十年大数据*全景展示
专题 07 函数的综合应用
年
份
题号
考
点
考 查 内 容
20 11
理 12
函数综合应用
本考查函数的图像与性质反比例函数图像、三角函数图像、图像平
移、对称性、数形结合思想等
文 12
函数综合应用考查对周期函数的理解、含绝对值的对数函数图像及数形结合思想
2013
卷 1
理 11
文 12
函数综合应用考查函数不等式恒成立求参数范围问题的解法及转化与化归思想
卷 2
文 12
函数综合应用考查利用不等式成立求参数范围问题的解法与化归与转化思想
2015
卷 2
文 12
函数综合应用考查函数奇偶性与单调性的判断及利用函数性质解函数不等式．
卷 2
理 11
函数实际应用考查函数的实际应用问题，考查函数的图像识别．
2016
卷 2
理 12
函数综合应用
主要考查函数的对称性、利用函数的图像与性质及利用这些性质解
两个函数交点的坐标之和问题，考查转化与化归思想
卷 2
文 12
函数综合应用
主要考查函数的对称性、二次函数图像、利用这些性质求函数交点
的横坐标之和问题函数综合问题
2017
卷 3
理 12
文 12
函数与方程
主要考查利用导数研究已知函数有一个零点问题，考查化归与转化
等数学思想．
2018
卷 1
理 9
函数与方程
指数函数图像、对数函数图像、函数方程
卷 3
理 15
函数与方程
简单三角方程、函数零点
2019
卷 2
理 11
函数综合应用
卷 3
文 5
函数与方程
二倍角公式、简单三角方程、函数零点
大数据分析*预测高考
考点
出现频率
2021 年预测
函数与方程
4/15
2021 年高考仍将方程解得个数、函数零点个数、不等式整数解
的结束、不等式恒成立与能成立为载体考查函数的综合问题，
考查数形结合与转化与化归思想，难度为中档或难题．
函数实际应用
1/15
函数的综合应用
10/15
十年试题分类*探求规律
考点 23 函数与方程
1．(2020 上海 11)已知 a R ，若存在定义域为 R 的函数 f (x) 同时满足下列两个条件，①对任意 x0 R ，
3
f (x ) 的值为 x 或 x
2 ；②关于 x 的方程 f (x) a 无实数解；则 a 的取值范围为 ．
0
0
0
x
3 ,
x0,
2．(2020 天津 9)已知函数 f (x)
x,
x 0.
若函数 g(x) f (x) kx
2 2x
(k R) 恰有 4 个零点，则
k 的取值范围是(
)
A． , 1 (2 2,
)
B． , 1 (0, 2 2)
2
2
C． (, 0) (0, 2 2)
D． (, 0) (2 2, )
3．(2019 全国Ⅲ文5)函数 f (x) 2sinx sin2x 在[0，2π]的零点个数为
A．2
B．3
C．4
D．5
e
x，x ≤ 0，
4．(2018 全国卷Ⅰ，理 9)已知函数 f (x)
ln x，x 0
g(x) f (x) x a ．若 g (x) 存在 2 个零点，则 a
的取值范围是
A．[1, 0)
B．[0, )
C．[1, )
D．[1, )
5．(2017 新课标Ⅲ)已知函数 f (x) x
2 2x a(e
x1 e
x1) 有唯一零点，则 a =
A.
1
2
B.
1
3
C.
1
2
x, x
0
D．1
6．(2019 浙江 9)已知a, b R ，函数 f (x)
1 1
x
3
2 (a 1)x
2 ax, x 0
，若函数 y
f (x) ax b 恰有
3 个零点，则
A．a<-1，b<0
B．a<-1，b>0
C．a＞-1，b<0
D．a＞-1，b>0
7．(2015 安徽)下列函数中，既是偶函数又存在零点的是
A.
y cos
x
B.
y sin
x
C.
y ln
x
D.
y x
2 1
8．(2015 福建)若 a, b 是函数 f x x
2 px q p 0, q
0
的两个不同的零点，且 a, b,
2
这三个数可
适当排序后成等差数列，也可适当排序后成等比数列，则 p q 的值等于
A．6
B．7
C．8
D．9
0.5
2 x , x 2
9．(2015 天津)已知函数 f x
x 2
2 , x 2
函数 g x b f 2
x
，其中
b
R
，若函数 y f x g
x
恰有 4 个零点，则b 的取值范围是
A． ( 7 ,
) 4
B． (, 7 )
4
7
(0, )
4
7
( , 2)
4
10．(2015 陕西)对二次函数 f (x) ax
2 bx c ( a 为非零整数)，四位同学分别给出下列结论，其中有且仅
有一个结论是错误的，则错误的结论是
A．－1 是 f (x) 的零点
B．1 是 f (x) 的极值
点
C．3 是 f (x) 的极值
D．点(2,8) 在曲线 y
f (x) 上
11．(2014 北京)已知函数 f x 6 log
x
2 x ，在下列区间中，包含 f x 零点的区间是
A．
0,1
B．
1, 2
C． 2,
4
D． 4,
1
3, x (1, 0]
12．(2014 重庆)已知函数 f (x) x 1
x, x (0,1]
个不同的零点，则实数 m 的取值范围是
， 且 g(x)
f (x) mx m 在(1,1] 内有且仅有两
A． ( 9 ,2]
4
C． ( 9 ,2]
4
(0, 1
]
2
(0, 2 ]
3
B． ( 11 ,2]
4
D． ( 11 ,2]
4
(0, 1 ]
2
(0, 2]
3
13．(2014 湖北)已知 f (x) 是定义在 R 上的奇函数，当 x 0 时， f (x) = x
2 3x ．则函数 g(x) f (x) x + 3 的
零点的集合为
A． {1, 3}
B．{ 3, 1,1,
3}
C．{2
7 , 1,
3}
D ．{ 2
7 , 1 , 3}
14．(2013 重庆)若 a b c ，则函数 f x x a x b x b x c x c x a 的两个
零点分别位于区间
A． a, b 和b, c 内
B． , a 和a, b 内
C． b, c 和c, 内
D． , a 和c, 内
15．(2013 天津)函数 f (x) 2
x | log
x | 1 的零点个数为
C．
D．
A．1
B．2
C．3
D．4
1
1
1
16．(2012 北京)函数 f (x) x 2 ( )
x 的零点个数为
2
A．0
B．1
C．2
D．3
17．(2012 湖北)函数 f (x) x cos x
2 在区间[0, 4] 上的零点个数为
A．4
B．5
C．6
D．7
18．(2012 辽宁)设函数 f (x) x R 满足 f
(x)
f (x) ，f (x) f (2 x) ，且当 x 0,1 时，f x=x
3 ．
又
函数 g x = x cosx ，则函数 h(x) g(x) f (x) 在[ 1 , 3] 上的零点个数为
2 2
A．5
B．6
C．7
D．8
19．(2011 天津)对实数 a 与b ，定义新运算“ ”： a b
a, a b
1,
b, a b 1.
设函数
f (x) x
2 2 x x
2 , x R. 若函
数 y
f (x) c 的图像与 x 轴恰有两个公共点，则实数c 的取值范围
是
A． , 2 1, 3
B． , 2 1, 3
2
4
C． , 1 1 , D． 1, 3 1 ,
4
4
4
4
20．(2018 全国卷Ⅲ)函数 f (x) cos(3x 在[0,]的零点个数为
．
)
6
21．(2019 江苏 14)设 f (x), g(x) 是定义在 R 上的两个周期函数， f (x) 的周期为 4，g (x) 的周期
k (x 2), 0 x 1
为 2，且 f (x) 是奇函数．当 x (0, 2] 时， f (x)
， g(x)
,1 x
2
，其中
2
k>0．若在区间(0，9]上，关于x 的方程 f (x) g(x) 有8 个不同的实数根，则k 的取值范围是
．
22．(2018 江苏)若函数 f (x) 2x
3 ax
2 1(a R) 在(0, ) 内有且只有一个零点，则 f (x) 在
[1,1] 上的最大值与最小值的和为
．
23．(2018 浙江)已知 R ，函数 f (x)
x 4, x ≥
，当 2 时，不等式 f (x) 0 的解
x
2 4x 3, x
集是
．若函数 f (x) 恰有 2 个零点，则的取值范围是
．
24．(2015 湖北)函数 f (x) 4 cos
2 x cos( π x) 2 sin x | ln(x 1) | 的零点个数为．
1 (x 1)2
2
2
27．(2015 北京)设函数 f x
25．(2011 辽宁)已知函数 f (x) e
x 2x a 有零点，则a 的取值范围是
16．(2011 辽宁)已
知函数 f (x) e
x 2x a 有零点，则a 的取值范围是
26．
(2011 辽宁)已知函数 f (x) e
x 2x a 有零点，则a 的取值范围是
2
x a ‚x 1‚
4 x a x 2a ‚ x
≥1.
①若 a 1，则 f x 的最小值为 ；
②若 f x 恰有 2 个零点，则实数 a 的取值范围是 ．
x
3 , x ≤ a
2 8．(2015 湖南)已知函数 f (x) x
2 , x a
，若存在实数b ，使函数 g(x)
则a 的取值范围是
．
29．(2014 江苏)已知 f (x) 是定义在 R 上且周期为 3 的函数，当 x [0,3) 时，
f (x) b 有两个零点，
f (x) | x 2 2x 1 | ．若函数 y f (x) a 在区间[3,4] 上有 10 个零点(互不相同)，则实数 a 的取值范围
2
是
．
x
2 2,
x 0
30．(2014 福建)函数
f
x
2x 6 ln x, x
0
的零点个数是
．
考点 24 函数的实际应用
1．(2020 北京 15)为满足人民对美好生活的向往，环保部门要求相关企业加强污水治理，排放 未达标的企业
f (b) f (a)
要限期整改．设企业的污水排放量W 与时间t 的关系为W
f (t) ，用
b
a
的大小评价在a ,
b
这段时间内企业污水治理能力的强弱． 已知整改期内，甲、乙两企业的污水排放量与时间的关系如下图所
示．
给出下列四个结论：
0
①在t1 , t2 这段时间内，甲企业的污水治理能力比乙企业强；
②在t2 时刻，甲企业的污水治理能力比乙企业强；
③在t3 时刻，甲、乙两企业的污水排放量都已达标；
④甲企业在0 , t1 ， t1 , t2 ， t2 , t3 这三段时间中，在0 , t1 的污水治理能力最
强．其中所有正确结论的序号是
．
2．(2020 山东 6)基本再生数 R0 与世代间隔是新冠肺炎的流行病学基本参数．基本再生数指一个感染者传
染的平均人数，世代间隔是指相邻两代间传染所需的平均时间．在新冠肺炎疫情初始阶段，可以用指数模
型： I (t) e
rt 描述累计感染病例数 I (t) 随时间t (单位：天)的变化规律，指数增长率 r 与 R ， T 近似满足
R0 1 rT ．有学者基于已有数据估计出 R0 3.28 ，T 6 ．据此，在新冠肺炎疫情初始阶段，累计感
染病例数增加1 倍需要的时间约为( ln 2 0.69 )
(
)
A．1.2 天
B．1.8 天
C． 2.5 天
D． 3.5 天
3．(2015 全国卷 2，理 11)如图，长方形的边 AB=2，BC=1，O 是 AB 的中点，点 P 沿着边 BC，CD 与 DA
运动，记BOP
x
，将动点 P 到 A，B 两点距离之和表示为 x 的函数 f
x
，则的图像大致为(
)
A.
B．
C．
D．
4．(2015 北京)汽车的“燃油效率”是指汽车每消耗 1 升汽油行驶的里程，下图描述了甲、乙、丙三辆汽车
在不同速度下的燃油效率情况． 下列叙述中正确的是
pq
( p 1)(q 1)
A.
消耗 1 升汽油，乙车最多可行驶 5 千米
B.
以相同速度行驶相同路程，三辆车中，甲车消耗汽油最多
C.
甲车以 80 千米/小时的速度行驶 1 小时，消耗 10 升汽油
D.
某城市机动车最高限速 80 千米/小时．相同条件下，在该市用丙车比用乙车更省油
5．(2014 北京)加工爆米花时，爆开且不糊的粒数的百分比称为“可食用率”．在特定条件下，可食用率 p 与
加工时间t (单位：分钟)满足函数关系 p at
2 bt c ( a 、b 、c 是常数)，下图记录了三次实验的数
据， 根据上述函数模型和实验数据，可以得到最佳加工时间为(
)
A． 3.50 分钟
B． 3.75 分钟
C． 4.00 分钟
D． 4.25 分钟
6．(2014 湖南)某市生产总值连续两年持续增加，第一年的增长率为 p ，第二年的增长率为 q ，则该市这两
年生产总值的年平均增长率为
p q
A．
2
( p 1)(q 1) 1
B．
C．
D．
1
2
7．(2017 山东)若函数e
x f (x) (e=2．71828，是自然对数的底数)在 f (x) 的定义域上单调递增，则称函数
f (x) 具有 M 性质，下列函数中具有 M 性质的是
．
① f (x) 2
x
② f (x)
x
2
③ f (x) 3
x
④ f (x) cos x
4 x2
x
x
2 , x D
8．(2017 江苏)设 f (x) 是定义在 R 且周期为 1 的函数，在区间[0,1) 上， f (x)
其中集合
x,
D {x | x n 1 , n N
*}，则方程 f (x) lg x 0 的解的个数是
．
n
x D
x
3 3x, x ≤ a
9．(2016 年北京) 设函数 f (x)
2x, x a
．
①若 a 0 ，则 f (x) 的最大值为
；
②若 f (x) 无最大值，则实数 a 的取值范围是
．
10 ． (2015 四川) 某食品的保鲜时间 y ( 单位： 小时) 与储存温度 x ( 单位： C ) 满足函数关系
y e
kxb ( e 2.718为自然对数的底数， k、b 为常数)．若该食品在 0 C 的保鲜时间设计 192 小时，在
22 C 的保鲜时间是 48 小时，则该食品在 33 C 的保鲜时间是 小时．
11．(2014 山东)已知函数 y
f (x)(x R) ，对函数 y g x x I ，定义 g x 关于 f x 的“对称
函数”
为函数 y h x x I ， y h x 满足：对任意 x I ，两个点
x, h x, x, g x 关于点x, f x 对称，若 h x 是 g x
关于
f x 3x b 的“对称函数”，且 h x g x 恒成立，则实数b 的取值范围是 ．
12．(2014 福建)要制作一个容器为 4 m
3 ，高为1m 的无盖长方形容器，已知该容器的底面造价是每平方米 20
元，侧面造价是每平方米 10 元，则该容器的最低总造价是
(单位：元)
13．(2014 四川)以 A 表示值域为 R 的函数组成的集合，B 表示具有如下性质的函数(x) 组成的集合：对
于函数(x) ，存在一个正数 M ，使得函数(x) 的值域包含于区间
[M , M ]．例如，当(x) x
3 ， (x) sin x 时，(x) A ， (x) B ．现有如下命题：
1
2
1
2
①设函数 f (x) 的定义域为 D ，则“ f (x) A ”的充要条件是“ b R ， a D ， f (a) b ”；
②函数 f (x) B 的充要条件是 f (x) 有最大值和最小值；
③若函数 f (x) ， g (x) 的定义域相同，且 f (x) A ， g(x) B ，则 f (x) g(x) B ；
④若函数 f (x) a ln(x 2)
x
2 1
( x 2 ， a R )有最大值，则 f (x)
B ． 其中的真命题有 ．(写出所有真命题的序号)
14．(2018 上海)某群体的人均通勤时间，是指单日内该群体中成员从居住地到工作地的平均用时，某地上班
族 S 中的成员仅以自驾或公交方式通勤，分析显示：当 S 中 x%(0 x 100) 的成员自驾时，自驾群
体的人均通勤时间为
30,
0 x ≤30,
f (x)
1800
(单位：分钟)，
2x
90, 30 x 100
x
而公交群体的人均通勤时间不受 x 影响，恒为 40 分钟，试根据上述分析结果回答下列问题：
(1)当 x 在什么范围内时，公交群体的人均通勤时间少于自驾群体的人均通勤时间？
(2)求该地上班族 S 的人均通勤时间 g (x) 的表达式；讨论 g (x) 的单调性，并说明其实际意义．
15．(2013 重庆)某村庄拟修建一个无盖的圆柱形蓄水池(不计厚度)．设该蓄水池的底面半径为 r 米，高为 h 米，
体积为V 立方米．假设建造成本仅与表面积有关，侧面积的建造成本为 100 元/平方米，底面的建造成本
为
160 元/平方米，该蓄水池的总建造成本为 12000元(为圆周率)．
(Ⅰ)将V 表示成 r 的函数V (r) ，并求该函数的定义域；
(Ⅱ)讨论函数V (r) 的单调性，并确定 r 和 h 为何值时该蓄水池的体积最大．
考点 25 函数的综合应用
1．(2019 全国Ⅱ理 12)设函数 f (x) 的定义域为 R，满足 f (x 1) 2 f (x) ，且当 x (0,1] 时，
f (x) x(x 1) ．若对任意 x (, m] ，都有 f (x) 8
，则 m 的取值范围是
9
A． , 9
B． , 7
4
3
C．
, 5
D． , 8
2
3
x
a
2．(2016 全国 II 卷)已知函数 f (x) (x∈R)满足 f (x) f (2 x) ，若函数 y | x
2 2x 3 | 与 y=f(x)图像的交
点为(x1, y1 ) ， (x2 , y2 ) ，…， (xm , ym ) ，则 xi =
i1
A．0
B．m
C．2m
D．4m
3．(2011 全国新课标理 12)函数 y
之和等于
1
x
1
的图像与函数 y 2 sinx(2 ≤ x ≤ 4) 的图像所有交点的横坐标
A．2
B．4
C．6
D．8
x
2 2x, x 0
4．(2013 全国课标卷 1，理 11 )已知函数 f (x) = ln(x 1), x 0
，若| f (x) |≥ ax ，则 a 的取值范围是
A ． (,
0]
B ． (,
1]
C ．[-2，1]
D ．[-2，0]
5．(2013 全国课标卷 2，文 12)若存在正数 x 使 2
x ( x a) 1 成立，则 a 的取值范围是( )
(A) (, )
(B) (2,
)
(C) (0,
)
(D) (1, )
6．(2017 山东)已知当 x [0,1] 时，函数 y (mx 1)
2 的图象与 y m 的图象有且只有一个交点，则正
实数 m 的取值范围是
A． 0,1 2 3,
C． 0, 2 2 3,
B． 0,13,
D． 0, 2 3,
x
2 (4a 3)x 3a, x 0,
7．(2016 年天津)已知函数 f (x) = log (x 1) 1, x
0
( a 0 ，且 a 1)在 R 上单调递减，且关于 x
的方程| f (x) | 2 x 恰好有两个不相等的实数解，则 a 的取值范围是
A．(0， 2
]
B．[ 2
， 3
]
C．[ 1
， 2
] { 3
}
D．[ 1
， 2
) { 3
}
3
3
4
3
3
4
3
3
4
8．(2015 全国课标卷 2，文 12) 设函数 f (x) ln(1 | x |)
值范围是(
)
1
1 x
2 ，则使 得 f (x)
f (2x 1) 成立的 x 的取
A． 1
,1
B． , 1
1,
C．
1 , 1
D． , 1 1 ,
m
3
3
3 3
3
3
2
9．(2016 全国课标 2，理 12)已知函数 f (x)(x R) 满足 f (x) 2 f (x) ，若函数 y x 1
与
x
y f (x) 图像的交点为(x1, y1 ), (x2 , y2 ), , (xm, ym),
m
则(xi yi ) (
)
i1
(A)0
(B)m
(C)2m
(D)4m
x
2 x 3, x ≤1,
10．(2017 天津)已知函数 f (x)
x
, x 1.
设 a R ，若关于 x 的不等式 f (x) ≥| x a | 在 R 上恒成立，
2
则 a 的取值范围
是
x
A．[ 47 ,
2]
16
B．[ 47 , 39]
16 16
C．[2 3, 2]
D．[2 3, 39]
16
11．(2014 山东)已知函数 f x x 2 1 ， gx kx ．若方程 f x g x 有两个不相等的实根，则
实
数 k 的取值范围是
（0 1
1
A.
，）
2
B．（2
，
1）
C．（1，
2）
D．（2， ）
12．(2013 安徽)已知函数 f (x) x
3 ax
2 bx c 有两个极值点 x , x ，若 f (x ) x x ，则关于 x 的方
1
2
1
1
2
程3( f (x))
2 2af (x) b 0 的不同实根个数为
A．3
B．4
C．5
D．6
13．(2013 湖南)函数 f x 2 ln x 的图像与函数 g x x
2 4x 5 的图象的交点个数为
A．3
B．2
C．1
D．0
14．(2011 山东)已知 f (x) 是 R 上最小正周期为 2 的周期函数，且当0 ≤ x 2 时， f (x) x
3 x ，则函数
y f (x) 的图象在区间[0，6]上与 x 轴的交点的个数为
A．6
B．7
C．8
D．9
x
2 2ax a, x ≤ 0,
15．(2018 天津)已知a 0 ，函数 f (x)
x
2 2ax 2a, x 0.
若关于 x 的方程 f (x) ax 恰有 2
个互异的实数解，则a 的取值范围是
．
x
2 , x D
16．(2017 江苏)设 f (x) 是定义在R 且周期为 1 的函数，在区间[0,1) 上， f (x)
其中
集合 D {x | x n 1 , n N
*}，则方程 f (x) lg x 0 的解的个数是
．
n
x, x D
| x |,
x ≤ m
17．(2016 年山东)已知函数 f (x) x
2 2mx 4m, x
m
其中m 0 ，若存在实数b ，使得关于 x
的方程 f (x) b 有三个不同的根，则m 的取值范围是
．
18．(2014 天津)已知函数 f (x) | x
2 3x | ， x R ．若方程 f (x) a | x 1| 0 恰有 4 个互异
的实数根，则实数a 的取值范围为
．
a
2 ab, a b,
19．(2012 福建)对于实数 a 和b ，定义运算“*”： a b b
2 ab, a b,
设
f (x) = (2x 1) (x 1) ，且关于 x 的方程为 f (x) m ( m ∈R)恰有三个互不相等的实数根 x1 , x2 , x3 ，则
x1 x2 x3 的取值范围是
．
2 ,
x 2
20．(2011 北京)
已知函数f (x) x
(x 1)
3 , x 2
，若关于 x 的方程 f (x) = k 有两个不同的实根，
则数k 的取值范围是
．
