文档内容
综合训练 09 空间向量与立体几何（13 种题型 60 题专练）
一．空间中的点的坐标（共1小题）
1．（2023•东城区校级模拟）在空间直角坐标系O﹣xyz中．正四面体P﹣ABC的顶点A，B分别在x轴，y
轴上移动．若该正四面体的棱长是2，则|OP|的取值范围是（ ）
A．[ ﹣1， +1] B．[1，3] C．[ ﹣1，2] D．[1， +1]
二．空间向量及其线性运算（共2小题）
2．（2023•湖南模拟）如图，M在四面体OABC的棱BC的中点，点N在线段OM上，且 ，设
， ， ，则下列向量与 相等的向量是（ ）
A． B． C． D．
3．（2023•鼓楼区校级模拟）在三棱锥P﹣ABC中，点O为△ABC的重心，点D，E，F分别为侧棱PA，
PB，PC的中点，若 ， ， ，则 ＝（ ）
A． B．
C． D．
三．共线向量与共面向量（共1小题）
（多选）4．（2023•蕉城区校级模拟）已知空间单位向量 ， ， 两两夹角均为60°， ，
，则下列说法中正确的是（ ）A．P、A、B、C四点可以共面 B．
C． D．
四．空间向量的数量积运算（共2小题）
5．（2023•海安市校级一模）设向量 ＝（3，5，2）， ＝（﹣2，1，3），当数m与n满足下列哪种关
系时，向量m +n 与x轴垂直（ ）
A．3m＝2n B．3m＝n C．m＝2n D．m＝n
6．（2023•滁州模拟）已知向量 ， ，若 ，则x＝（ ）
A．﹣3 B．3 C．﹣1 D．6
五．空间向量的夹角与距离求解公式（共1小题）
7．（2023•小店区校级模拟）如图，在正四棱柱ABCD﹣A B C D 中，AA ＝2，AB＝BC＝1，动点P、Q
1 1 1 1 1
分别在线段C D、AC上，则线段PQ长度的最小值是（ ）
1
A． B． C． D．
六．空间向量基本定理、正交分解及坐标表示（共2小题）
8．（2023•新乡模拟）已知点O、A、B、C为空间不共面的四点，且向量 ＝ + + ，向量 ＝ +
﹣ ，则与 、 不能构成空间基底的向量是（ ）A． B． C． D． 或
9．（2023•西安模拟）空间四边形ABCD中，AC与BD是四边形的两条对角线，M，N分别为线段AB，
CD上的两点，且满足 ， ，若点G在线段MN上，且满足 ，若向量 满足
，则x+y+z＝ ．
七．向量的数量积判断向量的共线与垂直（共1小题）
10．（2023•湖北模拟）已知向量 的夹角为60°，若 ，则 ＝（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
八．直线的方向向量、空间直线的向量参数方程（共2小题）
11．（2023•琼山区校级三模）直线x﹣3y+1＝0的一个方向向量是（ ）
A．（1，3） B．（3，1） C．（1，﹣3） D．（3，﹣1）
12．（2023•固镇县三模）直线x﹣3y+1＝0的一个方向向量是（ ）
A．（1，﹣3） B．（1，3） C．（3，﹣1） D．（3，1）
九．平面的法向量（共4小题）
13．（2023•盱眙县校级四模）已知平面 内有一个点A（2，﹣1，2）， 的一个法向量为 ＝（3，1，
α α
2），则下列点P中，在平面 内的是（ ）
α
A．（1，﹣1，1） B． C． D．
（多选）14．（2023•锡山区校级一模）已知平面 的一个法向量为 ，平面 的一个
α β
法向量为 ，直线 l 的方向向量为 ，直线 m 的方向向量为
，则（ ）
A．l∥
αB． ⊥
C．αl与βm为相交直线或异面直线
D． 在 向量上的投影向量为
（多选）15．（2023•定远县校级一模）如图，在棱长为2的正方体ABCD﹣A B C D 中，E为BB 的中点，
1 1 1 1 1
F为A D 的中点，如图所示建立空间直角坐标系，则下列说法正确的有（ ）
1 1
A．
B．向量 与 所成角的余弦值为
C．平面AEF的一个法向量是（4，﹣1，2）
D．A D⊥BD
1 1
（多选）16．（2023•抚松县校级模拟）下列命题是真命题的有（ ）
A．A，B，M，N是空间四点，若 不能构成空间的一个基底，那么A，B，M，N共面
B．直线l的方向向量为 ，直线m的方向向量 为，则l与m垂直
C．直线l的方向向量为 ，平面 的法向量为 ，则l⊥
α α
D．平面 经过三点A（1，0，﹣1），B（0，1，0），C（﹣1，2，0）， 是平面 的
α α
法向量，则u+t＝1
一十．直线与平面所成的角（共11小题）
17．（2023•保定二模）如图，在长方体ABCD﹣A B C D 中，AB＝BC＝1，AA ＝2，对角线B D与平面
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A BC 交于E点．则A E与面AA D D所成角的余弦值为（ ）
1 1 1 1 1A． B． C． D．
18．（2023•保定一模）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为矩形，AB＝2，△PAD是正三角形，
平面PAD⊥平面ABCD，且 ，则PC与平面PAD所成角的正切值为（ ）
A．2 B． C． D．
19．（2023•嵊州市模拟）在△ABC中， ， ，BC＝1，D为AC中点，若将△BCD沿着直线BD
翻折至△BC′D，使得四面体C′﹣ABD的外接球半径为1，则直线BC′与平面ABD所成角的正弦值
是（ ）
A． B． C． D．
20．（2023•鼓楼区校级模拟）如图，在圆台OO 中， ，点C是底面圆周上异于A、B的一点，
1
AC＝2，点D是BC的中点，l为平面O AC与平面O OD的交线，则交线l与平面O BC所成角的大小为
1 1 1
（ ）
A． B． C． D．（多选）21．（2023•定远县校级模拟）如图，正方体ABCD﹣EFGH的棱长为1，点P为BF的中点，下
列说法正确的是（ ）
A．FD⊥CH B．FG∥平面ACH
C．点P到平面AGC的距离为 D．PH与平面CGHD所成角的正弦值为
（多选）22．（2023•思明区校级二模）已知正四棱锥P﹣ABCD的所有棱长均为 ，E，F分别是PC，
AB的中点，M为棱PB上异于P，B的一动点，则以下结论正确的是（ ）
A．异面直线EF、PD所成角的大小为
B．直线EF与平面ABCD所成角的正弦值为
C．△EMF周长的最小值为
D．存在点M使得PB⊥平面MEF
（多选）23．（2023•全国二模）已知正方体ABCD﹣A B C D 的棱长为 ，点E，F是棱DD ，CC 的中
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点，点M是侧面CDD C 内运动（包含边界），且AM与面CDD C 所成角的正切值为 ，下列说法
1 1 1 1
正确的是（ ）
A．MC 的最小值为
1B．存在点M，使得AM⊥CE
C．存在点M，使得AM∥平面BDF
D．所有满足条件的动线段AM形成的曲面面积为
24．（2023•河南模拟）三棱锥P﹣ABC的四个顶点都在半径为5的球面上，已知P到平面ABC的距离为
7，AB⊥AC，BC＝6．记PA与平面ABC所成的角为 ，则sin 的取值范围为 ．
25．（2023•温州模拟）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，θAB∥CDθ，∠ABC＝90°，△ADP是等边三角形，
AB＝AP＝2，BP＝3，AD⊥BP．
（Ⅰ）求BC的长度；
（Ⅱ）求直线BC与平面ADP所成的角的正弦值．
26．（2023•潮阳区三模）如图，在三棱锥A﹣BCD中，平面ABD⊥平面BCD，AB＝AD，O为BD的中点．
（1）证明：OA⊥CD；
（2）若△OCD是边长为1的等边三角形，点E在棱AD上，DE＝2EA，且二面角E﹣BC﹣D的大小为
45°，求直线AC与平面BCE所成角的正弦值．27．（2023•分宜县校级一模）在正△ABC 中，E，F，P 分别是 AB，AC，BC 边上的点，满足
，将△AEF沿EF折起到△A EF的位置，使二面角 A ﹣EF﹣B成直二面角，连接
1 1
A B，A P．
1 1
（1）求证：A E⊥平面BEP；
1
（2）求直线A E与平面A BP所成角的大小．
1 1
一十一．二面角的平面角及求法（共15小题）
28．（2023•南关区校级模拟）庑殿（图1）是中国古代传统建筑中的一种屋顶形式，多用于宫殿、坛庙、
重要门楼等高级建筑上，庑殿的基本结构包括四个坡面，坡面相交处形成5根屋脊，故又称“四阿殿”
或“五脊殿”．图2是根据庑殿顶构造的多面体模型，底面ABCD是矩形，且四个侧面与底面的夹角均
相等，则（ ）A．AB＝BC+EF B． C． D．AB＝2BC﹣EF
29．（2023•湖北模拟）如图，把一个长方形的硬纸片ABCD沿长边AB所在直线逆时针旋转45°得到第二
个平面ABEF，沿宽边AF所在直线逆时针旋转45°得到第三个平面AFGH，则第一个平面和第三个平面
所成锐二面角大小的余弦值是（ ）
A． B． C． D．
30．（2023•哈尔滨一模）在边长为 3的菱形ABCD中，∠BAD＝60°，将△ABD绕直线BD旋转到．
△A'BD，使得四面体A'BCD外接球的表面积为18 ，则此时二面角A'﹣BD﹣C的余弦值为（ ）
π
A．﹣ B．﹣ C． D．
31．（2023•包河区校级模拟）过原点的直线l与曲线 交于A，B两点，现以x轴为折痕将上下两个半
平面折成60°的二面角，则|AB|的最小值为（ ）
A．2 B． C．4 D．12
32．（2023•唐县校级二模）如图，在正三棱台 ABC﹣A B C 中，已知AB＝2A B ＝4，点P是侧棱BB 上
1 1 1 1 1 1
的动点（含端点）．记二面角P﹣AC﹣A 为 ，二面角P﹣AC﹣B为 ，若存在点P，使得 ＝ ，则侧
1
棱BB 的最小值为 ． α β α β
1
33．（2023•四川模拟）已知棱锥P﹣ABCDE的底面五边形中，ABCD为边长为2的正方形，△ADE为等腰直角三角形，AE＝DE＝PE，又PA⊥DE．
（1）在线段PB上找一点G，使得平面GAC∥平面PDE，并说明理由；
（2）在（1）的条件下，二面角B﹣DE﹣P为120°，求CG与平面PAC所成角的正弦值．
34．（2023•鲤城区校级模拟）如图，水平桌面上放置一个棱长为4的正方体水槽，水面高度恰为正方体棱
长的一半，在该正方体侧面CDD C 上有一个小孔E，E点到CD的距离为3，若该正方体水槽绕CD倾
1 1
斜（CD始终在桌面上），则当水恰好流出时，侧面CDD C 与桌面所成角的正切值为（ ）
1 1
A． B． C． D．2
35．（2023•鹰潭一模）如图，在四棱台ABCD﹣A B C D 中， ，底面ABCD是边长为2的菱
1 1 1 1
形，∠DAB＝ ，平面BDD B ⊥平面ABCD，点O ，O分别为B D ，BD的中点，O B＝1，∠A AB，
1 1 1 1 1 1 1
∠O BO均为锐角．
1
（1）求证：AC⊥BB ；
1
（2）若顶点A 到底面ABCD的距离为 ，求二面角B﹣AA ﹣C的平面角的余弦值．
1 136．（2023•蕉城区校级模拟）图 1 是由直角梯形 ABCD 和以 CD 为直径的半圆组成的平面图形，
AD∥BC，AD⊥AB， ．E是半圆上的一个动点，当△CDE周长最大时，将半圆沿着CD
折起，使平面PCD⊥平面ABCD，此时的点E到达点P的位置，如图2．
（1）求证：BD⊥PD；
（2）求平面PAB和平面PCD夹角的余弦值．
37．（2023•盱眙县校级四模）如图，在平面五边形 ABCDE中△ADE是边长为2的等边三角形，四边形
ABCD是直角梯形，其中AD∥BC，AD⊥DC，BC＝1，CD＝ ．将△ADE沿AD折起，使得点E到达
点M的位置，且使BM＝ ．
（1）求证：平面MAD⊥平面ABCD；（2）设点P为棱CM上靠近点C的三等分点，求平面PBD与平面MAD所成的二面角的正弦值．
38．（2023•浙江模拟）在三棱锥P﹣ABC中， ，直线PA与平面ABC所成角为
，直线PB与平面ABC所成角为 ．
（1）求三棱锥体积的取值范围；
（2）当直线PC与平面ABC所成角最小时，求二面角P﹣AB﹣C的平面角的余弦值．
39．（2023•市中区校级模拟）在直角梯形AA B B中，A B ∥AB，AA ⊥AB，AB＝AA ＝2A B ＝6，直角
1 1 1 1 1 1 1 1
梯形AA B B绕直角边AA 旋转一周得到如下图的圆台A A，已知点P，Q分别在线段CC ，BC上，二
1 1 1 1 1
面角B ﹣AA ﹣C 的大小为 ．
1 1 1
θ
（1）若 ＝120°， ，AQ⊥AB，证明：PQ∥平面AA B B；
1 1
θ（2）若 ＝90°，点P为CC 上的动点，点Q为BC的中点，求PQ与平面AA C C所成最大角的正切值，
1 1 1
并求此时θ二面角Q﹣AP﹣C的余弦值．
40．（2023•重庆模拟）如图四棱锥 S﹣ABCD，AC＝2，B，D 在以 AC 为直径的圆上，SA⊥平面
为SC的中点．
（1）若 ，证明：DE⊥AB；
（2）当二面角D﹣SC﹣A的正切值为 时，求点B到平面SCD距离的最大值．
41．（2023•泸县校级模拟）在《九章算术》中，将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称为
“阳马”．如图，在“阳马”P﹣ABCD中，侧棱PD⊥底面ABCD，且PD＝CD．
（1）若PB＝4，试计算底面ABCD面积的最大值；（2）过棱PC的中点E作EF⊥PB，交PB于点F，连DE，DF，BD，若平面DEF与平面ABCD所成锐
二面角的大小为 ，试求 的值．
42．（2023•九江模拟）如图，在直三棱柱ABC﹣A B C 中，D为A B上一点，AD⊥平面A BC．
1 1 1 1 1
（1）求证：BC⊥A B；
1
（2）若 ，AB＝BC＝2，P为AC的中点，求二面角A﹣A B﹣P的余弦值．
1
一十二．点、线、面间的距离计算（共17小题）
43．（2023•延边州二模）正三棱柱ABC﹣A B C 的底面边长是4，侧棱长是6，M，N分别为CC ，AB的
1 1 1 1中点，若P是侧面BCC B 上一点，且PN∥平面AB M，则线段PN的最小值为（ ）
1 1 1
A． B． C． D．
44．（2023•海淀区校级三模）如图，正方体ABCD﹣A B C D 的棱长为1，E，F，G分别为线段BC，
1 1 1 1
CC ，BB 上的动点（不含端点），
1 1
①异面直线D D与AF所成角可以为 ；
1
②当G为中点时，存在点E，F使直线A G与平面AEF平行；
1
③当E，F为中点时，平面AEF截正方体所得的截面面积为 ；
④存在点G，使点C与点G到平面AEF的距离相等，
则上述结论正确的是（ ）
A．①③ B．②④ C．②③ D．①④
45．（2023•洪山区校级模拟）正方形ABB A 的边长为12，其内有两点P、Q，点P到边AA ，A B 的距离
1 1 1 1 1
分别为3，2，点Q到边BB ，AB的距离也是3和2．现将正方形卷成一个圆柱，使得AB和A B 重合
1 1 1
（如图）．则此时P、Q两点间的距离为（ ）
A． B． C． D．
46．（2023•安庆二模）一底面半径为1的圆柱，被一个与底面成45°角的平面所截（如图），O为底面圆
的中心，O 为截面的中心，A为截面上距离底面最小的点，A到圆柱底面的距离为1，B为截面图形弧
1上的一点，且 ，则点B到底面的距离是（ ）
A． B． C． D．
（多选）47．（2023•梅州二模）如图，在棱长为2的正方体ABCD﹣A B C D 中，E为边AD的中点，点
1 1 1 1
P为线段D B上的动点，设D P＝ D B，则（ ）
1 1 1
λ
A．当 时，EP∥平面AB C B．当 时，|PE|取得最小值，其值为
1
C．|PA|+|PC|的最小值为 D．当C 平面CEP时，
1
（多选）48．（2023•龙华区校级模拟）如图，在棱长∈为1的正方体ABCD﹣A B C D 中，Q是棱DD 上的
1 1 1 1 1
动点，则下列说法正确的是（ ）
A．不存在点Q，使得C Q∥A C
1 1
B．存在点Q，使得C Q⊥A C
1 1
C．对于任意点Q，Q到A C的距离的取值范围为[ ， ]
1
D．对于任意点Q，△A CQ都是钝角三角形
1
（多选）49．（2023•连云港模拟）如图，正方体ABCD﹣A B C D 中，顶点A在平面 内，其余顶点在
1 1 1 1
α α的同侧，顶点 A ，B，C到 的距离分别为 ，1，2，则（ ）
1
α
A．BD∥平面 B．平面ACB ⊥平面
1
C．正方体的棱α长为 D．直线C D与 所成α角比直线BB 与 所成角小
1 1
α α
50．（2023•山西模拟）已知正方体ABCD﹣A B C D 的棱长为2，M为棱AD的中点，点P为正方体表面
1 1 1 1
及其内部的一个动点且A M⊥AP，则线段AP的长度的最大值为 ．
1
51．（2023•大埔县三模）如图，在三棱锥A﹣BCD中，P是AC的中点，E，F分别为线段AD，CD上的
动点，BC⊥CD，AB⊥平面BCD，若AB＝BC＝CD＝8，则 的最小值为 ．
52．（2023•河南模拟）在正四棱柱ABCD﹣A B C D 中，AB＝4，点E为A B 中点，点F为AD中点，直
1 1 1 1 1 1
线B C与直线EF所成角的余弦值为 ，过E、F、C 做该正四棱柱的截面，则截面周长为
1 1
．
53．（2023•福建模拟）如图，一张A4纸的长AD＝2 a，宽AB＝2a，M，N分别是AD，BC的中点．现
将△ABD沿BD折起，得到以A，B，C，D为顶点的三棱锥，则三棱锥与A﹣BCD的外接球O的半径为
；在翻折的过程中，直线MN被球O截得的线段长的取值范围是 ．54．（2023•四川模拟）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PC⊥底面ABCD，梯形ABCD中，AB∥CD，AB＝
2AD＝2CD＝2BC＝2，E是PD的中点．
（1）求证：平面EAC⊥平面PBC；
（2）若PD＝2，求P到平面AEC的距离．
55．（2023•海淀区模拟）如图，空间几何体由两部分构成，上部是一个底面半径为 1，高为2的圆锥，下
部是一个底面半径为1，高为2的圆柱，圆锥和圆柱的轴在同一直线上，圆锥的下底面与圆柱的上底面
重合，点P是圆锥的顶点，AB是圆柱下底面的一条直径，AA 、BB 是圆柱的两条母线，C是弧 的中
1 1
点．
（1）求异面直线PA 与BC所成的角的大小；
1
（2）求点B 到平面PAC的距离．
156．（2023•锦州一模）在直角梯形 ABCD 中（如图一），AB∥DC，AD⊥DC， ．将
△ADC沿AC折起，使AD⊥DB（如图二）．
（1）求证：平面ABC⊥平面ADC；
（2）设E为线段AB的中点，求点E到直线CD的距离．
57．（2023•天津模拟）如图，在三棱锥S﹣ABC中，SC⊥平面ABC，SC＝3，AC⊥BC，CE＝2EB＝2，
AC＝ ，CD＝ED．
（Ⅰ）求证：DE⊥平面SCD；
（Ⅱ）求二面角A﹣SD﹣C的余弦值；
（Ⅲ）求点A到平面SCD的距离．58．（2023•红桥区二模）如图，在底面是矩形的四棱锥 P﹣ABCD中，PA⊥平面ABCD，PA＝AB＝2，BC
＝4．E是PD的中点，
（Ⅰ）求证：平面PDC⊥平面PAD；
（Ⅱ）求平面EAC与平面ACD夹角的余弦值；
（Ⅲ）求B点到平面EAC的距离．
59．（2023•陵水县模拟）已知四棱锥S﹣ABCD的底面ABCD是正方形，SA⊥底面ABCD，E是SC上的任
意一点．
（1）求证：平面EBD⊥平面SAC；
（2）设SA＝4，AB＝2，求点A到平面SBD的距离．一十三．向量语言表述线面的垂直、平行关系（共1小题）
（多选）60．（2023•镇海区校级模拟）在空间直角坐标系中，有以下两条公认事实：
（1）过点P （x ，y ，z ），且以 ＝（a，b，c）（abc≠0）为方向向量的空间直线 l的方程为
0 0 0 0
．
（2）过点P（x ，y ，z ），且 ＝（m，n，t）（mnt≠0）为法向量的平面 的方程为m（x﹣x ）+n
0 0 0 0
α
（y﹣y ）+t（z﹣z ）＝0．
0 0
现已知平面 ：x+2y+3z＝6，l ： ，l ：x＝y＝2﹣z，l ： ，则（ ）
1 2 3
α
A．l ∥ B．l ∥ C．l ∥ D．l ⊥
1 2 3 1
α α α α
