专题01 集合概念与运算
十年大数据*全景展示
年份
题号
考点
考查内容
2011
文1
集合运算
两个离散集合的交集运算，集合的子集的个数
2012[来源:学*科*网Z*X*X*K]
理1[来源:学#科#
网]
与集合有关的新
概念问题
由新概念确定集合的个数[来源:学#科#网][来源:Zxxk.Com]
文1
集合间关系
一元二次不等式解法，集合间关系的判断
2013
卷1
理1
集合间关系
一元二次不等式的解法，集合间关系的判断
文1
集合运算
集合概念，两个离散集合的交集运算
卷2
理1
集合运算
一元二次不等式解法，一个连续集合与一个离散集合的交集运算
文1
集合运算
个连续集合与一个离散集合的交集运算
2014
卷1
理1
集合运算
一元二次不等式解法，两个连续集合的交集运算
文1
集合运算
两个连续集合的交集运算
卷2
理2
集合元素
一元二次不等式解法，一个连续集合与一个离散集合的交集运算
文1
集合元素
一元二次方程解法，两个离散集合的交集运算
2015
卷1
文1
集合运算
集合概念，两个离散集合的交集运算
卷2
理1
集合运算
一元二次不等式解法，一个连续集合与一个离散集合的交集运算
文1
集合运算
两个连续集合的并集
2016
卷1
理1
集合运算
一元二次不等式解法，一元一次不等式解法，两个连续集合交集运算
文1
集合运算
一个连续集合与一个离散集合的交集运算
卷2
理1
集合运算
一元二次不等式解法，两个离散集合并集运算
文1
集合运算
一元二次不等式解法，一个连续集合与一个离散集合的交集运算
卷3
理1
集合运算
一元二次不等式解法，两个连续集合的交集运算
文1
集合运算
两个离散集合的补集运算
2017
卷1
理1
集合运算
指数不等式解法，两个连续集合的并集、交集运算
文1
集合运算
一元一次不等式解法，两个连续集合的并集、交集运算
卷2
理2
集合运算
一元二次方程解法，两个离散集合交集运算
文1
集合运算
两个离散集合的并集运算
卷3
理1
集合概念与表示
直线与圆的位置关系，交集的概念．
文1
集合运算
两个离散集合的交集运算
2018
卷1
理1
集合运算
一元二次不等式解法，补集运算
文1
集合运算
两个离散集合的交集运算
卷2
理2
集合概念与表示
点与圆的位置关系，集合概念
文1
集合运算
两个离散集合的交集运算
卷3
文理1
集合运算
一元一次不等式解法，一个连续集合与一个离散集合的交集运算
2019
卷1
理1
集合运算
一元二次不等式解法，两个连续集合的交集运算
文2
集合运算
三个离散集合的补集、交集运算
卷2
理1
集合运算
一元二次不等式解法，一元一次不等式解法，两个连续集合的交集运算
文1
集合运算
两个连续集合的交集运算
卷3
文理1
集合运算
一元二次不等式解法，一个连续集合与一个离散集合的交集运算
2020
卷1
理2
集合运算
一元二次不等式的解法，含参数的一元一次不等式的解法，利用集合的
交集运算求参数的值
文1
集合运算
一元二次不等式解法，一个连续集合与一个离散集合的交集运算
卷2
理1
集合运算
两个离散集合的并集、补集运算
文1
集合运算
绝对值不等式的解法，一个连续集合与一个离散集合的交集运算
卷3
理1
集合运算
二元一次方程及二元一次不等式混合组的整数解的解法，一个连续集合
与一个离散集合的交集运算
文1
集合运算
一个连续集合与一个离散集合的交集运算
大数据分析*预测高考
考点
出现频率
2021 年预测
集合的含义与表示
37 次考2 次
在理科卷中可能考查本考点
集合间关系
37 次考2 次
可能在试卷中考查两个几何关系的判定或子集的个数问
题
集合间运算
37 次考32 次
常与一元二次不等式解法、一元一次不等式解法、指数、
对数不等式解法结合重点考查集合的交集运算，也可能考
查集合的并集、补集运算
与集合有关的创新问题
37 次考1 次
考查与集合有关的创新问题可能性不大
十年试题分类*探求规律
考点1
集合的含义与表示
1．【2020 年高考全国Ⅲ卷文数1】已知集合
1, 2 , 3 , 5 , 7 ,11
A
，
3
15
|
B
x
x
，则A∩B 中元素的个
数为(
)
A．2
B．3
C．4
D．5
【答案】B【解析】由题意，
{5,7,11}
A
B
I
，故A
B
中元素的个数为3，故选B
2．【2020 年高考全国Ⅲ卷理数1】已知集合
{( , ) | ,
,
}
A
x y
x y
y
x
*
N
，
{( , ) |
8}
B
x y
x
y
，则A
B
中
元素的个数为(
)
A．2
B．3
C．4
D．6
【答案】C【解析】由题意，A
B
中的元素满足
8
y
x
x
y
，且
*
,x y
N
，由
8
2
x
y
x
，得
4
x
，
所以满足
8
x
y
的有(1,7),(2,6),(3,5),(4,4) ，故A
B
中元素的个数为4 ．故选C．
3．【2017 新课标3，理1】已知集合A=
2
2
( , )
1
x y
x
y
│
，B=
( , )
x y
y
x
│
，则AB 中元素的个数
为
A．3
B．2
C．1
D．0
【答案】B【解析】由题意可得，圆
2
2
1
x
y
与直线y
x
相交于两点
1,1 ，
1, 1
，则A
B
中有
两个元素，故选B．
4．【2018 新课标2，理1】已知集合ܣ=
ݔ，ݕݔ2 + ݕ2 ≤3 ，ݔ∈ܼ
，ݕ∈ܼ
，则ܣ中元素的个数为(
)
A．9
B．8
C．5
D．4
【答案】A【解析】∵ݔ2 + ݕ2 ≤3，∴ݔ2 ≤3，∵ݔ∈ܼ
，∴ݔ=−1，0，1，当ݔ=−1 时，ݕ=−1，0，1；
当ݔ= 0 时，ݕ=−1，0，1；当ݔ=−1 时，ݕ=−1，0，1；所以共有9 个，选A．
5．【2013 山东，理1】已知集合A={0，1，2}，则集合B=
|
,
x
y x
A y
A
中元素的个数是
A．1
B．3
C．5
D．9
【答案】C【解析】
0,
0,1,2,
0, 1, 2
x
y
x
y
；
1,
0,1,2,
1,0, 1
x
y
x
y
；
2,
0,1,2,
2,1,0
x
y
x
y
．∴B 中的元素为2, 1,0,1,2
共5 个，故选C．
6．【2013 江西，理1】若集合
2
|
1
0
A
x
R ax
ax
中只有一个元素，则a =
A．4
B．2
C．0
D．0 或4
【答案】A【解析】当
0
a
时，1
0
不合，当
0
a
时，
0
，则
4
a
，故选A．
7．【2012 江西，理1】若集合
{ 1,1}
A
，
{0,2}
B
，则集合{ |
,
,
}
z z
x
y x
A y
B
中的元素的个数
为(
)
A．5
B．4
C．3
D．2
【答案】C【解析】根据题意，容易看出x
y
只能取1，1，3 等3 个数值．故共有3 个元素，故选C．
8．
【2011 广东，理1】已知集合A={( , ) | ,
x y
x y 为实数，且
2
2
1}
x
y
，B={( , ) | ,
x y
x y 为实数，且
1}
x
y
，
则AB 的元素个数为
A．4
B．3
C．2
D．1
【答案】C【解析】由
2
2
1
1
x
y
x
y
消去y ，得
2
0
x
x
，解得
0
x
或
1
x
，这时
1
y
或
0
y
，即
{(0,1),(1,0)}
A
B
，有2 个元素．
9．【2011 福建，理1】i 是虚数单位，若集合S ={－1，0，1}，则
A．i ∈S
B．
2i ∈S
C．3i ∈S
D．2
i
∈S
【答案】B【解析】∵
2i =－1∈S ，故选B．
10．【2012 天津，文9】集合
R
2
5
A
x
x
中的最小整数为_______．
【答案】
3
【解析】不等式
5
2
x
，即
5
2
5
x
，
7
3
x
，所以集合
}
7
3
{
x
x
A
，
所以最小的整数为
3
．
考点2 集合间关系
【试题分类与归纳】
1．【2012 新课标，文1】已知集合
2
{ |
2
0}
A
x x
x
，
{ | 1
1}
B
x
x
，则
A．A
B
Ü
B．B
A
Ü
C．A
B
D．A
B
【答案】B【解析】A=(－1，2)，故BA，故选B．
2．【2012 新课标卷1，理1】已知集合A=｛x|x2－2x＞0｝，B=｛x|－5＜x＜5｝，则
(
)
A、A∩B=
B、A∪B=R
C、B⊆A
D、A⊆B
【答案】B【解析】A=(-，0)∪(2，+)，∴A∪B=R，故选B．
3．【2015 重庆，理1】已知集合
1,2,3
A
，
2,3
B
，则
A．A＝B
B．A
B
∩
C．A
B
Ü
D．B
A
Ü
【答案】D【解析】由于2
,2
,3
,3
,1
,1
A
B
A
B
A
B
，故A、B、C 均错，D 是正确的，选D．
4．【2012 福建，理1】已知集合
{1,2,3,4}
M
，
{ 2,2}
N
，下列结论成立的是(
)
A．N
M
B．M
N
M
C．M
N
N
D．
{2}
M
N
【答案】D【解析】由M={1，2，3，4}，N={2，2}，可知2∈N，但是2M，则NM，故A 错误．∵
MN={1，2，3，4，2}≠M，故B 错误．M∩N={2}≠N，故C 错误，D 正确．故选D
5．【2011 浙江，理1】若
{ |
1},
{ |
1}
P
x x
Q
x x
，则(
)
A．P
Q
B．Q
P
C．
R
C P
Q
D．
R
Q
C P
【答案】D【解析】
{ |
1}
P
x x
∴
{ |
1}
R
C P
x x
，又∵
{ |
1}
Q
x x
，∴
R
Q
C P
，故选D．
6．【2011 北京，理1】已知集合P =
2
{ |
1}
x x
，
{ }
M
a
．若P
M
P
，则a 的取值范围是
A．(∞，1]
B．[1，+∞)
C．[1，1]
D．(∞，1] [1，+∞)
【答案】C【解析】因为P
M
P
，所以M
P
，即a
P
，得
2
1
a
，解得1
1
a
，
所以a 的取值范围是[ 1,1]
．
7．【2013 新课标1，理1】已知集合A={x|x2－2x＞0}，B={x|－5＜x＜5＝，则(
)
A．A∩B=
B．A∪B=R
C．B⊆A
D．A⊆B
【答案】B【解析】A=(- ，0)∪(2，+)，∴A∪B=R，故选B．
8．【2012 大纲，文1】已知集合A ={ x ︱x 是平行四边形}，B ={ x ︱x 是矩形}，C ={ x ︱x 是正方形}，
D ={ x ︱x 是菱形}，则
A ．A B
B ．C B
C ．D C
D ．A D
【答案】B【解析】∵正方形一定是矩形，∴C 是B 的子集，故选B ．
9．【2012 年湖北，文1】已知集合
2
{ |
3
2
0,
}
A
x x
x
x
R ，
{ | 0
5,
}
B
x
x
x
N
，则满足条件
A
C
B
的集合C 的个数为(
)
A．1
B．2
C．3
D．4
【答案】D 【解析】求解一元二次方程，
2
|
3
2
0,
A
x x
x
x
R
1,2
，易知
| 0
5,
1,2,3,4
N
B
x
x
x
．因为
A
C
B ，所以根据子集的定义，集合C 必须含有元素1，
2，且可能含有元素3，4，原题即求集合
3,4 的子集个数，即有
2
2
4
个．故选D．
考点3 集合间的基本运算
【试题分类与归纳】
1．【2011 课标，文1】已知集合M={0，1，2，3，4}，N={1，3，5}，P=M∩N，则P 的子集共有
(A)2 个
(B)4 个
(C)6 个
(D)8 个
【答案】B【解析】∵P=M∩N={1，3}，∴P 的子集共有
2
2 =4，故选B．
2．【2013 新课标2，理1】已知集合M={ x ∈R|
2
(
1)
4
x
}，N={-1，0，1，2，3}，则M∩N=
A．{0，1，2}
B．{-1，0，1，2}
C．{-1，0，2，3}
D．{0，1，2，3}
【答案】A【解析】M=(-1，3)，∴M∩N={0，1，2}，故选A．
3．【2013 新课标2，文1】已知集合M=｛x|-3<x<1｝，N=｛-3，-2，-1，0，1｝，则M∩N= (
)
(A)｛-2，-1，0，1｝
(B)｛-3，-2，-1，0｝(C){-2，-1，0}
(D){-3，-2，-1 }
【答案】C【解析】因为集合M=
| 3
1
x
x
，所以M∩N=｛0，-1，-2｝，故选C．
4．【2013 新课标I，文1】已知集合A=｛1，2，3，4｝，
2
{ |
,
}
B
x x
n n
A
，则A∩B= (
)
(A)｛1，4｝
(B)｛2，3｝(C){9，16}
(D)｛1，2}
【答案】A；【解析】依题意，
1,4,9,16
B
，故
1,4
A
B
．
5．【2014 新课标1，理1】已知集合A={ x |
2
2
3
0
x
x
}，B={ x |－2≤x ＜2}，则A
B
=
A ．[-2，-1]
B ．[-1，2)
C ．[-1，1]
D ．[1，2)
【答案】A【解析】∵A=(
, 1]
[3,
)
，∴A
B
=[-2，-1]，故选A．
6．【2014 新课标2，理1】设集合M=｛0，1，2｝，N=
2
|
3
2
0
x x
x
≤
，则M
N
=(
)
A．｛1｝
B．｛2｝
C．｛0，1｝
D．｛1，2｝
【答案】D【解析】∵
2
=
3
2
0
1
2
N
x x
x
x
x
，∴M
N
1,2 ，故选D．
7．【2014 新课标1，文1】已知集合M ={ | 1
3}
x
x
，N ={ | 2
1}
x
x
则M
N
(
)
A.
)1,2
(
B．
)1,1
(
C．
)
3,1(
D．
)
3,2
(
【答案】B【解析】M
B
(-1，1)，故选B．
8．【2014 新课标2，文1】设集合
2
{ 2,0,2},
{ |
2
0}
A
B
x x
x
，则A
B
(
)
A.
B．
2
C．{0}
D．{ 2}
【答案】B【解析】∵
1,2
B
，∴A
B
2 ．
9．【2015 新课标2，理1】已知集合
2
1,01,2
A
｛
，
，｝，
(
1)(
2
0
B
x x
x
，则A
B
(
)
A．
1,0
A
B．
0,1
C．
1,0,1
D．
0,1,2
【答案】A【解析】由题意知，
)1,2
(
B
，∴
}
0,1
{
B
A
，故选A．
10．【2015 新课标1，文1】已知集合
{
3
2,
},
{6,8,10,12,14}
A
x x
n
n
N
B
，则集合A
B
中的元
素个数为(
)
(A) 5
(B)4
(C)3
(D)2
【答案】D
【解析】由条件知，当n=2 时，3n+2=8，当n=4 时，3n+2=14，故A∩B={8，14}，故选D．
11．【2015 新课标2，文1】已知集合
| 1
2
A
x
x
，
| 0
3
B
x
x
，则A
B
(
)
A．
1,3
B．
1,0
C．
0,2
D．
2,3
【答案】A【解析】由题知，
)
3,1
(
B
A
，故选A．
12．【2016 新课标1，理1】设集合
}
0
3
4
|
{
2
x
x
x
A
，
}
0
3
2
|
{
x
x
B
，则
B
A
=
(A)
3
( 3,
)
2
(B)
3
( 3, )
2
(C)
3
(1, )
2
(D) 3
( ,3)
2
【答案】D【解析】由题知A =(1，3)，B=
)
,
2
3
(
，所以
B
A
= 3
( ,3)
2
，故选D．
13．【2016 新课标2，理2】已知集合
{1,
}
A
2,3 ，
{ | (
1)(
2)
0,
}
B
x
x
x
x
Z ，则A
B
(
)
(A){1}
(B){1 2}
，
(C){01 2 3}
，，，
(D){ 1 01 2 3}
，，，，
【答案】C【解析】由题知B ={0，1}，所以A
B
{0，1，2，3}，故选C．
14．【2016 新课标3，理1】设集合
| (
2)(
3)
0 ,
|
0
S
x
x
x
T
x x
，则
T
S
=
(A) [2，3]
(B)(- ，2]U [3，+)
(C) [3，+)
(D)(0，2]U [3，+)
【答案】D【解析】由题知，
)
,3
[
]
2,
(
S
，∴
T
S
=(0，2]U [3，+)，故选D．
15．【2016 新课标2，文1】已知集合
{12 3}
A ，，，
2
{ |
9}
B
x x
，则A
B
( )
(A){
2
1 0 1 2 3}
，，，，，
(B){
2
1 0 1 2}
，，，，
(C){1 2 3}
，，
(D){1 2}
，
【答案】D【解析】由题知，
)
3,3
(
B
，∴
}
2,1
{
B
A
，故选D．
16．【2016 新课标1，文1】设集合
{1,3,5,7}
A
，
{ | 2
5}
B
x
x
，则A
B
(
)
(A){1，3}(B){3，5}(C){5，7}(D){1，7}
【答案】B【解析】由题知，
}
5,3
{
B
A
，故选B．
17．【2016 新课标3，文1】设集合
{0,2,4,6,8,10},
{4,8}
A
B
，则
AB
ð
=
(A){4 8}
,
(B){0 2 6}
，,
(C){0 2 610}
，，,
(D){0 2 4 6 810}
，，，，,
【答案】C【解析】由题知，
}
10
,6,2,0
{
B
CA
，故选C．
18．【2017 新课标1，理1】已知集合A={x|x<1}，B={x|3
1
x
}，则
A．
{ |
0}
A
B
x x
B．A
B R
C．
{ |
1}
A
B
x x
D．A
B
【答案】A【解析】由题知，
)
0,
(
B
，∴
{ |
0}
A
B
x x
，故选A．
19．【2017 新课标1，文1】已知集合A=
|
2
x x
，B=
|3
2
0
x
x
，则(
)
A．A B=
3
|
2
x x
B．A B
C．A B
3
|
2
x x
D．A B=R
【答案】A
20．【2017 新课标2，理2】设集合
1,2,4
，
2
4
0
x x
x
m
．若
1
，则(
)
A．
1, 3
B．
1,0
C．
1,3
D．
1,5
【答案】C【解析】由
1
得1
B
，所以
3
m
，
1,3
B
，故选C．
21．【2017 新课标2，文1】设集合
1 2 3
2 3 4
A
B
，，，
，，， 则A
B
= ( )
A．
1 2 3,4
，，
B．
1 2 3
，，
C．
2 3 4
，，
D．
13 4
，，
【答案】A【解析】由题意
{1,2,3,4}
A
B
，故选A．
22．【2017 新课标3，文1】已知集合A={1，2，3，4}，B={2，4，6，8}，则A B 中元素的个数为(
)
A．1
B．2
C．3
D．4
【答案】B【解析】由题意可得，
2,4
A
B
，故选B．
23．【2018 新课标1，理1】已知集合ܣ= ݔݔ2 −ݔ−2 > 0 ，则∁ܴܣ=
A．ݔ−1 < ݔ< 2
B．ݔ−1 ≤ݔ≤2
C．ݔ|ݔ<−1 ∪ݔ|ݔ> 2
D．ݔ|ݔ≤−1 ∪ݔ|ݔ≥2
【答案】B【解析】由题知，ܣ= ݔ|ݔ<−1 或ݔ> 2 ，∴ܥܴܣ= ݔ| −1 ≤ݔ≤2 ，故选B．
24．【2018 新课标3，理1】已知集合ܣ= ݔ|ݔ−1 ≥0 ，ܤ= 0 ，1 ，2 ，则ܣ∩ܤ=
A．0
B．1
C．1 ，2
D．0 ，1 ，2
【答案】C【解析】由题意知，A={
|
x x ≥1}，所以A ∩B = {1，2}，故选C．
25．【2018 新课标1，文1】已知集合
，
，则
(
)
A．
B．
C．
D．
【答案】A【解析】根据集合交集中元素的特征，可以求得
，故选A．
26．【2018 新课标2，文1】已知集合
，
，则
A．
B．
C．
D．
【答案】C【解析】
，故选C
27．【2019 新课标1，理1】已知集合
2
4
2
{
6
0
M
x
x
N
x x
x
，
，则M
N
=(
)
A．
{
4
3
x
x
B．
{
4
2
x
x
C．
{
2
2
x
x
D．
{ 2
3
x
x
【答案】C【解析】由题意得，
4
2 ,
2
3
M
x
x
N
x
x
，则
2
2
M
N
x
x
．故选C．
28．
【2019 新课标1，文2】已知集合
1,2,3,4,5,6,7
2,3,4,5
2,3,6,7
U
A
B
，
，
，则
CU
B
A
=( )
A．
1,6
B．
1,7
C．
6,7
D．
1,6,7
【答案】C【解析】由已知得
1,6,7
U
C A
，所以
U
B
C A
{6,7}，故选C．
29．【2019 新课标2，理1】设集合A={x|x2-5x+6>0}，B={ x|x-1<0}，则A∩B=
A．(-∞，1)
B．(-2，1)
C．(-3，-1)
D．(3，+∞)
【答案】A【解析】由题意得，
2,
3 ,
1
A
x x
x
B
x x
或
，则
1
A
B
x x
．故选A．
30．【2019 新课标2，文1】．已知集合
={ |
1}
A
x x
，
{ |
2}
B
x x
，则A∩B=
A．(–1，+∞)
B．(–∞，2)
C．(–1，2)
D．
【答案】C【解析】由题知，
( 1,2)
A
B
，故选C．
31．【2019 新课标3，理1】已知集合
2
1,0,1,2
1
A
B
x x
，
，则A
B
(
)
A．
1,0,1
B．
0,1
C．
1,1
D．
0,1,2
【答案】A【解析】由题意得，
1
1
B
x
x
，则
1,0,1
A
B
．故选A．
32．【2019 浙江，1】已知全集
1,0,1,2,3
U
，集合
0,1,2
A
，
1,0,1
B
，则U A
B
ð
=
A．
1
B．
0,1
C．
1,2,3
D．
1,0,1,3
【答案】A【解析】
{ 1,3}
U A
ð
，
{ 1}
U A
B
ð
．故选A．
33．【2019 天津，理1】设集合
{ 1,1,2,3,5},
{2,3,4},
{
|1
3}
A
B
C
x
x
R
-
，则(
)
A
C
B
A．
2
B．
2,3
C．
1,2,3
D．
1,2,3,4
【答案】D【解析】由题知，
1,2
A
C
，所以
1,2
2,3,4
1,2,3,4
A
C
B
，故选D．
34．【2011 辽宁，理1】已知M，N 为集合I 的非空真子集，且M，N 不相等，若
N
ð
M
I
，则
N
M
A．M
B．N
C．I
D．
【答案】A【解析】根据题意可知，N 是M 的真子集，所以M
N
M
．
35．【2018 天津，理1】设全集为R，集合
{ 0
2}
A
x
x
，
{
1}
B
x x
≥
，则
(
)
R
I
A
B
ð
A．{ 0
1}
x
x
≤
B．{ 0
1}
x
x
C．{ 1
2}
x
x
≤
D．{ 0
2}
x
x
【答案】B【解析】因为
{
1}
B
x x
≥
，所以
{ |
1}
RB
x x
ð
，因为
{ 0
2}
A
x
x
，
所以
(
)
R
I
A
B
ð
{ | 0
1}
x
x
，故选B．
36．【2017 山东，理1】设函数
2
4
y
x
的定义域A ，函数
ln(1
)
y
x
的定义域为B ，则A
B =
(
)
A．(1,2)
B．(1,2]
C．( 2,1)
D．[ 2,1)
【答案】D【解析】由
2
4
0
x
≥
得2
2
x
≤≤
，由1
0
x
得
1
x ，故
A
B={ | 2
2}
{ |
1}
{ | 2
1}
x
x
x x
x
x
≤
≤
≤
，选D．
37．【2017 天津，理1】设集合
{1,2,6}
A
，
{2,4}
B
，
{
| 1
5}
C
x
x
R
≤
≤
，
则(
)
A
B
C
A．{2}
B．{1,2,4}
C．{1,2,4,6}
D．{
| 1
5}
x
x
R
≤
≤
【答案】B【解析】(
)
{1 2 4 6}
[ 15]
{1 2 4}
A
B
C
，，，
，
，，，选B．
38．【2017 浙江，理1】已知集合
{ | 1
1}
P
x
x
，
{ | 0
2}
Q
x
x
，那么P
Q
=
A．( 1,2)
B．(0,1)
C．( 1,0)
D．(1,2)
【答案】A【解析】由题意可知
{ | 1
2}
P
Q
x
x
，选A．
39．【2016 年山东，理1】设集合
2
{ |
2 ,
},
{ |
1
0},
x
A
y y
x
B
x x
R
则A
B
=
A．( 1,1)
B．(0,1)
C．( 1,
)
D．(0,
)
【答案】C【解析】集合A 表示函数
2x
y
的值域，故
(0,
)
A
．由
2
1
0
x
，得1
1
x
，故
( 1,1)
B
，
所以
( 1,
)
A
B
．故选C．
40．【2016 年天津，理1】已知集合
{1,2,3,4},
{ |
3
2
},
A
B
y y
x
x
A
，
则A
B
=
A．{1}
B．{4}
C．{1,3}
D．{1,4}
【答案】D【解析】由题意
{1,4,7,10}
B
，所以
{1,4}
A
B
，故选D．
41．【2015 浙江，理1】已知集合
2
{
2
0},
{ 1
2}
P
x x
x
Q
x
x
≥
≤
，则(
)
RP
Q
ð
A．[0,1)
B．(0,2]
C．(1,2)
D．[1,2]
【答案】C【解析】
{ | 0
2}
RP
x
x
=
<
<
ð
，故(
)
{ |1<
< 2}
RP
Q = x
x
ð
，故选C．
42．【2015 四川，理1】设集合
{ | (
1)(
2)
0}
A= x
x
x
，集合
{ |1
3}
B
x
x
，则A
B =
A．{ | 1
3}
x
x
B．{ | 1
1}
x
x
C．{ |1
2}
x
x
D．{ | 2
3}
x
x
【答案】A【解析】
{ | 1
2}
A
x
x
=
- <
<
，
{ |1
3}
B
x
x
=
<
<
，∴
{ | 1
3}
A
B
x
x
=
- <
<
．
43．【2015 福建，理1】若集合
2
3
4
,
, ,
A
i i i i
(i 是虚数单位)，
1, 1
B
，则A
B
等于(
)
A．
1
B．
1
C．
1, 1
D．
【答案】C【解析】由已知得
, 1,
,1
A
i
i
，故A
B
1, 1
，故选C．
44．【2015 广东，理1】若集合
4
1
0
M
x x
x
，
4
1
0
N
x x
x
，
则M
N
A．
1,4
B．
1, 4
C．
0
D．
【答案】D 【解析】由(
4)(
1)
0
x
x
+
+
=
得
4
x = - 或
1
x = - ，得
{ 1, 4}
M = - -
．
由(
4)(
1)
0
x
x
-
-
=
得
4
x =
或
1
x = ，得
{1,4}
N =
．显然
M
N
．
45．【2015 陕西，理1】设集合
2
{ |
}
M
x x
x
，
{ | lg
0}
N
x
x
≤
，则M
N
A．[0,1]
B．(0,1]
C．[0,1)
D．(
,1]
【答案】A【解析】
2
0,1
x x
x
，
lg
0
0
1
x
x
x
x
，
所以
0,1
，故选A．
46．【2015 天津，理1】已知全集
1,2,3,4,5,6,7,8
U
，集合
2,3,5,6
A
，集合
1,3,4,6,7
B
，则集合
U
A
B
ð
A．
2,5
B．
3,6
C．
2,5,6
D．
2,3,5,6,8
【答案】A【解析】
{2,5,8}
UB
ð
，所以
{2,5}
U
A
B
ð
，故选A．
47．【2014 山东，理1】设集合
},
]
2,0
[
,
2
{
},
2
1
{
x
y
y
B
x
x
A
x
则
B
A
A．[0，2]
B．(1，3)
C．[1，3)
D．(1，4)
【答案】B【解析】∵
1,2
B
，∴A
B
2 ，故选B．
48．【2014 浙江，理1】设全集
2
|
x
N
x
U
，集合
5
|
2
x
N
x
A
，则
A
CU
A．
B．
}
2
{
C．
}
5
{
D．
}
5,2
{
【答案】B【解析】由题意知
{
|
2}
U
x
N x
≥
，
{
|
5}
A
x
N x
≥
，所以
A
CU
{
| 2
5}
x
N
x
≤
，
选B．
49．【2014 辽宁，理1】已知全集
,
{ |
0},
{ |
1}
U
R A
x x
B
x x
，则集合
(
)
U
C
A
B
A．{ |
0}
x x
B．{ |
1}
x x
C．{ | 0
1}
x
x
D．{ | 0
1}
x
x
【答案】D【解析】由已知得，
=
0
A
B
x x
或
1
x
，故
(
)
U
C
A
B
{ | 0
1}
x
x
，故选D．
50．【2013 山东，】已知集合
B
A、
均为全集
}
4,3,2,1
{
U
的子集，且
(
)
{4}
U A
B
ð
，
{1,2}
B
，则
U
A
B
ð
A．{3}
B．{4}
C．{3，4}
D．
【答案】A【解析】由题意
1,2,3
A
B
，且
{1,2}
B
，所以A 中必有3，没有4，
3,4
U
C B
，故
U
A
B
ð
3 ．
51．【2013 陕西，理1】设全集为R，函数
2
( )
1
f x
x
的定义域为M，则C M
R
为
A．[－1，1]
B．(－1，1)
C．
, 1]
[1,
)
(
D．
, 1)
(1,
)
(
【答案】D【解析】
( )
f x 的定义域为M=[ 1，1]，故
RM
ð
=(
, 1)
(1,
)
，选D．
52．【2013 湖北，理1】已知全集为R ，集合
1
1
2
x
A
x
，
2
|
6
8
0
B
x x
x
，则( )
R
A
C B
A．
|
0
x x
B．
| 2
4
x
x
≤≤
C．
|0
2
4
x
x
x
或
D．
|0
2
4
x
x
x
或
【答案】C【解析】
0,
A
，
2,4
B
，
0,2
4,
R
A
C B
．
53．【2011 江西，理1】若全集
{1,2,3,4,5,6},
{2,3},
{1,4}
U
M
N
，则集合{5,6}等于
A．M
N
B．M
N
C．
n
n
C M
C N
D．
n
n
C M
C N
【答案】D【解析】因为
{1,2,3,4}
M
N
，所以
n
n
C M
C N
=
(
)
U
C
M
N
={5,6}．
54．【2011 辽宁】已知M，N 为集合I 的非空真子集，且M，N 不相等，若
N
ð
M
I
，则
N
M
A．M
B．N
C．I
D．
【答案】A【解析】根据题意可知，N 是M 的真子集，所以M
N
M
．
55．【2017 江苏】已知集合
{1,2}
A
，
2
{ ,
3
B
a a
｝，若
{1}
A
B
，则实数a 的值为_．
【答案】1【解析】由题意1
B
，显然
1
a
，此时
2
3
4
a
，满足题意，故
1
a
．
56．【2020 年高考全国Ⅰ卷文数1】已知集合
2
{ |
3
4
0},
{ 4,1,3,5}
A
x x
x
B
，则A
B
(
)
A．{ 4,1}
B．{1,5}
C．{3,5}
D．{1,3}
【答案】D【解析】由
2
3
4
0
x
x
解得1
4
x
，所以
| 1
4
A
x
x
，又因为
4,1,3,5
B
，
所以
1,3
A
B
，故选D．
57．【2020 年高考全国I 卷理数2】设集合A={x|x2–4≤0}，B={x|2x+a≤0}，且A∩B={x|–2≤x≤1}，则a=(
)
A．–4
B．–2
C．2
D．4
【答案】B【解析】求解二次不等式
2
4
0
x
可得：
2
|
2
A
x
x
，求解一次不等式2
0
x
a
可得：
|
2
a
B
x x
．由于
| 2
1
A
B
x
x
，故：
1
2
a
，解得：
2
a ．故选B．
58．【2020 年高考全国II 卷文数1】已知集合A={x||x|<3，x∈Z}，B={x||x|>1，x∈Z}，则A∩B=(
)
A．
B．{–3，–2，2，3)
C．{–2，0，2}
D．{–2，2}
【答案】D【解析】因为
3,
2, 1,0,1,2
A
x x
x
Z
，
1,
1
B
x x
x
Z
x x
或
1,
x
x
Z
，所以
2, 2
A
B
．故选D．
59．【2020 年高考全国II 卷理数1】已知集合
2 ,
1, 0 ,1, 2 , 3 ,
1, 0 ,1 ,
1, 2
U
A
B
，则
U A
B
ð
(
)
A．
2 , 3
B．
2 , 2 , 3
C．
2 , 1, 0 , 3
D．
2 ,
1, 0 , 2 , 3
【答案】A【解析】由题意可得：
1,0,1,2
A
B
，则
U
2,3
A
B
ð
．故选A．
60．【2020 年高考浙江卷1】已知集合P={ |1
4}
x
x
，
{ | 2
3}
Q
x
x
则P Q= (
)
A．{ |1
2}
x
x
B．{ | 2
3}
x
x
C．{ | 2
3}
x
x
D．{ |1
4}
x
x
【答案】B【解析】由已知易得
2
3
P
Q
x
x
，故选B．
61．【2020 年高考北京卷1】已知集合
{ 1,0,1,2},
{ 0
3}
A
B
x
x
，则A
B
A．{ 1,0,1}
B．{0,1}
C．{ 1,1,2}
D．{1,2}
【答案】D【详解】
{ 1,0,1,2}
(0,3)
{1,2}
A
B
I
I
，故选D．
62．【2020 年高考山东卷1】设集合
{ |1
3}
A
x
x
，
{ |2
4}
B
x
x
，则
=
A
B
A．{ | 2
3}
x
x
B．{ | 2
3}
x
x
C．{ |1
4}
x
x
D．{ |1
4}
x
x
【答案】C【详解】
1, 3
2 , 4
1, 4
A
B
U
U
，故选C．
63．【2020 年高考天津卷1】设全集
{ 3, 2, 1,0,1,2,3}
U
，集合
{ 1,0,1,2},
{ 3,0,2,3}
A
B
，
则
U
A
B
ð
(
)
A．{ 3,3}
B．{0,2}
C．{ 1,1}
D．{ 3, 2, 1,1,3}
【答案】C【解析】由题意结合补集的定义可知：
U
2, 1,1
B
ð
，则
U
1,1
A
B
ð
，故选C．
64．【2020 年高考上海卷1】已知集合
1, 2 , 4 ,
2 , 4 , 5
A
B
，则A
B
．
【答案】
2,4 【解析】由交集定义可知
2,4
A
B
，故答案为：
2,4 ．
65．【2020 年高考江苏卷1】已知集合
1, 0 ,1, 2 ,
0 , 2 , 3
A
B
，则A
B
．
【答案】
0 , 2 【解析】由题知，
0 , 2
A
B
．
考点4 与集合有关的创新问题
1．(2012 课标，理1)．已知集合A ={1，2，3，4，5}，B ={( x ，y )| x ∈A ，y ∈A ，x
y
∈A }，则B
中所含元素的个数为(
)
A ．3
B ．6
C ．8
D ．10
【答案】D．【解析】B ={(2，1)，(3，1)，(4，1)，(5，1)，(3，2)，(4，2)，(5，2)，(4，3)，(5，3)，(5，
4)}，含10 个元素，故选D．
2．【2015 湖北】已知集合
2
2
{( , )
1, ,
}
A
x y x
y
x y
Z ，
{( , ) |
|
2 , |
|
2,
B
x y
x
y
≤
≤
,
}
x y Z ，定义集合
1
2
1
2
1
1
2
2
{(
,
) ( ,
)
, (
,
)
}
A
B
x
x
y
y
x y
A
x
y
B
，则A
B
中元素的个数为(
)
A．77
B．49
C．45
D．30
【答案】C【解析】因为集合
2
2
{( , )
1, ,
}
A
x y x
y
x y
Z ，所以集合A 中有9 个元素(即9 个点)，即图中
圆中的整点，集合
{( , ) |
| 2 , |
| 2, ,
}
B
x y
x
y
x y
Z 中有25 个元素(即25 个点)：即图中正方形ABCD中
的整点，集合
1
2
1
2
1
1
2
2
{(
,
) ( ,
)
, (
,
)
}
A
B
x
x
y
y
x y
A
x
y
B
的元素可看作正方形
1
1
1
1
D
C
B
A
中的整点(除去四个顶点)，
即
45
4
7
7
个．
3．【2013 广东，理8】设整数
4
n
，集合
1,2,3,
,
X
n
，令集合
{( , , ) | , ,
S
x y z
x y z
X
，且三条
件
,
,
x
y
z y
z
x z
x
y
恰有一个成立} ，若
, ,
x y z 和
, ,
z w x 都在S 中，则下列选项正确的是
A．
, ,
y z w
S
，
, ,
x y w
S
B．
, ,
y z w
S
，
, ,
x y w
S
C．
, ,
y z w
S
，
, ,
x y w
S
D．
, ,
y z w
S
，
, ,
x y w
S
【答案】B 【解析】特殊值法，不妨令
2,
3,
4
x
y
z
，
1
w
，则
, ,
3,4,1
y z w
S
，
, ,
2,3,1
x y w
S
，故选B．
如果利用直接法：因为
, ,
x y z
S
，
, ,
z w x
S
，所以x
y
z
…①，y
z
x
…②，z
x
y
…
③三个式子中恰有一个成立；z
w
x
…④，w
x
z
…⑤，x
z
w
…⑥三个式子中恰有一个成立．配
对后只有四种情况：第一种：①⑤成立，此时w
x
y
z
，于是
, ,
y z w
S
，
, ,
x y w
S
；第二种：
①⑥成立，此时x
y
z
w
，于是
, ,
y z w
S
，
, ,
x y w
S
；第三种：②④成立，此时y
z
w
x
，
于是
, ,
y z w
S
，
, ,
x y w
S
；第四种：③④成立，此时z
w
x
y
，于是
, ,
y z w
S
，
, ,
x y w
S
．综
合上述四种情况，可得
, ,
y z w
S
，
, ,
x y w
S
．
4．
【2012 福建，文12】在整数集Z 中，被5 除所得余数为k 的所有整数组成一个“类”，记为[k]，即[k]={5n
k
丨n ∈Z}，k=0，1，2，3，4．给出如下四个结论：
①2011∈[1]；②－3∈[3]；③Z=[0]∪[1]∪[2]∪[3]∪[4]；④“整数a ，b 属于同一“类”的充要条件是“ a
b
∈[0]”．其中正确的结论个数是(
)
A．1
B．2
C．3
D．4
【答案】C【解析】①2011=2010+1=402×5+1∈[1]，正确；由-3=-5+2∈[2]可知②不正确；根据题意信息可
知③正确；若整数a ，b 属于同一类，不妨设a ，b ∈[k]={5n
k
丨n∈Z}，则a =5n+k，b =5m+k，n，m
为整数，a
b
=5(n-m)+0∈[0]正确，故①③④正确，答案应选C．
5．【2013 浑南，文15】对于E={
1
2
100
,
,
,
a a
a
}的子集X={
1
2
,
,
,
k
i
i
i
a a
a
}，定义X 的“特征数列”为
1
2
100
,
,
,
x x
x
，其中
1
2
1
k
i
i
i
x
x
x
，其余项均为0，例如子集{
2
3
,
a a }的“特征数列”为0，1，1，
0，0，…，0
(1) 子集{
1
3
5
,
,
a a a }的“特征数列”的前三项和等于
；
(2) 若E 的子集P 的“特征数列”
1
2
100
,
,
,
p p
p
满足
1
1
p ，
1
1
i
i
p
p
，1≤i ≤99；
E 的子集Q 的“特征数列”
1
2
100
,
,
,
q q
q
满足
1
1
q
，
1
2
1
j
j
j
q
q
q
，1≤j ≤98，则P∩Q 的元素个数
为_________．
【解析】(1) 子集{
1
3
5
,
,
a a a }的特征数列为：1，0 ，1，0，1，0，0，0……0．所以前3 项和等于1+0+1=2．
(2)∵E 的子集P 的“特征数列”
1
2
100
,
,
,
p p
p
满足
1
1
p ，
1
1
i
i
p
p
，1≤i ≤99；
∴P 的“特征数列”：1，0，1，0 … 1，0．所以P =
}
,
,
{
99
5
3
1
a
a
a
a
．
∵E 的子集Q 的“特征数列”
1
2
100
,
,
,
q q
q
满足
1
1
q
，
1
2
1
j
j
j
q
q
q
，1≤j ≤98，，可知：j=1 时，
1
2
3
q
q
q
=1，∵
1
1
q
，∴
2q =
3q =0；同理
4q =1=
7a =…=
3
2
n
q
．Q 的“特征数列”：1，0，0，1，0，0 …1，
0，0，1．所以Q =
}
,
,
,
{
100
97
7
4
1
a
a
a
a
a
．
∴
{
Q
P
}
,
,
97
13
7
1
a
a
a
a
，∵97=1+(17-1)×6，∴共有17 个相同的元素．
7．【2018北京，理20】设n 为正整数，集合
1
2
={
|
( , ,
,
),
{0,1},
1,2,
, }
n
k
A
t t
t
t
k
n
．对于集合A
中的任意元素
1
2
( ,
,
,
)
n
x x
x
和
1
2
(
,
,
,
)
n
y y
y
，记
( ,
)
M
1
1
1
1
2
2
2
2
1[(
|
|)
(
|
|)
(
|
|)]
2
n
n
n
n
x
y
x
y
x
y
x
y
x
y
x
y
．
(1)当
3
n
时，若
(1,1,0)
，
(0,1,1)
，求
( ,
)
M 和
( ,
)
M 的值；
(2)当
4
n
时，设B 是A 的子集，且满足：对于B 中的任意元素
,
，当
,
相同时，
( ,
)
M 是
奇数；当
,
不同时，
( ,
)
M 是偶数．求集合B 中元素个数的最大值；
(3)给定不小于2 的n ，设B 是A 的子集，且满足：对于B 中的任意两个不同的元素
,
，
( ,
)
0
M
．写出一个集合B ，使其元素个数最多，并说明理由．
【解析】(1)因为
(1,1,0)
，
(0,1,1)
，所以
1
( ,
)
[(1 1 |1 1|)
(1 1 |1 1|)
(0
0) | 0
0 |)]
2
2
M
，
1
( ,
)
[(1
0 |1 0 |)
(1 1 |1 1|)
(0 1 | 0 1|)]
1
2
M
．
(2)设
1
2
3
4
( ,
,
,
)
x x x x
B
，则
1
2
3
4
( , )
M
x
x
x
x
．
由题意知
1x ，
2x ，
3x ，
4x ∈{0，1}，且
( ,
)
M 为奇数，
所以
1x ，
2x ，
3x ，
4x 中1 的个数为1 或3．
所以B{(1，0，0，0)，(0，1，0，0)，(0，0，1，0)，(0，0，0，1)，(0，1，1，1)，(1，0，1，1)，
(1，1，0，1)，(1，1，1，0)}．
将上述集合中的元素分成如下四组：
(1，0，0，0)，(1，1，1，0)；(0，1，0，0)，(1，1，0，1)；(0，0，1，0)，(1，0，1，1)；(0，0，
0，1)，(0，1，1，1)．
经验证，对于每组中两个元素，，均有
( ,
)
1
M
．
所以每组中的两个元素不可能同时是集合B 的元素．
所以集合B 中元素的个数不超过4．
又集合{(1，0，0，0)，(0，1，0，0)，(0，0，1，0)，(0，0，0，1)}满足条件，
所以集合B 中元素个数的最大值为4．
(3)设
1
2
1
2
1
2
1
{( ,
,
,
) | ( ,
,
,
)
,
1,
0}
k
n
n
k
k
S
x x
x
x x
x
A x
x
x
x
(
1,2,
, )
k
n
，
1
1
2
1
2
{( ,
,
,
) |
0}
n
n
n
S
x x
x
x
x
x
，则
1
2
1
n
A
S
S
S
．
对于
k
S (
1,2,
,
1
k
n
)中的不同元素，，经验证，
( ,
)
1
M ≥．
所以
k
S (
1,2,
,
1
k
n
)中的两个元素不可能同时是集合B 的元素．
所以B 中元素的个数不超过
1
n ．
取
1
2
( ,
,
,
)
k
n
k
e
x x
x
S
且
1
0
k
n
x
x
(
1,2,
,
1
k
n
)．
令
1
2
1
1
( ,
,
,
)
n
n
n
B
e e
e
S
S
，则集合B 的元素个数为
1
n ，且满足条件．
故B 是一个满足条件且元素个数最多的集合．
