专题06
基本初等函数
十年大数据*全景展示
年
份
题
号
考
点
考查内容
2012
课标
文11
对数与对数函数
指数与指数函数
利用对数函数图像与性质、指数函数图像与性质处理不等式
恒成立问题
2013
课标2
理8 文8
对数与对数函数
对数运算、对数函数图像与性质
2014
课标1
文15
指数与指数函数
二次函数与幂函数
指数函数图像与性质、幂函数图像性质、解分段函数不等
式
2015[来源:学科
网ZXXK]
卷2[来源:学科网]
理5[来源:学科网]
对数与对数函数[ 来
源:Z_xx_k.Com]
对数恒等式、对数运算[来源:Zxxk.Com]
卷1
文10
对数与对数函数
对数式与指数式互化、对称变换、对数运算
2016
卷1
理8
二次函数与幂函
数
对数与对数函数
幂指数运算与幂函数的图像与性质、对数函数的运算与对数
函数的图像与性质
卷3
理6 文7
二次函数与幂函数
指数与指数函数
幂指数运算与幂函数的图像与性质、指数函数的运算与指数
函数的图像与性质
卷1
文8
二次函数与幂函数
指数与指数函数
对数与对数函数
幂函数的图像与性质、指数函数图像与性质、对数函数图像
与性质
卷1
文9
指数与指数函数
指数运算、指数函数的图像性质、导数与函数单调性关系、
图像识别
卷2
文10
对数与对数函数
指数与指数函数
对数恒等式、对数函数图像与性质、指数函数图像与性质、
幂函数图像与性质
2017
卷1
理11
指数与指数函数
对数与对数函数
利用指数函数性质、对数函数的运算与对数函数性质比较大
小
卷2
文8
对数与对数函数
判断与对数函数复合的复合函数的单调性
卷1
文9
对数与对数函数
利用导数研究函数的单调性、利用对数运算研究函数的对称
性
2018
卷1
理9
指数与指数函数
对数与对数函数
利用指数函数图像与对数函数图像作出函数图像、运用数形
结合思想解函数零点问题
卷3
理12
对数与对数函数
对数运算、对数换底公式、对数函数的性质
卷3
文7
对数与对数函数
对数函数图像与函数对称性
卷1
文13
对数与对数函数
对数运算求解简单对数方程
卷2
文3
指数与指数函数
利用指数运算与指数函数的图像与性质识别与指数函数有
关的函数图像
卷3
文16
对数与对数函数
利用对数运算判断函数的奇偶性、利用奇偶性求值
2019
卷1
理3
指数与指数函数
对数与对数函数
指数函数的图像与性质，对数函数的图像与性质
2020
卷1
理12
指数与指数函数
对数与对数函数
指数函数与对数函数的单调性，作差比较法
文8
指数与指数函数
对数与对数函数
指数式与对数式互化，幂的运算性质
卷2
理9
对数与对数函数
对数型函数的单调性、奇偶性
理11
指数与指数函数
对数与对数函数
指数函数与对数函数的单调性
文12
指数与指数函数
对数与对数函数
指数函数与对数函数的单调性
卷3
理4 文4
指数与指数函数
对数与对数函数
指数式与对数式的互化，函数模型的应用
文10
对数与对数函数
对数函数的单调性，对数式的大小比较
理12
指数与指数函数
对数与对数函数
指数函数与对数函数的单调性，指数式与对数式的互化，指
数式、对数式的大小比较
大数据分析*预测高考
考点
出现频率
2021 年预测
指数与指数函数
10/21
2 021 年高考仍将重点考查指数与指数函数、对数与对数函数这两个考点，
考查利用指数运算、对数运算、及利用指数函数的图像与性质、对数函数图
像与性质比较大小、处理单调性、解不等式等问题，难度为中档题．
对数与对数函数
17/21
二次函数与幂函数
4/21
十年试题分类*探求规律
考点20 指数与指数函数
1．(2020 北京卷6】已知函数
1
2
)
(
x
x
f
x
，则不等式
( )
0
f x
的解集是
(
)
A．
1,1
B．
,
1
1,
C．
0 ,1
D．
, 0
1,
【答案】C
【解析】不等式
( )
0
f x
化为2
1,
x
x
>
+
在同一直角坐标系下作出y=2x，y=x+1 的图象(如图)，得不等式
( )
0
f x
的解集是(0,1) ，故选C．
2．(2018 全国卷Ⅱ)函数
2
( )
x
x
e
e
f x
x
的图像大致为
【答案】B【解析】当
0
x
时，因为
0
x
x
e
e
，所以此时
2
( )
0
x
x
e
e
f x
x
，故排除A．D；又
1
(1)
2
f
e
e
，故排除C，选B．
3．(2017 新课标Ⅰ)设, ,
x y z 为正数，且2
3
5
x
y
z
，则
A．2
3
5
x
y
z
B．5
2
3
z
x
y
C．3
5
2
y
z
x
D．3
2
5
y
x
z
【答案】D【解析】设2
3
5
x
y
z
k
，因为, ,
x y z 为正数，所以
1
k
，则
2
log
x
k
，
3
log
y
k
，
5
log
z
k
，
所以2
2lg
lg3
lg9
1
3
lg 2
3lg
lg8
x
k
y
k
，则2
3
x
y
，排除A 、B ；只需比较2x 与5z ，
2
2lg
lg5
lg 25
1
5
lg 2
5lg
lg32
x
k
z
k
，则2
5
x
z
，选D．
4．(2016 年全国I 卷)函数
2
| |
2
x
y
x
e
在[–2，2]的图像大致为
A．
B．
C．
D．
【答案】D【解析】∵
2
| |
2
x
y
x
e
是偶函数，设
2
| |
2
x
y
x
e
，则
2
2
2
(2)
2
2
8
f
e
e
，所以
0
(2)
1
f
，所以排除A，B；当0
2
x
-
-
时，
2
2
x
y
x
e
，所以
4
x
y
x
e
，
又(
)
4
x
y
e
，当0
ln4
x
时，(
)
0
y
，当ln4
2
x
时，(
)
0
y
，所以
4
x
y
x
e
在(0,ln4)
单调递增，在(ln4,2) 单调递减，所以
4
x
y
x
e
在[0,2] 有1
4(ln4
1)
y
-
-
，所以
4
x
y
x
e
在
[0,2] 存在零点，所以函数
2
2
x
y
x
e
在[0, )
单调递减，在( ,2]
单调递增，排除C，故选D．
5．(2017 北京)已知函数
1
( )
3
( )
3
x
x
f x
，则
( )
f x
A．是奇函数，且在R 上是增函数
B．是偶函数，且在R 上是增函数
C．是奇函数，且在R 上是减函数
D．是偶函数，且在R 上是减函数
【答案】A【解析】
1
1
(
)
3
( )
(3
( ) )
( )
3
3
x
x
x
x
f
x
f x
，得
( )
f x 为奇函数，
( )
(3
3 )
3 ln3
3
ln3
0
x
x
x
x
f
x
，所以
( )
f x 在R 上是增函数．选A．
6．(2015 四川)设,a b 都是不等于1 的正数，则“3
3
3
a
b
”是“log 3
log 3
a
b
”的
A．充要条件
B．充分不必要条件
C．必要不充分条件
D．既不充分也不必要条件
【答案】B【解析】由指数函数的性质知，若3
3
3
a
b
>
>
，则
1
a
b
>
>
，由对数函数的性质，
得log 3
log 3
a
b
<
；反之，取
1
2
a =
，
1
3
b =
，显然有log 3
log 3
a
b
<
，此时0
1
b
a
<
<
< ，于是3
3
3
a
b
>
>
，
所以“3
3
3
a
b
>
>
”是log 3
log 3
a
b
的充分不必要条件，选B．
7．(2015 山东)设函数
3
1,
1
( )
2 ,
1
x
x
x
f x
x
≥
，则满足
( )
( ( ))
2 f a
f f a
的a 的取值范围是
A．2
[ ,1]
3
B．[0,1]
C．2
[ ,
)
3
D．[1,
)
【答案】C【解析】由
( )
( ( )) 2f a
f f a
可知
( )
1
f a
，则
1
2
1
a
a
或
1
3
1 1
a
a
，解得
2
3
a≥
．
8．(2014 安徽)设
3
log 7
a
，
1.1
2
b
，
3.1
0.8
c
，则
A．
c
a
b
B．
b
a
c
C．
a
b
c
D．
b
c
a
【答案】B【解析】∵
3
2
log 7
1
a
，
1.1
2
2
b
，
3.1
0.8
1
c
，所以
b
a
c
．
9．(2014 浙江)在同意直角坐标系中，函数
x
x
g
x
x
x
f
a
a
log
)
(
),
0
(
)
(
的图像可能是
【答案】D【解析】当
1
a
时，函数
( )
(
0)
a
f x
x
x
单调递增，函数( )
loga
g x
x
单调递增，且过点(1，
0)，由幂函数的图象性质可知C 错；当0
1
a
时，函数
( )
(
0)
a
f x
x
x
单调递增，函数( )
loga
g x
x
单
调递减，且过点(1，0)，排除A，又由幂函数的图象性质可知C 错，因此选D．
10．(2012 天津)已知
12
2
a
，
0.2
1
2
b
，
5
2log 2
c
，则, ,
a b c 的大小关系为
A．c
b
a
B．c
a
b
C．b
a
c
D．b
c
a
【答案】A【解析】因为
12
2.0
2.0
2
2
)
2
1
(
b
，所以
a
b
1
，
1
4
log
2
log
2
log
2
5
2
5
5
c
，
所以
a
b
c
，选A．
11．(2015 江苏)不等式
2
2
4
x
x
的解集为_______．
【答案】( 1,2)
【解析】由题意得：
2
2
1
2
x
x
x
，解集为( 1,2)
．
12．(2012 山东)若函数
( )
(
0,
1)
x
f x
a a
a
在[ 1,2]
上的最大值为4，最小值为m ，且函数
( )
(1
4 )
g x
m
x
在[0,
)
上是增函数，则a＝
．
【答案】1
4 【解析】当
1
a
时，有
2
1
4,
a
a
m
，此时
1
2,
2
a
m
，此时
( )
g x
x
为减函数，不合题
意．若0
1
a
，则
1
2
4,
a
a
m
，故
1
1
,
4
16
a
m
，检验知符合题意．
考点21
对数与对数函数
1．(2020 全国Ⅰ文8)设
3
log 4
2
a
，则4 a
(
)
A．1
16
B．1
9
C．1
8
D．1
6
【答案】B【解析】由
3
log 4
2
a
可得
3
log 4
2
a
，∴4
9
a
，∴有
1
4
9
a
，故选B．
2．(2020 全国Ⅰ理12)若
2
4
2
log
4
2log
a
b
a
b
，则
(
)
A．
2
a
b
B．
2
a
b
C．
2
a
b
D．
2
a
b
【答案】B
【思路导引】设
2
( )
2
log
x
f x
x
，利用作差法结合
( )
f x 的单调性即可得到答案．
【解析】设
2
( )
2
log
x
f x
x
，则
( )
f x 为增函数，∵
2
2
4
2
2
log
4
2log
2
log
a
b
b
a
b
b
，
∴
( )
(2 )
f a
f
b
2
2
2
2
log
(2
log 2 )
a
b
a
b
2
2
2
2
2
log
(2
log 2 )
b
b
b
b
2
1
log
1
0
2
，
∴
( )
(2 )
f a
f
b
，∴
2
a
b
．
∴
2
( )
(
)
f a
f b
2
2
2
2
2
log
(2
log
)
a
b
a
b
2
2
2
2
2
2
log
(2
log
)
b
b
b
b
2
2
2
2
2
log
b
b
b
，
当
1
b 时，
2
( )
(
)
2
0
f a
f b
，此时
2
( )
(
)
f a
f b
，有
2
a
b
；当
2
b
时，
2
( )
(
)
1
0
f a
f b
，
此时
2
( )
(
)
f a
f b
，有
2
a
b
，∴C、D 错误，故选B．
3．(2020 全国Ⅱ理9)设函数
ln 2
1
ln 2
1
f x
x
x
，则
f x
(
)
A．是偶函数，且在1 ,
2
单调递增
B．是奇函数，且在
1
1
,
2
2
单调递减
C．是偶函数，且在
1
,
2
单调递增
D．是奇函数，且在
1
,
2
单调递减
【答案】D【解析】由
ln 2
1
ln 2
1
f x
x
x
得
f x 定义域为
1
2
x x
，关于坐标原点对称，
又
ln 1 2
ln
2
1
ln 2
1
ln 2
1
f
x
x
x
x
x
f x
，
f x
为定义域上的奇函数，可排除AC；
当
1 1
,
2 2
x
时，
ln 2
1
ln 1 2
f x
x
x
，
ln 2
1
y
x
Q
在
1 1
,
2 2
上单调递增，
ln 1 2
y
x
在
1 1
,
2 2
上单调递减，
f x
在
1 1
,
2 2
上单调递增，排除B；
当
1
,
2
x
时，
2
1
2
ln
2
1
ln 1
2
ln
ln 1
2
1
2
1
x
f
x
x
x
x
x
，
2
1
2
1
x
在
1
,
2
上单调递减，
ln
f
在定义域内单调递增，
根据复合函数单调性可知：
f x 在
1
,
2
上单调递减，D 正确．故选D．
4．(2020 全国Ⅱ文12 理11)若
y
x
y
x
3
3
2
2
，则
(
)
A．
ln
1
0
y
x
B．ln(
1)
0
y
x
C．
0
ln
y
x
D．
0
ln
y
x
【答案】A【解析】由2
2
3
3
x
y
x
y
得：2
3
2
3
x
x
y
y
，令
2
3
t
t
f t
，
2x
y
为R 上的增函数，
3 x
y
为R 上的减函数，
f t
为R 上的增函数，
x
y
，
0
y
x
Q
，
1
1
y
x
，
ln
1
0
y
x
，则A 正确，B 错误；
x
y
Q
与1的大小不确定，故
CD 无法确定，故选A．
5．(2020 全国Ⅲ文理4)Logistic 模型是常用数学模型之一，可应用于流行病学领域．有学者根据公布数据建
立了某地区新冠肺炎累计确诊病例数
I t (t 的单位：天)的Logisic 模型：
0.23
53
1
e
t
K
I t
，其中K
为最大确诊病例数．当
0.95
I t
K
时，标志着已初步遏制疫情，则t约为(ln19
3
)
(
)
A．60
B．63
C．66
D．69
【答案】C【解析】
0.23
53
1
t
K
I t
e
，∴
0.23
53
0.95
1
t
K
I t
K
e
，则
0.23
53
19
t
e
，
∴
0.23
53
ln19
3
t
，解得
3
53
66
0.23
t
，故选C．
6．(2020 全国Ⅲ文10)设
3
5
2
log 2 ,
log 3,
3
a
b
c
，则
(
)
A．a
c
b
B．a
b
c
C．b
c
a
D．c
a
b
【答案】A
【思路导引】分别将a，b 改写为
3
3
1 log 2
3
a
，
3
5
1 log 3
3
b
，再利用单调性比较即可．
【解析】因为
3
3
3
1
1
2
log 2
log 9
3
3
3
a
c
，
3
5
5
1
1
2
log 3
log 25
3
3
3
b
c
，
所以a
c
b
，故选：A．
7．(2020 全国Ⅲ理12)已知
5
4
4
5
5
8 ,13
8
．设
5
8
13
log 3 ,
log 5 ,
log 8
a
b
c
，则
(
)
A．a
b
c
B．b
a
c
C．b
c
a
D．c
a
b
【答案】A
【思路导引】由题意可得a 、b 、
0,1
c
，利用作商法以及基本不等式可得出a 、b 的大小关系，由
8
log 5
b
，得8
5
b
，结合
5
4
5
8
可得出
4
5
b
，由
13
log 8
c
，得13
8
c
，结合
4
5
13
8
，可得出
4
5
c
，
综合可得出a 、b 、c 的大小关系．
【解析】解法一：由题意可知a 、b 、
0,1
c
，
2
2
2
5
2
8
log 3
lg3 lg8
1
lg3
lg8
lg3
lg8
lg 24
1
log 5
lg5 lg5
2
2lg5
lg 25
lg5
a
b
，
a
b
；
由
8
log 5
b
，得8
5
b
，由
5
4
5
8
，得
5
4
8
8
b
，
5
4
b
，可得
4
5
b
；
由
13
log 8
c
，得13
8
c
，由
4
5
13
8
，得
4
5
13
13 c
，
5
4
c
，可得
4
5
c
．
综上所述，a
b
c
．故选A．
解法二：易知
(0 1)
a,b,c
,
，由
2
2
2
5
5
5
5
5
5
8
log 3
log 8
log 24
log 3
2
log 3 log 8
1
log 5
4
4
4
a
b
，知
a
b
．∵
8
log 5
b
，
13
log 8
c
，∴8
5
b
，13
8
c
，即
5
5
8
5
b
，
4
4
13
8
c
又∵
5
4
5
8
，
4
5
13
8
，
∴
4
4
5
5
4
13
8
5
8
13
c
b
b
，即b
c
．综上所述：a
b
c
，故选A．
8．(2020 天津6)设
0.8
0.7
0.7
1
3 ,
,
log
0.8
3
a
b
c
，则, ,
a b c 的大小关系为(
)
A．a
b
c
B．b
a
c
C．b
c
a
D．c
a
b
【答案】D
【思路导引】利用指数函数与对数函数的性质，即可得出, ,
a b c 的大小关系．
【解析】因为
0.7
3
1
a
，
0.8
0.8
0.7
1
3
3
3
b
a
，
0.7
0.7
log
0.8
log
0.7
1
c
，所以
1
c
a
b
，
故选D．
9．(2019 全国Ⅰ理3)已知
0.2
0.3
2
log 0.2
2
0.2
a
b
c
，
，
，则(
)
A．a
b
c
B．a
c
b
C．c
a
b
D．b
c
a
【答案】A【解析】由题意，可知
5
log 2
1
a
，
1
1
5
1
2
2
2
2
1
log 0.2
log
log
5
log 5
log 4
2
5
b
，
0.2
0.5
1
c
，所以b 最大，a ，c 都小于1，因
为
5
2
1
log 2
log 5
a
，
1
5
0.2
5
5
1
1
1
0.5
2
2
2
c
，而
5
2
2
log 5
log 4
2
2
，所以
1
5
2
1
1
log 5
2
，
即a
c
，所以a
c
b
，故选A．
10．(2018 全国卷Ⅲ)设
0.2
log
0.3
a
，
2
log 0.3
b
，则(
)
A．
0
a
b
ab
B．
0
ab
a
b
C．
0
a
b
ab
D．
0
ab
a
b
【答案】B【解析】由
0.2
log
0.3
a
得
0.3
1
log
0.2
a
，由
2
log 0.3
b
得
0.3
1
log
2
b
，
所以
0.3
0.3
0.3
1
1
log
0.2
log
2
log
0.4
a
b
，所以
1
1
0
1
a
b
，得0
1
a
b
ab
．
又
0
a
，
0
b
，所以
0
ab
，所以
0
ab
a
b
．故选B．
11．(2018 全国卷Ⅲ)下列函数中，其图象与函数
ln
y
x
的图象关于直线
1
x
对称的是(
)
A．
ln(1
)
y
x
B．
ln(2
)
y
x
C．
ln(1
)
y
x
D．
ln(2
)
y
x
【答案】B【解析】设所求函数图象上任一点的坐标为( , )
x y ，则其关于直线
1
x
的对称点的坐标为(2
, )
x y
，
由对称性知点(2
, )
x y
在函数
( )
ln
f x
x
的图象上，所以
ln(2
)
y
x
，故选B．
12．(2018 全国卷Ⅰ)已知函数
2
2
( )
log (
)
f x
x
a ，若
(3)
1
f
，则a =________．
【答案】7
【解析】由
(3)
1
f
得，
2
2
log (3
)
1
a
，所以9
2
a
，即
7
a ．
13．(2018 全国卷Ⅲ)已知函数
2
( )
ln( 1
) 1
f x
x
x
，
( )
4
f a
，则
(
)
f
a
___．
【答案】2
【解析】由
2
( )
ln( 1
) 1
4
f a
a
a
，得
2
ln( 1
)
3
a
a
，
所以
2
2
2
1
(
)
ln( 1
)
1
ln(
1
ln( 1
)
1
1
f
a
a
a
a
a
a
a
3 1
2
．
14．(2018 全国卷Ⅰ)已知函数
0
( )
ln
0
，≤，
，
，
xe
x
f x
x
x
( )
( )
g x
f x
x
a ．若
( )
g x 存在2 个零点，则a 的取
值范围是
A．[ 1,0)
B．[0,
)
C．[ 1,
)
D．[1,
)
【答案】C【解析】函数( )
( )
g x
f x
x
a 存在2 个零点，即关于x 的方程
( )
f x
x
a 有2 个不同的
实根，即函数
( )
f x 的图象与直线
y
x
a 有2 个交点，作出直线
y
x
a 与函数
( )
f x 的图象，如图
所示，由图可知，
1
≤
a
，解得
1
≥
a
，故选C．
15．(2017 新课标Ⅰ)已知函数
( )
ln
ln(2
)
f x
x
x
，则
A．
( )
f x 在(0,2) 单调递增
B．
( )
f x 在(0,2) 单调递减
C．
( )
y
f x
的图像关于直线
1
x
对称
D．
( )
y
f x
的图像关于点(1,0) 对称
【答案】C【解析】由
2(1
)
( )
(2
)
x
f
x
x
x
，0
2
x
知，
( )
f x 在(0,1) 上单调递增，在(1,2) 上单调递减，
排除A、B；又
(2
)
ln(2
)
ln
( )
f
x
x
x
f x
，所以
( )
f x 的图象关于
1
x
对称，C 正确．
16．(2017 新课标Ⅱ)函数
2
( )
ln(
2
8)
f x
x
x
的单调递增区间是
A．(
, 2)
B．(
,1)
C．(1,
)
D．(4,
)
【答案】D【解析】由
2
2
8
0
x
x
，得
2
x 或
4
x
，设
2
2
8
u
x
x
，则
(
, 2)
x
，u 关于x
单调递减，
(4,
)
x
，u 关于x 单调递增，由对数函数的性质，可知
ln
y
u
单调递增，所以根据同增异
减，可知单调递增区间为(4,
)
．选D．
17．(2016 年全国II 卷)下列函数中，其定义域和值域分别与函数
lg
10
x
y
的定义域和值域相同的是
A．y=x
B．y=lgx
C．y=2x
D．
1
y
x
【答案】D【解析】函数
lg
10
x
y
的定义域为(0,
)
，又
lg
10
x
y
x
，所以函数的值域为(0,
)
，故
选D．
18．(2015 新课标Ⅱ)设函数
2
1
1 log (2
),
1
( )
2
,
1
x
x x
f x
x
≥
，则
2
( 2)
(log 12)
f
f
A．3
B．6
C．9
D．12
【答案】C 【解析】由于
2
( 2)
1 log 4
3
f
，
2
2
log 12 1
log 6
2
(log 12)
2
2
6
f
-
=
=
=
，所以
2
( 2)
(log 12)
f
f
9，故选C．
19．(2015 新课标1)设函数
( )
y
f x
的图像与
2x a
y
的图像关于直线y
x
对称，
且
( 2)
( 4)
1
f
f
，则a
A．1
B．1
C．2
D．4
【答案】C【解析】设( , )
x y 是函数
( )
y
f x
的图像上任意一点，它关于直线y
x
对称为(
,y
x
)，由
已知知(
,y
x
) 在函数
2x a
y
的图像上，∴
2 y a
x
，解得
2
log (
)
y
x
a
，即
2
( )
log (
)
f x
x
a
，∴
2
2
( 2)
( 4)
log 2
log 4
1
f
f
a
a
，解得
2
a
，故选C．
20．(2013 新课标)设
3
5
7
log 6,
log 10,
log 14
a
b
c
，则
A．c
b
a
B．b
c
a
C．a
c
b
D．a
b
c
【答案】D【解析】
3
3
log 6
1 log 2,
a
5
5
7
7
log 10
1 log 2,
log 14
1 log 2
b
c
，
由下图可知D 正确．
21．(2012 新课标)当
1
0
2
x
≤
时，4
log
x
a x
，则a 的取值范围是( )
A．
2
(0,
)
2
B．
2
(
,1)
2
C．(1,
2)
D．( 2,2)
【答案】B【解析】由指数函数与对数函数的图像知
1
2
0
1
1
log
4
2
a
a
，解得
2
1
2
a
，故选B．
22．(2019 天津理6)已知
5
log 2
a
，
0.5
og
2.
l
0
b
，
0.2
0.5
c
，则, ,
a b c 的大小关系为
A．a
c
b
B．a
b
c
C．b
c
a
D．c
a
b
【答案】A【解析】由题意，可知
5
log 2
1
a
，
1
1
5
1
2
2
2
2
1
log 0.2
log
log
5
log 5
log 4
2
5
b
．
0.2
0.5
1
c
，所以b 最大，a ，c 都小于1．因
为
5
2
1
log 2
log 5
a
，
1
5
0.2
5
5
1
1
1
0.5
2
2
2
c
，而
5
2
2
log 5
log 4
2
2
，所以
1
5
2
1
1
log 5
2
，
即a
c
，所以a
c
b
，故选A．
23．(2018 天津)已知
2
log e
a
，
ln 2
b
，
1
2
1
log 3
c
，则a，b，c 的大小关系为
A．a
b
c
B．b
a
c
C．c
b
a
D．c
a
b
【答案】D【解析】因为
2
log e >1
a
，
ln 2
(0,1)
b
，
1
2
2
2
1
log
log 3
log
1
3
c
e
．
所以c
a
b
，故选D．
24．(2017 天津)已知奇函数
( )
f x 在R 上是增函数，( )
( )
g x
xf x
．若
2
( log 5.1)
a
g
，
0.8
(2
)
b
g
，
(3)
c
g
，
则a，b，c 的大小关系为
A．a
b
c
B．c
b
a
C．b
a
c
D．b
c
a
【答案】C【解析】由题意
( )
g x 为偶函数，且在(0,
)
上单调递增，所以
2
2
( log 5.1)
(log 5.1)
a
g
g
，
又
2
2
2
2
log 4
log 5.1
log 8
3
，
0.8
1
2
2
，所以
0.8
2
2
log 5.1
3
，故b
a
c
，选C．
25．(2017 北京)根据有关资料，围棋状态空间复杂度的上限M 约为
361
3
，而可观测宇宙中普通物质的原子
总数N 约为
80
10
．则下列各数中与M
N
最接近的是
(参考数据：lg3 ≈0．48)
A．
33
10
B．
53
10
C．
73
10
D．
93
10
【
答
案
】
D
【
解
析
】
设
361
80
3
10
M
x
N
，
两
边
取
对
数
得
，
361
361
80
80
3
lg
lg
lg3
lg10
361 lg3 80
93.28
10
x
，所以
93.28
10
x
，即M
N
最接近
93
10
，选D．
26．(2015 北京)如图，函数
f x 的图像为折线ACB ，则不等式
2
log
1
f x
x
≥
的解集是
A．
| 1
0
x
x
≤
B．
| 1
1
x
x
≤≤
C．
| 1
1
x
x
≤
D．
| 1
2
x
x
≤
【答案】C【解析】如图，函数
2
log (
1)
y
x
=
+
的图象可知，
2
( )
log (
1)
f x
x +
≥
的解集是
{ | 1
1}
x
x
- <
≤
．
27．(2015 天津)已知定义在R 上的函数
( )
2
1
x m
f x
(m 为实数)为偶函数，记
0.5
log
3
a
，
2
log 5
b
f
，
2
c
f
m
则, ,
a b c 的大小关系为
A．a
b
c
B．a
c
b
C．c
a
b
D．c
b
a
【答案】C 【解析】因为函数
2
1
x m
f
x
为偶函数，所以
0
m
，即
2
1
x
f
x
，
所以
2
2
1
log
log 3
3
0.5
2
1
(log
3)
log
2
1
2
1
3 1
2
3
a
f
f
，
2
log 5
b
f
2
log 5
2
1
4
，
0
2
(0)
2
1
0
c
f
m
f
，所以c
a
b
，故选C．
28．(2014 山东)已知函数
log (
)
a
y
x
c
( ,a c 为常数，其中
0,
1
a
a
)的图象如图，则下列结论成立的是
A．
0,
1
a
c
B．
1,0
1
a
c
C．0
1,
1
a
c
D．0
1,0
1
a
c
【答案】D【解析】由图象可知0
1
a
，当
0
x
时，log (
)
log
0
a
a
x
c
c
，得0
1
c
．
29．(2013 陕西)设a，b，c 均为不等于1 的正实数，则下列等式中恒成立的是
A．
·log
log
log
a
c
c
b
a
b
B．
·log
lo
log
g
a
a
a
b
a
b
C．
(
)
log
og
g
l
lo
a
a
a
b
c
bc
D．
(
)
log
g
og
o
l
l
a
a
a
b
b
c
c
【答案】B【解析】a ，b ，c ≠1．考察对数2 个公式：
a
b
b
y
x
xy
c
c
a
a
a
a
log
log
log
,
log
log
log
，对
选项A：
b
a
b
a
b
b
c
c
a
c
c
a
log
log
log
log
log
log
，显然与第二个公式不符，所以为假．对选项B：
a
b
b
b
a
b
c
c
a
c
c
a
log
log
log
log
log
log
，显然与第二个公式一致，所以为真．对选项C：
c
b
bc
a
a
a
log
log
log
）
（
，显然与第一个公式不符，所以为假．对选项D：
c
b
c
b
a
a
a
log
log
)
log
（
，
同样与第一个公式不符，所以为假．所以选B．
30．(2013 浙江)已知
y
x,
为正实数，则
A．
y
x
y
x
lg
lg
lg
lg
2
2
2
B．
lg(
)
lg
lg
2
2
2
x y
x
y
C．
y
x
y
x
lg
lg
lg
lg
2
2
2
D．
lg(
)
lg
lg
2
2
2
xy
x
y
【答案】D【解析】取特殊值即可，如取
lg
lg
lg
lg
10,
1,2
2,2
2
3,
x
y
x
y
x
y
lg
lg11
lg
lg
2
2
,2
1
x y
x
y
．
31．(2013 天津)已知函数
( )
f x 是定义在R 上的偶函数，且在区间[0,
)
单调递增．若实数a 满足
2
1
2
(log
)
(log
)
2 (1)
f
a
f
f
a
，则a 的取值范围是
A．[1,2]
B．
1
0, 2
C．1 ,2
2
D．(0,2]
【答案】C 【解析】因为函数
( )
f x
是定义在R 上的偶函数，且
1
2
2
log
log
a
a
，所以
2
2
2
1
2
2
(log
)
(log
)
(log
)
( log
)
2 (log
)
2 (1)
f
a
f
a
f
a
f
a
f
a
f
，即
2
(log
)
(1)
f
a
f
，因为函数在区间
[0,
)
单调递增，所以
2
( log
)
(1)
f
a
f
，即
2
log
1
a
，所以
2
1
log
1
a
，解得1
2
2
a
，即a 的取值范
围是1 ,2
2
，选C．
32．(2012 安徽)
2
3
(log 9) (log 4)
=
A．
1
4
B．1
2
C．
2
D．4
【答案】D【解析】
2
3
lg9
lg 4
2lg3
2lg 2
log 9 log 4
4
lg 2
lg3
lg 2
lg3
．
33．(2011 北京)如果
,0
log
log
2
1
2
1
y
x
那么
A．
1
y
x
B．
1
x
y
C．1
x
y
D．1
y
x
【答案】D【解析】根据对数函数的性质得
1
x
y
．
34．(2011 安徽)若点( , )
a b 在
lg
y
x
图像上，a ，则下列点也在此图像上的是
A．1
(
, )
b
a
B．(10 ,1
)
a
b
C．10
(
,
1)
b
a
D ．
2
(
,2 )
a
b
【答案】D【解析】当
2
x
a
时，
2
lg
2lg
2
y
a
a
b
，所以点
2
(
,2 )
a
b 在函数
lg
y
x
图象上．
35．(2011 辽宁)设函数
1
2
2
,
1
( )
1 log
,
1
x x
f x
x x
≤
，则满足
( )
2
f x ≤
的x 的取值范围是
A．
1
[，2]
B．[0，2]
C．[1，+)
D．[0，+)
【答案】D【解析】当
1
x≤时
12
2
x
≤
，解得
0
x≥
，所以0
1
x
≤≤；当
1
x
时，
2
1 log
2
x
≤
，解得
1
2
x≥
，所以
1
x
，综上可知
0
x≥
．
36．(2018 江苏)函数
2
( )
log
1
f x
x
的定义域为
．
【答案】[2,
)
【解析】要使函数
( )
f x 有意义，则
2
log
1
0
x ≥
，即
2
x≥
，则函数
( )
f x 的定义域是[2,
)
．
37．(2016 年浙江) 已知
1
a
b
，若
5
log
log
2
a
b
b
a
，
b
a
a
b
，则a =
，b =
．
【答案】4
2 【解析】设logb a
t
，则
1
t
，因为
2
1
5
2
2
t
t
a
b
t
，因此
2
2
2
2
2,
4.
b
a
b
b
a
b
b
b
b
b
b
a
38. (2015 浙江)若
4
log 3
a
，则2
2
a
a
_______．
【答案】4
3
3
【解析】∵
3
log4
a
，∴
3
2
3
4
a
a
，∴
3
3
4
3
1
3
2
2
a
a
．
39. (2014 天津)函数
2
( )
lg
f x
x
的单调递减区间是________．
【答案】(
,0)
【解析】
2
2lg ,
0
( )
lg
2lg |
|
2lg(
),
0
x
x
f x
x
x
x x
，知单调递减区间是(
,0)
．
40. (2014 重庆)函数
2
2
( )
log
log
(2 )
f x
x
x
的最小值为_________．
【答案】
1
4
【解析】
2
2
2
2
2
1
( )
log
(2
2log
)
log
log
2
f x
x
x
x
x
2
2
1
1
1
(log
)
2
4
4
x
≥
．当
且仅当
2
1
log
2
x
，即
2
2
x
时等号成立．
41. (2013 四川)lg
5
lg
20
的值是____________．
【答案】1【解析】lg
5
lg
20
lg10
1
．
42. (2012 北京)已知函数
( )
lg
f x
x
，若
(
)
1
f ab
，则
2
2
(
)
(
)
f a
f b
．
【答案】2【解析】由
(
)
1
f ab
，得
10
ab
，于是
2
2
2
2
(
)
(
)
lg
lg
f a
f b
a
b
2(lg
lg )
2lg(
)
2lg10
2
a
b
ab
．
43．(2011 天津)已知
2
2
log
log
1
a
b
≥，则3
9
a
b
的最小值为__________．
【答案】18 【解析】
2
2
2
log
log
log
a
b
ab
，∵
2
ab≥
且
0,
0
a
b
，则3
9
a
b
=
2
2
2
2 2
2 2
3
3
2 3
3
2 3
2 3
2 3
18
a
b
a
b
a
b
ab
≥
≥
≥
．当且仅当
2
a
b
，即
2,
1
a
b
时等号成
立，所以3
9
a
b
的最小值为18．
44．(2011 江苏)函数
)1
2
(
log
)
(
5
x
x
f
的单调增区间是__________．
【答案】
1
(
,
)
2
【解析】由题意知，函数
)1
2
(
log
)
(
5
x
x
f
的定义域为
1
{ |
}
2
x x
，所以该函数的
单调增区间是
1
(
,
)
2
．
考点22 二次函数与幂函数
1．(2020 江苏7)已知
( )
y
f x
是奇函数，当
0
x
时，
2
3
( )
f x
x
，则
( 8)
f
的值是
．
【答案】4
【解析】
( )
y
f x
是奇函数，当
0
x
时，
2
3
( )
f x
x
，则
2
3
( 8)
(8)
8
4
f
f
．
2．(2020 浙江9)已知
,
a bR 且
0
ab
，若
2
0
x
a
x
b
x
a
b
在
0
x
上恒成立，则(
)
A．
0
a
B．
0
a
C．
0
b
D．
0
b
【答案】C
【思路导引】对a 分
0
a
与
0
a
两种情况讨论，结合三次函数的性质分析即可得到答案．
【解析】当
0
a
时，在
0
x
上，
0
x
a
恒成立，∴只需满足
2
0
x
b
x
a
b
恒成立，此时
2a
b
b
，由二次函数的图象可知，只有
0
b
时，满足
2
0
x
b
x
a
b
，
0
b
不满条件；
当
0
b
时，在
0,上，
0
x
b
恒成立，∴只需满足
2
0
x
a
x
a
b
恒成立，此时当两根分别
为x
a
和
2
x
a
b
，
(1)当
0
a
b
时，此时0
2
a
a
b
，当
0
x
时，
2
0
x
a
x
a
b
不恒成立，
(2)当
0
a
b
时，此时2a
b
a
，若满足
2
0
x
a
x
a
b
恒成立，只需满足
0
a
当
0
a
b
时，此时2
0
a
b
a
，满足
2
0
x
a
x
a
b
恒成立，
综上可知满足
2
0
x
a
x
b
x
a
b
在
0
x
恒成立时，只有
0
b
，故选C ．
3．(2016 全国I) 若
1
a
b
，0
1
c
，则
A．
c
c
a
b
B．
c
c
ab
ba
C．
log
log
b
a
a
c
b
c
D．log
log
a
b
c
c
【答案】C【解析】选项A，考虑幂函数
c
y
x
，因为
0
c
，所以
c
y
x
为增函数，又
1
a
b
，所以
c
c
a
b
，
A 错．对于选项B，
c
c
ab
ba
( )c
b
b
a
a
，又
( )x
b
y
a
是减函数，所以B 错．对于选项D，由对数函数
的性质可知D 错，故选C．
4．(2016 全国III) 已知
4
3
2
a
，
2
5
4
b
，
1
3
25
c
，则
A．b
a
c
B．a
b
c
C．b
c
a
D．c
a
b
【答案】A【解析】因为
4
1
3
3
2
16
a
，
2
1
5
5
4
16
b
，
1
3
25
c
，且幂函数
1
3
y
x
在R 上单调递增，指数
函数
16x
y
在R 上单调递增，所以b
a
c
，故选A．
5．(2016 年全国I 卷)若
0
a
b
，0
1
c
，则
A．log
log
a
b
c
c
B．log
log
c
c
a
b
C．
c
c
a
b
D．
a
b
c
c
【答案】B【解析】因为0
1
c
，所以
logc
y
x
在(0,
)
上单调递减，又0
b
a
，所以log
log
c
c
a
b
，
故选B．
6．(2014 新课标)设函数
1
1
3
,
1,
,
1,
xe
x
f x
x
x
则使得
2
f x
成立的x 的取值范围是__．
7．(2018 上海)已知
1 1
{ 2, 1,
,
,1,2,3}
2 2
，若幂函数
( )
f x
x 为奇函数，且在(0,
)
上递减，则
=_____．
【答案】1
【解析】由题意
( )
f x 为奇函数，所以只能取1,1,3
，又
( )
f x 在(0,
)
上递减，所以
1
．
