6.1 平面向量的概念
模块一：基础知识.........................................................................2
考点一：向量的概念................................................................... 2
考点二：向量的几何表示............................................................. 2
考点三：相等向量与共线向量....................................................... 3
模块二：题型分类.........................................................................3
题型一：向量概念的理解............................................................. 3
题型二：向量的模.................................................................... 4
题型三：零向量与单位向量.......................................................... 5
题型四：向量的几何表示与向量的模...............................................5
题型五：向量相等或共线的判断.................................................... 7
题型六：用向量关系研究几何图形的性质.........................................8
模块三：综合巩固.........................................................................8
6.1 平面向量的概念
模块一：基础知识
考点一：向量的概念
1.向量
在数学中,我们把既有大小又有方向的量叫做向量.
①我们所学的向量是自由向量,即只有大小和方向,而无特定的位置,这样的向量可以作任意平移.
②向量与向量之间不能比较大小.
2.数量
只有大小没有方向的量称为数量,如年龄、身高、长度、面积体积、质量等
3.向量与数量的区别
①向量与数量的区别:向量有方向,而数量没有方向；数量与数量之间可以比较大小,而向量与向量之间不
能比较大小
②向量与矢量:数学中的向量是从物理中的矢量(如位移、力、加速度、速度等)中抽象出来的,但在这里我
们仅考虑它的大小及方向；而物理中的这些量,既同时具备大小和方向这两个属性,还具有其他属性(如“力”
就是由大小方向、作用点所决定的).
考点二：向量的几何表示
1.有向线段
具有方向的线段叫做有向线段
①有向线段:具有方向的线段叫做有向线段,其方向是由起点指向终点.以A 为起点、B 为终点的有向线段
记作AB
(如图所示),线段AB 的长度也叫做有向线段的长度,记作|
|
AB
. 表示有向线段时,起点一定要
写在终点的前面,上面标上箭头.
②有向线段的三个要素:起点、方向、长度.知道了有向线段的起点、方向、长度,它的终点就唯一确定了.
2.向量的表示
①几何表示:向量可以用有向线段表示,有向线段的长度表示向量的大小,有向线段的方向表示向量的方
向.
②字母表示:向量可以用字母a
,b
,c
,…表示
3.向量的模
向量AB
的大小称为向量AB
的长度(或称模),记作|
|
AB
.
4.两种特殊的向量
零向量:长度为0 的向量叫做零向量,记作0
.
单位向量:长度等于1 个单位长度的向量,叫做单位向量
①若用有向线段表示零向量,则其终点与起点重合.
②要注意0 与0
的区别与联系:0 是一个实数,0
是一个向量,且有| 0 |
；书写时0
表示零向量,一定不能漏掉
0 上的箭头.
③单位向量有无数个,它们大小相等,但方向不一定相同.
④在平面内,将表示所有单位向量的有向线段的起点平移到同一点,则它们的终点构成一个半径为1 的圆.
考点三：相等向量与共线向量
1.平行向量
方向相同或相反的非零向量叫做平行向量.向量a
与b
平行,记作a b
.规定:零向量与任意向量平行,即对
于任意向量a
,都有0 a
.
2.相等向量
长度相等且方向相同的向量叫做相等向量.
向量a
与b
相等,记作a
b
.两个向量相等必须具备的条件是长度相等,方向相同因为向量完全由它的方
向和模确定,故任意两个相等的非零向量,都可用同一条有向线段来表示,并且与有向线段的起点无关.
3.共线向量
任一组平行向量都可以平移到同一条直线上,因此,平行向量也叫做共线.
共线向量所在直线平行或重合,如果两个向量所在的直线平行或重合,则这两个向量是共线向量.
模块二：题型分类
题型一：向量概念的理解
1.下列命题中真命题的个数是（
）
（1）温度､速度､位移､功都是向量
（2）零向量没有方向
（3）向量的模一定是正数
（4）直角坐标平面上的x 轴､y 轴都是向量
A．0
B．1
C．2
D．3
2.下列量中是向量的为（
）
A．频率
B．拉力
C．体积
D．距离
3.下列说法正确的是（
）
A．身高是一个向量
B．温度有零上温度和零下温度之分，故温度是向量
C．有向线段由方向和长度两个要素确定
D．有向线段��
→
和有向线段��
→
的长度相等
4.下列说法错误的是（
）
A．向量��റ
ሬሬሬሬ与向量��റ
ሬሬሬሬ长度相等
B．单位向量都相等
C．向量的模可以比较大小
D．任一非零向量都可以平行移动
题型二：向量的模
1.如图，在ABC
中，点D､E､F 分别是边BC､CA､AB 的中点，在以A､B､C､D､E､F 为端点的向量中，与向
量DF
的模相等的向量的个数是
.
2.如图，在2 4
的矩形中，起点和终点都在小方格顶点，且模与AB
的模相等的向量（除AB
本身）共有
个.
3.如果一架飞机向西飞行150km，再向南飞行350km，记飞机飞行的路程为s ，位移为a
，则（
）．
A．s
a
B．s
a
C．s
a
D．s 与a
r
不能比较大小
4.如图，已知a是单位向量，求出图中向量b
，c，d
，e的模.
5.在如图所示的半圆中，AB 为直径，点O 为圆心，C 为半圆上一点，且
30
OCB
，
2
AB
，则AC
等
于（
）
A．1
B．
2
C．
3
D．2
6.如图，某船从点O 出发沿北偏东30°的方向行驶至点A 处，求该船航行向量OA
的长度（单位：n mile）．
题型三：零向量与单位向量
1.下列说法正确的是（
）
A．向量的模是一个正实数
B．零向量没有方向
C．单位向量的模等于1 个单位长度
D．零向量就是实数0
2.下列命题正确的个数是（
）
（1）向量就是有向线段；（2）零向量是没有方向的向量；
（3）零向量的方向是任意的；（4）零向量的长度为0．
A．1
B．2
C．3
D．4
3.下列说法正确的是（
）
A．零向量没有大小，没有方向
B．零向量是唯一没有方向的向量
C．零向量的长度为0
D．任意两个单位向量方向相同
4.已知向量�Ԧሬ, �Ԧሬ是两个非零向量，��Ԧ
ሬሬሬሬ, ��Ԧ
ሬሬሬሬ分别是与�Ԧሬ, �Ԧሬ同方向的单位向量，则以下各式正确的是（
）
A．��Ԧ
ሬሬሬሬ= ��Ԧ
ሬሬሬሬ
B．��Ԧ
ሬሬሬሬ= ��Ԧ
ሬሬሬሬ或��Ԧ
ሬሬሬሬ= ��Ԧ
ሬሬሬሬ
C．��Ԧ
ሬሬሬሬ= ��Ԧ
ሬሬሬሬ
D．��Ԧ
ሬሬሬሬ与��Ԧ
ሬሬሬሬ的长度相等
题型四：向量的几何表示与向量的模
1.如图，某人从点A 出发，向西走了200m 后到达B 点，然后改变方向，沿北偏西一定角度的某方向行走
了200 3m 到达C 点，最后又改变方向，向东走了200m 到达D 点，发现D 点在B 点的正北方．
(1)作出��Ԧ
ሬሬሬሬ、��Ԧ
ሬሬሬሬ、��Ԧ
ሬሬሬሬ（图中1 个单位长度表示100m）；(2)求��Ԧ
ሬሬሬሬ的模．
2.一艘军舰从基地A 出发向东航行了200 海里到达基地B，然后改变航线向东偏北60°航行了400 海里到
达C 岛，最后又改变航线向西航行了200 海里到达D 岛．
（1）试作出向量��Ԧ
ሬሬሬሬ, ��Ԧ
ሬሬሬሬ, ��Ԧ
ሬሬሬሬ；
（2）求|��Ԧ
ሬሬሬሬ|．
3.在如图所示的坐标纸上(每个小方格边长为1)，用直尺和圆规画出下列向量：
（1）��Ԧ
ሬሬሬሬ，使|��Ԧ
ሬሬሬሬ|＝4 2，点A 在点O 北偏东45°；
（2）��Ԧ
ሬሬሬሬ，使|��Ԧ
ሬሬሬሬ|＝4，点B 在点A 正东；
（3）��Ԧ
ሬሬሬሬ，使|��Ԧ
ሬሬሬሬ|＝6，点C 在点B 北偏东30°.
4.在如图的方格纸中，画出下列向量．
(1) ��Ԧ
ሬሬሬሬ
= 3，点�在点�的正西方向；
(2) ��Ԧ
ሬሬሬሬ
= 3 2，点�在点�的北偏西45∘方向；
(3)求出��Ԧ
ሬሬሬሬ的值．
题型五：向量相等或共线的判断
1.如图所示，点O 是正六边形ABCDEF 的中心，则以图中点A、B、C、D、E、F、O 中的任意一点为始点，
与始点不同的另一点为终点的所有向量中，除向量��Ԧ
ሬሬሬሬ外，与向量��Ԧ
ሬሬሬሬ共线的向量共有（
）
A．7 个
B．8 个
C．9 个
D．10 个
2.在△ABC 中，AB＝AC，D，E 分别是AB，AC 的中点，则（
）
A．��റ
ሬሬሬሬ与��റ
ሬሬሬ共线
B．��റ
ሬሬሬሬ与��റ
ሬሬሬሬ共线
C．��റ
ሬሬሬሬ与��റ
ሬሬሬሬ相等
D．��റ
ሬሬሬሬ与��റ
ሬሬሬሬ相等
3.如图，设O 是正六边形������的中心，
（1）写出图中的共线向量；
（2）分别写出图中与��Ԧ
ሬሬሬሬ，��Ԧ
ሬሬሬሬ，��Ԧ
ሬሬሬሬ相等的向量.
4.如图，△���和△�′�′�′是在各边的三等分点处相交的两个全等的正三角形，设△���的边长为a，写出
图中给出的长度为
�
3的所有向量中，
（1）与向量��Ԧ
ሬሬሬሬ相等的向量；
（2）与向量��Ԧ
ሬሬሬሬ共线的向量；
（3）与向量��Ԧ
ሬሬሬሬ平行的向量.
题型六：用向量关系研究几何图形的性质
1.如图，四边形ABCD 的对角线AC 与BD 交于点O，且��റ
ሬሬሬሬ= ��റ
ሬሬሬሬ，��റ
ሬሬሬሬ= ��റ
ሬሬሬሬ．求证：四边形ABCD 是平
行四边形．
2.在四边形����中，已知��റ
ሬሬሬሬ= ��റ
ሬሬሬሬ，求证：四边形����为平行四边形．
3.已知点�，�，�，�分别是平面四边形����的边��，��，��，��的中点，求证：��റ
ሬሬሬ= ��റ
ሬሬሬሬ．
4.如图，已知在四边形����中，M，N 分别是��，��的中点，又��Ԧ
ሬሬሬሬ= ��Ԧ
ሬሬሬሬ.求证：��=
//
��.
模块三：综合巩固
1．下列说法正确的是（
）
A．身高是一个向量
B．温度有零上温度和零下温度之分，故温度是向量
C．有向线段由方向和长度两个要素确定
D．有向线段MN
和有向线段NM
的长度相等
2．若向量a
与向量b
不相等，则a
与b
一定（
）
A．不共线
B．长度不相等
C．不都是单位向量
D．不都是零向量
3．判断下列命题：①两个有共同起点而且相等的非零向量，其终点必相同；②若a
b
∥
，则a
与b
的方向
相同或相反；③若a
b
∥
，且b
c
∥
，则a
c
∥
.其中，正确的命题个数为（
）
A．0
B．1
C．2
D．3
4．如图，在四边形ABCD 中，若AB
DC
，则图中相等的向量是（
）
A．AD
与CB
B．OB
与OD
C．AO
与OC
D．AC
与BD
5．给出下列四个命题：①若
0
a
，则
0
a
；②若a
b
，则a
b
或a
b
；③若
/ /
a
b
，则a
b
；
④若
0
a
，则
0
a
. 其中的正确命题有（
）
A．1 个
B．2 个
C．3 个
D．4 个
6．已知向量,a b
是两个非零向量，
,
AO BO
分别是与,a b
同方向的单位向量，则以下各式正确的是（
）
A．AO
BO
B．AO
BO
或AO
OB
C．AO
OB
D．AO
与BO
的长度相等
7．下列说法错误的是（
）
A．任一非零向量都可以平行移动
B．
2
1,e
e
是单位向量，则
1
2
e
e
C．CD
DC
D．若AB
CD
，则AB
CD
8．关于向量a
，b
，下列命题中，正确的是（
）
A．若a
b
，则a
b
B．若a
b
，则a
b
∥
C．若a
b
，则a
b
D．若a
b
∥，b
c
∥，则a
c
∥
9．（多选）下面关于向量的说法正确的是（
）
A．单位向量：模为1的向量
B．零向量：模为0 的向量
C．平行（共线）向量：方向相同的向量
D．相等向量：模相等，方向相同的向量
10．（多选）若,
a b
都是非零向量，且a
b
，则（
）
A．,a b
方向相同B．,
a b
方向相反
C．a
b
D．
0
a
b
11．在如图所示的向量, , , ,
a b c d e
中（小正方形的边长为1），找出存在下列关系的向量：
①共线向量：
；
②方向相反的向量：
；
③模相等的向量：
.
12．下列各量中，向量有：
．（填写序号）
①浓度；②年龄；③风力；④面积；⑤位移；⑥加速度．
13．在图中的4 5
方格纸中有一个向量AB
，分别以图中的格点为起点和终点作向量，其中与AB
相等的向
量有多少个？与AB
长度相等的共线向量有多少个（AB
除外）？
14．如图所示，ABC
的三边均不相等，E，F，D 分别是AC，AB，BC 的中点，在以A，B，C，D，E，
F 为起点或终点的所有有向线段表示的向量中：
(1)写出与EF
相反的向量；
(2)写出与EF
的模相等的向量；
(3)写出与EF
相等的向量.
15.下列说法错误的是（
）
A．CD
DC
B．
1e
、
2e
是单位向量，则
1
2
e
e
C．若CD
DC
，则AB
CD
D．任一非零向量都可以平行移动
16.下列命题：①若a
b
，则a
b
；
②若a
b
，b
c
，则a
c
；
③a
b
的充要条件是a
b
且//
a b
r r ；
④若//
a b
r r ，//
b c
，则//
a c
r r ；
⑤若A 、B 、C 、D 是不共线的四点，则AB
DC
是四边形ABCD为平行四边形的充要条件.其中，真命
题的个数是（
）
A．2
B．3
C．4
D．5
17.若,a b
r r
都为非零向量，则“
0
a
b
a
b
”是“ a
与b
共线”的（
）
A．充要条件
B．充分不必要条件
C．必要不充分条件
D．既不充分也不必要条件
18.下列关于向量的命题，序号正确的是
.
①零向量平行于任意向量；
②对于非零向量,a b
，若
/ /
a
b
，则a
b
；
③对于非零向量,a b
，若a
b
，则
/ /
a
b
；
④对于非零向量,a b
，若
/ /
a
b
，则a
与b
所在直线一定重合.
