文档内容
第 05 讲 空间向量及其应用
目录
01 模拟基础练......................................................................................................................................2
题型一：空间向量的加法、减法、数乘运算....................................................................................2
题型二：空间共线向量定理的应用....................................................................................................3
题型三：空间向量的数量积运算........................................................................................................3
题型四：三点共线问题........................................................................................................................4
题型五：多点共面问题........................................................................................................................5
题型六：证明直线和直线平行............................................................................................................6
题型七：证明直线和平面平行............................................................................................................7
题型八：证明平面与平面平行............................................................................................................8
题型九：证明直线与直线垂直............................................................................................................9
题型十：证明直线与平面垂直..........................................................................................................11
题型十一：证明平面和平面垂直......................................................................................................12
题型十二：求两异面直线所成角......................................................................................................13
题型十三：求直线与平面所成角......................................................................................................14
题型十四：求平面与平面所成角......................................................................................................15
题型十五：求点面距、线面距、面面距..........................................................................................17
题型十六：点到直线距离、异面直线的距离..................................................................................19
02 重难创新练....................................................................................................................................20
03 真题实战练....................................................................................................................................25题型一：空间向量的加法、减法、数乘运算
1．如图，已知空间四边形 ，M，N分别是边OA，BC的中点，点 满足 ，设 ，
， ，则 （ ）
A． B． C． D．
2．如图，在四面体 中， 是 的重心， 是 上的一点，且 ，若
，则 为（ ）
A． B．
C． D．
3．（2024·高三·山东临沂·期末）正方体 中，M是棱 的中点．记 ， ，
， 用 ， ， 表示为（ ）
A． B．C． D．
4．（2024·高三·浙江·开学考试）在平行六面体 中， 为 的中点， 为 的中点，
，则 （ ）
A． B．
C． D．
题型二：空间共线向量定理的应用
5．如图，在三棱柱 中， 为空间一点，且满足 ， ，则下列说法
错误的是（ ）
A．当 时，点 在棱 上
B．当 时，点 在线段 上
C．当 时，点 在棱 上
D．当 时，点 在线段 上
6．（2024·河北·模拟预测）在空间直角坐标系中， ，若 三点共线，
则 .
7．（2024·高三·上海·期中）已知向量 ， ，若 ，则 的值为 ．
8．已知 ， ，且 ，则 （ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
题型三：空间向量的数量积运算
9．空间向量 在 上的投影向量为（ ）A． B． C． D．
10．如图，在正三棱柱 中， ，P为 的中点，则 （ ）
A． B．1 C． D．
11．（多选题）已知空间向量 ， ，下列说法正确的是（ ）
A．若 ，则
B．若 ，则
C．若 在 上的投影向量为 ，则
D．若 与 夹角为锐角，则
12．已知向量 ，若 ，则 ．
题型四：三点共线问题
13．如图所示，在正方体 中，点 在 上，且 ，点 在体对角线 上，
且 ．求证： ， ， 三点共线．14．在长方体 中，M为 的中点，N在AC上，且 ，E为BM的中点.求证：
，E，N三点共线.
15．如图，在平行六面体 中， ， ．
(1)求证： 、 、 三点共线；
(2)若点 是平行四边形 的中心，求证： 、 、 三点共线．
题型五：多点共面问题
16．（2024·全国·模拟预测）如图，在正三棱柱 中， ， ， 是 的中点，
，点 在 上，且 ．
是否存在实数 ，使 四点共面？若存在，求 的值；若不存在，请说明理由；17．已知 ，若 三向量共面，则 等于（ ）
A． B．9 C． D．
18．已知 ， ， ，若 ， ， 三向量不能构成空间的一个基底，则实数
的值为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
19．已知 ， ， ，若 ， ， 三向量共面，则实数 等于（ ）
A． B． C． D．
20．已知 三点不共线，对平面 外的任一点O，下列条件中能确定点 共面的是（ ）
A． B．
C． D．
21．（2024·高三·四川成都·开学考试）在四棱柱 中， ，
．
(1)当 时，试用 表示 ；
(2)证明： 四点共面；
题型六：证明直线和直线平行
22．如图，已知四棱台 的上、下底面分别是边长为2和4的正方形， ，且 底面 ，点 满足 ，点 是棱 上的一个点(包括端点)．
(1)求证： ；
题型七：证明直线和平面平行
23．如图，在四棱台 中，底面ABCD是边长为2的正方形， 平面ABCD，
， ，P为AB的中点.
求证： 平面 ；
24．（2024·广西柳州·模拟预测）如图，在棱长为1的正方体 中，E为 的中点，F为
AB的中点．求证： 平面 ；
25．（2024·天津河北·二模）如图，四棱锥 中，侧棱 平面 ，点 是 的中点，底
面 是直角梯形， .
(1)求证： 平面 ；
题型八：证明平面与平面平行
26．如图，在直四棱柱 中，底面 为等腰梯形， ， ， ，
， 是棱 的中点．求证：平面 平面 .
27．在正方体 中， 分别是 的中点，试建立适当的空间直角坐标系，
求证：平面 平面 .28．如图，在直三棱柱 中， ， ， ，点E在线段 上，且 ，
分别为 、 、 的中点.求证：
(1)平面 平面 ；
(2)平面 平面 .
题型九：证明直线与直线垂直
29．已知三棱锥 中， 平面 ， ， ， 为 上一点且满足
， ， 分别为 ， 的中点．求证： ；
30．如图，在三棱柱 中， 平面 分别是
的中点．求证： ．
31．如图，在四棱锥 中，底面 是矩形，平面 平面 是 的中点，
.
(1)求证： .
(2)若㫒面直线 与 所成的角为 ，求四棱锥 的体积.题型十：证明直线与平面垂直
32．如图所示，在四棱锥 中，底面 是矩形， 底面 ， ， ，
是 的中点，作 交 于点 ，且 ．求证： 平面 ；
33．如图，在棱长为 的正方体 中， 为 的中点， 为 的中点， 为 中点．
求证： 平面 ．
34．如图，在长方体 中， ，点 分别为棱 的中点，求证：
平面 ；题型十一：证明平面和平面垂直
35．如图，四棱锥 中，底面 为直角梯形， ， ， 平面 ，
， ， 为 的中点．
求证：平面 平面 ；
36．（204·广东深圳·统考模拟预测）在正方体 中，如图 、 分别是 ， 的中点．
(1)求证：平面 平面 ；37．已知在直三棱柱 中，其中 为 的中点，点 是 上靠近
的四等分点， 与底面 所成角的余弦值为 ．
(1)求证：平面 平面 ；
题型十二：求两异面直线所成角
38．已知正方体 的棱长为1，点 在线段 上，若直线 与 所成角的余弦值为 ，
则线段 的长为（ ）
A． B． C． D．
39．（2024·辽宁·一模）如图，四边形 是正方形， 平面 ，且 ， 是线段
的中点，则异面直线 与 所成角的正切值为 .
40．（2024·高三·江苏扬州·期中）如图，直三棱柱ABC－ABC 中，BA＝BC＝BB＝1，BA BC
1 1 1 1
⊥(1)记平面 平面 ，证明： 平面 ；
(2)点Q是直线 上的点，若直线 与 所成角的余弦值为 ，求线段 长.
题型十三：求直线与平面所成角
41．（2024·辽宁沈阳·模拟预测）如图，直线 垂直于梯形 所在的平面， ，
为线段 的中点， ， ，四边形 为矩形.
(1)求证： 平面 ；
(2)求直线 与平面 所成角的正弦值.
42．（2024·高三·广东汕头·开学考试） 在四棱锥 中， ， ，
，点 为 的中点.(1)证明： 平面 ；
(2)若平面 平面 ，且 ，求直线 与平面 所成角的正弦值.
43．（2024·陕西西安·模拟预测）如图，在直三棱柱 中， 是 上的点，且 平面 ．
(1)求证： 平面 ；
(2)若 ， ， ， 是棱 上的点，且直线 与平面 所成角的正弦值为 ，
试确定 点的位置．
题型十四：求平面与平面所成角
44．（2024·四川乐山·三模）如图，平行六面体 中，底面 是边长为2的菱形，且
， 与平面 所成的角为 与 交于 ．
(1)证明： 平面 ；(2)求二面角 的正弦值．
45．（2024·四川·模拟预测）如图，多面体 中，已知面 是边长为4的正方形， 是等
边三角形， ， ，平面 平面 ．
(1)求证： ；
(2)求二面角 的大小．
46．（2024·河南周口·模拟预测）如图，平行六面体 中，底面 与平面 都是
边长为2的菱形， ，侧面 的面积为 .
(1)求平行六面体 的体积；
(2)求平面 与平面 的夹角的余弦值.
47．（2024·福建龙岩·三模）如图，在四棱台 中，底面四边形ABCD为菱形，
平面ABCD.(1)证明： ；
(2)若M是棱BC上的点，且满足 ，求二面角 的余弦值.
题型十五：求点面距、线面距、面面距
48．如图1，在等腰直角三角形ABC中， ， ，D，E分别是AC，AB上的点，
，O为BC的中点．将△ADE沿DE折起，得到如图2所示的四棱锥 ，其中
．
(1)求证： ；
(2)求点B到平面 的距离．
49．如图所示的多面体是底面为ABCD的长方体被平面 所截而得的，其中 ， ，
， .（1）求点C到平面 的距离；
（2）设过点 平行于平面 的平面为 ，求平面 与平面 之间的距离.
50．（2024·安徽合肥·模拟预测）如图，直四棱柱 各棱长均为2， ，O是线段
BD的中点．
(1)求点O到平面 的距离；
(2)求直线AB与平面 所成角的正弦值．
51．（2024·福建福州·一模）如图，四边形ABCD是圆柱OE的轴截面，点F在底面圆O上，圆O的半径
为1， ，点G是线段BF的中点．(1)证明： 平面DAF；
(2)若直线DF与圆柱底面所成角为45°，求点G到平面DEF的距离．
题型十六：点到直线距离、异面直线的距离
52．（2024·江苏无锡·模拟预测）如图，在棱长为 的正方体 中，点 在棱 上，且
．
(1)求四棱锥 的表面积
(2)若点 在棱 上，且 到平面 的距离为 ，求点 到直线 的距离．
53．（2024·辽宁·一模）已知空间中的三个点 ，则点 到直线 的距离为
．
54．（2024·安徽合肥·一模）棱长为1的正方体 如图所示， 分别为直线 上的动
点，则线段 长度的最小值为 ．55．四棱锥 中， 的中点分别为 ，底面正方形的边长为 ，
求 与 间的距离．
1．（2024·江西新余·模拟预测）已知 ，直线 过原点且平行于 ，则 到 的距离为
（ ）.
A． B．1 C． D．
2．（2024·山东济南·三模）如图所示，正方体 的棱长为1，点 分别为
的中点，则下列说法正确的是（ ）
A．直线 与直线 垂直 B．直线 与平面 平行
C．三棱锥 的体积为 D．直线BC与平面 所成的角为
3．（2024·浙江·模拟预测）边长为1的正方体 中， ， 分别是 ， 中点， 是
靠近 的四等分点， 在正方体内部或表面， ，则 的最大值是（ ）A．1 B． C． D．
4．（2024·陕西·模拟预测）在平行六面体 中，已知 ，
，则下列选项中错误的一项是（ ）
A．直线 与BD所成的角为90°
B．线段 的长度为
C．直线 与 所成的角为90°
D．直线 与平面ABCD所成角的正弦值为
5．已知向量 ， ，向量 在向量 上的投影向量为（ ）．
A． B．
C． D．
6．（2024·山东菏泽·二模）如图，在正方体 中， ，则下列结
论中正确的是（ ）
A． 平面 B．平面 平面
C． 平面 D．平面 内存在与 平行的直线
7．定义一个集合 ，集合中的元素是空间内的点集，任取 ，存在不全为0的实数 ，使
得 ．已知 ，则 的充分条件是（ ）A． B．
C． D．
8．（2024·河南信阳·模拟预测）如图，在棱长为 的正方体 中， 与平面 交于
点 ，与平面 交于点 ，点 分别在线段 上运动，则线段 的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
9．（多选题）（2024·河南·模拟预测）如图，在底面为等边三角形的直三棱柱 中， ，
， ， 分别为棱 ， 的中点，则（ ）
A． 平面
B．
C．异面直线 与 所成角的余弦值为
D．平面 与平面 的夹角的正切值为
10．（多选题）（2024·山东淄博·二模）如图，在平行六面体ABCD﹣ABC D 中，以顶点A为端点的三条
1 1 1 1
棱长都是1，且它们彼此的夹角都是 ，M为AC 与BD 的交点．若 ， ， ，则下列
1 1 1 1
说法正确的是（ ）A． B．
C． D．
11．（多选题）（2024·河北·模拟预测）已知正方体 为 中点， 为BC中点，则
（ ）
A．直线PD与直线 平行 B．直线 与直线 垂直
C．直线PQ与直线 相交 D．直线PQ与直线 异面
12．（2024·江苏苏州·模拟预测）空间内四点 ， ， ，D可以构成正四面体，则点
D的坐标是 ．
13．（2024·江苏苏州·模拟预测）在平面直角坐标系 中，设 ，若沿直线
把平面直角坐标系折成大小为 的二面角后， ，则 的余弦值为 ．
14．（2024·高三·广东深圳·期中）在长方体 中， ，点 为侧面
内一动点，且满足 平面 ，则 的最小值为 ，此时点 到直线 的距离
为 .
15．（2024·天津蓟州·模拟预测）如图，在四棱锥 中，已知棱 两两垂直，长度分别为
1，2，2，若 ，且向量 与 夹角的余弦值为 .
(1)求实数 值；
(2)求直线 与平面 所成角的正弦值；
(3)求平面 与平面 夹角的余弦值.16．（2024·河北·模拟预测）如图，四棱锥 中，平面 平面
， ．设
中点为 ，过点 的平面 同时垂直于平面 与平面 ．
(1)求
(2)求平面 与平面 夹角的正弦值；
(3)求平面 截四棱锥 所得多边形的周长．
17．（2024·山东淄博·二模）已知直角梯形 ， ， ， ，
为对角线 与BD的交点．现以 为折痕把 折起，使点 到达点 的位置，点 为 的中点，
如图所示：
(1)证明： 平面PBM；
(2)求三棱锥 体积的最大值；
(3)当三棱锥 的体积最大时，求直线AB与平面 所成角的正弦值．
18．（2024·黑龙江牡丹江·一模）如图，在四棱锥 中， 平面 ， ， ，
， 为 的中点，点 在 上，且 ．(1)求证： 平面 ；
(2)求平面 与平面 夹角的余弦值．
(3)设点 在 上，且 判断直线 是否在平面 内，说明理由．
1．（2024年北京高考数学真题）如图，在四棱锥 中， ， ， ,点 在
上，且 ， ．
(1)若 为线段 中点，求证： 平面 ．
(2)若 平面 ，求平面 与平面 夹角的余弦值．
2．（2024年高考全国甲卷数学（理）真题）如图，在以A，B，C，D，E，F为顶点的五面体中，四边形ABCD与四边形ADEF均为等腰梯形， ， ，
， 为 的中点．
(1)证明： 平面 ；
(2)求二面角 的正弦值．
3．（2024年天津高考数学真题）已知四棱柱 中，底面 为梯形， ，
平面 ， ，其中 ． 是 的中点， 是 的中点．
(1)求证 平面 ；
(2)求平面 与平面 的夹角余弦值；
(3)求点 到平面 的距离．
4．（2024年新课标全国Ⅱ卷数学真题）如图，平面四边形ABCD中， ， ， ，
， ，点E，F满足 ， ，将 沿EF翻折至 ，使得
．(1)证明： ；
(2)求平面PCD与平面PBF所成的二面角的正弦值．
5．（2023年北京高考数学真题）如图，在三棱锥 中， 平面 ，
．
(1)求证： 平面PAB；
(2)求二面角 的大小．
6．（2023年新课标全国Ⅰ卷数学真题）如图，在正四棱柱 中， ．点
分别在棱 , 上， ．(1)证明： ；
(2)点 在棱 上，当二面角 为 时，求 ．
7．（2023年新课标全国Ⅱ卷数学真题）如图，三棱锥 中， ， ，
，E为BC的中点．
(1)证明： ；
(2)点F满足 ，求二面角 的正弦值．
8．（2022年新高考天津数学高考真题）如图，在直三棱柱 中， ，点D、E、F分别
为 的中点， .(1)求证： 平面 ；
(2)求直线 与平面 所成角的正弦值；
(3)求平面 与平面 夹角的余弦值．
9．（2022年新高考浙江数学高考真题）如图，已知 和 都是直角梯形， ， ，
， ， ， ，二面角 的平面角为 ．设M，N分别为
的中点．
(1)证明： ；
(2)求直线 与平面 所成角的正弦值．
10．（2022年新高考全国II卷数学真题）如图， 是三棱锥 的高， ， ，E是
的中点．(1)证明： 平面 ；
(2)若 ， ， ，求二面角 的正弦值．
11．（2022年高考全国甲卷数学（理）真题）在四棱锥 中， 底面
．
(1)证明： ；
(2)求PD与平面 所成的角的正弦值．
12．（2022年高考全国乙卷数学（理）真题）如图，四面体 中，
，E为 的中点．(1)证明：平面 平面 ；
(2)设 ，点F在 上，当 的面积最小时，求 与平面 所成的角的正
弦值．
13．（2022年新高考全国I卷数学真题）如图，直三棱柱 的体积为4， 的面积为 ．
(1)求A到平面 的距离；
(2)设D为 的中点， ，平面 平面 ，求二面角 的正弦值．
14．（2021年全国新高考II卷数学试题）在四棱锥 中，底面 是正方形，若
．（1）证明：平面 平面 ；
（2）求二面角 的平面角的余弦值．
15．（2021年北京市高考数学试题）如图：在正方体 中， 为 中点， 与平面
交于点 ．
（1）求证： 为 的中点；
（2）点 是棱 上一点，且二面角 的余弦值为 ，求 的值．
16．（2021年全国高考乙卷数学（理）试题）如图，四棱锥 的底面是矩形， 底面 ，
PD=DC=1， 为 的中点，且PB⊥AM．（1）求 ；
（2）求二面角 的正弦值．
