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14 小题＋1 大题(立几)——节选自昆明市质检
一、单选题(每小题5 分，共40 分)
1.若{an}是等比数列，a1＝1，a3＝5，则a5＝( )
A.7
B.9
C.25
D.35
答案 C
解析 a1·a5＝a，即1·a5＝52，所以a5＝25，故选C.
2.双曲线C：－＝1 的渐近线方程为( )
A.y＝±x
B.y＝±x
C.y＝±x
D.y＝±x
答案 D
解析 由双曲线方程可知，焦点在x 轴上，a＝2，b＝3，所以渐近线方程为y＝
±x＝±x，故选D.
3.复平面内表示复数z＝m＋(m＋1)i(m∈R)的点在直线y＝2x 上，则m＝( )
A.1
B.－1
C.2
D.－2
答案 A
解析 复数z 在复平面内对应的点为(m，m＋1)，该点在直线y＝2x 上，可得m
＋1＝2m，得m＝1，故选A.
4.已知如图网格中面积最小的正方形边长为1，平面向量a，b 如图所示，则|a－
b|＝( )
A.2
B.
C.
D.1
答案 C
解析 如图，将b 平移到与a 共起点的位置，由向量的三角形法则可得，a－b 表
示b 的终点指向a 的终点的向量，所以|a－b|＝＝，故选C.
5.在(1＋x)3＋(1＋x)4＋(1＋x)5的展开式中，含x2的项的系数是( )
A.16
B.19
C.21
D.24
答案 B
解析 (1＋x)3展开式的通项是C13－rxr，
令r＝2 可得C·1·x2＝3x2；
(1＋x)4展开式的通项是C14－rxr，
令r＝2 可得C·12·x2＝6x2；
(1＋x)5展开式的通项是C15－rxr，
令r＝2 可得C·13·x2＝10x2.
所以(1＋x)3＋(1＋x)4＋(1＋x)5的展开式中，
含x2的项为3x2＋6x2＋10x2＝19x2，系数为19，故选B.
6.已知函数f(x)＝ex＋e2－x，则下列说法正确的是( )
A.f(x)为增函数
B.f(x)有两个零点
C.f(x)的最大值为2e
D.y＝f(x)的图象关于直线x＝1 对称
答案 D
解析 对f(x)求导，得f′(x)＝ex－e2－x＝ex－，令f′(x)＝0，即ex－＝0，得ex＝，e2x
＝e2，ex＝e，所以x＝1.
当x∈(－∞，1)时，f′(x)<0，所以f(x)单调递减；
当x∈(1，＋∞)时，f′(x)>0，所以f(x)单调递增.
f(x)在x＝1 处取得极小值，也是f(x)的最小值，最小值为f(1)＝2e>0，f(x)无最大
值.
故A，B，C 错误；
对于D，f(2－x)＝e2－x＋e2－(2－x)＝e2－x＋ex＝f(x)，故y＝f(x)的图象关于直线x＝1
对称，D 正确.
7.早期天文学家常采用“三角法”测量行星的轨道半径.假设一种理想状态：地球
E 和某小行星M 绕太阳S 在同一平面上的运动轨道均为圆，三个星体的位置如图
所示.地球在E0位置时，测出∠SE0M＝；行星M 绕太阳运动一周回到原来位置，
地球运动到了E1位置，测出∠SE1M＝，∠E1SE0＝.若地球的轨道半径为R，则下
列选项中与行星M 的轨道半径最接近的是(参考数据：≈1.7)( )
A.2.1R
B.2.2R
C.2.3R
D.2.4R
答案 A
解析 连接E1E0，由题知∠SE0M＝，∠SE1M＝，∠E1SE0＝，所以∠E1ME0＝.SE1＝
SE0＝R，则△SE1E0为等边三角形，E1E0＝R.
在△E1ME0中，由正弦定理＝，即＝，解得ME0＝R.
在△SE0M 中，由余弦定理SM2＝SE＋ME－2SE0·ME0·cos∠SE0M，即SM2＝R2＋－
2R·R·，得SM2＝R2≈4.2R2，所以SM≈≈2.05R，接近2.1R，故选A.
8.已知椭圆E：＋＝1(a>b>0)的左、右焦点为F1，F2，圆x2＋y2＝a2－b2与E 的一
个交点为P，直线PF2与E 的另一个交点为Q，tan ∠F1QF2＝，则E 的离心率为
( )
A.
B.
C.
D.
答案 B
解析 设椭圆E 的半焦距为c，则a2－b2＝c2，所以圆的方程为x2＋y2＝c2.
连接PF1，由圆的性质可知∠F1PF2＝90°，
所以△F1PQ 为直角三角形.
由tan ∠F1QF2＝，可设|F1P|＝3x，|PQ|＝4x，|F1Q|＝5x.
由椭圆的定义可得|F1P|＋|PQ|＋|QF1|＝4a，即12x＝4a，得x＝，所以|F1P|＝a，
又|F1P|＋|F2P|＝2a，所以|F2P|＝a.
在Rt△F1PF2中，由勾股定理得|F1P|2＋|F2P|2＝|F1F2|2，即a2＋a2＝(2c)2，得a＝
c，所以E 的离心率e＝＝＝，故选B.
二、多选题(每小题6 分，共18 分)
9.已知函数f(x)＝sin 2x，若f(x1)＝f(x2)＝，则|x1－x2|的值可以为( )
A.
B.
C.
D.
答案 BD
解析 由题意知sin 2x＝，2x＝＋2k1π(k1∈Z)或2x＝＋2k2π(k2∈Z)，
即x＝＋k1π(k1∈Z)或x＝＋k2π(k2∈Z).
令x1＝＋k1π(k1∈Z)，x2＝＋k2π(k2∈Z)，则|x1－x2|＝|x2－x1|＝(k1，k2∈Z)，
因为k1，k2∈Z，所以k2－k1∈Z，则|x2－x1|＝(n∈Z).
令n＝0，得|x2－x1|＝，
令n＝－1，得|x2－x1|＝，故选BD.
10.在数列{an}中，∀n≥2，n∈N*，an＋1＋an－1＝a1an，记{an}的前n 项和为Sn，则
下列说法正确的是( )
A.若a1＝1，a2＝2，则a3＝1
B.若a1＝1，a2＝2，则an＝an＋4
C.若a1＝2，a2＝3，则an＝n＋1
D.若a1＝2，a2＝3，则S20＝230
答案 ACD
解析 对于A，令n＝2，有a3＋a1＝a1a2，a3＋1＝2，得a3＝1，故A 正确；
对于B，由A 知，a3＝1，同理令n＝3，得a4＝－1，令n＝4，得a5＝－2，不满
足a1＝a5，故B 错误；
对于C，若a1＝2，则∀n≥2，n∈N*，an＋1＋an－1＝2an，所以{an}为等差数列，
{an}的公差d＝a2－a1＝1，an＝a1＋(n－1)d＝2＋n－1＝n＋1，故C 正确；
对于D，由C 知，{an}为等差数列，则S20＝20×2＋＝230，故D 正确.
11.在矩形ABCD 中，AB＝1，BC＝，以对角线BD 为折痕将△ABD 进行翻折，
折后为△A′BD，连接A′C，得到三棱锥A′－BCD，在翻折过程中，下列说法正确
的是( )
A.三棱锥A′－BCD 体积的最大值为
B.点A′，B，C，D 都在同一球面上
C.点A′在某一位置，可使BD⊥A′C
D.当A′B⊥DC 时，A′C＝
答案 ABD
解析 对于A，设点A′到底面BCD 的距离为h，则V 三棱锥A′－BCD＝S△BCD·h，又
S△BCD＝××1＝，所以当平面A′BD⊥平面BCD 时，h 最大，三棱锥A′－BCD 的体
积最大.此时在△A′BD 中，×1×＝×2×h，得h＝，此时V 三棱锥A′－BCD＝××＝，故
A 正确.
对于B，设BD 的中点为O，如图，连接OC，OA′，在翻折过程中，总有OC＝
OD＝OB＝OA′，所以O 为三棱锥A′－BCD 外接球的球心，即点A′，B，C，D 都
在球O 上，故B 正确.
对于C，假设存在这样的点A′，使得BD⊥A′C，过点A′作A′G⊥BD，交BD 于点
G，连接CG，因为A′C∩A′G＝A′，A′C，A′G⊂平面A′GC，所以BD⊥平面
A′GC，因为GC⊂平面A′GC，所以BD⊥GC，显然在矩形ABCD 中不成立，所以
不存在这样的点A′.故C 错误.
对于D，因为A′B⊥DC，A′B⊥A′D，DC∩A′D＝D，DC，A′D⊂平面A′CD，
所以A′B⊥平面A′CD，
又A′C⊂平面A′CD，故A′B⊥A′C，
在Rt△A′CB 中，由勾股定理得A′C2＝CB2－A′B2＝()2－12＝2，所以A′C＝，故D
正确.
三、填空题(每小题5 分，共15 分)
12.已知cos α＝，α∈，则tan 2α＝________.
答案 －2
解析 由题意得sin α＝＝＝＝，
故tan α＝＝，
所以tan 2α＝＝＝－2.
13.已知正六棱锥的侧棱长为2，其各顶点都在同一球面上，若该球的表面积为
16π，则该正六棱锥的体积为________.
答案
解析 如图，记该正六棱锥的顶点为A，底面正六边形的中心为O1，连接O1A.
记该球的球心为O，由题意得该球的球心在直线O1A 上，连接OB，O1B.
记该球的半径为R，则4πR2＝16π，得R＝2.
设正六棱锥的高为h，底面边长为a，则在Rt△OO1B 中，有(h－R)2＋a2＝R2，即
(h－2)2＋a2＝4，
所以h2－4h＋a2＝0.又h2＋a2＝(2)2＝12，所以h＝3，a＝，
则正六棱锥的体积V＝×6×××××3＝.
14.如图，一个质点从原点0 出发，每隔一秒随机、等可能地向左或向右移动一
个单位，共移动6 次.质点位于4 的位置的概率为________；在质点第一秒位于1
的位置的条件下，该质点共经过两次3 的位置的概率为________.
答案
解析 记质点向左移动的次数为X，则X～B(n，p)，且n＝6，p＝，所以X～B.
质点从原点0 出发，共移动6 次到达4 的位置，在6 次移动过程中必向左移动1
次、向右移动5 次，则质点位于4 的位置的概率P(X＝1)＝C··＝.
当质点第一秒位于1 的位置时，质点还要移动5 次，共有25＝32(种)移动路线.若
该质点经过两次3 的位置，则有1－2－3－2－3－2，1－2－3－2－3－4，1－2
－3－4－3－2，1－2－3－4－3－4，共4 种情况，所以该质点共经过两次3 的位
置的概率P＝＝.
四、解答题(本题共13 分；考查方向：立几)
15.如图，在直三棱柱ABC－A1B1C1 中，D，E 分别为A1C，AB 的中点，连接
A1B，BC1.
(1)证明：DE∥平面A1BC1；
(2)若DE⊥AB，AB＝BC＝1，AA1＝2，求二面角A1－BC1－C 的正弦值.
(1)证明 如图，连接AC1.
因为D 为A1C 的中点，所以D 为AC1 的中点，又E 为AB 的中点，所以
DE∥BC1，
又DE⊄平面A1BC1，BC1⊂平面A1BC1，
所以DE∥平面A1BC1.
(2)解 由(1)得DE∥BC1，因为DE⊥AB，所以AB⊥BC1.
在直三棱柱ABC－A1B1C1中，BB1⊥平面ABC，所以AB⊥BB1，
因为BB1∩BC1＝B，BB1，BC1⊂平面B1BCC1，
所以AB⊥平面B1BCC1，故AB⊥BC.
建立如图所示的空间直角坐标系B－xyz，
则A1(0，1，2)，B(0，0，0)，C1＝(1，0，2)，
BA1＝(0，1，2)，BC1＝(1，0，2).
设平面A1BC1的法向量为n＝(x，y，z)，
则
可取n＝(2，2，－1)为平面A1BC1的一个法向量.
易知m＝(0，1，0)为平面B1BCC1的一个法向量，
则|cos〈n，m〉|＝＝.
设二面角A1－BC1－C 的大小为θ，
则|cos θ|＝，sin θ＝＝，
所以二面角A1－BC1－C 的正弦值为.
