专题15 平面向量的概念、线性运算、平面向量基本定理
十年大数据*全景展示
年
份[来
源:Zxxk.Com]
题号
考
点
考查内容
2014
卷
1
文6[来源:学科网]
平面向量的概念与线性运算
主要考查平面向量的线性运算
2015[来
源:学*科*网Z*X*X*K]
卷
1
理7[来源:学,科,
网Z,X,X,K]
平面向量基本定理及其应用
主要考查平面向量的线性运算及平面向量基本定理[ 来
源:Z+xx+k.Com]
卷
2
理13
平面向量的概念与线性运算
主要考查平面向量共线的充要条件
卷
1
文2
平面向量的坐标运算及向量
共线的充要条件
主要考查平面向量的坐标与点坐标的关系、平面向量坐
标运算
2016
卷
2
文13
平面向量的坐标运算及向量
共线的充要条件
主要考查平面向量坐标的线性运算及向量共线的充要
条件
2018
卷
1
理6
文7
平面向量基本定理及其应用
主要考查平面向量的线性运算及平面向量基本定理
卷
3
理13
文13
平面向量的坐标运算及向量
共线的充要条件
主要考查平面向量的线性运算及向量共线的充要条件
2019
卷
2
文3
平面向量的坐标运算及向量
共线的充要条件
主要考查平面向量坐标运算及模公式
大数据分析*预测高考
考
点
出现频率
2021 年预测
考点47 平面向量的概念与线性运算
2/8
2021 年高考仍将重点考查向量的线性运算及向量共
线的充要条件，难度为基础题或中档题，题型为选择
题或填空题．
考点48 平面向量基本定理及其应用
2/8
考点49 平面向量的坐标运算及向量
共线的充要条件
4/8
十年试题分类*探求规律
考点47 平面向量的概念与线性运算
1．(2014 新课标I，文6)设
F
E
D
,
,
分别为ABC
的三边
AB
CA
BC
,
,
的中点，则
FC
EB
A. BC
B．1
2 AD
C．AD
D．1
2 BC
【答案】C
【解析】
FC
EB
1
1
(
)
(
)
2
2
CB
AB
BC
AC
= 1 (
)
2 AB
AC
= AD
，故选C．
2．(2014 福建)在下列向量组中，可以把向量
3,2
a
表示出来的是
A．
1
2
(0,0),
(1,2)
e
e
B．1
2
( 1,2),
(5, 2)
e
e
C．1
2
(3,5),
(6,10)
e
e
D．
1
2
(2, 3),
( 2,3)
e
e
【答案】B
【解析】对于A，C，D，都有
1e ∥
2e ，所以只有B 成立．
考点48 平面向量基本定理及其应用
1．(2020 江苏13)在ABC
中，
4
AB
，
3
AC
，
90
BAC
，D 在边BC 上，延长AD 到P ，使得
9
AP
，若
3
(
)
2
PA
mPB
m PC
(m 为常数)，则CD 的长度是
．
【答案】18
5
【解析】由向量系数
3
3
(
)
2
2
m
m
为常数，结合等和线性质可知
3
2
1
PA
PD
，
故
2
6
3
PD
PA
，
3
AD
PA
PD
AC
，故
C
CDA
，故
2
CAD
C
．
在ABC
中，
3
cos
5
AC
C
BC
；在ADC
中，由正弦定理得sin
sin
CD
AD
CAD
C
，
即
sin(
2 )
sin 2
3
18
2cos
2
3
sin
sin
5
5
C
C
CD
AD
AD
C AD
C
C
．
2．(2018•新课标Ⅰ，理6 文7)在ABC
中，AD 为BC 边上的中线，E 为AD 的中点，则
(
EB
)
A．3
1
4
4
AB
AC
B．1
3
4
4
AB
AC
C．3
1
4
4
AB
AC
D．1
3
4
4
AB
AC
【答案】A
【解析】在ABC
中，AD 为BC 边上的中线，E 为AD 的中点，∴
1
2
EB
AB
AE
AB
AD
1
1 (
)
2
2
AB
AB
AC
3
1
4
4
AB
AC
，故选A ．
3．(2015 新课标Ⅰ，理7)设D 为?ABC 所在平面内一点
3
BC
CD
，则(
)
(A)
1
4
3
3
AD
AB
AC
(B)
1
4
3
3
AD
AB
AC
(C)
4
1
3
3
AD
AB
AC
(D)
4
1
3
3
AD
AB
AC
【答案】A
【解析】由题知
1
1 (
)
3
3
AD
AC
CD
AC
BC
AC
AC
AB
=
1
4
3
3
AB
AC
，故选A．
4．(2013 广东)设a 是已知的平面向量且
0
a
，关于向量a 的分解，有如下四个命题：
①给定向量b ，总存在向量c ，使
a
b
c ；
②给定向量b 和c ，总存在实数和，使
a
b
c ；
③给定单位向量b 和正数，总存在单位向量c 和实数，使
a
b
c ；
④给定正数和，总存在单位向量b 和单位向量c ，使
a
b
c ；
上述命题中的向量b ，c 和a 在同一平面内且两两不共线，则真命题的个数是
A．1
B．2
C．3
D．4
【答案】B
【解析】利用向量加法的三角形法则，易的①是对的；利用平面向量的基本定理，易的②是对的；以a 的
终点作长度为的圆，这个圆必须和向量b 有交点，这个不一定能满足，③是错的；利用向量加法的三
角形法则，结合三角形两边的和大于第三边，即必须
= +
b
c
a ，所以④是假命题．综上，本题
选B．
5．(2017 江苏)如图，在同一个平面内，向量OA
，OB
，OC
的模分别为1，1，
2 ，OA
与OC
的夹角
为，且tan
7
，OB
与OC
的夹角为45．若OC
= m OA
+ n OB
( m ，n R ) ，则
m
n
=
．
【答案】3
【解析】由tan
7
可得
7 2
sin
10
，
2
cos
10
，由OC
=m OA
+n OB
得
2
2
OC OA
mOA
nOB OA
OC OB
mOB OA
nOB
，即
2 cos
cos(
45 )
2 cos45
cos(
45 )
m
n
m
n
，两式相加得，
2(cos
cos45 )
(
)(1
cos(
45 ))
m
n
，所以
2
2
2
2
2 cos
2 cos45
10
2
3
1 cos(
45 )
2
2
7 2
2
1
10
2
10
2
m
n
，所以
3
m
n
．
6．(2013 北京)向量a，b，c 在正方形网格中的位置如图所示，若
c
a
b (λ，μ∈R)，则
=
．
【答案】4
【解析】如图建立坐标系，则
1,1
a
，
6,2
b
，
1,3
c
．由c
a
b
，可得
1
2,
2
，
∴
4
7．(2015 北京)在
ABC
△
中，点M ，N 满足
2
AM
MC
，BN
NC
，若MN
xAB
y AC
，则x
；y
．
【答案】1
2
1
6
-
【解析】由
1
1
1
1 (
)
3
2
3
2
MN
MC
CN
AC
CB
AC
AB
AC
1
1
2
6
AB
AC
= xAB
yAC
．所
以
1
2
x =
，
1
6
y = -
．
考点49 平面向量的坐标运算及平面向量共线的充要条件
1．(2019•新课标Ⅱ，文3)已知向量
(2,3)
a
，
(3,2)
b
，则|
| (
a
b
)
A．
2
B．2
C．5 2
D．50
【答案】A
【解析】
(2,3)
a
，
(3,2)
b
，
(2
a
b
，3)
(3
，2)
( 1
，1) ，
2
2
|
|
( 1)
1
2
a
b
，故选A ．
2．(2013 辽宁)已知点
(1,3)
A
，
(4, 1)
B
，则与向量AB
同方向的单位向量为
A．3
4
5
5
，-
B．4
3
5
5
，-
C．
3 4
5 5
，
D．
4 3
5 5
，
【答案】A
【解析】
(3, 4)
AB
，所以|
| 5
AB
，这样同方向的单位向量是1
3
4
( ,
)
5
5
5
AB
．
3．(2011 广东)已知向量a =(1，2)，b =(1，0)，c =(3，4)．若为实数，(
)
∥
a
b
c ，则=
A．1
4
B．1
2
C．1
D．2
【答案】B
【解析】
(1
,2)
a
b
，由(
)
a
b ∥c ，得6
4(1
)
0
，解得1
2
4．( 2018•新课标Ⅲ，理13)已知向量
(1,2)
a
，
(2, 2)
b
，
(1, )
c
．若
/ /(2
)
c
a
b
，则
．
【答案】1
2
【解析】向量
(1,2)
a
，
(2, 2)
b
，2
(4,2)
a
b
，
(1, )
c
，
/ /(2
)
c
a
b
，
1
4
2
，解得
1
2
．
5．(2016 新课标，文13) 已知向量a =(m，4)，b=(3，−2)，且a∥b，则m=___________．
[来源：Z．
xx．k．Com]
【答案】6
【解析】因为a∥b，所以2
4 3
0
m
，解得
6
m ．
6．(2015•新课标Ⅱ，理13)设向量a，b
不平行，向量
a
b
与
2
a
b
平行，则实数
．
【答案】1
2
【解析】向量a，b
不平行，向量
a
b
与
2
a
b
平行，
(
2 )
2
a
b
t a
b
ta
tb
，
1
2
t
t
，解得实数
1
2
．
7．(2015 江苏)已知向量
(2,1)
a
，
(1, 2)
b
，若
(9, 8)
m
n
a
b
(
,
m n R)，
则m
n
的值为___．
【答案】－3
【解析】由题意得：2
9,
2
8
2,
5,
3.
m
n
m
n
m
n
m
n
8．(2014 北京)已知向量a 、b 满足
1
a
，
(2,1)
b
，且
0
a
b
(
R
)，则__．
【答案】
5
【解析】∵|
| 1
a
，∴可令
(cos ,sin )
a
，∵
0
a
b
，∴
cos
2
0
sin
1
0
，即
2
cos
1
sin
，解
得
2
5
得|
|
5
．
9．(2014 陕西)设
2
0
，向量
sin 2
cos
，
a
，
cos
1
，
b
，若∥
a
b ，则
tan
_______．
【答案】1
2
【解析】∵∥
a
b ，∴
2
sin 2
cos
，∴
2
2sin
cos
cos
，∵
(0,
)
2
，∴
1
tan
2
．
