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专题 09 平面向量及其应用
（思维构建+知识盘点+重点突破+方法技巧+易混易错）
知识点1 向量的有关概念
1、向量：既有大小又有方向的量叫做向量，向量的大小叫做向量的模．
2、零向量：长度为0的向量，记作 .
3、单位向量：长度等于1个单位长度的向量．
4、平行向量：方向相同或相反的非零向量，又叫共线向量，规定： 与任一向量平行．
5、相等向量：长度相等且方向相同的向量．
6、相反向量：长度相等且方向相反的向量．知识点2 向量的线性运算
向量运算 定义 法则(或几何意义) 运算律
交换律： ；
加法 求两个向量和的运算
结合律：
求 与 的相反向量
减法
的和的运算
，
结合律： ；
当 λ>0 时， 与 的方向相
求实数λ与向量 的 同； 第一分配律：
数乘
积的运算 ；
当 λ<0 时， 与 的方向相
反； 第二分配律：
当λ＝0时，
知识点3 向量共线定理与基本定理
1、向量共线定理：如果 ，则 ，反之，如果 且 ，则一定存在唯一的实数 ，使
.
2、三点共线定理：平面内三点 、 、 三点共线的充要条件是：存在实数 ，使 ，
其中 ， 为平面内一点。
2
3、平面向量基本定理
（1）定义：如果 是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量 ，有且只有一
对实数 ，使
（2）基底：若 不共线，我们把 叫做表示这一平面内所有向量的一个基底．
（3）对平面向量基本定理的理解
①基底不唯一，只要是同一平面内的两个不共线向量都可以作为基底．同一非零向量在不同基底下的分解
式是不同的．
②基底给定时，分解形式唯一． 是被 唯一确定的数值．
③ 是同一平面内所有向量的一组基底，
则当 与 共线时， ；当 与 共线时， ；当 时， ．
④由于零向量与任何向量都是共线的，因此零向量不能作为基底中的向量．知识点4 平面向量的数量积
1、向量的夹角
（1）定义：已知两个非零向量 和 ，作 ， ，则∠AOB就是向量 与 的夹角．
（2）范围：设θ是向量 与 的夹角，则0°≤θ≤180°.
（3）共线与垂直：若θ＝0°，则 与 同向；若θ＝180°，则 与 反向；若θ＝90°，则 与 垂直．
2、平面向量的数量积
（1）定义：已知两个非零向量 与 ，它们的夹角为θ，则数量 叫做 与 的数量积(或内积)，
记作 ，即 ，规定零向量与任一向量的数量积为0，即 .
（2）几何意义：数量积 等于 的长度 与 在 的方向上的投影 的乘积．
【注意】（1）数量积 也等于 的长度|b|与 在 方向上的投影 的乘积，这两个投影是不同的．
（2） 在 方向上的投影也可以写成 ，投影是一个数量，可正可负可为0，取决于θ角的范围．
3、向量数量积的性质
设 ， 是两个非零向量， 是单位向量，α是 与 的夹角，于是我们就有下列数量积的性质：
（1） .
（2） .
（3） ， 同向⇔ ； ， 反向⇔ .
特别地 或 .
（4）若θ为 ， 的夹角，则 .
4、向量数量积的运算律
（1） (交换律)．
（2） (结合律)．
（3） (分配律)．
【注意】对于实数a，b，c有 ，但对于向量 ， ， 而言， 不一
定成立，即不满足向量结合律．这是因为 表示一个与c共线的向量，而 表示一个与a共线的向量，而 与 不一定共线，所以 不一定成立．
知识点5 平面向量的坐标运算
1、向量线性运算坐标表示
（1）已知 ，则 ， ．
结论：两个向量和与差的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和与差．
（2）若 ，则a＝(x，y)；
结论：实数与向量的积的坐标等于用这个实数乘原来向量的相应坐标。
2、向量平行坐标表示：已知 ，则向量 ， 共线的充要条件是
3、向量数量积的坐标表示
已知非零向量 ， ， 与 的夹角为θ.
结论 几何表示 坐标表示
模
夹角
的充要条件
与 的关系
重难点01 平面向量最值或范围问题
1、定义法：①利用向量的概念及其基本运算将所求的问题转化为相应的等式关系；②运用基本不等式求
其最值问题；③得出结论。
2、坐标法：①根据题意建立适当的直角坐标系，并推导关键点的坐标；②将平面向量的运算坐标化；③
运用适当的数学方法如二次函数、基本不等式的思想、三角函数思想等求解。
3、基底法：①利用基底转化向量；②根据向量运算化简目标；③运用适当的数学方法如二次函数、基本
不等式的思想、三角函数等得出结论；
4、几何意义法：①结合条件进行向量关系推导；②利用向量之间的关系确定向量所表达的点的轨迹；③
结合图形，确定临界位置的动态分析求出范围。
类型1 数量积的最值或范围
【典例1】（2024·四川成都·三模）在矩形 中， ， ，点 满足 ，在平面
中，动点 满足 ，则 的最大值为（ ）A． B． C． D．
【答案】A
【解析】以O为坐标原点（ 是 中点），建立如图所示的直角坐标系，
因为在矩形 中， ， ， ， ，
所以动点 在以O为圆心，1为半径的圆上运动，故设 ，
则 ,
，
其中锐角 满足 ，故 的最大值为 ,故选：A.
【典例2】（2024·江西鹰潭·二模）在 中，角 所对应的边为 , ， ， ，
是 外接圆上一点，则 的最大值是（ ）
A．4 B． C．3 D．
【答案】A
【解析】如图，设 的外心为 ，则点 是 的中点，
由 ，
因 ，故 ,而 ，
故 当且仅当 与 同向时取等号.故选：A.类型2 模长的最值或范围
【典例1】（2024·陕西西安·模拟预测）已知向量 ， ， ，则 的最小值为
.
【答案】
【解析】 ，
所以 .
当 时等号成立.
故答案为： .
【典例2】（2024·江苏泰州·模拟预测）在平行四边形 中 ，若
则 的最小值为（ ）
A． B． C．1 D．
【答案】B
【解析】由 可得
，
因 ，故 时， ，即 的最小值为 .故选：B．
类型3 向量夹角的最值或范围
【典例1】（2024·广东江门·二模）设向量 ，则 的最小值为 .
【答案】 /
【解析】 ，令 ，则 ，
所以 ，当 ，即 时， 取得最小值，且最小值为 ．
故答案为：
【典例2】（23-24高三上·山东菏泽·阶段练习）已知向量 ，满足 ，若对任意模为 的向量
，均有 ，则向量 的夹角的取值范围为 .
【答案】
【解析】由 ，若对任意模为 的向量 ，均有 ，
由三角不等式得， ，因为向量 为任意模为 的向量，
所以当向量 与向量 夹角为 时，上式也成立，设向量 的夹角为 .
， ，
平方得到 ，即 ，
则 ，即 ，即 ，
同时 ，所以 ，
平方得到 ，即 ，
解得 ，即 ， ，
综上 ，又因为 ，即 ，
向量 的夹角的取值范围 .
故答案为： .
类型4 线性系数的最值或范围
【典例1】（2024·山西晋中·模拟预测）（多选）在 中， 为边 上一点且满足 ，若
为边 上一点，且满足 ， ， 为正实数，则下列结论正确的是（ ）A． 的最小值为1 B． 的最大值为
C． 的最大值为12 D． 的最小值为4
【答案】BD
【解析】因为 ，所以 ，
又 ，
因为 、 、 三点共线，所以 ，
又 ， 为正实数，所以 ，
当且仅当 ，即 ， 时取等号，故A错误，B正确；
，
当且仅当 ，即 ， 时取等号，故C错误，D正确.故选：BD
【典例2】（23-24高三下·安徽·阶段练习）已知正方形 的边长为2，中心为 ，四个半圆的圆心均
为正方形 各边的中点（如图），若 在 上，且 ，则 的最大值为 ．
【答案】
【解析】如图，以线段BC所在直线为x轴，线段BC的垂直平分线为y轴建立平面直角坐标系，
设 ，
又 ，
则 ，
，即，解得 ，
,
因为 ，则 ，
所以当 时， 取得最大值1，
则 的最大值为 .
故答案为： .
重难点02 运用向量表示三角形的重心、垂心、外心、内心
1、常见重心向量式：设O是∆ABC的重心，P为平面内任意一点
①⃗OA+⃗OB+⃗OC=0⃗
1
②⃗PO= (⃗PA+⃗PB+⃗PC)
3
③若⃗AP=λ(⃗AB+⃗AC)或⃗OP=⃗OA+λ(⃗AB+⃗AC)，λ∈[0,+∞)，则P一定经过三角形的重心
( ⃗AB ⃗AC ) ( ⃗AB ⃗AC )
④若 ⃗AP=λ + 或 ⃗OP=⃗OA+λ + ，λ∈[0,+∞)则P一定经
|⃗AB|sinB |⃗AC|sinC |⃗AB|sinB |⃗AC|sinC
过三角形的重心
2、常见垂心向量式：O是∆ABC的垂心，则有以下结论：
①⃗OA∙⃗OB=⃗OB∙⃗OC=⃗OC∙⃗OA
2 2 2 2 2 2
②|⃗OA| +|⃗BC| =|⃗OB| +|⃗CA| =|⃗OC| +|⃗AB|
( ⃗AB ⃗AC )
③动点P满足 ⃗OP=⃗OA+λ + ，λ∈(0,+∞)，则动点P的轨迹一定通过∆ABC的
|⃗AB|cosB |⃗AC|cosC
垂心
3、常用外心向量式：O是∆ABC的外心，
①|⃗OA|=|⃗OB|=|⃗OC|⟺⃗OA2=⃗OB2=⃗OC2
②(⃗OA+⃗OB)∙⃗AB=(⃗OB+⃗OC)∙⃗BC=(⃗OA+⃗OC)∙⃗AC=0⃗OB+⃗OC ( ⃗AB ⃗AC )
③动点P满足 ⃗OP= +λ + ，λ∈(0,+∞)，则动点P的轨迹一定通过
2 |⃗AB|cosB |⃗AC|cosC
∆ABC的外心.
④若(⃗OA+⃗OB)∙⃗AB=(⃗OB+⃗OC)∙⃗BC=(⃗OC+⃗OA)∙⃗CA=0，则O是∆ABC的外心.
4、常见内心向量式：P是∆ABC的内心，
①|⃗AB|⃗PC+|⃗BC|⃗PA+|⃗CA|⃗PB=0⃗（或a⃗PA+b⃗PB+c⃗PC=0⃗）
其中a，b，c分别是∆ABC的三边BC、AC、AB的长，
( ⃗AB ⃗AC )
② ⃗AP=λ + ，λ[0,+∞)，则P一定经过三角形的内心。
|⃗AB| |⃗AC|
【典例1】（2024·四川南充·三模）已知点P在 所在平面内，若
，则点P是 的（ ）
A．外心 B．垂心 C．重心 D．内心
【答案】D
【解析】在 中，由 ，得 ，
即 ，由 ，同理得 ，
显然 ，即 与 不重合，否则 ，同理 ，
则 ，即 ， ，
于是 平分 ，同理 平分 ，
所以点P是 的内心.故选：D
【典例2】（23-24高三上·全国·专题练习）已知G，O，H在 所在平面内，满足 ，
， ，则点G，O，H依次为 的（ ）
A．重心，外心，内心 B．重心、内心，外心
C．重心，外心，垂心 D．外心，重心，垂心
【答案】C
【解析】因为 ，所以 ，
设AB的中点D，则 ，所以 ，
所以C，G，D三点共线，即G为 的中线CD上的点，且 ，
所以G为 的重心．因为 ，所以 ，所以O为 的外心；
因为 ，所以 ，即 ，
所以 ，同理可得： ， ，所以H为 的垂心.故选：C.
重难点03 奔驰定理及其应用
1、奔驰定理：O是 ΔABC 内的一点，且x∙⃗OA+ y∙⃗OB+z∙⃗OC=0⃗，
则S :S :S =x:y:z
∆BOC ∆COA △AOB
2、证明过程：已知O是 ΔABC 内的一点，∆BOC，∆COA，∆AOB的面积分别为S ，S ，S ，
A B C
求证：S ∙⃗OA+S ∙⃗OB+S ∙⃗OC=0⃗ .
A B C
延长OA与BC边相交于点D， A
BD S S S −S S
则 = ∆ABD = ∆BOD = ∆ABD ∆BOD = C ，
O
DC S S S −S S
∆ACD ∆COD ∆ACD ∆COD B
DC BD S S
⃗OD= ⃗OB+ ⃗OC= B ⃗OB+ C ⃗OC， B
D
C
BC BC S +S S +S
B C B C
OD S S S +S S
∵ = BOD= COD= BOD COD= A ，
OA S S S +S S +S
BOA COA BOA COA B C
S
∴⃗OD=− A ⃗OA，
S +S
B C
S S S
∴− A ⃗OA= B ⃗OB+ C ⃗OC，
S +S S +S S +S
B C B C B C
所以S ∙⃗OA+S ∙⃗OB+S ∙⃗OC=0⃗ .
A B C
（3）奔驰定理推论：x∙⃗OA+ y∙⃗OB+z∙⃗OC=0⃗，则
①S :S :S =|x|:|y|:|z|
∆BOC ∆COA △AOB
S | x | S | y | S | z |
② ∆BOC = ， ∆AOC = ， ∆AOB= .
S x+ y+z S x+ y+z S x+ y+z
∆ABC ∆ABC ∆ABC
由于这个定理对应的图象和奔驰车的标志很相似，我们把它称为“奔驰定理”．
（4）对于三角形面积比例问题，常规的作法一般是通过向量线性运算转化出三角形之间的关系。但如果
向量关系符合奔驰定理的形式，在选择填空题当中可以迅速的地得出正确答案。
【典例1】（23-24高三上·江西新余·期末）（多选）“奔驰定理”因其几何表示酷似奔驰的标志得来，是
平面向量中一个非常优美的结论．奔驰定理与三角形四心（重心、内心、外心、垂心）有着神秘的关联．
它的具体内容是：已知M是 内一点， ， ， 的面积分别为 ， ， ，且
．以下命题正确的有（ ）A．若 ，则M为 的重心
B．若M为 的内心，则
C．若M为 的垂心， ，则
D．若 ， ，M为 的外心，则
【答案】ABC
【解析】A选项，因为 ，所以 ，
取 的中点 ，则 ，所以 ，
故 三点共线，且 ，
同理，取 中点 ， 中点 ，可得 三点共线， 三点共线，
所以M为 的重心，A正确；
B选项，若M为 的内心，可设内切圆半径为 ，则 ， ，
，
所以 ，即 ，B正确；
C选项，若M为 的垂心， ，则 ，
如图， ⊥ ， ⊥ ， ⊥ ，相交于点 ，
又 ， ，即 ，
，即 ，
，即 ，
设 ， ， ，则 ， ， ，因为 ， ，所以 ，即 ，
同理可得 ，即 ，故 ，
，则 ，
故 ，
，则 ，
故 ， ，
故 ，
同理可得 ，
故 ，C正确；
D选项，若 ， ，M为 的外心，则 ，
设 的外接圆半径为 ，
故 ， ，
故 ， ， ，
所以 ，D错误.故选：ABC
【典例2】（23-24高三上·河北保定·阶段练习）（多选）“奔驰定理”是平面向量中一个非常优美的结论，
因为这个定理对应的图形与“奔驰”轿车的标志很相似，所以形象地称其为“奔驰定理”．奔驰定理：已
知 是 内一点， ， ， 的面积分别为 ， ， ，则
．设 是 内一点， 的三个内角分别为 ， ， ， ，
， 的面积分别为 ， ， ，若 ，则以下命题正确的有（ ）
A．
B． 有可能是 的重心
C．若 为 的外心，则
D．若 为 的内心，则 为直角三角形
【答案】AD
【解析】对于A，由奔驰定理可得， ，
因为 ， ， 不共线，所以 ，故A正确；
对于B，若 是 的重心， ，
因为 ，所以 ，即 共线，故B错误．
对于C，当 为 的外心时， ，
所以 ，
即 ，故C错误．
对于D，当 为 的内心时， （ 为内切圆半径），
所以 ，所以 ，故D正确.故选：AD.
重难点04 极化恒等式及其应用
1、极化恒等式：
2、平行四边形模式：平行四边形ABCD，O是对角线交点．则AB·AD＝[|AC|2－|BD|2]．
3、三角形模式：在△ABC中，设D为BC的中点，则AB·AC＝|AD|2－|BD|2．
【典例1】（23-24高三下·湖南长沙·阶段练习）向量的数量积可以表示为：以这组向量为邻边的平行四边
形的“和对角线”与“差对角线”平方差的四分之一，即如图所示， ，我们称为极
化恒等式. 已知在 中， 是 中点， ， ，则 （ ）
A． B．16 C． D．8
【答案】A
【解析】由题设， 可以补形为平行四边形 ，
由已知得 ．故选：A．
【典例2】（2024高三·全国·专题练习）四边形 中，M是 上的点， ，
,若N是线段 上的动点， 的取值范围是 .
【答案】
【解析】M是 上的点且 C、D两点在以 为直径的圆上，
且圆心为M， 是等腰直角三角形，
所以
又 ，
所以 ，
在等腰直角 中,点M到线段MN上的一点N的距离最大值为1,取最小值时,N为的中点,此时 ，
，所以 .
故答案为：
一、解决向量概念问题的关键点
1、相等向量具有传递性，非零向量的平行也具有传递性．
2、共线向量即平行向量，它们均与起点无关．
3、相等向量不仅模相等，而且方向也相同，所以相等向量一定是平行向量，但平行向量未必是相等向量．
4、向量可以平移，平移后的向量与原向量是相等向量．解题时，不要把它与函数图象的平移混为一谈．
5、非零向量 与 的关系： 是 方向上的单位向量，因此单位向量 与 方向相同．
6、向量与数量不同，数量可以比较大小，向量则不能．但向量的模是非负实数，可以比较大小．
7、在解决向量的概念问题时，要注意两点：①不仅要考虑向量的大小，还要考虑向量的方向；②考虑零
向量是否也满足条件．
【典例1】（2023·湖南长沙·一模）（多选）下列说法不正确的是（ ）
A．若 ，则 与 的方向相同或者相反
B．若 ， 为非零向量，且 ，则 与 共线
C．若 ，则存在唯一的实数 使得
D．若 是两个单位向量，且 ，则
【答案】ACD
【解析】对A，若 为零向量时， 与 的方向不确定，故A错误；
对B， 分别表示 ， 方向上的单位向量，根据题意可知B正确；
对C，若 为零向量， 不为零向量时，不存在实数 使得 ，故C错误；
对D，由 ，所以 ，故D错误.故选：ACD
【典例2】（2023高三·全国·专题练习）（多选）下列命题正确的是（ ）
A．若 都是单位向量，则 .
B．“ ”是“ ”的必要不充分条件
C．若 都为非零向量，则使 ＋ ＝ 成立的条件是 与 反向共线
D．若 ，则
【答案】BCD
【解析】对A， 都是单位向量，则 模长相等，但方向不一定相同，所以得不到 ，A错误；
对B，“ ”推不出“ ”，但 “ ”能推出 “ ”，
所以“ ”是“ ”的必要不充分条件，B正确；
对C，因为 与 反向共线，且 ， 都为单位向量，则 ＋ ＝ ，C正确；
对D，若 ，则 ，D正确，故选:BCD.
二、平面向量共线定理的应用
1、证明向量共线：若存在实数λ，使 ，则 与非零向量 共线；
2、证明三点共线：若存在实数λ，使 ， 与 有公共点A，则A，B，C三点共线；
3、求参数的值：利用向量共线定理及向量相等的条件列方程(组)求参数的值
【典例1】（2024·浙江·模拟预测）已知向量 ， 是平面上两个不共线的单位向量，且 ，
， ，则（ ）
A． 、 、 三点共线 B． 、 、 三点共线
C． 、 、 三点共线 D． 、 、 三点共线
【答案】C
【解析】对A，因为 ， ，不存在实数 使得 ，
故 、 、 三点不共线，故A错误；
对B，因为 ， ，不存在实数 使得 ，故 、 、 三点不共线，故B错误；
对C，因为 ， ，则 ，
故 、 、 三点共线，故C正确；
对D，因为 ， ，
不存在实数 使得 ，故 、 、 三点不共线，故D错误.故选：C
【典例2】（2024高三·全国·专题练习）在 中，M，N分别是边BC，AC的中点，线段AM，BN交于
点D，则 的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】解法一：因为M，N分别是边BC，AC的中点，可由三角形重心的性质知 .
解法二：设 ，
则 ，
又由B，D，N三点共线，可知 ，解得 ，
所以 ，故 ，故选：C.
三、平面向量基本定理的实质及解题思路
1、应用平面向量基本定理表示向量的实质是平行四边形法则或三角形法则进行向量的加、减或数乘运算．
2、用平面向量基本定理解决问题的一般思路是先选择一组基底，并运用该基底将条件和结论表示成向量
的形式，再通过向量的运算来解决．
【典例1】（2024·山西吕梁·三模）已知等边 的边长为1，点 分别为 的中点，若，则 （ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】在 中，取 为基底，
则 ，
因为点 分别为 的中点， ,所以 ，
所以 .故选：B.
【典例2】（23-24高三下·黑龙江大庆·阶段练习）四边形ABCD中， ，且 ，若
，则 ．
【答案】2
【解析】如图，由 可得 且 ，
易得 ,则有
于是 , 因 ，故得 由 ，解得： .
故答案为：2.
四、平面向量数量积的求解方法
1、定义法求平面向量的数量积
（1）方法依据：当已知向量的模和夹角θ时，可利用定义法求解，即
（2）适用范围：已知或可求两个向量的模和夹角。
2、基底法求平面向量的数量积
（1）方法依据：选取合适的一组基底，利用平面向量基本定理将待求数量积的两个向量分别用这组基底
表示出来，进而根据数量级的运算律和定义求解。
（2）适用范围：直接利用定义法求数量积不可行时，可将已知模和夹角的两个不共线的向量作为基底，
采用“基底法”求解。
3、坐标法求平面向量的数量积
（1）方法依据：当已知向量的坐标时，可利用坐标法求解，
即若 ， ，则 ；
（2）适用范围：①已知或可求两个向量的坐标；②已知条件中有（或隐含）正交基底，优先考虑建立平
面直角坐标系，使用坐标法求数量积。
【典例1】（2024·云南曲靖·模拟预测）已知向量 ， ，（ 分别为正交单位向量），
则 （ ）
A． B．1 C．6 D．
【答案】B
【解析】因为 分别为正交单位向量，所以 ， ，
所以 ，故选：B.
【典例2】（2024·安徽芜湖·模拟预测）已知边长为1的正方形ABCD，点E，F分别是BC，CD的中点，
则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】边长为1的正方形ABCD， ， ，， ，
所以 .故选：D.
五、解决有关垂直问题
两 个 非 零 向 量 垂 直 的 充 要 条 件 ： ① ； ② 若 ， ， 则
.
【典例1】（2024·全国·高考真题）已知向量 ，若 ，则 （ ）
A． B． C．1 D．2
【答案】D
【解析】因为 ，所以 ，
所以 即 ，故 ，故选：D.
【典例2】（2024·西藏·模拟预测）已知向量 ，
．若 ，则实数 的值是（ ）
A． B． C． D．2
【答案】A
【解析】由题意得 ， ．
，因为 ，
所以 ，所以 ，所以 ，解得 ．故选：A．六、求向量模的常用方法
1、定义法：利用 及 ，把向量的模的运算转化为数量积运算；
2、坐标法：当向量有坐标或适合建坐标系时，可用模的计算公式；
3、几何法，利用向量的几何意义，即利用向量加减法的平行四边形法则或三角形法则作出向量，再利用
余弦定理等方法求解．
【典例1】（2024·山东菏泽·二模）已知向量 ，且 ，则 的值是
（ ）
A． B． C． D．6
【答案】D
【解析】因为 ，即 ，化简，整理得 ，
则 ，解得 .故选：D
【典例2】（2024·江西宜春·模拟预测）已知向量 ， 满足 ， ， ，则
（ ）
A．5 B． C．6 D．8
【答案】B
【解析】由 ， ， ，得 ，则 ，
因此 ，所以 ．故选：B
七、平面向量的夹角问题
求解两个非零向量之间的夹角的步骤：
第一步，由坐标运算计算出这两个向量的数量积；
第二步，分别求出这两个向量的模；
第三步，根据公式 求出这两个向量夹角的余弦值，其中 ，
；
第四步，根据两个向量夹角的范围 及其夹角的余弦值，求出两个向量的夹角.【典例1】（2024·江苏泰州·模拟预测）若 ， ， ，则 与 的夹角为
（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】因为 ，所以 ，
又 ，所以 ，解得 ，
所以 ，
设 与 的夹角为 ，
所以 ，又 ，所以 .故选：A
【典例2】（2024·河北·模拟预测）平面四边形 中，点 分别为 的中点，
，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】因为平面四边形 中，点 分别为 的中点，
所以 ，
所以 ，
由 可得： ，
两边同时平方可得： ，
所以 ，解得： ，
所以 .故选：A.
八、投影向量及其应用
设向量 是向量 在向量 上的投影向量，则有，则
【典例1】（2024·山东青岛·二模）已知向量 ， ，则 在 上的投影向量为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】依题意， ，
所以 在 上的投影向量为 .故选：A
【典例2】（2024·山东菏泽·模拟预测）在平面直角坐标系 中， ，点 在直线
上，则 在 上的投影向量为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】根据题意，设点 ，则 ，
则 在 上的投影向量为 .故选：C
易错点1 平面向量的概念模糊，尤其是零向量
点拨：平面向量部分概念多而抽象，如零向量、单位向量、平行向量、共线向量、相等向量、相反向
量、向量的加法、减法、数乘、数量积、向量的模、夹角等等。
【典例1】（23-24高三上·全国·专题练习）（多选）下列说法中正确的是（ ）
A．零向量与任一向量平行 B．方向相反的两个非零向量不一定共线
C．单位向量是模为 的向量 D．方向相反的两个非零向量必不相等
【答案】ACD
【解析】对于A，零向量的方向是任意的，零向量与任一向量平行，故A项正确；
对于B，根据共线向量的定义，可知方向相反的两个非零向量一定共线，故B项错误；对于C，根据单位向量的定义，可知C项正确；
对于D，方向相同且模相等的两个向量相等，
因此方向相反的两个非零向量一定不相等，D项正确．故选：ACD．
易错点2 忽视两个向量成为基底的条件
点拨：如果 、 是同一平面内的两个不共线向量，那么对该平面内的任一向量 有且只有一对实数 ，
，
，使 。在平面向量知识体系中，基本定理是基石，共线向量定理是重要工具。考生在学
习这部分知识时，务必要注意这两个定理的作用和成立条件。
【典例1】（2024·上海浦东新·三模）给定平面上的一组向量 、 ，则以下四组向量中不能构成平面向
量的基底的是（ ）
A． 和 B． 和
C． 和 D． 和
【答案】C
【解析】对A：不存在实数 ，使得 ，故 和 不共线，可作基底；
对B：不存在实数 ，使得 ，故 和 不共线，可作基底；
对C：对 和 ，因为 是不共线的两个非零向量，
且存在实数 ，使得 ，故 和 共线，不可作基底；
对D：不存在实数 ，使得 ，故 和 不共线，可作基底.故选：C.
【典例2】（23-24高三上·福建·阶段练习）（多选）下列各组向量中，可以作为所有平面向量的一个基底
的是（ ）
A． ， B． ，
C． ， D． ，
【答案】ACD
【解析】易知能作为基底的两个平面向量不能共线，
因为 ， ， ，
则选项A、C、D中两个向量均不共线，而B项中 ，则B错误.故选：ACD易错点3 错误使用向量平行的等价条件
点拨：对于 ， ， ，若是使用 ，容易忽略
0这个解.考生解题过程中要注意等价条件的完备性。
【典例1】（2024·青海海西·模拟预测）已知向量 ， ，若 ，则 （ ）
A． B． C．0 D．2
【答案】B
【解析】若 ，有 ，解得 ．故选：B．
【典例2】（2024·陕西渭南·二模）已知向量 ， ，则“ ”是“ ”的
（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】若 ，则 ，解得 或2，
故“ ”是“ ”的充分不必要条件.故选：A
易错点4 混淆向量数量积运算和数乘运算的结果
点拨：向量的数乘运算结果依旧为向量，而数量积的运算结果为实数，两者要区分开。尤其使用数量积的
运算时不可约公因式。
【典例1】（23-24高三上·江苏扬州·阶段练习）（多选）下列关于向量 ， ， 的运算，一定成立的有
（ ）
A． B．
C． D．
【答案】AC
【解析】A：由平面向量数量积的运算性质可以判断本选项一定成立；
B： 与 共线， 与 共线，而 与 不一定共线，
所以 不一定成立，因此本选项不一定成立；
C： ，所以本选项一定成立；D：当 时， ，所以本选项不一定成立，故选：AC
【典例2】（2024高三·全国·专题练习）（多选）设 是任意的非零平面向量，且相互不共线，则下列
命题中的真命题是（ ）
A．
B．
C． 不与 垂直
D．
【答案】BD
【解析】由于 是不共线的向量，因此 的结果应为向量，故A错误；
由于 不共线，故 构成三角形，因此B正确；
由于 ，故C中两向量垂直，故C错误；
根据向量数量积的运算可以得 ，故D是正确的.故选：BD.
易错点5 确定向量夹角时忽略向量的方向
点拨：错误理解向量的夹角，在使用 求解时，特别注意 ，要共起点才能
找夹角，否则使用的可能是其补角造成错误。
【典例1】（23-24高三下·河北沧州·期中）已知 是边长为4的正三角形，则 （ ）
A．8 B． C． D．
【答案】C
【解析】正 的边长为4，则 .故选：C
易错点6 忽视两向量夹角 的取值范围
点拨：向量的夹角范围是从 ，解题时易忽略夹角为0和夹角为 的情况。
【典例1】（23-24高三上·山东聊城·期末）已知向量 ， ，若 与 所成的角为钝角，
则实数 的取值范围： .【答案】
【解析】 与 所成的角为钝角即 且 与 不平行，
即 ，
所以 .
故答案为： .
【典例2】（23-24高三上·全国·专题练习）已知 ， 为互相垂直的单位向量， ， ，且
与 的夹角为锐角，则实数 的取值范围为 ．
【答案】 且
【解析】因为 与 的夹角为锐角，所以 ，且 与 不同向，
所以 ，
因为 ， 为互相垂直的单位向量，所以 ， ， ，
所以 ，可得 ，
当 与 同向时， ，即 ，
可得 ，可得 ，此时不满足 与 的夹角为锐角，
综上所述：实数 的取值范围为 且 .
故答案为： 且 .
