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第1讲 平面向量的概念及线性运算
复习要点 1.理解平面向量的意义、几何表示及向量相等的含义.2.掌握向量的加法、
减法运算，并理解其几何意义及向量共线的含义.3.了解向量线性运算的性质及其几何意义．
一 向量的有关概念
名称 定义
向量 既有大小又有方向的量叫做向量，向量的大小叫做向量的长度(或称模)
零向量 长度为 0 的向量叫做零向量，其方向是不确定的，零向量记作0
单位向量 长度等于1 个单位长度的向量
方向相同或相反的非零向量叫做平行向量，平行向量又叫共线向量．
平行向量
规定：零向量与任意向量平行
相等向量 长度相等且方向相同的向量
相反向量 长度相等且方向相反的向量
二 向量的线性运算
向量 法则(或几
定义 运算律
运算 何意义)
交换律：a＋b＝ b ＋
a；
加法 求两个向量和的运算
结合律：(a＋b)＋c＝
a＋ ( b ＋ c )
减法 求两个向量差的运算 a－b＝a＋( － b )
|λa|＝|λ||a|，
当λ＞0时，λa与a
的方向
λ(μ a)＝(λμ)a；
求实数λ与向量a的 相同；
数乘 (λ＋μ)a＝ λ a ＋ μ a ；
积的运算 当λ＜0时，λa与a
λ(a＋b)＝ λ a ＋ λ b
的方向
相反；
当λ＝0时，λa＝0
三 共线向量定理
1．共线向量定理
向量a(a≠0)与b共线，当且仅当有唯一一个实数λ，使得b＝λa.2．若a为非零向量，a 为其单位向量，则有a＝|a|·a 或a＝.
0 0 0
常/用/结/论
1．若P为线段AB的中点，O为平面内任一点，则OP＝(OA＋OB)．
2．已知OA＝λOB＋μOC(λ，μ为实数)，若A，B，C三点共线，则λ＋μ＝1.
1．判断下列结论是否正确．
(1)向量就是有向线段．()
(2)零向量没有方向．()
(3)若向量a与向量b平行，则a与b的方向相同或相反．()
(4)若向量AB与向量CD是共线向量，则A，B，C，D四点在一条直线上．()
2．对于非零向量a，b，“a＋b＝0”是“a∥b”的( )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
解析：若a＋b＝0，则a＝－b，则a∥b，即充分性成立；若a∥b，但a＝－b不一定
成立，即必要性不成立，所以“a＋b＝0”是“a∥b”的充分不必要条件．
答案：A
3．(多选)下列命题中，正确的是( )
A．若a与b都是单位向量，则a＝b
B．直角坐标平面上的x轴、y轴都是向量
C．若用有向线段表示的向量AM与AN不相等，则点M与点N不重合
D．海拔、温度、角度都不是向量
解析：A错误，由于单位向量长度相等，但是方向不确定；B错误，由于只有方向，
没有大小，故x轴、y轴不是向量；C正确，由于向量起点相同，但长度不相等，所以终点
不同；D正确，海拔、温度、角度只有大小，没有方向，故不是向量．
答案：CD
4．已知a与b是两个不共线向量，且向量a＋λb与3a－b共线，则λ＝________.
解析：方法一：设a＋λb＝k(3a－b)＝3ka－kb，
∴1＝3k，且λ＝－k，∴λ＝－.
方法二(特值法)：设a＝(1,0)，b＝(0,1)，则a＋λb＝(1，λ)，3a－b＝(3，－1)，∴3λ－
1×(－1)＝0，∴λ＝－.
答案：－
题型 向量基本概念的理解
典例1(1)(多选)给出下列命题，错误的有( )
A．若两个向量相等，则它们的起点相同，终点相同只强调模和方向相同．B．若A，B，C，D是不共线的四点，且AB＝DC，则四边形ABCD为平行四边形
C．a＝b的充要条件是|a|＝|b|且 a ∥ b
平行不代表方向相同．
D．已知λ，μ为实数， 若 λ a ＝ μ b ，则 a 与 b 共线 若λ，μ取最特殊的实数呢？
(2)设a，b都是非零向量，下列四个条件，使 ＝成立的充要条件是 ( )
两个单位向量相等，说明方向相同．
A．a＝b B．a＝2b
C．a∥b且|a|＝|b| D．a，b方向相同
解析：(1)A错误，两个向量起点相同，终点相同，则两个向量相等，但两个向量相等，
不一定有相同的起点和终点；B正确，因为AB＝DC，所以|AB|＝|DC|且AB∥DC，又A，
B，C，D是不共线的四点，所以四边形ABCD为平行四边形；C错误，当a∥b且方向相反
时，即使|a|＝|b|，也不能得到a＝b，所以|a|＝|b|且a∥b不是a＝b的充要条件，而是必要
不充分条件；D错误， 当 λ ＝ μ ＝ 0 时 ，
若a，b共线，则λa和μb也共线，但是若λa，μb共线，则不一定a，b共线．
a与b可以为任意向量，满足λa＝μb，但a与b不一定共线．故选ACD．
(2)表示a方向上的单位向量，表示b方向上的单位向量，因此＝的充要条件是 a与b
同向．
故选D．
平面向量有关概念的四个关注点
(1)相等向量具有传递性，非零向量的平行也具有传递性．
(2)共线向量即为平行向量，它们均与起点无关．
(3)向量可以平移，平移后的向量与原向量是相等向量，解题时，不要把它与函数图象
的移动混淆．
(4)非零向量a与的关系：是与a同方向的单位向量.\s\up7( )
对点练1(多选)(2024·山东烟台月考)给出下列命题，其中叙述错误的命题为( )
A．向量AB的长度与向量BA的长度相等
B．向量a与b平行，则a与b的方向相同或相反
C．|a|＋|b|＝|a－b| a与b方向相反
D．若非零向量a与非零向量b的方向相同或相反，则a＋b与a，b之一的方向相同
⇔
解析：A正确，AB与BA是相反向量，长度相等；B，C错误，当a，b其中之一为0时，
不成立；D错误，当a＋b＝0时，不成立．故选BCD．
答案：BCD
题型 向量线性运算的多维研讨
维度1 向量加、减法的几何意义
典例2设非零向量a，b满足 | a ＋ b | ＝ | a － b |，则( )
两对角线的长相等的平行四边形是什么图形？
A．a⊥b B．|a|＝|b|C．a∥b D．|a|>|b|
解析：方法一：∵|a＋b|＝|a－b|，
∴|a＋b|2＝|a－b|2，∴a2＋b2＋2a·b＝a2＋b2－2a·b，∴a·b＝0，∴a⊥b.
方法二：在▱ABCD中，连接AC，BD(图略)，设AB＝a，AD＝b，由|a＋b|＝|a－b|知|
AC|＝|DB|，从而四边形ABCD为矩形，即AB⊥AD，故a⊥b.故选A．
向量加减的常用法则是平行四边形法则和三角形法则，一般共起点的向量求和用平行
四边形法则，求差用三角形法则，求首尾相连向量的和用三角形法则．
对点练 2(1)(2024·山东青岛二中月考)若|AB|＝|AC|＝|AB－AC|＝2，则|AB＋AC|＝
________.
(2)(2024·山东潍坊高三期末)如图所示，O为坐标原点，A，B，C，D，E，F，G是正
弦函数y＝sin x图象上的七个点，且在A，C两点函数值最大，在B，D两点函数值最小，
E，F，G是函数的图象与x轴的交点，则(OA＋OB)·(OC＋OD)＝________.
解析：(1)因为|AB|＝|AC|＝|AB－AC|＝2，所以△ABC是边长为2的正三角形，所以|AB
＋AC|为△ABC的边BC上的高的2倍，所以|AB＋AC|＝2.
(2)易知OA＋OB＝2OE，OC＋OD＝2OG，∴(OA＋OB)·(OC＋OD)＝4OE·OG＝4|OE|·|
OG|·cos 0＝12π2.
答案：(1)2 (2)12π2
维度2 向量的线性运算
典例3(多选)如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，AB⊥AD，AB＝2AD＝2CD，E是
BC边上一点，且BC＝3EC，F是AE的中点，则下列关系式正确的是( )
A． B C ＝－ A B ＋ A D
B． A F ＝ A B ＋ A D
C． B F ＝－ A B ＋ A D
D． C F ＝－ A B － A D
观察四个选项，以AB，AD为基底，先表示BC，进而得AE.
解析：因为 B C ＝ B A ＋ A D ＋ D C ＝－AB＋AD＋AB＝－AB＋AD，
多边形法则．
所以A正确；因为AF＝AE＝(AB＋BE)＝，而BC＝－AB＋AD，代入可得AF＝AB＋
AD，所以B正确；因为BF＝AF－AB，而AF＝AB＋AD，代入得BF＝－AB＋AD，所以C
不正确；因为 C F ＝ C D ＋ D A ＋ A F ＝由已知向量表示未知向量．
－AB－AD＋AF，而AF＝AB＋AD，代入得CF＝－AB－AD，所以D正确．
故选ABD．
向量线性运算的解题策略
(1)用几个基本向量表示某个向量问题的一般步骤：
①观察各向量的位置；②寻找相应的三角形或多边形；③运用法则找关系；④化简结
果．
(2)找出图形中的相等向量、共线向量，将所求向量与已知向量转化到同一个平行四边
形或三角形中求解．
(3)利用向量的线性运算求参数的步骤：先通过向量的线性运算用两个不共线的向量表
示有关向量，然后对比向量等式求出参数或建立方程(组)求解．
对点练3(1)(2024·河北质检)在△ABC中，O为△ABC的重心．若BO＝λAB＋μAC，则
λ－2μ＝( )
A．－ B．－1
C． D．－
(2)(2024·辽宁大连模拟)在△ABC中，AD＝2DB，AE＝2EC，P为线段DE上的动点，
若AP＝λAB＋μAC，λ，μ∈R，则λ＋μ＝( )
A．1 B．
C． D．2
解析：(1)如图，连接BO并延长交AC于点M，
∵点O为△ABC的重心，∴M为AC的中点，
∴BO＝BM＝＝－AB＋BC＝－AB＋(AC－AB)＝－AB＋AC，又知BO＝λAB＋μAC，
∴λ＝－，μ＝，∴λ－2μ＝－－2×＝－，故选D．
(2)如图所示，由题意知，AE＝AC，AD＝AB，设DP＝xDE，所以AP＝AD＋DP＝AD
＋xDE＝AD＋x(AE－AD)＝xAE＋(1－x)AD＝xAC＋(1－x)AB，所以μ＝x，λ＝(1－x)，所以
λ＋μ＝x＋(1－x)＝.故选B．
答案：(1)D (2)B
题型 共线向量定理应用的多维研讨
维度1 利用共线向量定理求参数的值
典例4已知a，b是两个不共线的向量，向量b－ta，a－b共线，求实数t的值．解：由a，b不共线，易知向量a－b为非零向量． 由向量 b － t a ， a － b 共线，可知存在
实数 λ ，使得 b － t a ＝ λ ，
共线向量定理．
即 a ＝ b . 由 a ， b 不共线，必有 t ＋ λ ＝ λ ＋ 1 ＝ 0 .
a，b不共线，但两式相等，只有一种可能，即系数都是0.
否则，不妨设t＋λ≠0，则a＝b.由两个向量共线的充要条件知，a，b共线，与已知矛
盾．所以由解得t＝.
因此，当向量 b － t a ， a － b 共线时， t ＝ .
另一种计算，以a，b为基底的条件下，两向量共线⇔系数对应成比例．
向量共线的两种情况
对点练4(2024·河南郑州模拟)如图，在△ABC中，N为线段AC上靠近点A的三等分点，
点P在线段BN上且AP＝AB＋BC，则实数m的值为( )
A．1 B．
C． D．
解析：AP＝AB＋BC＝AB＋(AC－AB)＝mAB＋AC，
设BP＝λBN(0≤λ≤1)，
则AP＝AB＋λBN＝AB＋λ(AN－AB)＝(1－λ)AB＋λAN，
因为AN＝AC，
所以AP＝(1－λ)AB＋λAC，
则 解得 故选D．
答案：D
维度2 三点共线问题
典例5已知O，A，B是不共线的三点，且OP＝mOA＋nOB(m，n∈R)．
(1)若m＋n＝1，求证：A，P，B三点共线；
(2)若A，P，B三点共线，求证：m＋n＝1.
证明：(1)若m＋n＝1，则OP＝mOA＋(1－m)OB＝OB＋m(OA－OB)，
∴OP－OB＝m(OA－OB)，
即 BP ＝ m BA ， ∴ BP 与 B A 共线 ．
由线性运算，最终转化为三个点形成的两个向量的线性关系．
又∵BP与BA有公共点B，∴A，P，B三点共线．(2) 若 A ， P ， B 三点共线，则存在实数 λ ，使 B P ＝ λ BA ，
转化为两个向量的线性关系，引入参数λ.
∴ O P － O B ＝ λ ( O A － O B ) ．
把BP和BA写成以O为始点的向量的形式．
又OP＝mOA＋nOB，
故有mOA＋(n－1)OB＝λOA－λOB，
即(m－λ)OA＋(n＋λ－1)OB＝0.
∵O，A，B三点不共线，∴OA，OB不共线，
∴∴m＋n＝1.
1．三点共线问题可转化为向量共线问题来解决，但应注意向量共线与三点共线的区别
与联系，当两向量共线且有公共点时，才能得出三点共线．根据A，B，C三点共线求参数
问题，只需将问题转化为AC＝λAB，再利用对应系数相等列出方程(组)，进而解出系数．
2．三点共线的一个常用结论： A ， B ， C 三点共线 ⇔ 存在实数 λ ， μ 对平面内任意一点
O ( O 不在直线 BC 上 ) 满足 OA ＝ λ OB ＋ μ OC ( λ ＋ μ ＝ 1) ．
此命题其实是充要条件的问题.
对点练5(2024·河北百校联盟联考)已知在△ABC中，点D满足2BD＋CD＝0，过点D
的直线l与直线AB，AC分别交于点M，N，设AM＝λAB，AN＝μAC.若λ>0，μ>0，则λ＋
μ的最小值为________．
解析：连接AD(图略)．因为2BD＋CD＝0，所以BD＝BC，AD＝AB＋BD＝AB＋BC
＝AB＋(AC－AB)＝AB＋AC.因为D，M，N三点共线，所以存在x∈R，使AD＝xAM＋(1
－x)AN，则AD＝xλAB＋(1－x)μAC，根据对应系数相等，得xλ＝，(1－x)μ＝，所以x＝，
1－x＝，则＋＝1，所以λ＋μ＝(λ＋μ)·＝≥＝，当且仅当λ＝μ时等号成立，所以λ＋μ的最
小值为.
答案：
