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专题十二 《空间向量在立体几何中的应用》讲义
知识梳理 . 空间向量
1．平面的法向量
(1)直线的方向向量：如果表示非零向量 a的有向线段所在直线与直线l平行或共线，
则称此向量a为直线l的方向向量．
(2)平面的法向量：直线l⊥α，取直线l的方向向量a，则向量a叫做平面α的法向量．
(3)方向向量和法向量均不为零向量且不唯一．
2．空间位置关系的向量表示
位置关系 向量表示
直线l，l 的方 l∥l n∥n n＝kn(k∈R)
1 2 1 2 1 2 1 2
向向量分别为
n 1 ，n 2 l 1 ⊥l 2 n 1 ⊥⇔n 2 n 1 ·n 2 ＝0
直线l的方向向 l∥α n⊥m⇔n·m＝0
量为n，平面α
的法向量为m
l⊥α n∥m n⇔＝km(k∈R)
平面α，β的法 α∥β n∥m⇔n＝km(k∈R)
向量分别为n，
m
α⊥β n⊥⇔m n·m＝0
3．异面直线所成角 ⇔
设异面直线a，b所成的角为θ，则cos θ＝， 其中a，b分别是直线a，b的方向向量．
4．直线与平面所成角
如图所示，设l为平面α的斜线，l∩α＝A，a为l的方向向量，n为平面α的法向量，φ为l
与α所成的角，则 sin φ ＝ |cos 〈 a ， n 〉 | ＝
5．二面角
(1)若AB，CD分别是二面角αlβ的两个平面内与棱l垂直的异面直线，则二面角(或其
补角)的大小就是向量AB与CD的夹角，如图(1)．
(2)平面α与β相交于直线l，平面α的法向量为n ，平面β的法向量为n ，〈n ，n 〉
1 2 1 2
＝θ，则二面角α l β为θ或π－θ.设二面角大小为φ，则 |cos φ | ＝ |cos θ | ＝ ，如图 (2)(3) ．
6．利用空间向量求距离
(1)两点间的距离设点A(x，y，z)，点B(x，y，z)，则|AB|＝|AB|＝.
1 1 1 2 2 2
(2)点到平面的距离
如图所示，已知AB为平面α的一条斜线段，n为平面α的法向量，则B到平面α的距
离为|BO|＝.
题型一 . 利用空间向量证明平行与垂直
1
1．如图，四边形ABCD为正方形，PD⊥平面ABCD，PD∥QA，QA＝AB= PD＝1．
2
（1）证明：PQ⊥平面DCQ；
（2）证明：PC∥平面BAQ．
2．如图，在长方体ABCD﹣A B C D 中AA ＝AD＝1，E为CD中点．
1 1 1 1 1
（1）求证：B E⊥AD ；
1 1
（2）在棱AA 上是否存在一点P，使得DP∥平面B AE？若存在，求AP的长；若不存
1 1
在，说明理由．3．如图，四棱锥S﹣ABCD中底面ABCD是正方形，AS⊥底面ABCD，且AS＝AB，E是
SC的中点，求证：平面BDE⊥平面ABCD．
题型二 . 异面直线的夹角
1．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥底面ABCD，E是PC的
中点，AB＝2，AD＝2√2，PA＝2，则异面直线BC与AE所成的角的大小为（ ）
π π π π
A． B． C． D．
6 4 3 2
2．正方体ABCD﹣A B C D 中，点P在线段A C上运动（包括端点），则BP与AD 所成
1 1 1 1 1 1
角的取值范围是 ．3．在四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥平面ABCD，底面四边形ABCD为直角梯形，AD∥BC，
AD⊥AB，PA＝AD＝2，AB＝BC＝1，Q为PD中点．
（Ⅰ）求证：PD⊥BQ；
（Ⅱ）求异面直线PC与BQ所成角的余弦值．
题型三 . 线面角
1．如图，正三棱柱（底面是正三角形的直棱柱）ABC﹣A B C 的地面边长为a，侧棱
1 1 1
长为√2a，则AC 与侧面ABB A 所成的角是（ ）
1 1 1
A．30° B．45° C．60° D．90°
π
2．若直线l与平面 所成角为 ，直线a在平面 内，且与直线l异面，则直线l与直线a
3
α α
所成的角的取值范围是（ ）
2 π 2π π π π 2π
A．[0， π] B．[ ， ) C．[ ， ] D．[ ， ]
3 3 3 3 2 3 3
π π
3．如图，在三棱锥P﹣ABC中，PA⊥AC，PA⊥AB，PA＝AB，∠ABC= ，∠BCA=
3 2，点D，E分别在棱PB，PC上，且DE∥BC，
（1）求证：BC⊥平面PAC；
（2）当D为PB的中点时，求AD与平面PAC所成的角的正弦值．题型四 . 二面角
1．如图在三棱锥P﹣ABC中，PA⊥平面ABC，AC⊥BC，PA＝AC＝1，BC=√2，求
二面角A﹣PB﹣C的余弦值 ．
2．如图，设AB为圆锥PO的底面直径，PA为母线，点C在底面圆周上，若△PAB是边长
为2的正三角形，且CO⊥AB，则二面角P﹣AC﹣B的正弦值是（ ）
√42 √7
A．√6 B． C． D．√7
7 7
3．如图，四面体 ABCD 中，△ABC 是正三角形，△ACD 是直角三角形，∠ABD＝
∠CBD，AB＝BD．
（1）证明：平面ACD⊥平面ABC；
（2）过AC的平面交BD于点E，若平面AEC把四面体ABCD分成体积相等的两部分，
求二面角D﹣AE﹣C的余弦值．
题型五 . 空间中的距离
1．已知正方体 ABCD﹣A B C D 的棱长为 2，则点 A 到平面 A B CD 的距离为
1 1 1 1 1 1（ ）
2√3
A． B．√2 C．2 D．2√2
3
2．在底面是直角梯形的四棱锥 P﹣ABCD中，侧棱PA⊥底面ABCD，BC∥AD，∠ABC＝
90°，PA＝AB＝BC＝2，AD＝1，则AD到平面PBC的距离为 ．
3．如图，已知两个正四棱锥P﹣ABCD与Q﹣ABCD的高分别为1和2，AB＝4．
（Ⅰ）证明PQ⊥平面ABCD；
（Ⅱ）求异面直线AQ与PB所成的角；
（Ⅲ）求点P到平面QAD的距离．题型六 . 空间向量综合——存在问题、折叠问题
1．如图，四棱锥P﹣ABCD中，侧面PAD为等边三角形且垂直于底面ABCD，AB＝
1
BC= AD，∠BAD＝∠ABC＝90°，E是PD的中点．
2
（1）证明：直线CE∥平面PAB；
（2）点M在棱PC上，且直线BM与底面ABCD所成角为45°，求二面角M﹣AB﹣D的
余弦值．
2．如图，已知四棱锥P﹣ABCD，底面ABCD为菱形，PA⊥平面ABCD，∠ABC＝60°，
E，F分别是BC，PC的中点．
（Ⅰ）证明：AE⊥PD；
√6
（Ⅱ）若H为PD上的动点，AB＝2，EH与平面PAD所成最大角的正切值为 ，求三
2
棱锥E﹣AFC的体积．3．如图，四边形ABCD为平行四边形，点E在AB上，AE＝2EB＝2，且DE⊥AB．以DE
为折痕把△ADE折起，使点A到达点F的位置，且∠FEB＝60°．
（Ⅰ）求证：平面BFC⊥平面BCDE；
√15
（Ⅱ）若直线DF与平面BCDE所成角的正切值为 ，求二面角E﹣DF﹣C的正弦值．
5
4．如图所示，等腰梯形ABCD中，AB∥CD，AD＝AB＝BC＝2，CD＝4，E为CD中点，
AE与BD交于点O，将△ADE沿AE折起，使点D到达点P的位置（P 平面ABCE）．
（Ⅰ）证明：平面POB⊥平面ABCE； ∉
（Ⅱ）若PB=√6，试判断线段PB上是否存在一点Q（不含端点），使得直线PC与平
√15 PQ
面AEQ所成角的正弦值为 ，若存在，求出 的值；若不存在，说明理由．
5 QB题型七 . 空间向量与立体几何选填综合
1．如图，在正四棱柱ABCD﹣A B C D 中，底面边长为2，直线CC 与平面ACD 所
1 1 1 1 1 1
1
成角的正弦值为 ，则正四棱柱的高为（ ）
3
A．2 B．3 C．4 D．5
2．如图，圆柱O O 的底面圆半径为1，AB是一条母线，BD是 O 的直径，C是上底面
1 2 1
圆周上一点，∠CBD＝30°，若A，C两点间的距离为√7，则⊙圆柱O
1
O
2
的高为 ，
异面直线AC与BD所成角的余弦值为 ．
3．已知∠ACB＝90°，P为平面ABC外一点，PC＝2，点P到∠ACB两边AC，BC的距离
均为√3，那么P到平面ABC的距离为 ．
4．如图，已知正方体ABCD﹣A B C D 的棱长为4，点E，F分别是线段AB，C D 上的动
1 1 1 1 1 1
点，点 P 是上底面 A B C D 内一动点，且满足点 P 到点 F 的距离等于点 P 到平面
1 1 1 1
ABB A 的距离，则当点P运动时，PE的最小值是（ ）
1 1
A．5 B．4 C．4√2 D．2√5
5．如图，在正四棱柱ABCD﹣A B C D 中，AA ＝2，AB＝BC＝1，动点P、Q分别在线段
1 1 1 1 1
C D、AC上，则线段PQ长度的最小值时（ ）
1√2 √3 2 √5
A． B． C． D．
3 3 3 3
6．如图，在棱长为 2的正方体 ABCD﹣A B C D 中，M是棱AA 的中点，点 P在侧面
1 1 1 1 1
ABB A 内，若D P⊥CM，则△PBC的面积的最小值为
1 1 1
7．如图，在棱长为1的正方体中，下列结论正确的是（ ）
A．异面直线AC与BC 所成的角为60°
1
B．直线AB 与平面ABC D 所成角为45°
1 1 1
C．二面角A﹣B C﹣B的正切值为√2
1
√3
D．四面体D ﹣AB C的外接球的体积为 π
1 1
2
8．如图，在棱长为4的正方体ABCD﹣A B C D 中，M，N分别是A D ，A B 的中点，则
1 1 1 1 1 1 1 1
（ ）
A．A C⊥平面AMN
1B．二面角A ﹣MN﹣A的正切值为2√2
1
1
C．三棱锥A ﹣AMN的内切球半径为
1
2
D．过直线BD与平面AMN平行的平面截该正方体所得截面的面积为18课后作业 . 空间向量
1．如图1，在直角梯形ABCD中，AB∥CD，∠B＝90°，AB＝3，CD＝2，BC=√3，E
在AB上，且AD＝AE．将△ADE沿DE折起，使得点A到点P的位置，且PB＝PC，如
图2．
（1）证明：平面PDE⊥平面BCDE；
（2）求二面角C﹣PB﹣E的正弦值．
1
2．已知：在四棱锥P﹣ABCD中，AD∥BC，AB=BC=CD= AD，G是PB的中点，
2
△PAD是等边三角形，平面PAD⊥平面ABCD．
（Ⅰ）求证：CD⊥平面GAC；
（Ⅱ）求二面角P﹣AG﹣C的余弦值．
3．如图，四棱锥S﹣ABCD的底面是正方形，每条侧棱的长都是底面边长的√2倍，P为侧
棱SD上的点．
（1）求证：AC⊥SD；
（2）若SD⊥平面PAC，求二面角P﹣AC﹣D的大小；
（3）在（2）的条件下，侧棱SC上是否存在一点E，使得BE∥平面PAC．若存在，求
SE：EC的值；若不存在，试说明理由．4．如图，矩形ABCD中，AB＝6，AD=2√3，点F是AC上的动点．现将矩形ABCD沿着
对角线AC折成二面角D'﹣AC﹣B，使得D'B=√30．
（Ⅰ）求证：当AF=√3时，D'F⊥BC；
π
（Ⅱ）试求CF的长，使得二面角A﹣D'F﹣B的大小为 ．
4
5．如图，四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥菱形ABCD所在的平面，∠ABC＝60°，E是BC中点，
F是PC上的点．
（1）求证：平面AEF⊥平面PAD；
（2）若M是PD的中点，当AB＝AP时，是否存在点F，使直线EM与平面AEF的所成
1 PF
角的正弦值为 ？若存在，请求出 的值，若不存在，请说明理由．
5 PC
6．如图，四边形ABCD为平行四边形，点E在CD上，CE＝2ED＝2，且BE⊥CD．以BE
为折痕把△CBE折起，使点C到达点F的位置，且∠FED＝60°．
（Ⅰ）求证：平面FAD⊥平面ABED；
√15
（Ⅱ）若直线BF与平面ABED所成角的正切值为 ，求点A到平面BEF的距离．
5
