第2讲 平面向量基本定理及坐标表示
复习要点 1.理解平面向量的基本定理及其意义.2.借助平面直角坐标系，掌握平面向
量的正交分解及坐标表示.3.会用坐标表示平面向量的加、减运算与数乘运算.4.能用坐标表
示平面向量共线的条件．
一 平面向量基本定理
如果e，e 是同一平面内的两个不共线向量，那么对这一平面内的任一向量a，有且只
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有一对实数λ，λ，使a＝λe＋λe，若e，e 不共线，我们把{e，e}叫做表示这一平面内
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所有向量的一个基底．若e ，e 互相垂直，则称这个基底为正交基底；若e ，e 分别为与x
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轴、y轴方向相同的两个单位向量，则称这个基底为单位正交基底．
二 平面向量的坐标表示
在平面直角坐标系内，分别取与 x 轴、 y 轴正方向相同 的两个单位向量i，j，取{i，j}
作为基底，对于平面内任一向量a，有唯一一对实数x，y，使得a＝xi＋yj，有序数对 ( x ， y )
叫做向量a的坐标，记作a＝(x，y)，显然i＝(1,0)，j＝(0,1)，0＝ (0,0) ．
三 平面向量的坐标运算
1．设a＝(x ，y)，b＝(x ，y)，则a＋b＝ ( x ＋ x ， y ＋ y )，a－b＝ ( x － x ， y － y )，λa
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＝ ( λx ， λy )，|a|＝.
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2．设A(x，y)，B(x，y)，则AB＝ ( x － x ， y － y )，|AB|＝.
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四 平面向量共线的坐标表示
设a＝(x，y)，b＝(x，y)，则
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(1)a∥b xy － x y ＝ 0 ；
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(2)若a≠0，则与a平行的单位向量为±.
⇔
常/用/结/论
1．若a与b不共线，且λa＋μb＝0，则λ＝μ＝0.
2．已知△ABC的顶点A(x，y)，B(x，y)，C(x，y)， 则 △ ABC 的重心 G 的坐标为 .
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OG＝(OA＋OB＋OC)，你知道如何证明这个线性表达式吗？
1．判断下列结论是否正确．
(1)在△ABC中，{AB，CA}可以作为基底．(√)
(2)平面向量不论经过怎样的平移变换，其坐标不变．(√)
(3)若a，b不共线，且λa＋μb＝λa＋μb，则λ＝λ 且μ＝μ.(√)
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(4)若a＝(x，y)，b＝(x，y)，则a∥b的充要条件可以表示成＝.()
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2．已知平面向量a＝(1,1)，b＝(1，－1)，则向量a－b＝( )
A．(－2，－1) B．(－2,1)
C．(－1,0) D．(－1,2)
解析：因为a＝(1,1)，b＝(1，－1)，所以a－b＝(1，1)－(1，－1)＝－＝(－1,2)．
答案：D3．(2024·湖北宜昌阶段练习)已知向量a，b，c在边长为1的正方形网格中的位置如图
所示，用基底{a，b}表示c，则( )
A．c＝－2a＋3b B．c＝2a－3b
C．c＝－3a＋2b D．c＝3a－2b
解析：建立如图所示的平面直角坐标系，则a＝(2,1)－(1,0)＝(1,1)，b＝(0,4)－(2,1)＝
(－2,3)，c＝(7,1)－(0,4)＝(7，－3)．
设c＝xa＋yb，则(7，－3)＝x(1,1)＋y(－2，3)，所以解得x＝3，y＝－2，故c＝3a－
2b.故选D.
答案：D
4．(2024·广西梧州摸底)已知{e ，e}是表示平面α内所有向量的一个基底，且a＝e ＋
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e，b＝3e－2e，c＝2e＋3e，若c＝λa＋μb(λ，μ∈R)，则λ＋μ＝________.
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解析：因为c＝λa＋μb＝λ(e ＋e)＋μ(3e －2e)＝(λ＋3μ)e ＋(λ－2μ)e ，又因为c＝2e ＋
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3e，所以解得所以λ＋μ＝.
2
答案：
题型 平面向量基本定理的应用
典例1(1)已知{e ，e}是表示平面内所有向量的一个基底，则下列四组向量中，不能组
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成一个基底的是( )
共线的一组不可作基底，判断系数是否对应成比例即可．
A．e＋e 和e－e
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B．3e－2e 和4e－6e
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C．e＋2e 和e＋2e
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D．e 和e＋e
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(2)(2024·广东清远月考)如图所示，已知在△OBC中，A是BC的中点，D是将OB分成
2∶1的一个内分点，DC和OA交于点E，设OA＝a，OB＝b.①用a，b表示向量OC，DC；
②若OE＝λOA，求实数λ的值．
(1)解析：因为4e －6e ＝－2(3e －2e)，所以3e －2e 与4e －6e 共线，又因为组成一
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个基底的两个向量一定不共线，所以它们不能组成一个基底．故选B.
(2)解：①依题意，A是BC的中点，
∴2OA＝OB＋OC，
即OC＝2OA－OB＝2a－b.
DC ＝ OC － OD ＝OC－OB
向量减法，向基底靠拢．
＝2a－b－b＝2a－b.
②∵OE＝λOA，
∴CE＝OE－OC＝λa－(2a－b)＝(λ－2)a＋b.
∵CE与DC共线，
∴ 存在实数 k ，使 CE ＝ k DC ，
E为OA，DC的交点. 设OE＝λOA，则OE＝(OB＋OC)＝OB＋OC＝λOD＋OC. 利用
D，E，C三点共线列方程λ＋＝1，可求λ的值．
即(λ－2)a＋b＝k，
∴解得λ＝.
应用平面向量基本定理表示向量的方法
应用平面向量基本定理表示向量的实质是利用平行四边形法则或三角形法则进行向量
的加法、减法或数乘运算，基本方法有两种：
(1)运用向量的线性运算法则对所求向量不断进行化简，直至用基底表示为止．
(2)将向量用含参数的基底表示，然后列方程或方程组，利用基底表示向量的唯一性求
解.\s\up7( )
对点练1(2024·新疆昌吉模拟)如图，在△ABC中，D，E分别是CB，CA的中点，点F
在AB上，且3AF＝FB，若M是△AFE(不含边界)内的动点，满足DM＝DB＋kDE，则k的
取值范围为________．
解析：如图，分别取BD，AE的中点G，N，连接GN交EF于H，∵D，E分别是
CB，CA的中点，∴DE∥AB∥GN，∵DM＝DB＋kDE＝DG＋kDE，∴kDE＝DM－DG＝
GM，则M在线段HN(不含端点)上．∵GN＝＝AB，HN＝AF＝AB，∴GH＝GN－HN＝AB，则DH＝DB＋GH＝DB＋BA＝DB＋DE，同理，DN＝DB＋GN＝DB＋BA＝DB＋DE，
∴<k<.即k的取值范围为.
答案：
题型 平面向量的坐标运算
典例2(1)已知A(－2,5)，B(10，－3)， 点 P 在直线 AB 上 ， 且 P A ＝－ P B ，则点P的
由线性关系，转化到坐标运算．
坐标是( )
A．(－8,9) B．(1,3)
C．(－1，－3) D．(8，－9)
(2)如图，在直角梯形ABCD中，AB∥DC，AD⊥DC，AD＝DC＝2AB，E为AD的中点，
若CA＝λCE＋μDB(λ，μ∈R)，则λ＋μ的值为( )
题目中有明显的垂直关系，坐标法较简捷，不费脑筋．
A. B.
C．2 D.
解析：(1)设P(x，y)，因为A(－2,5)，B(10，－3)，点P在直线AB上，所以PA＝(－2
－x,5－y)，PB＝(10－x，－3－y)．
因为 P A ＝－ P B ，向量相等，对应坐标相等．
则有
解得所以P(1,3)．故选B.
(2)建立如图所示的平面直角坐标系，则D(0,0)．
不妨设AB＝1，则CD＝AD＝2，∴C(2,0)，A(0,2)，B(1，2)，E(0,1)，
∴CA＝(－2,2)，CE＝(－2,1)，DB＝(1,2)，
∵CA＝λCE＋μDB，
∴ ( － 2,2) ＝ λ ( － 2,1) ＋ μ (1,2) ，建立坐标方程．
∴解得故λ＋μ＝.
故选B.
平面向量坐标运算的技巧
(1)向量的坐标运算主要是利用向量加法、减法、数乘运算的法则来进行求解的，若已
知有向线段两端点的坐标，则应先求向量的坐标．
(2)解题过程中，常利用向量相等则其坐标相同这一原则，通过列方程(组)来进行求解，
并注意方程思想的应用.\s\up7( )
对点练2 (2024·山东烟台模拟)如图，边长为2的等边三角形ABC的外接圆为圆O，P
为圆O上任一点，若AP＝xAB＋yAC，则2x＋2y的最大值为( )
A. B．2
C. D．1
解析： 以O为坐标原点，过O且平行于AB的直线为x轴建立如图所示的平面直角坐
标系，由已知可得A，B，C，点P在以O为圆心，为半径的圆上，∴可设P，则AP＝，
AB＝(2,0)，AC＝(1，)，由AP＝xAB＋yAC，可得2x＋y＝cos θ＋1，y＝sin θ＋，∴2x＋
2y＝cos θ＋1＋sin θ＋＝sin＋，∴当θ＝时，2x＋2y取得最大值.故选A.
答案：A
题型 向量共线的坐标表示与应用
典例3(2024·湖北宜昌模拟)已知向量a＝(m,1)，b＝(4－n,2)，m>0，n>0， 若 a ∥ b ，
条件转化为方程再应用常数代换法，由基本不等式求最值．
则＋的最小值为________．
解析：∵a∥b，∴4－n－2m＝0，即2m＋n＝4.
∵m>0，n>0，∴＋＝(2m＋n)＝≥＝，当且仅当 4 m ＝ n ＝时，等号成立． ∴＋
等号成立的条件
的最小值是.故答案为.
利用两向量共线解题的技巧
(1)一般地，在求与一个已知向量a共线的向量时，可设所求向量为λa(λ∈R)，然后结
合其他条件列出关于λ的方程，求出λ的值后代入λa即可得到所求的向量．(2)如果已知两向量共线，求某些参数的取值时，那么利用“若 a＝(x ，y)，b＝(x ，
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y)，则a∥b的充要条件是xy＝xy”解题比较方便．
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对点练3设向量OA＝(1，－2)，OB＝(2m，－1)，OC＝(－2n,0)，m，n∈R，O为坐标
原点，若A，B，C三点共线，则m＋n的最大值为( )
A．－3 B．－2
C．2 D．3
解析：由题意易知，AB∥AC，
因为AB＝OB－OA＝(2m－1,1)，
AC＝OC－OA＝(－2n－1,2)，
所以(2m－1)×2＝1×(－2n－1)，
得2m＋1＋2n＝1，
又2m＋1＋2n≥2，
所以2m＋n＋1≤2－2，即m＋n≤－3.所以m＋n的最大值为－3.
答案：A
