专题03 函数的概念与表示
十年大数据*全景展示
年
份
题号
考
点
考查内容
2012
课标
文16
函数值域与最值
利用函数的奇偶性研究函数的最值
2014
卷1
文15
分段函数
解分段函数不等式
2015[来源:学科
网][来源:学科网ZXXK]
卷1
文10[来源:学.科.网Z.X.X.K]
分段函数[来源:学&科&网Z&X&X&K]
分段函数求值[来源:学科网]
卷2
理5
分段函数
分段函数求值
卷2
文13
函数的概念与表示
已知函数过点求参数值
2017
卷3
理15
分段函数
利用分类整合思想解函数不等式
大数据分析*预测高考
考
点
出现频率
2021 年预测
考点9 函数的概念与表示
1/6
2021 年高考仍重点考查分段函数求值、不等式、方程问
题，注意函数定义域、值域与最值方法的复习.
考点10 函数的定义域
0/6
考点11 分段函数
4/6
考点12 函数的值域与最值
1/6
十年试题分类*探求规律
考点9 函数的概念与表示
1．(2020 上海4)已知函数
3
( )
f x
x
，则其反函数为
．
【答案】
1
3
f
x
x
【解析】
3
3
y
x
x
y
，即其反函数是
1
3
f
x
x
，故答案为：
1
3
f
x
x
．
2.(2015 新课标2，文13)已知函数
x
ax
x
f
2
)
(
3
的图象过点
)
4,1
(
，则
a
．
【答案】2【解析】由题意可知( 1,4)
在函数图象上，即4
2
a
，∴
2
a ．
3.(2014 浙江)已知函数
3
2
( )
f x
x
ax
bx
c
，且0
( 1)
( 2)
( 3)
3
f
f
f
≤
≤
，则
A ．
3
c
B．
6
3
c
C．
9
6
c
D．
9
c
【答案】C【解析】由已知得
1
8
4
2
1
27
9
3
a
b
c
a
b
c
a
b
c
a
b
c
，解得
6
11
a
b
，又0
( 1)
6
3
f
c
≤
，
所以6
9
c
≤
，故选C.
4.(2014 江西)已知函数
|
|5
)
(
x
x
f
，
)
(
)
(
2
R
a
x
ax
x
g
，若
1
)]
1(
[
g
f
，则
a
A．1
B．2
C．3
D．-1
【答案】A【解析】因为
[ (1)]
1
f g
，且
| |
( )
5 x
f x
，所以(1)
0
g
，即
21
1
0
a
，解得
1
a
．
考点10 函数的定义域
1.(2014 山东)函数
1
)
(log
1
)
(
2
2
x
x
f
的定义域为(
)
A．
)
2
1
0
( ，
B．
)
2
(
，
C．
)
,2
(
)
2
1
0
(
，
D．
)
2
[
]
2
1
0
(
，
，
【答案】C【解析】
2
2
2
2
(log
)
1
0
log
1
log
1
x
x
x
或
，解得
1
2
0
2
x
x
或
．
2.(2013 广东)函数
lg(
1)
( )
1
x
f x
x
的定义域是(
)
A．( 1,
)
B．[ 1,
)
C．( 1,1)
(1,
)
D．[ 1,1)
(1,
)
【答案】C【解析】由题知
1
0
1
0
x
x
，∴
1
1
x
x
，故选C，
3.(2012 山东)函数
2
1
( )
4
ln(
1)
f x
x
x
的定义域为
A．[ 2,0)
(0,2]
B．( 1,0)
(0,2]
C．[ 2,2]
D．( 1,2]
【答案】B【解析】
2
1
0,
1
1,
1
0
0
2.
4
0,
x
x
x
x
x
或
故选B．
4.(2011 江西)若
1
2
1
( )
log (2
1)
f x
x
，则
)
(x
f
的定义域为
A．(
2
1
,0)
B．(
2
1
,0]
C．(
2
1
,
)
D．(0,
)
【答案】A【解析】
1
2
log (2
1)
0
x
，所以0
2
1 1
x
，故
1
0
2
x
．
5.(2019 江苏4)函数
2
7
6
y
x
x
的定义域是
.
【答案】
0]
（
，【解析】①根据题意，函数
e
e
x
x
f x
a
（）
，若f x
（）为奇函数，则f
x
f x
（
）
（），
即
=
e
e
e
e
x
x
x
x
a
a
（
），所以
+1
e
e
0
x
x
a
对xR 恒成立.又e
e
0
x
x
，所以
1
0,
1
a
a
.
②函数
e
e
x
x
f x
a
（）
，导数
e
e
x
x
f
x
a
（）
.
若
f
x 是R 上的增函数，则
f
x 的导数
e
0
e
x
x
f
x
a
（）
在R 上恒成立，即
2e x
a
恒成立，
而
2e
>0
x
，所以a≤0，即a 的取值范围为
0]
（
，.
6.(2018 江苏)函数
2
( )
log
1
f x
x
的定义域为
．
【答案】[2,
)
【解析】要使函数
( )
f x 有意义，则
2
log
1
0
x ≥
，即
2
x≥
，则函数
( )
f x 的定义域是[2,
)
．
7.(2013 安徽)函数
2
1
ln(1
)
1
y
x
x
的定义域为_____________．
【答案】
0,1 【解析】
2
1
1
0
0
1
1
0
1
1
x
x
x
x
x
或
，求交集之后得x 的取值范围
0,1
8．(2020 北京11)函数
1
( )=
ln
1
f x
x
x
的定义域是__________．
【答案】(0,
)
【解析】要使得函数
1
( )
ln
1
f x
x
x
有意义，则
1
0
0
x
x
，即
0
x
，∴定义域为(0,
)
．
考点11 分段函数
1.(2017 新课标Ⅲ)设函数
1,
0
( )
2 ,
0
x
x
x
f x
x
≤
，则满足
1
( )
(
)
1
2
f x
f x
的x 的取值范围是___．
【答案】
1
(
,
)
4
【解析】当
1
2
x
时，不等式为
1
2
2
2
1
x
x
恒成立；
当
1
0
2
x
≤
，不等式
1
2
1
1
2
x
x
恒成立；
当
0
x≤
时，不等式为
1
1
1
1
2
x
x
，解得
1
4
x
，即
1
0
4
x
≤
；
综上，x 的取值范围为
1
(
,
)
4
．
2.(2015 新课标1，文10)已知函数
1
2
2
2,
1
( )
log (
1),
1
x
x
f x
x
x
≤
，且
( )
3
f a ，则
(6
)
f
a
A．
7
4
B．
5
4
C．
3
4
D．
1
4
【答案】A【解析】∵
( )
3
f a ，∴当
1
a
时，
1
( )
2
2
3
a
f a
，则
1
2
1
a，此等式显然不成立，
当
1
a
时，
2
log (
1)
3
a
，解得
7
a
，∴
(6
)
f
a
( 1)
f
=
1 1
7
2
2
4
，故选A．
3.(2015 新课标2，理5)设函数
2
1
1 log (2
),
1,
( )
2
,
1,
x
x x
f x
x
,
2
( 2)
(log 12)
f
f
(
)
A．3
B．6
C．9
D．12
【答案】C
【解析】由已知得
2
( 2)
1 log 4
3
f
，又
2
log 12
1
，所以
2
2
log 12 1
log 6
2
(log 12)
2
2
6
f
，故
2
( 2)
(log 12)
9
f
f
，故选C．
4.(2014 卷1，文15)设函数
1
1
3
,
1,
,
1,
xe
x
f x
x
x
则使得
2
f x
成立的x 的取值范围是________.
【答案】(
,8]
.【解析】原不等式等价于
1
1
2
x
x
e
或
1
3
1
2
x
x
，解得
8
x
，故x 的取值范围是(
,8]
.
4.(2011 福建)已知函数
2 ,
0
( )
1,
0
x x
f x
x
x
．若
( )
(1)
0
f a
f
，则实数a 的值等于
A．－3
B．－1
C．1
D．3
【答案】A【解析】当
0
a
时，由
( )
(1)
0
f a
f
得2
2
0
a
，无解；当
0
a
时，由
( )
(1)
0
f a
f
得
1 2
0
a
，解得
3
a ，故选A．
6. (2014 浙江)设函数
0
,
0
,
2
2
x
x
x
x
x
x
f
若
2
a
f
f
，则实数a 的取值范围是___.
【答案】(
,
2]
【解析】结合图形(图略)，由
(
)
2
f f a
≤
，可得
( )
2
f a
≥
，可得
2
a≤
．
7.(2011 江苏)已知实数
0
a
，函数
1
,
2
1
,
2
)
(
x
a
x
x
a
x
x
f
，若
)
1(
)
1(
a
f
a
f
，则a 的值为________
【答案】
3
4
【解析】
3
0,2
2
1
2 ,
2
a
a
a
a
a a
，
3
0, 1
2
2
2
,
4
a
a
a
a
a a
．
考点12 函数的值域与最值
1.(2012 课标，文16)设函数f(x)=(x+1)2+sinx
x2+1
的最大值为M，最小值为m，则M+m=____
【答案】2【解析】
( )
f x =
2
2
sin
1
1
x
x
x
，设
( )
g x =
( ) 1
f x =
2
2
sin
1
x
x
x
，则( )
g x 是奇函数，∵
( )
f x 最
大值为M，最小值为m ，∴( )
g x 的最大值为M-1，最小值为m －1，∴
1
1
0
M
m
，M
m
=2.
2.(2017 浙江)若函数
2
( )
f x
x
ax
b
在区间[0，1]上的最大值是M ，最小值是m ，则M
m
A．与a 有关，且与b 有关
B．与a 有关，但与b 无关
C．与a 无关，且与b 无关
D．与a 无关，但与b 有关
【答案】B【解析】函数
( )
f x 的对称轴为
2
a
x
，
①当
0
2
a
≤
，此时
(1)
1
M
f
a
b
，
(0)
m
f
b
，
1
M
m
a
；
②当
1
2
a
≥，此时
(0)
M
f
b
，
(1)
1
m
f
a
b
，
1
M
m
a
；
③当0
1
2
a
，此时
2
(
)
2
4
a
a
m
f
b
，
(0)
M
f
b
或
(1)
1
M
f
a
b
，
2
4
a
M
m
或
2
1
4
a
M
m
a
．综上，M
m
的值与a 有关，与b 无关．选B．
3.(2017 浙江)已知aR ，函数
4
( ) |
|
f x
x
a
a
x
在区间[1，4]上的最大值是5 ，则a 的取值范围
是
．
【答案】
9
(
, ]
2
【解析】∵
[1,4]
x
，∴
4
[4,5]
x
x
①当
5
a≥
时，
4
4
4
( )
2
2
2
2
4
f x
a
x
a
a
x
a
x
a
x
x
x
≤
，
所以
( )
f x 的最大值2
4
5
a
，即
9
2
a
(舍去)
②当
4
a≤
时，
4
4
( )
5
f x
x
a
a
x
x
x
≤
，此时命题成立．
③当4
5
a
时，
max
( )
max{| 4
|
,| 5
|
}
f x
a
a
a
a
，则
| 4
|
| 5
|
| 4
|
5
a
a
a
a
a
a
≥
或| 4
|
| 5
|
| 5
|
5
a
a
a
a
a
a
，
解得
9
2
a
或
9
2
a
，
综上可得，实数a 的取值范围是
9
(
, ]
2
．
4.(2015 浙江)已知函数
2
2
3,
1
( )
lg(
1),
1
x
x
f x
x
x
x
≥
，则
( ( 3))
f f
_______，
( )
f x 的最小值是______．
【答案】0、2 2
3
【解析】∵
( 3)
1
f
，
(1)
0
f
=
，即
( ( 3))
0
f f
．又
( )
f x 在(
,0)
上单调递减，在(0,1) 上单调递增，在(1,
2) 上单调递减，在( 2,
)
上单调递增，所以
min
( )
min{ (0),
( 2)}
2 2
3
f x
f
f
．
5.(2015 山东)已知函数
( )
(
0,
1)
x
f x
a
b a
a
的定义域和值域都是[ 1,0]
，则a
b
．
【答案】3
2
-
【解析】当
1
a
时
1
0
1
0
a
b
a
b
，无解；当0
1
a
时
1
0
0
1
a
b
a
b
，解得
2
b ，
1
2
a
，
则
1
3
2
2
2
a
b
．
6.(2015 福建)若函数
6,
2,
3
log
,
2,
a
x
x
f x
x x
≤
(
0
a
且
1
a
)的值域是
4,，则实数a 的取值范围
是
．
【答案】(1,2]【解析】因为
6,
2
( )
3
log
,
2
a
x
x
f x
x x
≤
，所以当
2
x≤
时，
( )
4
f x ≥
；又函数
( )
f x 的值域
为[4,
)
，所以
1
3
log 2
4
a
a
≥
，解得1
2
a
<
≤
，所以实数a 的取值范围为(1,2]．
7.(2013 北京)函数
1
2
log
,
1
( )
2 ,
1
x
x
x
f x
x
的值域为
．
【答案】
,2
【解析】当
1
x 时，
1
1
2
2
( )
log
log 1
0
f x
x
，当
1
x 时，
1
0
2
2
2
x
，∴值域
为
,2
．
