＞0，则“a+b≤4”是 “ab≤4”的
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分也不必要条件
【答案】A【解析 】 因为a＞0，b＞0，若a+b≤4，则 
2
aba  b4 ，则 ab4 ，即 a  b4  ab4 .
反之，若 ab4 ，取 a  1 ，b  4 ，则 ab  44 ，但 a  b  5 ，即 ab4 推不出a+b≤4，所以a+b≤4
是 ab4 的充分不必要条件.故选A．
11.(2018 北京)设a ， b 均为单位向量，则“ a  3b  3a  b ”是“ a ⊥ b ”的
A．充分而不必要条件
B．必要而不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分也不必要条件
【答案】C【解析】∵ a  3b  3a  b ，∴ (a  3b)
2  (3a  b)
2 ，∴ a
2  6a  b  9b
2 
9a
2  6a  b  b
2 ，又| a || b | 1，∴ a  b  0 ，∴ a  b ；反之也成立，故选 C．
12.(2018 上海)已知 a  R ，则“ a  1”是“ 1  1 ”的(
)
a
A．充分非必要条件
B．必要非充分条件
C．充要条件
D．既非充分又非必要条件
【答案】A【解析】由 a  1 可得 1
a
1
 1 成立；当 
1
a
 1 ，
即
1
1 a
1 
 0 ，解得 a 0 或 a 1，推不出 a 1
a
a
一定成立；所以“ a  1”是“
a  1 ”的充分非必要条件．故选 A．
13.(2017 浙江)已知等差数列an  的公差为 d ，前 n 项和为 Sn ，则“ d  0 ”
是“ S4 +S6  2S5 ”的
A.
充分不必要条件
B． 必要不充分条件
C． 充分必要条件
D．既不充分也不必要条件
【答案】C【解析】∵ (S6  S5 )  (S5  S4 )  a6   a5  d ，当 d  0 ，可得 S4 +S6  2S5 ；当 S4 +S6  2S5 ， 
可得 d  0 ．所以“ d  0 ”是“ S4 +S6  2S5 ”  充分必要条件，选 C．
14.(2017 天津)设 R ，则“|

π | π 
”是“ sin 1 
”的
12
12
2
A．充分而不必要条件
B．必要而不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
【答案】A【解析】由|
π | π 
，得0  
，所以sin 1 
，反之令 0 ，有sin 1
成立，
12
12
6
2
2
1
1
1
1
1
1
不满足|
π | π 
，所以“| π | π 
”是“ sin 1 
”的充分而不必要条件．选 A．
12
12
12
12
2
15.(2017 北京)设 m , n 为非零向量，则“存在负数，使得 m  n ”是“ m  n  0 ”的
A．充分而不必要条件
B．必要而不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分也不必要条件
【 答案】 A 【 解析】 因为 m, n 为非零向量， 所以 m  n | m || n | cos  m, n  0 的充要条件
是c o s  m, n  0 ．因为 0 ，则由 m  n 可知 m, n 的方向相反， m, n  180
 ，所以cos  m, n 
 0 ， 所以“存在负数，使得 m  n ”可推出“ m  n  0 ”；而 m  n  0 可推出cos  m, n  0 ，但
不一定推出
m, n 的方向相反，从而不一定推得“存在负数，使得 m  n   ”，所以“存在负数，使得 m  n   ”是“ 
m  n  0 ”的充分而不必要条件．
16．(2016 年北京)设a, b 是向量，则“|a|=|b| ”是“| a  b || a  b | ”的
A．充分而不必要条件
B．必要而不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分也不必要条件
【答案】D【解析】取a = b  0 ，则| a || b | 0 ， | a  b || 0 | 0 ，| a  b || 2a |
 0 ， 所以| a  b || a  b |，故由| a || b | 推不出| a  b || a  b |．由| a  b || a  
b |，
得| a  b |
2 | a  b |
2 ，整理得 a  b  0 ，所以a  b ，不一定能得出| a || b | ，
故由| a  b || a  b | 推不出| a || b | ，故“| a || b | ”是“| a  b || a  b |”的既不充分也不必要条件，故选 
D．
17．(2016 年山东)已知直线 a，b 分别在两个不同的平面α，β 内，则“直线 a 和直线 b 相交”是“平面α 和平
面β 相交”的
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
【答案】A【解析】若直线a, b 相交，设交点为 P ，则 P  a, P  b ，又 a  , b  ，所以
P , P ，故,相交．反之，若,相交，则 a, b 可能相交，也可能异面或平行．故“直线 a 和直线 
b 相交”是“平面α 和平面β 相交”的充分不必要条件．故选 A．
18．(2016 年天津) 设{an } 是首项为正数的等比数列， 公比为 q ， 则“ q  0 ”是“ 对任意的正整数 n ，
a2n1  a2n  0 ” 的(
)
A．充要条件
B．充分而不必要条件
C．必要而不充分条件
D．既不充分也不必要条件
【答案】C【解析】由题意得， an  a q
n1 (a  0) ， 
a
2n1  a2n  a q
2n2  a q
2n1 
a q
2n2 (1 q) ，若 q  0 ，因为1  q 得符号不定，所以无法判断 
a
2n1  a2n 的符号；
反之，若
a
2 n 1  a2 n
 0 ，
即a q
2( 
n1) (q  
1)  0 ，
可得 q 
 1  
0 ，
故“ q  0 ”是“对任意的正整数 n ， a2n1  a2n  0 ”的必要不充分条件，故选 C.
19(2015 安徽)设 p ：1  x  2 ， q ： 2
x  1 ，则 p 是 q 成立的
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分也不必要条件
【答案】A【解析】由 q : 2
x  2
0 ，解得 x  0 ，易知， p 能推出 q ，但q 不能推出 p ，故 p 是q 成立的
充分不必要条件，选 A．
20．(2015 重庆)“ x  1 ”是“ log 1 ( x  2)  0 ”的
2
A．充要条件
B．充分而不必要条件
C．必要而不充分条件
D．既不充分也不必要条件
【答案】B【解析】log 1 ( x  2)  0  x  2  1  x  1 ，因此选 B．
2
21．(2015 天津)设 x  
R
，则“ x  2 
 1
”是“ x
2  x  2  0 ”的
A．充分而不必要条件
B．必要而不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
【答案】A 【解析】解不等式| x - 2 |< 1 可得，1 < x < 3 ，解不等式 x
2 + x - 2 > 0 可得， x < -2 或 x > 1 ，
所以“ x  2 
 1
”是“ x
2  x  2 
 0
”的充分而不必要条件．
22.( 2015 北京)设， 是两个不同的平面， m 是直线且 m ⊂．“ m ∥ ”是“∥ ”的
A．充分而不必要条件
B．必要而不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分也不必要条件
【答案】B 【解析】因为， 是两个不同的平面， m 是直线且 m ⊂．若“ m  ”，则平面、 可能相
交也可能平行，不能推出∥ ，反过来若∥ ，m Ì，则有 m ∥ ，则“ m ∥ ”是“∥ ”的必要 
 
而不充分条件．
23．(2015 陕西)“ sin cos”是“ cos 2 0 ”的
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分也不必要
【答案】A 【解析】因为 cos 2 cos
2  sin
2  0 ， 所以 sin cos 或 sin cos ， 因为“ 
sin cos ”  “ cos 2 0 ” ， 但“ sin cos ”    “ cos 2 0 ” ， 所以“ sin cos ” 是   
 
“ cos 2 0 ”的充分不必要条件，故选 A．
24.(2014 广东)在ABC 中，角 A ， B ， C 所对应的边分别为 a, b, c, 则“ a  b ”是“ sinA  sin B ”的
A．充分必要条件
B．充分非必要条件
C．必要非充分条件
D．非充分非必要条件
【答案】A【解析】由正弦定理
a
sin A 
b
sin 
B
，故“ a  b ”  “ sinA  sin B ”．
25(2014 浙江)已知i 是虚数单位， a, b  R ,则“ a  b  1 ”是“ (a  bi)
2   2i ”的
A． 充分不必要条件
B． 必要不充分条件
C． 充分必要条件
D． 既不充分也不必要条件
【答案】.A【解析】 当 a  b  1 时，(a  bi)
2  (1 i)
2  2i ，反之，若(a  bi)
2  2i ，则有 a  b  1 或
a  b  1 ，因此选 A．
26.(2013 安徽)“ a ≤ 0 ”是“函数 f (x)= (ax-1)x 在区间(0,+) 内单调递增”的
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分也不必要条件
【答案】C【解析】当 a=0 时， f  x  x ，∴ f  x 在区间0,  内单调递增；当a  0 时，
f  x  a  x  1  x 中一个根 1  0 ，另一个根为0 ，由图象可知 f  x 在区间

a 
a


0,  内单调递增；∴"a  0" 是“函数 f (x)= (ax-1)x 在区间(0,+) 内单调递增”的充分条件，相反，当
f  x  a  x  1  x 在区间(0,+) 内单调递增，∴ a  0 或 1  0 ，即 a  0 ；"a  0" 是“函数

a 
a


f (x)= (ax-1)x 在区间(0,+) 内单调递增”的必要条件，故前者是后者的充分必要条件．所以选 C．
27．(2013 北京)“ ”是“曲线 y  sin 2x  过坐标原点的”
A．充分而不必要条件
B．必要而不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分也不必要条件
【答案】A【解析】当 时， y  sin 2x 过原点； y  sin 2x  过原点，则 , , 0,, 等无
数个值．选 A．
28.(2013 浙江)已知函数 f (x)  A cos(x )( A  0, 0, R) ，则“ f (x) 是奇函数”是  
的
2
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分也不必要条件
【答案】B【解析】由 f(x)是奇函数可知 f(0)=0，即 cosφ=0，解出φ=π+kπ，kZ，所以选项 B 正确．
2
29．(2012 安徽)设平面与平面相交于直线 m ，直线a 在平面内，直线b 在平面内，且b  m ，则
“ ”是“ a  b ”的
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
【答案】A【解析】① , b  m,  m, b    b  , a   b  a
②如果 a / /m ；∵ b  m ，一定有 a  b 但不能保证b ，既不能推出 
30.(2012 北京)设 a,b  R ，“ a  0 ”是“复数 a  bi 是纯虚数”的
A．充分而不必要条件
B．必要而不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分也不必要条件
【答案】B【解析】a  0 时 a  bi 不一定是纯虚数，但 a  bi 是纯虚数 a  0 一定成立，故“ a  0 ”是“复数 a 
 bi 是 纯 虚 数 ” 的 必 要 而 不 充 分 条 件 ． 31.(2012 山东)设 a  0 且 a  1，则“函数 f x  a 
x  在 R 上是减函数”是“ gx  2  ax
3  在 R 上是增函数”的
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分也不必要条件
【答案】A【解析】p：“函数 f x  a 
x  在 R 上是减函数 ”等价于0  a  1；q：“函数 gx  2  ax
3  
在 R 上是增函数”等价于 2  a  0 ，即0  a  2, 且 a≠1，故 p 是 q 成立的充分不必要条件．选 A． 32.
(2011 湖南)设集合 M   1, 2, N  a
2 , 则 “ a  1”是“ N  M ”的
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分又不必要条件
【答案】A【解析】显然 a  1 时一定有 N  M ，反之则不一定成立，如 a  1，故“ a  1”是“ N  M ” 
充分不必要条件．