2011-2020年高考数学真题分专题训练专题06基本初等函数（教师版含解析）_初高中资料库_高中资料库（转存避免链接过期失效）_高中数学

专题 06 基本初等函数
十年大数据*全景展示
年 份
题 号
考 点
考 查 内 容
对数与对数函数
指数与指数函数
利用对数函数图像与性质、指数函数图像与性质处理不等式
2012
课标
文 11
恒成立问题
2013
2014
课标 2
课标 1
理 8 文 8 
对数与对数函数
对数运算、对数函数图像与性质
指数与指数函数
文 15
二次函数与幂函数
指数函数图像与性质、幂函数图像性质、解分段函数不等
式
卷 2
卷 1
理 5
对数与对数函数
对数恒等式、对数运算
2015
文 10
对数与对数函数
二次函数与 幂函
数
对数式与指数式互化、对称变换、对数运算
幂指数运算与幂函数的图像与性质、对数函数的运算与对数
函数的图像与性质
卷 1
卷 3
卷 1
理 8
理 6 文 7
文 8
对数与对数函数
二次函数与幂函数 
幂指数运算与幂函数的图像与性质、指数函数的运算与指数
指数与指数函数
二次函数与幂函数
指数与指数函数
对数与对数函数
函数的图像与性质
2016
幂函数的图像与性质、指数函数图像与性质、对数函数图像
与性质
指数运算、指数函数的图像性质、导数与函数单调性关系、
图像识别
卷 1
卷 2
文 9
指数与指数函数
对数与对数函数
指数与指数函数
指数与指数函数
对数与对数函数
对数与对数函数
对数恒等式、对数函数图像与性质、指数函数图像与性质、
幂函数图像与性质
文 10
利用指数函数性质、对数函数的运算与对数函数性质比较大
小
卷 1
卷 2
卷 1
理 11
文 8
文 9
2017
判断与对数函数复合的复合函数的单调性
利用导数研究函数的单调性、利用对数运算研究函数的对称
性
对数与对数函数
指数与指数函数
对数与对数函数
对数与对数函数
对数与对数函数
对数与对数函数
指数与指数函数
利用指数函数图像与对数函数图像作出函数图像、运用数形
结合思想解函数零点问题
卷 1
理 9
卷 3
卷 3
卷 1
卷 2
理 12
文 7
对数运算、对数换底公式、对数函数的性质
对数函数图像与函数对称性
2018
文 13
文 3
对数运算求解简单对数方程
利用指数运算与指数函数的图像与性质识别与指数函数有
关的函数图像
卷 3
卷 1
文 16
理 3
对数与对数函数
指数与指数函数
对数与对数函数
指数与指数函数
对数与对数函数
指数与指数函数
对数与对数函数
对数与对数函数
指数与指数函数
对数与对数函数
指数与指数函数
对数与对数函数
指数与指数函数
对数与对数函数
对数与对数函数
指数与指数函数
对数与对数函数
利用对数运算判断函数的奇偶性、利用奇偶性求值
2019
指数函数的图像与性质，对数函数的图像与性质
指数函数与对数函数的单调性，作差比较法
理 12
卷 1
文 8
理 9
指数式与对数式互化，幂的运算性质
对数型函数的单调性、奇偶性
指数函数与对数函数的单调性
理 11
卷 2
2020
文 12
指数函数与对数函数的单调性
理 4 文 4
文 10
指数式与对数式的互化，函数模型的应用
卷 3
对数函数的单调性，对数式的大小比较
指数函数与对数函数的单调性，指数式与对数式的互化，指
数式、对数式的大小比较
理 12
大数据分析*预测高考
出现频率 2021 年预测
考点
指数与指数函数
对数与对数函数
10/21
17/21
2 021 年高考仍将重点考查指数与指数函数、对数与对数函数这两个考点，
考查利用指数运算、对数运算、及利用指数函数的图像与性质、对数函数图
像与性质比较大小、处理单调性、解不等式等问题，难度为中档题．
十年试题分类*探求规律
二次函数与幂函数 
4/21
考点 20 指数与指数函数
1．(2020 北京卷 6】已知函数 f (x)  2x  x 1，则不等式f (x)  0
的解集是
(
)
 

A． 
1,1
   
  
, 1  1,
 

C． 0 ,1
 
  
 
D． 
, 0  1,
B．
【答案】C
【解析】不等式 f (x)  0 化为2 > +1,在同一直角坐标系下作出 y=2x，y=x+1 的图象(如图)，得不等式
x
x
f (x)  0 的解集是(0,1)，故选 C．
e
ex
x
2．(2018 全国卷Ⅱ)函数 f (x) 
的图像大致为
x2
e
ex
x
【答案】B【解析】当 x 0 时，因为ex ex  ，所以此时 f (x) 
0
 0 ，故排除 A．D；又
x2
1
f (1)  e   2 ，故排 除 C，选 B．
e
3．(2017 新课标Ⅰ)设 x, y, z 为正数，且2x 
3y 
5z ，则
A．2x  3y  5z 
B．5z  2x  3y 
C．3y  5z  2x
 k
x, y, z


D．3y  2x  5z
x  log k y  log k z  log k
，
【答案】D【解析】设2x 
3y 
5z


，因为
为正数，所以k 1，则
，
，
2
3
5
2x 
2lgk 
lg3 
lg9
所 以



 1 ， 则 2x  3y ， 排 除 A 、 B ； 只 需 比 较 2x 与 5z 
，
3y 
lg2 
3lgk 
lg8
2x 
2lgk 
lg5 
lg 25



 1，则2x 5z ，选 D．
5z
lg2 
5lgk 
lg 32
y  2x e|x| 在[–2，2]的图像大致为
2
4．(2016 年全国 I 卷)函数
A．
B．
C．
D．
y  2x 2 e|x| 是偶函数，设 y  2x 2 e|x| ，则 f (2)  2 2 2 e 8 e2 ，所以
2
【答案】D【解析】∵
0  f (2) 1，所以排除 A，B；当0„ x „ 2 时， y  2x
    x ，当0  x  ln4 时，(y) 0 ，当ln4 x  2 时，(y) 0 ，所以 y  4x e 在(0,ln 
4)
e
2 ex ，所以 y  4x ex ，

又( ) 
4
y
x
y  x ex 在[0,2]有 1„ y„ 4(ln 4 1) ，所以 y 
4x e 在
4 

 

x
单调递增，在(ln 4,2)单调递减，所以
[0,2]存在零点 ，所以函数 y  2x2
[0, ) 
( ,2]单调递增，排除 C，故选 D．
e x 在 
 单调 递减，在 
1
f (x)  3x ( ) x
f (x)
，则
5．(2017 北京)已知函数
3
A．是奇函数，且在 R 上是增函数
B．是偶函数，且在 R 上是增函数
C．是奇函数，且在 R 上是减函数
D．是偶函数，且在 R 上是减函数
1
1
  x
f ( x) 3
( )x  (3x
( )x)   f (x)
f (x)
，得 
为奇函数，
【答案】A【解析】
3
3

x
x) 
3
3  
x ln33x ln3 0 ，所以

f (x)
在 R 上是增函数．选 A．
f (x) (3
6．(2015 四川)设a,b 都是不等于 1 的正数，则“3a 
3b 
3 ”是“
 

log 3  log 3 ”的
a
b
A．充要条件
B．充分不必要条件
C．必要不充分条件
D．既不充分也不必要条件
【答案】B【解析】由指数函数的性质知，若3 > 3 > 3 ，则 > > ，由对数函数的性质，
a
b
a b 1
1
1
得log 3 < log 3 ；反之，取a = 
，b = ，显然有log 3 < log 3 ，此时0 < b < a <1，于是3 > 3 > 3 
，
a
b
a
b
a
b
2
3
所以“3 > 3 > 3 ”是
a
b
log 3  log 3 的充分不必要条件，选 B．
a
b
3x 1,x 1
7．(2015 山东)设函数 f (x)  
，则满足f ( f (a))  2 f (a) 的a 的取值范围是
2 , x≥1
x
2
2
A．[ ,1]
B．[0,1]
C．[ ,)
D．[1,)
3
3
 a 1 
a 1
2
【答案】C【解析】由f(f(a))2f (a) 可知 f (a) 1，则
或
，解得a≥ ．
2
a
 
1 3a 1 1
3
8．(2014 安徽)设a  log3 7 ，b  21.1，c  0.83.1 ，则
A．b  a c 
B．c  a b 
C．c b  a 
D．a c  b
【答案】B【解析】∵2  a  log3 7 1，b  21.1  2 ，c  0.83.1 1，所以c  a b ．
f (x)  x (x  0),g(x)  loga x
a
9．(2014 浙江)在同意直角坐标系中，函数
的图像可能是
【答案】D【解析】当a 1 时，函数 ( )
f x  x a
0)
(x  
单调递增，函数 g(x)  loga x 单调递增，且过点(1，
0)，由幂函数的图象性质可知 C 错；当0  a 1 时，函数 ( )
f x  x a(x  0)
单调递增，函数 g(x)  loga x 单
调递减，且过点(1，0)，排除 A，又由幂函数的图象性质可知 C 错，因此选 D．
0.2
 1 
10．(2012 天津)已知a  212 ，b 
，c  2 log5 2，则a,b,c 的大小关系为
C．b  a c 
D．b c  a
 

 2 
A．c b  a
B．c  a  b
1
b  ( ) 0.2  20.2  212 ，所以
1 b  a ，c  2 log 2  log 2  log5 4 1，
2
【答案】A【解析】因为
所以c  b  a，选 A．
5
5
2
11．(2015 江苏)不等式2x2 x 
4 的解集为_______．

【答案】(1,2)【解析】由题意得： x  x  2  1 x  2 ，解集为(1, 2) ．
2
12．(2012 山东)若函数 f (x)  a
x (
a 0,a 1) 在[ 1, 2]

上的最大值为 4，最小值为m ，且函数 g(x)  (14m) x
在[0,) 上是增函数，则 a＝
．
1
1
【答案】 【解析】 当a 1 时，有

a2  4,a1  m
，此时a  2,m 
，此时 g(x)   x 为减函数，不合题
4
2
1
1
意．若0  a 1，则a 1  4,a
2  m
a  ,m 
，故
，检验知符合题意．
4
16
考点 21 对数与对数 函数
1．(2020 全国Ⅰ文 8)设alog3 4  2 ，则4a
(
)
1
1
9
1
1
6
A．
B．
C．
D．
16
8
1
9
a  2
 9 ，∴有4a 
，∴4a
【答案】B【解析】由alog 4 2 可得

log3 4
，故选 B．
3
2．(2020 全国Ⅰ理 12)若2a log2 a  4 2 log4 b
b
，则
(
)
A．a 2b

B．a  2b
C．a b
2
D．a b
2
【答案】B
【思路导引】设 ( ) 2x
f x  
log2 x ，利用作差法结合 f (x) 的单调性即可得到答案．
log2 a  4 b 2 log
4 b  22b log2 b ，
【解析】设 ( ) 2x
f x  
log2
x ，则 f (x) 为增函数，∵2a
1
f (a)  f (2b)  2a log2 a (22b log2 2b)  22b log2 b (22b log2 2b)  log2 
 1 0
∴
，
2
∴f (a)  f (2b) ，∴a  2b ．
f (a)  f (b 2)  2 
log
a 
a (2b2 log2 b 2)  22b log2 b (2b2 log2 b
2)  22b 2b2 log2 b
∴
，
2
当b 1 时，f (a)  f (b 2)  2  0 ，此时f (a)  f (b2
，有a  b
；当b  2 时，f (a)  f (b )  1 0 ，
2
)
2
f (a)  f (b2) ，有a  b2 ，∴C、D 错误，故选 B．
此时
3．(2020 全国Ⅱ理 9)设函数 f x 
ln 2x 1 ln 2x 1 ，则 f x
 1
 
 
 


 

(
)

 1 1 
 2 2 
A．是偶函数，且在 , 单调递增
B．是奇函数，且在 ,  单调递
减
 2



1 
2 


1 
2 
C．是偶函数，且在 ,  单调递
增
D．是奇函数，且在 ,  单调递
减


1
2
f x 
ln 2x 1 ln 2x 1 
f x
 
 

x x   
【答案】D【解析】由
得 
定义域为
，关于坐标原点对称，
f 
x 
ln 1 2x ln 2x 1 ln 2x 1 ln 2x 1    
 
 

 

f x
又
，
  

f x
为定义域上的奇函数，可排除 AC；
 1 1 
x  ,
     
  
f x 
ln 2x 1 ln 1 2x
，
当

 时，
 2 2 
 1 1 
 ,
 1 1 
 ,
y ln 2x 1
Q    
   

y ln 1 2x
在
上单调递增，
在
上单调递减，
 2 2 
 2 2 
 1 1 
 2 2 
  

f x
 ,
在
上单调递增，排除 B；


1 
2 
2x 1
2x 1


2 
，
x ,
   
  
  
 
f x 
ln 2x 1 
ln 1 2x 
ln
ln 1
当

时，

2x 1
2

1 
2 
 1
在,
上单调递减，f ln
1 
在定义域内单调递增，

2x1 

 

,
D
D
f x
根据复合函数单调性可知：
在
上单调递减， 正确．故选 ．

2 
4．(2020 全国Ⅱ文 12 理 11)若2x  2 y  3x 3y ，则
(
)
A．lny x 1  0

B．ln(y  x 1)  0 
C．ln x  y  0
D．ln x  y  0
  
 
x  2y 3x 3 
3x  2 3 y
y 得：2x
y
，令f t
2 3
，
t
t
【答案】A【解析】由2
  

f t
x  y
，
 y  2x 为 R 上的增函数， y 3 x 为 
上的减函数，

R
为 
上的增函数，
R
     ，则 A 正确，B 错误；Q 
x  y
Q y  x  0 ， y  x 1 1
， ln y x 1 
0
与 的大小不确定，故
1
CD 无法确定，故选 A．
5．(2020 全国Ⅲ文理 4)Logistic 模型是常用数学模型之一，可应用于流行病学领域．有学者根据公布数据建
K
 

  

立了某地区新冠肺炎累计确诊病例数 I t (t 的单位：天)的 Logisic 模型：I t
，其中 K
0.23t53
1e
 


ln193)
为最大确诊病例数．当 I t0.95K 时，标志着已初步遏制疫情，则 约为(
t
(
19
(
)
A．60 
B．63
C．66
D．69
K
K
 

 
 
I t
 0.95K
【答案】C【解析】I t
，∴
，则e0.23t
 53
，
0.23t53

  

0.23 t 53
1 e
1e
3





t
5366
0.23 t 
53 
ln19 3
∴
，解得
，故选 C．
0.23
2
6．(2020 全国Ⅲ文 10)设a log 2 , b log 3 , c  
，则
)
3
5
3
A．a c  b
【答案】A
B．a b  c
C．b c  a
D．c  a  b
1
1
a  log 2 3
b  log 3
，再利用单调性比较即可．
3
【思路导引】分别将 a，b 改写为
，
3
5
3
3
1
1
2
1
1
2
3
a  log 2 3  log 9  
 c 
b  log 3
3  log 25  
 c
【解析】因为
，
，
3
3
5
5
3
3
3
3
3
所以a  c  b ，故选： ．
A
5 8
B．b  a  c
4 ,134 85 ．设a log 3 , b log 5 , c log 8 ，则



7．(2020 全国Ⅲ理 12)已知5
(
)
5
8
13
A．a b  c
【答案】A
C．b c  a
D．c  a  b
 

a 
b 
c 
0,1
a
，利用作商法以及基本不等式可得出 、 的大小关系，由
b
【思路导引】由题意可得 、 、
4
4
5
b  log8 5
b  
，由c  log13 8 ，得13 
8，结合13 
8 ，可得出
c 
，得8 
5，结合5 
8 可得出
b 
5 4
c 
4 5
，
5
a 
b 
c
综合可得出 、 、 的大小关系．
 

a 
b 
c 
0,1
【解析】解法一：由题意可知 、 、
，
lg3lg8
2


2
lg3lg8 
2
 

lg 24
2
a 
log 3 
lg3 lg8
1



5






 1  
 
， a b；




b 
log 5 lg5 lg5  

2
 2lg5  
lg 25 
lg5
8
4
由b  log8 5
5b 84 ，5b  4 ，可得b 
，得8 
5，由5 
8 ，得8
；
b 
5 4
5
4
5
由c  log13 8
，得13 
8，由13 
8 ，得13 
13 ，
5c 
5c  4 ，可得c 
．
c 
4 5
4 
综上所述，a b  c ．故选 A．



2
log524 
2
a 
log 3
log 3 log 8
22
4
a,b,c(0,1)

5
log 3log 8
5 
5
5
5


1 ，知
解法二：易知
，由
b 
log 5
4
4
8
a b
b log 5

c  log 8
 5 13 8 ，即
5b  5
，134c  8
 8
 8
．∵
，
，∴8
13
b
，
c
8
5
4 又∵5 5
4 ，13 4
5 ，
8
 
 

84
55
85b 134b ，即b c ．综上所述：a b  c
，故选 A．
∴134c
0.8
1
8．(2020 天津 6)设a 30.7, b 
, c log0.7 0.8，则a,b,c 的大小关系为(
C．b  c  a 
D．c  a  b
 

3
)
A．a b c
 

B．b  a  c
【答案】D
【思路导引】利用指数函数与对数函数的性质，即可得出a,b,c 的大小关系．
0.8
1 
【解析】因为a 30.7

1，b 
 30.8  30.7  a c log 0.8 log 0.7 1
，


，所以
c 1 a  b
，
 

3
0.7
0.7
故选 D．
a  log20.2，b  20.2，c  0.20.3
9．(2019 全国Ⅰ理 3)已知
，则(
)
A．a b  c
B．a c  b
C．c  a  b
D．b c  a
【答案】A【解析】 由题意，可知a  log5 2 1 ，
1


log 51 
log 5 log 4 2 ，



c  0.50.2 1 
b 
a 
c
，所以 最大， ， 都小于 1，因
b log 0.2 log
5
1
2
1
2
2
5
2
1
5
1
5
 1 
 2 
1
2
1
1
1 
1
，c  0.5
0.2 
 



，而log 5 log 4  2 5 2 ，所以

为a log 2


5
  
，
5
5 2
2
2
log 5 2 
2
log
2 5
即a c ，所以a c b ，故选 A．
10．(2018 全国卷Ⅲ)设a  log 0.3，b  log 0.3，则( )
0.2
2
A．a b  ab  0
C．a b 0  ab
B．ab  a b  0
D．ab 0  a b
1
1
【答案】B【解析】由a  log0.2 0.3 得
log0.3 0.2 ，由b  log2 0.3 得
 log0.3 2 ，
a
b
1 1
1 1
a b
 

log 0.2log 2  log 0.4，所以0   1，得0 
0.3 
0.3 
0.3
1．
所以
a b
a b
ab
又a 0 ，b 0，所以ab0 ，所以ab  a b 0．故选 B．
11．(2018 全国卷Ⅲ)下列函数中，其图象与函数 y  ln x 的图象关于直线 x 1 对称的是( )
A． y  ln(1 x) 
B． y  ln(2 x) 
C． y  ln(1 x) 
D． y  ln(2 x)
【答案】B【解析】设所求函数图象上任一点的坐标为(x, y)，则其关于直线 x 1 的对称点的坐标为(2 x, y) ，
由对称性知点(2 x, y) 在函数 f (x)  ln x 的图象上，所以 y  ln(2 x) ，故选 B．
f (x)  log2(x2 a)
f (3) 1
，若 
，则 =________．
a
12．(2018 全国卷Ⅰ)已知函数
【答案】7【解析】由 f (3) 1 得，log2(3
2 a) 1，所以9a  2，即a  7 ．
 x) 1 ， f (a)  4 ，则 f (a) ___．
f (x)  ln( 1 x 2
13．(2018 全国卷Ⅲ)已知函数
【答案】2【解析】由f (a)  ln( 1a 2 a) 1 4 ，得ln( 1 a 2 a) 3 ，
a) 1
1
f (a)  ln( 1 a 2 a) 1 ln(
1 ln( 1 a 2
所以
1a  a
2
 31 2．
ex，x≤0，
g(x)  f (x)  x a ．若 g(x) 存在 2 个零点，则a 的取
14．(2018 全国卷Ⅰ)已知函数 f (x)  
ln x，x  0，
值范围是
A．[1, 0)
B．[0,)
C．[1,)
D．[1,)
【答案】C【解析】函数 g(x)  f (x)  x a 存在 2 个零点，即关于 x 的方程 f (x)  x a 有 2 个不同的
实根，即函数 f (x) 的图象与直线 y  x  a 有 2 个交点，作出直线 y  x  a 与函数 f (x) 的图象，如图
所示，由图可知，a≤1
，解得a≥1，故选 C．
15．(2017 新课标Ⅰ)已知函数 f (x)  ln x ln(2 x) ，则
A． f (x) 在(0,2)单调递增
B． f (x) 在(0,2)单调递减
C． y  f (x) 的图像关于直线 x 1 对称 
D． y  f (x) 的 图像关于点(1,0)对称
2(1 x)
x(2 x)

，0  x  2 知， f (x) 在(0,1)上单调递增，在(1,2)上单调递减，
【答案】C【解析】由 f (x)
排除 A、B；又 f (2 x)  ln(2 x) ln x  f (x)，所以 f (x) 的图象关于 x 1 对称，C 正确．
f (x)  ln(x2 2x 8) 的单调递增区间是
C．(1,)
16．(2017 新课标Ⅱ)函数
A．(,2)
B．(,1)
D．(4,)
x2 2x 8  0，得 x  2 或 x  4 ，设u  x2 2x 8 ，则 x(,2)，u 关于 x
【答案】D【解析】由
单调递减，x(4,) ，u 关于 x 单调递增，由对数函数的性质，可知 y  lnu 单调递增，所以根据同增异
减，可知单调递增区间为(4,) ．选 D．
17．(2016 年全国 II 卷)下列函数中，其定义域和值域分别与函数y 10lgx 的定义域和值域相同的是
1
A．y=x
B．y=lgx
C．y=2x
D． y 
x
【答案】D【解析】函数
选 D．
y 10lgx 的定义域为(0,) ，又 y 10lgx  x ，所以函数的值域为(0,) ，故
1log
2(2 x),x 1
18．(2015 新课标Ⅱ)设函数 f (x) 

，则 f (2) f (log212) 
2x1, x≥1
A．3
B．6
C．9
D．12
【 答 案 】 C 【 解 析 】 由 于 f (2) 1log2 4  3 
，
f (2) f (log212)  9，故选 C．
f (log2 12) = 2log
212-1 = 2log
2 6 = 6 ， 所 以
19．(2015 新课标 1)设函数 y  f (x) 的图像与
且 f (2) f (4) 1，则a 
y 2
x a
 的图像关于直线 y  x 对称，
A．1
B．1
C．2
D．4
【答案】C【解析】设(x, y) 是函数 y  f (x) 的图像上任意一点，它关于直线 y  x 对称为(y,x )，由
已 知 知 ( y,x ) 在 函 数y x a
 的 图 像 上 ， ∴ x  2ya ， 解 得 y  log2(x)a ， 
即
2
f (x)  log (x) a ，∴ f (2) f (4)  log 2 a log 4 a 1 ，解得a  2，故选 C．
2
2
2
20．(2013 新课标)设a  log 6,b  log 10,c  log 14 ，则
3
5
7
A．c b  a
B．b c  a
C．a c  b
D．a b  c
【答案】D【解析】a  log 6 1log 2, b  log 10 1log 2,c  log 14 1log 2 ，
3
3
5
5
7
7
由下图可知 D 正确．
1
21．(2012 新课标)当0  x≤ 时，4 
loga ，则 的取值范围是 ( )
x 
x
a
2
A．(0, 2 )
B．( 2 ,1)
C．(1, 2)
D．( 2, 2)
2
2
0  a 1

2
【答案】B【解析 】由指数函数与对数函数的图像 知

1 ，解得
2
 a 1，故选 B．
1
loga 
 4
2


2
22．(2019 天津理 6)已知a  log 2 ，b  log 0.2，c  0.50.2 ，则a,b,c 的大小关系为
5
0.5
A．a c  b
B．a b  c
C．b c  a
D．c  a  b
【答案】A【解析】 由题意，可知a  log5 2 1 ，
1


log 51 
log 5 log 4 2 ．



c  0.50.2 1 
b 
a 
c
，所以 最大， ， 都小于 1．因
b log 0.2 log
5
1
2
1
2
2
5
2
1
5
1
5
 1 
 2 
1
2
1
1
1 
1
，c  0.5
0.2 
 



，而log 5 log 4  2 5 2 ，所以

为a log 2


5
  
，
5
5 2
2
2
log 5 2 
2
log
2 5
即a c ，所以a c b ，故选 A．
1
23．(2018 天津)已知a  log e ，b ln 2 ，

c  log1
，则 a，b，c 的大小关系为
2
3
2
A．a  b  c
B．b  a  c
C．c  b  a
D．c  a  b
1
【答案】D【解析】因为a  log2 e >1，b  ln 2(0,1)，c  log1 
 log 3  log e 1．
2
2
3
2
所以c  a  b ，故选 D．
24．(2017 天津)已知奇函数 f (x) 在 R 上是增函数，g(x)  xf (x) ．若a  g(log2 5.1)，b  g(20.8 ) ，c  g(3) ，
则 a，b，c 的大小关系为
A．a  b  c
B．c  b  a
C．b  a  c
D．b  c  a
【答案】C【解析】由题意 g(x) 为偶函数，且在(0,)上单调递增，所以a  g(log 5.1)  g(log 5.1) ，
2
2
又2  log 4  log 5.1 log 8 3 ，1 20.8  2 ，所以20.8  log2 5.1 3，故b  a c ，选 C．
2
2
2
25．(2017 北京)根据有关资料，围棋状态空间复杂度的上限 M 约为3361 ，而可观测宇宙中普通物质的原子
M
N 约为10
80
．则下列各数中与
总数
(参考数据：lg3≈0．48)
A．1033 
B．1053
最接近的是
N
C．1073
D．1093
M
N
3361
 x 
【
答
案
】
D
【
解
析
】
设
，
两
边
取
对
数
得
，
1080
3361
M
N
lg x  lg
 lg 3361 lg1080 361lg380 93.28 ，所以 x 1093.28 ，即
最接近1093 ，选 D．
1080
 

 

  

2
26．(2015 北京)如图，函数 f x 的图像为折线 ACB ，则不等式 f x ≥log x 1 的解集是
A．x| 1 x≤0
  

B． x | 1≤x≤1
  


D．x| 1 x≤2
C． x | 1 x≤1
【答案】C【解析】如图，函数 y = log (x +1) 的图象可知， f (x)≥log (x +1)的解集是
2
2
{x | -1< x≤1}．

xm 1 (m 为实数)为偶函数，记
27．(2015 天津)已知定义在 R 上的函数 ( ) 2
f x
a  log 3，b 
f log 5
 

，c  f 2m则a,b,c 的大小关系为
2
0.5
A．a b  c
C．c  a  b
B．a c  b
D．c b  a
  
xm 

  

x
2 1，
【答案】C 【解析】因为函数 f x
2
1 为偶函数，所以m 0 ，即 f x
1
3


1 
3
log
2
所以a 
f (log 3) 
f log


2
1 2
  
log
2 
3     ，b  f log 5
1 3 1 2
0.5
2
2
 2log2 5 1 4 ， c  f 2m f (0)  2
0 10 ，所以c  a  b ，故选 C．
28．(2014 山东)已知函数 y  loga(x c) (a,c 为常数，其中a  0,a 1)的图象如图，则下列结论成立的是
A．a  0,c 1
B．a 1,0  c 1
C．0  a 1,c 1
D．0  a 1,0  c 1
【答案】D【解析】由图象可知0  a 1，当 x 0 时，log (x c) log c 0 ，得0 c 1．
a
a
29．(2013 陕西)设 a， b， c 均为不等于 1 的正实数， 则下列等式中恒成立的
是
log b·log a  log b
A．log b·log b log a

B．
a
c
c
a
a
a
C．log (bc)  log blog c
D．log (b c) log b log c


a
a
a
a
a
a
log
c b
logc a
log xy  log x log y, log b 
【答案】B【解析】a ，b ，c ≠1． 考察对数 2 个公式：
，对
a
a
a
a
log
c a
logc b
log b log b  log a  log b 
选项 A：
，显然与第二个公式不符，所以为假．对选项 B：
a
c
c
a
log
c b
logc a
log blog a  log b  log b 
，显然与第二个公式一致，所以为真．对选项 C：
a
c
c
a
log（bc） log b log c ，显然与第一个公式不符，所以为假．对选项 D：log（b  c)  log b  log 
c ，
a
a
a
a
a
a
同样与第一个公式不符，所以为假．所以选 B．
x, y
30．(2013 浙江)已知
为正实数，则
A．2lgxlg y  2lgx 2lg y
C．2lgxlg y  2lgx 2lg y
B．2lg(xy) 
2 2
lgx
lg y
D．2lg(xy) 
2 2
lgx
lg y
【答案】D【解析】取特殊值即可，如取x 10, y 1, 2lgxlg y 
2, 2lgx 2lg y 3,




lgxy 2lg11,2lgxlg y 1 ．
2
31．(2013 天津)已知函数 f (x) 是定义在 R 上的偶函数， 且在区间 [0,) 单调递增．若实数 a 满足
f (log a)  f (log a)  2 f (1) ， 则 a 的取值范围是
2
1
2
 1
B．0,
1 
C． 
,2
A．[1, 2]
D．(0, 2]



 2
2 
【 答 案 】 C 【 解 析 】 因 为 函 数 f (x) 是 定 义 在 R 上 的 偶 函 数 ， 且 log1 a  log2 a ， 
所 以
2
f (log a)  f (log a)  f (log a)  f (log a)  2 f (log a)  2 f (1) ，即 f (log a)  f (1) ，因为函数在区间
2
1
2
2
2
2
2
1
[0,) 单调递增，所以 f ( log a ) f (1)，即

log2 a 1 ，所以1 log2 a 1
，解得 
 a  2 ，即 a 的取值范
2
2
1 
围是 
,2 ，选 C．


2 
32．(2012 安徽)(log 9)(log 4) =
2
3
1
4
1
2
A．
B．
C． 2
D． 4
lg9 lg4 2lg3 2lg 2
【答案】D【解析】log 9log 4 



 4 ．
2
3
lg2 lg3 
lg2
lg3
33．(2011 北京)如果log x log
y  
那么
0,
1
1
2
2
A． y  x 1
B． x  y 1
C．1 x  y
D．1 y  x
【答案】D【解析】根据对数函数的性质得 x  y 1．
34．(2011 安徽)若点(a,b) 在 y  lg x 图像上，a ，则下列点也在此图像上的是
1
10
C．( 
,b 1)
A．( ,b)
B．(10a,1b)

D．(a 2
2
,2b)
a
a
x  a2 时， y  lga 2  2lga  2b ，所以点(a ,2b) 在函数 y  lg x 图象上．
【答案】D【解析】当
35．(2011 辽宁)设函数 f (x)  21x, x≤1

，则满足 f (x)≤2 的 x 的取值范围是
1log2 x, x 1
A．[1，2]
B．[0，2]
C．[1，+ )
D．[0，+)
【答案】D【解析】当 x≤1 时21 x ≤2 ，解得 ≥ ，所以 ≤ ≤ ；当 x 1 时，

x 
0
0 
x 
1
1
1log x≤2 ，解得 x≥ ，所以 x 1，综上可知 x≥0 ．
2
2
36． (2018 江苏)函数 f (x)  log2 x 1 的定义域为
．
【答案】[2,)【解析】要使函数 f (x) 有意义，则log2 x 1≥0 ，即 x≥2 ，则函数 f (x) 的定义域是[2,) ．
5
37． (2016 年浙江) 已知a  b 1
，若log b log a 
b  b a
a 
b
，则 = ， = ．
，a
a
b
2
1 5
【 答 案 】 4
ab ba b2b bb 2  2b b2 b  2,a  4.
2 【 解 析 】 设 logb a  t ， 则 t 1 ， 因 为 
t
   t  2  a  b2 ， 因 此
t 
2
38. (2015 浙江)若a  log 3，则2 
2
a a 
_______．
4
4
3
1
4
a log4 3 ，∴4
 3  2
 3 ，∴2
2a  3 

3 【解析】∵
a
a
a
3
．
【答案】
3 
3
39. (2014 天津)函数f (x)  lg x 2 的单调递减区间是________．
2lg x, x  0
 2lg | x | 
，知单调递减区间是(,0)．
【答案】(,0)【解析】
f (x)  lg x2
2 lg(x),x  0
40. (2014 重庆)函数 f (x)  log 
x log (2x)的最小值为_________．
2
2
1
1
2
1
1
1
【答案】 【解析】 f (x)log x (2 2 log x)
 

 log2 x 
2 log2 x
 (log x  ) 2  ≥ ．
当
2
2
2
4
2
4
4
1
2
且仅当log x   ，即 x 
时等号成立．
2
2
2
41. (2013 四川)lg 5 lg 20 的值是____________．
【答案】1【解析】lg 5 lg 20  lg10 1．
42. (2012 北京)已知函数 f (x)  lg x ，若 f (ab) 1，则f (a2)  f (b 2) 
．
【答案】2【解析】由 f (ab) 1，得ab 10，于是
 2(lga lgb)  2 lg(ab)  2 lg10  2 ．
f (a )  f (b
2
2)  lga 2 lgb 2
43．(2011 天津)已知log a log b ≥1 ，则3 
9 的最小值为__________．
a b
2
2
【 答 案 】 18 【 解 析 】 log a log b log ab ， ∵ ab≥2 且 a  0,b  0 ， 则 3 
9
a b
2
2
2
=3
a 32b ≥2 3a 32b
2 3a 
2b ≥2 32 2ab ≥2 3
22 18 ．当且仅当a  2b ，即a  2,b 1 时等号成
立，所以3 
9 的最小值为 18．
a b
44．(2011 江苏)函数 f (x)  log5 (2x 1) 的单调增区间是__________．
1
1
2
【答案】( ,) 【解析】由题意知，函数 f (x)  log (2x 1) 的定义域为{x | x   }，所以该函数的
5
2
1
单调增区间是( ,) ．
2
考点 22 二次函数与幂函数
2
1．(2020 江苏 7)已知 y  f (x) 是奇函数，当 x 0 时， f (x)  x3 ，则 f (8)的值是
．
【答案】4
2
2
3
【解析】 y  f (x) 是奇函数，当 x 0 时， f (x)  x 3 ，则 f (8)  f (8)  8  4．
2．(2020 浙江 9)已知a , bR 且ab  0 ，若 x a x b x 2a b 
0 在 x 0 上恒成立，则
(
     
 
  

)
A．a 0

B．a  0
C．b  0
D．b  0
【答案】C
【思路导引】对 分
a 
a  0 与a  0 两种情况讨论，结合三次函数的性质分析即可得到答案．
【解析】当 a 0 时，在 x 0 上， x a  0 恒成立，∴只需满足 x b x 2a b 
0 恒成立，此
时
    
  
2a b b，由二次函数的图象可知，只有b 0 时，满足 x b x 2a b 
0，b 0 不满条件；
    
  

当b 0 时，在 0,
 

上，x b  0 恒成立，∴只需满足x ax 2a b0 恒成立，此时当两根分别
为 x  a 和 x  2a b ，
(1)当a b  0 时，此时0  a  2a b ，当 x 0 时， x a x 2a b 
0 不恒成立，
    
  
(2)当a b  0 时，此时2a b  a ，若满足 x a x 2a b 
0 恒成立，只需满足
    
  
a  0
当a b  0 时，此时2a b  a 0 ，满足 x a x 2a b 
0 恒成立，
    
  

     
 
  


综上可知满足 x a x b x 2a b 
0 在 x 0 恒成立时，只有b 0，故选 C 
．
3．(2016 全国 I) 若a b 1，0 c 1，则
A．a  b
c
c
B．abc  ba c
C．alog c  blog c
D．log c  log c
b
a
a
b
y  xc ，因为c  0，所以 y  xc 为增函数，又a  b 1，所以ac  bc ，
【答案】C【解析】选项 A，考虑幂函数
b
b
a
b
A 错．对于选项 B，ab
c  ba c  ( )
c ，又 y  ( )x 是减函数，所以 B 错．对于选项 D，由对数函数
a
a
的性质可知 D 错，故选 C．
4
2
1
4．(2016 全国 III) 已知a  23 ，b  45 ，c  253 ，则
A．b  a  c
B．a b  c
C．b c  a
D．c  a  b
4
1
2
5
1
1
1
【答案】A【解析】因为a  2 163 ，b  4
165 ，c  253 ，且幂函数 y  x3 在 R 上单调递增，指数
3
函数
5．(2016 年全国 I 卷)若a b 0 ，0 c 1，则
y 16
x 在 R 上单调递增，所以b  a  c ，故选 A．
A．log c  log c
B．log a log b
a
b
c
c
C．a c  b c
D．ca  c b
【答案】B【解析】因为0  c 1，所以 y  log x 在(0,) 上单调递减，又0  b  a ，所以log a log b ，
c
c
c
故选 B．
x1, x 1,
e

  

  
则使得 f x 
2 成立的 x 的取值范围是__．
6．(2014 新课标)设函数 f x
1
, x 1,
x 3
1 1
7．(2018 上海)已知 {2,1, , ,1,2,3}，若幂函数 ( )
f x  x 为奇函数，且在 (0,) 上递减，则
2 2
 =_____．
【答案】1【解析】由题意 f (x) 为奇函数，所以 只能取1,1,3，又 f (x) 在(0,)上递减，所以  
1．