文档内容
期中检测卷 03
姓名：__________________ 班级：______________ 得分：_________________
注意事项：
本试卷满分150分，考试时间120分钟，试题共22题．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自
己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置．
一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题
目要求的．
1.已知向量 ＝（x，2）， ＝（1，﹣1），且 ∥ ，则 • ＝（ ）
A．4 B．2 C．0 D．﹣4
【答案】D
【分析】根据 ∥ 即可求出x值，从而可得出 的坐标，进而可求出 的值．
【解答】解：∵ ∥ ，
∴﹣x﹣2＝0，解得x＝﹣2，
∴ ， ．
故选：D．
【知识点】平面向量共线（平行）的坐标表示、平面向量数量积的性质及其运算
2.已知复数z＝（2+i）i，其中i为虚数单位，则下列说法中，错误的是（ ）
A．|z|＜3
B．z的虚部为2
C．z的共扼复数为2i+1
D．z在复平面内对应的点在第二象限
【答案】C
【分析】化简复数z，求出模长|z|、虚部，写出共轭复数和z＝﹣1+2i对应的点坐标即可．
【解答】解：复数z＝（2+i）i，则|z|＝|2+i|•|i|＝ ＜3，A正确；
z＝（2+i）i＝﹣1+2i，其虚部为2，B正确；
z的共轭复数为 ＝﹣1﹣2i，所以C错误；
z＝﹣1+2i对应的点为（﹣1，﹣2），在第二象限，D正确；
故选：C．【知识点】复数的模
3.如图，在平行四边形ABCD中，E是BC的中点，F是线段AE上靠近点A的三等分点，则 ＝（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】利用平面向量的基本定理，用 和 线性表示 向量即可．
【解答】解：由可知， ＝﹣ ＝﹣ ＝﹣ + + ＝ ，
故选：C．
【知识点】平面向量的基本定理、向量数乘和线性运算
4.已知M是△ABC内的一点，且 • ＝4 ，∠BAC＝30°，若△MBC，△MCA和△MAB的面积分别为
1，x，y，则 的最小值是（ ）
A．12 B．14 C．16 D．18
【答案】C
【分析】利用平面向量的数量积运算求得bc的值，根据三角形的面积公式求得x+y的值，再利用1的代换，
结合基本不等式求得 的最小值．
【解答】解：在△ABC中，设角A，B，C所对的边分别为a，b，c，
∵ • ＝4 ，∠BAC＝30°，
∴cbcos30°＝4 ，∴bc＝8，
∴S ＝ bcsin30°＝ ×8× ＝2，
△ABC
∴1+x+y＝2，即x+y＝1，且x＞0，y＞0，
∴ ＝（ ）（x+y）＝10+ + ≥10+2 ＝10+6＝16，
当且仅当 ＝ ，即y＝3x＝ 时取等号，∴ 的最小值是16．
故选：C．
【知识点】平面向量数量积的性质及其运算
5.定义复数的一种运算z*z ＝ （等式右边为普通运算），若复数z＝a+bi，且正实数a，b满
1 2
足a+b＝3，则z* 最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】先由新定义用a和b表示出z* ，再利用基本不等式求最值即可．
【解答】解：z* ＝
，∴ ，
z* ＝ ．
故选：B．
【知识点】基本不等式及其应用、虚数单位i、复数
6.如图，在三棱锥S﹣ABC中，SA⊥平面ABC，AB＝BC＝4，∠ABC＝90°，侧棱SB与平面ABC所成的角
为45°，M为AC的中点，N是侧棱SC上一动点，当△BMN的面积最小时，异面直线SB与MN所成角
的余弦值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D【分析】推导出△ABC为等腰直角三角形，BM⊥AC，SA⊥BM，从而BM⊥平面SAC，BM⊥MN，当MN
最小时，△BMN 的面积最小，此时 MN⊥SC，过 S 作 SE⊥SC，交 CA 的延长线于点 E，则
SE∥MN，连接BE，则∠BSE为异面直线SB与MN所成的角或其补角．由此能求出异面直线SB
与MN所成角的余弦值．
【 解 答 】 解 ： 由 题 意 知 △ ABC 为 等 腰 直 角 三 角 形 ，
因为M为AC的中点，所以BM⊥AC．
又SA⊥平面ABC，所以SA⊥BM，所以BM⊥平面SAC，所以BM⊥MN，
故△BMN的面积 ．
由题意知 ，所以 ，所以 ，
当MN最小时，△BMN的面积最小，此时MN⊥SC．
当MN⊥SC时，过S作SE⊥SC，交CA的延长线于点E，则SE∥MN，
连接BE，则∠BSE为异面直线SB与MN所成的角或其补角．
因为SA⊥平面ABC，所以∠SBA为直线SB与平面ABC所成的角，
所以∠SBA＝45°，所以SA＝AB＝4，所以 ， ．
又 ，所以 ，所以 ， ，
在Rt△EMB中，由题意知 ，
所以由余弦定理得：
＝ ＝ ，
故当△BMN的面积最小时，异面直线SB与MN所成角的余弦值为 ．
故选：D．
【知识点】异面直线及其所成的角7.在正方体AC 中，E，F分别是线段BC，CD 的中点，则直线AB与直线EF的位置关系是（ ）
1 1 1
A．相交 B．异面 C．平行 D．垂直
【答案】A
【分析】直线AB与直线外一点E确定的平面为ABCD ，EF 平面ABCD ，且两直线不平行，故两直线相
1 1 1 1
交，可得结论．
⊂
【解答】解：如图，在正方体AC 中：
1
∵AB∥DC
1 1
∴AB与DC可以确定平面ABCD ，
1 1 1 1
又∵EF 平面ABCD ，且两直线不平行，
1 1
∴直线AB与直线EF的位置关系是相交，
1
⊂
故选：A．
【知识点】空间中直线与直线之间的位置关系
8.如图所示，一个水平放置的平面图形的斜二测直观图是等腰梯形 OA'B'C'，且直观图OA'B'C'的面积为2，
则该平面图形的面积为（ ）
A．2 B．4 C．4 D．2
【答案】B
【分析】结合S ＝2 S ，可得答案．
原图 直观图
【解答】解：由已知直观图OA'B'C'的面积为2，
∴原来图形的面积S＝2×2 ＝4 ，
故选：B．
【知识点】斜二测法画直观图
二、多选题（本大题共4小题，每小题5分，选对得分，选错、少选不得分）9.如图，在平行四边形ABCD中，E，F分别为线段AD，CD的中点，AF∩CE＝G，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】AB
【分析】对于A：直接利用三角形法则的应用和线性运算的应用求出结果．
对于B：利用三角形法则的应用和线性运算的应用求出结果．
对于C：利用平行线分线段成比例和三角形法则和线性运算的应用求出结果．
对于D：直接利用平行线成比例的应用求出结果．
【解答】解：在平行四边形ABCD中，E，F分别为线段AD，CD的中点，AF∩CE＝G，
如图所示：
根据三角形法则：
对于A： ，故选项A正确．
对于B：E，F分别为线段AD，CD的中点，所以 ，故选项B正确．
对于C：过E作EH∥DC，所以 ，所以 ，故 ，整理得 ，
所以 ，即 ＝ ，故选项C错误．
对于D：根据平行线分线段成比例定理，点B、G、D共线， 故选项D错误．
故选：AB．
【知识点】平面向量的基本定理
10.△ABC是边长为2的等边三角形，已知向量 满足 ，则下列结论正确的是（
）A． 是单位向量 B．
C． D．
【答案】ABD
【分析】根据条件可求出 ，从而判断选项 A 正确；可得出 ，从而判断选项 B 正确；对
两边平方即可得出 ，从而判断选项 C 错误；根据前面，可以得出
，从而判断选项D正确．
【解答】解：A．∵ ，∴由 得， ，∴ 是单位向量，该选项正确；
B．∵ ，∴ ，该选项正确；
C. ，∴由 得， ，即 ，∴
，该选项错误；
D．∵ ，由上面得， ，∴ ，该
选项正确．
故选：ABD．
【知识点】数量积判断两个平面向量的垂直关系、平面向量数量积的性质及其运算
11.如图，在以下四个正方体中，直线AB与平面CDE垂直的是（ ）
A． B．C． D．
【答案】BD
【分析】对于 A，由∠BAD＝ ，CE∥AD，得直线 AB与平面 CDE 不垂直；对于 B，由 CE⊥AB，
DE⊥AB，得直线AB⊥平面CDE；对于C，由AB与CE所成角为 ，知直线AB与平面CDE不
垂直；对于D，推导出DE⊥AB，CE⊥AB，从而AB⊥平面CDE．
【解答】解：对于A，∵∠BAD＝ ，CE∥AD，∴AB与CE不垂直，
∵CE 平面CDE，∴直线AB与平面CDE不垂直，故A错误；
对于B，∵CE⊥AB，DE⊥AB，CE∩DE＝E，∴直线AB⊥平面CDE，故B正确；
⊂
对于C，AB与CE所成角为 ，∴直线AB与平面CDE不垂直，故C错误；
对于D，如图，∵DE⊥BF，DE⊥AF，BF∩AF＝F，∴DE⊥平面ABF，
∵AB 平面ABF，∴DE⊥AB，同理得CE⊥AB，
∵DE∩CE＝E，∴AB⊥平面CDE，故D正确．
⊂
故选：BD．
【知识点】直线与平面垂直
12.如图，在直三棱柱ABC﹣ABC 中，CC ＝ ，点M是棱AA 的中点，则下列说
1 1 1 1 1
法正确的是（ ）A．异面直线BC与BM所成的角为90°
1
B．在BC上存在点D，使MD∥平面ABC
1
C．二面角B﹣AC﹣B的大小为60°
1
D．BM⊥CM
1
【答案】ABC
【分析】选项A，连接MC ，易知BC∥BC ，故∠MB C 即为所求．由勾股定理可知AB⊥BC ，由三棱
1 1 1 1 1 1 1 1 1
柱的性质可知BB⊥BC ，再结合线面垂直的判定定理与性质定理即可证得可证得BC ⊥MB ，即
1 1 1 1 1 1
∠MB C ＝90°；
1 1
选项B，连接BC ，交BC于点D，连接MD，再取BC的中点E，连接DE、AE，易知四边形
1 1
AMDE为平行四边形，故MD∥AE，再由线面平行的判定定理即可得证；
选项C，取AC的中点N，连接BN、BN，则∠BNB 即为所求，在Rt△BNB 中，由三角函数
1 1 1
可求出tan∠BNB 的值，从而得解；
1
选项D，在△CMB 中，利用勾股定理分别算出CM、MB 和BC的长，判断其结果是否满足
1 1 1
≠ 即可．
【解答】解：选项A，连接MC ，由三棱柱的性质可知，BC∥BC ，
1 1 1
∴∠MB C 即为异面直线BC与BM．
1 1 1
∵AB＝BC＝2，AC＝ ，∴∠ABC＝∠ABC ＝90°，即AB⊥BC ，
1 1 1 1 1 1 1
由直三棱柱的性质可知，BB⊥平面ABC ，
1 1 1 1
∵BC 平面ABC ，∴BB⊥BC ，
1 1 1 1 1 1 1 1
又AB⊂∩BB＝B，AB、BB 平面ABBA，∴BC ⊥平面ABBA ，
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
∴BC ⊥MB ，即∠MB C ＝9⊂0°，∴选项A正确；
1 1 1 1 1选项 B，连接 BC ，交 BC 于点 D，连接 MD，再取 BC 的中点 E，连接 DE、AE，则
1 1
DE∥AM，DE＝AM，
∴四边形AMDE为平行四边形，∴MD∥AE，
∵MD 平面ABC，AE 平面ABC，∴MD∥平面ABC，即选项B正确；
选项C，取AC的中点N，连接BN、BN，
1
⊄ ⊂
∵BB⊥平面ABC，∴∠BNB 即为二面角B﹣AC﹣B的平面角．
1 1 1
在Rt△BNB 中，BB ＝ ，BN＝ AB＝ ，∴tan∠BNB ＝ ＝ ，∴∠BNB ＝60°，
1 1 1 1
即选项C正确；
选项 D，在△CMB 中，CM2＝AC2+AM2＝ ， ＝ + ＝ ， ＝
1
＝10，
显然 ≠ ，即BM与CM不垂直，∴选项D错误．
1
故选：ABC．
【知识点】二面角的平面角及求法、直线与平面所成的角、直线与平面垂直
三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在横线上）13.已知向量 ＝（﹣1，2）， ＝（2m﹣1，1），且 ⊥ ，则| ﹣2 |＝ ．
【答案】5
【分析】通过向量垂直，数量积为0，求出m，然后利用向量的模的运算法则求解即可．
【解答】解：向量 ＝（﹣1，2）， ＝（2m﹣1，1），且 ⊥ ，
可得 ＝0，即﹣（﹣2m﹣1）+2＝0，解得m＝ ，所以 ＝（2，1）， ＝（﹣5，
0），
所以| ﹣2 |＝5．
故答案为：5．
【知识点】平面向量数量积的性质及其运算
14.已知复数集合A＝{x+yi||x|≤1，|y|≤1，x，y R}， ，其中i为虚数
单位，若复数z A∩B，则z对应的点Z在复∈平面内所形成图形的面积为
∈
【答案】7
2
【分析】集合A＝{x+yi||x|≤1，|y|≤1，x，y R）在复平面内所形成的图形为正方形ABCD内包括边界，
∈
z＝ （1+i）z＝ （cos +isin ）z 对应的点在复平面内形成的图象为正方形PQRS，
2 1 1
再用正方形PQRS的面积减去4个等腰直角三角形的面积可得．
【解答】解：集合A＝{x+yi||x|≤1，|y|≤1，x，y R）在复平面内所形成的图形为正方形ABCD内包括边界，
∈
z ＝ （1+i）z ＝ （cos +isin ）z 对应的点在复平面内形成的图象为正方形PQRS，
2 1 1
如图：所以所求图形的面积为 ﹣4× ＝ ﹣1＝ ，
故答案为：
【知识点】复数的代数表示法及其几何意义
15.正五角星是一个与黄金分割有着密切联系的优美集合图形，在如图所示的正五角星中，A，B，C，D，
E是正五边形的五个顶点，且 ＝ ，若 ＝ ，则 + ＝ （用 表示）．
【分析】根据 可得出 ，进而得出 ，并且 ， ，从而可用
表示出 ．
【解答】解：∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ＝ ．故答案为： ．
【知识点】向量数乘和线性运算
16.如图，平面ABC⊥平面BCDE，四边形BCDE为矩形，BE＝2，BC＝4，△ABC的面积为2 ，点P为
线段DE上一点，当三棱锥P﹣ACE的体积为 时， ＝ ．
【分析】过A作AF⊥BC的延长线，垂足为F，证明AF⊥平面BCDE，再由已知求得AF，进一步求出三棱
锥D﹣ACE的体积，利用 求得 ，进一步得到答案．
【解答】解：如图，过A作AF⊥BC的延长线，垂足为F，
∵平面ABC⊥平面BCDE，平面ABC∩平面BCDE＝BC，
∴AF⊥平面BCDE，
由BE＝2，BC＝4，△ABC的面积为 ，得 ，
∴AF＝ ，
则 ＝ 4×2× ；
∵ ＝ ．
∴ ，则 ．
故答案为： ．【知识点】棱柱、棱锥、棱台的体积
四、解答题（本大题共6小题，共70分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程
或演算步骤）
17.设A，B，C，D为平面直角坐标系中的四点，且A（2，﹣2），B（4，1），C（1，3）．
（1）若 ＝ ，求D点的坐标及| |；
（2）设向量 ＝ ， ＝ ，若k ﹣ 与 +3 平行，求实数k的值．
【分析】（1）可设D（x，y），然后根据 即可得出D（3，6），进而可得出向量 的坐标，进而
求出 的值；
（2）可求出 ， ，然后根据 与 平行即可求
出k的值．
【解答】解：（1）设D（x，y），则 ，且 ， ，
∴（2，3）＝（x﹣1，y﹣3），
∴ ，解得 ，
∴D（3，6）， ，
∴ ；
（2） ，∴ ， ，且 与 平行，
∴9（2k+3）+7（3k﹣2）＝0，解得 ．
【知识点】平行向量（共线）、平面向量共线（平行）的坐标表示
18.已知z C，z+2i 和 都是实数．
（1）求复∈数z；
（2）若复数（z+ai）2 在复平面上对应的点在第四象限，求实数a 的取值范围．
【分析】（1）化简等式，利用复数为实数的条件求出a，b的值，即得复数z．
（2）化简式子，利用复数与复平面内对应点之间的关系列出不等式组，解不等式组求得实数
a 的取值范围．
【解答】解：（1）设z＝a+bi（a，b R），则z+2i＝a+（b+2）i，
∈
，
∵z+2i 和 都是实数，∴ ，解得 ，∴z＝4﹣2i．
（2）由（1）知z＝4﹣2i，∴（z+ai）2＝[4+（a﹣2）i]2＝16﹣（a﹣2）2+8（a﹣2）i，
∵（z+ai）2 在复平面上对应的点在第四象限，∴ ，
即 ，∴ ，∴﹣2＜a＜2，即实数a 的取值范围是（﹣2，2）．
【知识点】虚数单位i、复数、复数的代数表示法及其几何意义
19.已知集合A＝{z||z|≤1}，
（1）求集合A中复数z＝x+yi所对应的复平面内动点坐标（x，y）满足的关系？并在复平面内画出图形．
（2）若z A，求|z﹣（1+i）|的最大值、最小值，并求此时的复数z
（3）若B∈＝{z||z﹣ai|≤2}，且A B，求实数a的取值范围．
⊆
【分析】（1）直接利用复数的模，求解复数z＝x+yi所对应的复平面内动点坐标（x，y）满足的关系，并
在复平面内画出图形单位圆即可．
（2）若z A，求z取值时，画出图形，即可求出|z﹣（1+i）|的最大值、最小值．
（3）利用B＝{z||z﹣ai|≤2}的几何意义，画出图象即可得到满足A B时实数a的取值范围．
∈
【解答】解：（1）集合A＝{z||z|≤1}，z＝x+yi，
⊆
∴x2+y2≤1
（2）|z﹣（1+i）|的几何意义是圆上的点到（1，1）点的距离，如图：当z＝ ，|z﹣（1+i）|最小值＝ ．
当z＝ ，|z﹣（1+i）|最大值＝ ．
（3）B＝{z||z﹣ai|≤2}，的几何意义是，复平面内的点与（0，a）的距离小于等于2，A B，
则满足如图所示的情况，即﹣1≤a≤1时，成立．
⊆
【知识点】集合的包含关系判断及应用、复数的模
20.如图，已知图1中△ABC是等腰三角形，AC＝BC，D，E分别是AC，BC的中点，沿着DE把△CDE折
起到△C′DE，使得平面C′DE⊥平面BADE，图2中AD＝ ，AB＝4，F为BC′的中点，连接
EF．
（Ⅰ）求证：EF∥平面AC′D；
（Ⅱ）求四棱锥C′﹣ABED的侧面积．
【分析】（Ⅰ）由中位线以及线面平行判定定理即可证明；
（Ⅱ）由线面垂直、面面垂直即可求解．
【解答】（Ⅰ）证明：取AC′中点G，连接DG，FG，由点F、G分别是BC′，AC′的中点，
得GF∥AB，GF＝ AB，
又DE∥AB，DE＝ AB．
所以四边形DEFG是平行四边形，
所以DG∥EF，且EF 平面AC′D，
DG 平面AC′D，
⊄
所以EF∥平面AC′D；
⊂
（Ⅱ）因为△ABC是等腰三角形，AC＝BC，AD＝ ，AB＝4，
所以∠ACB＝90°，
所以△ABC是等腰直角三角形，且AC＝BC＝2 ．
分别取DE、AB的中点H、I，
连接C′H，HI，C′I，从而有C′H⊥DE．
又因为平面C′DE⊥平面BADE，平面C′DE∩平面BADE＝DE，
所以C′H⊥平面BADE，
又HI 平面BADE，所以C′H⊥HI，
在△C′HI中，C′H＝HI＝1，∴ ，
⊂
又翻折后，C′A＝C′B，在△C′IA中， ，
∴四棱锥C′﹣ABED的侧面积为：
+ ＝1+ ．
【知识点】棱柱、棱锥、棱台的侧面积和表面积、直线与平面平行
21.现有一块长方形钢板ABCD（如图），其中AB＝4米，AD＝6米，运输途中不慎将四边形AEPF部分损
坏，经测量AE＝1.5米，AF＝3米，tan∠AEP＝4，∠AFP＝45°．现过点P沿直线MN将破损部分切去
（M，N分别在AB，AD上），设DN＝t米．
（1）请将切去的△AMN的面积表示为t的函数f（t）；
（2）当DN的长度为多少时，切去的△AMN面积最小？并求出最小面积．【分析】（1）计算P到AB，AD的距离，根据相似比求出AM，得出三角形AMN的面积；
（2）利用基本不等式即可得出f（t）的最小值及其对应的t的值．
【解答】解：（1）过P分别向AD，AB作垂线，垂足分别为G，H，则四边形AGPH为矩形，△PGF为等
腰直角三角形，
设PG＝x，则GF＝x，PH＝AG＝AF﹣FG＝3﹣x，HE＝AE﹣AH＝1.5﹣x，
∴tan∠AEP＝ ＝ ＝4，解得x＝1．
∴AG＝2，NG＝4﹣t，
由△NPG∽△NMA可得 ，即 ，
∴AM＝ ，
∴f（t）＝ •（6﹣t）＝ （0≤t≤3）．
（2）f（t）＝ ＝ + +2≥2 +2＝4，
当且仅当 ＝ 即t＝2时取等号．
故当DN＝2m时，切去的△AMN面积最小，最小面积为4m2．
【知识点】解三角形
22.已知在平行四边形ABCD中，AD＝2，AB＝ ，∠ADC＝ ，如图，DE∥CF，且DE＝3，CF＝4，
∠DCF＝ ，且平面ABCD⊥平面CDEF．（Ⅰ）求证：AC⊥平面CDEF；
（Ⅱ）求四棱锥F﹣ABCD的体积．
【分析】（Ⅰ）利用余弦定理及勾股定理证出线线垂直，再利用面面垂直的性质得证；
（Ⅱ）证明CF⊥平面ABCD，即为四棱锥的高，再利用体积公式即可求解．
【解答】解：（Ⅰ）证明：由题知在△ACD中， ，
则由余弦定理得AC2＝AD2+CD2﹣2AD•CD•cos∠ADC＝ ，
则AC2+CD2＝AD2，
∴AC⊥CD，
又∵平面ABCD⊥平面CDEF，平面ABCD∩平面CDEF＝CD，AC 平面ABCD，
∴AC⊥平面CDEF；
⊂
（Ⅱ）由于平面ABCD⊥平面CDEF，又 ，且CF 平面CDEF，平面ABCD∩平面
CDEF＝CD，
⊂
∴CF⊥平面ABCD，
∵ ，
∴四棱锥F﹣ABCD的体积为 ．
【知识点】直线与平面垂直、棱柱、棱锥、棱台的体积
