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三角函数与解三角形六类核心题型
目录
题型一：三角恒等变换与三角函数1
题型二：正余弦定理解三角形的边与角3
题型三：利用正弦定理求三角形外接圆4
题型四：解三角形中边长或周长的最值范围6
题型五：解三角形中面积的最值范围7
题型六：三角形的角平分线、中线、垂线8
必刷大题9
题型一：三角恒等变换与三角函数
大题典例
例1 ：(24 - 25 高三上·河南·月考) 已知向量m= (cosx + sinx, 3sinx),n= (cosx - sinx,2cosx)，函数g(x) =
m⋅n.
(1) 求g(x) 的最小正周期;
(2) 若函数f(x) = g(x) - a 在区间0, π
2
上恰有两个零点，求实数a 的取值范围.
2
变式训练
【变式1】(24 - 25 高三上·江苏常州·月考) 如图，已知函数f x
= 2sin ωx+φ
ω>0, φ
< π
2
的图象过点
A 0,1
和B x0,-2
x0>0
，且满足AB
=
13.
(1) 求f x
的解析式；
(2) 当x ∈- 1
4 ,1
时，求函数f x
值域.
【变式2】(24 - 25 高三上·北京·期中) 已知函数f x
= sin2x + 2sinxcosx - cos2x.
(1) 求f x
的最小正周期；
(2) 求不等式f x
≥-1 的解集；
(3) 从条件①，条件②，条件③选择一个作为已知条件，求m 的取值范围.
①f x
在0,m
有恰有两个极值点；
②f x
在0,m
单调递减；
③f x
在0,m
恰好有两个零点.
注：如果选择的条件不符合要求，0 分；如果选择多个符合要求的条件解答，按第一个解答计分.
3
题型二：正余弦定理解三角形的边与角
大题典例
例2 ：(24 - 25 高三上·福建南平·期中) 在锐角△ABC 中，角A,B,C 所对的边分别为a,b,c. 已知cos2 A+B
=
- 3
4
(1) 求tan2C；
(2) 当c = 2a，且b =
7
2
时，求a.
变式训练
【变式1】(24 - 25 高三上·江苏苏州·月考) 记△ABC 的内角A，B，C 的对边分别为a，b，c，已知a( 2 - cosB)
= 2bcos2 A
2 .
(1) 证明：b + c =
2a；
(2) 若a = 2，tanBtanC = 3，求sinA.
4
【变式2】(24 - 25 高三上·上海·期中) 在△ABC 中，角A、B、C 所对的边分别为a、b、c，已知a = 5．
(1) 若A = π
3 ，b = 3c，求c；
(2) 若A = π
6 ，5csinB = 3b，求△ABC 的周长．
题型三：利用正弦定理求三角形外接圆
大题典例
例3 ：(24 - 25 高三上·全国·专题练习)△ABC 的内角A，B，C 的对边分别为a，b，c，已知b2+c2-a2
ab
=
2sinB-sinA
sinA
．
(1) 求C 的大小；
(2) 若△ABC 面积为6 3，外接圆面积为49
3 π，求△ABC 周长.
5
变式训练
【变式1】(24 - 25 高三上·海南·月考) 如图，平面四边形ABCD 内接于一个圆，且AB = 5，BD = 3 5 ，A 为钝
角，sinA = 3
5 .
(1) 求sin∠ABD；
(2) 若BC = 5，求△BCD 的面积．
【变式2】(23 - 24 高三下·浙江·模拟预测) 如图，在平面内的四个动点A，B，C，D 构成的四边形ABCD 中，
AB = 1，BC = 2，CD = 3，AD = 4.
(1) 求△ACD 面积的取值范围；
(2) 若四边形ABCD 存在外接圆，求外接圆面积.
6
题型四：解三角形中边长或周长的最值范围
大题典例
例4 ：(24 - 25 高三上·四川绵阳·月考) 在锐角△ABC 中，角A，B，C 所对的边分别为a，b，c，b2= c2- ab.
(1) 求证：C = 2B；
(2)b = 2，求a 的取值范围.
变式训练
【变式1】(24 - 25 高三上·山西·月考) 在△ABC 中，角A,B ,C 的对边分别是a,b,c，且b+c
cosA =
a cosB-cosC
．
(1) 证明：A = 2B．
(2) 若△ABC 是锐角三角形，求b
a 的取值范围．
【变式2】(24 - 25 高三上·贵州遵义·月考) 记△ABC 的内角A，B，C 对应的三边分别为a，b，c，且
3 sinB +
cosB = 1.
(1) 求B；
(2) 若b = 3，求△ABC 的周长的取值范围.
7
题型五：解三角形中面积的最值范围
大题典例
例5 ：(24 - 25 高三上·辽宁沈阳·月考) 已知△ABC 中，角A,B,C 的对边分别为a,b,c，满足
3bsinC - ccosB
= c．
(1) 求角B．
(2) 若△ABC 为锐角三角形，且a = 2，求△ABC 面积的取值范围．
变式训练
【变式1】(24 - 25 高三上·江西·期中) 已知△ABC 中，角A,B,C 所对的边分别为a,b,c，且cosC
b
+ ccosA
ab
=
3
4acosB .
(1) 求cosB；
(2) 若b = 4，求△ABC 面积的最大值.
【变式2】(24 - 25 高三上·河南·月考) 在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且满足
a+b
cosA+cosB =
c
sinC ．
(1) 求C 的值；
(2) 若△ABC 内有一点P，满足∠APB = ∠APC = ∠CPB = 2π
3 ，CP = 1，求△ABC 面积的最小值．
8
题型六：三角形的角平分线、中线、垂线
大题典例
例6 ：(24 - 25 高三上·江苏徐州·月考) 已知△ABC 内角A，B，C 的对边分别为a，b，c，且2c = 2bcosA - a．
(1) 求角B；
(2) 若BD 是角B 的平分线，AD = 4 7,CD = 2 7，求线段BD 的长．
变式训练
【变式1】(24 - 25 高三上·福建福州·月考)△ABC 的内角A,B,C 所对的边分别为a,b,c，已知c-b
c
=
sin A-B
sinC
．
(1) 求A；
(2) 若D 为BC 中点，AD =
13
2
，AC = 3，求△ABC 的周长．
【变式2】(24 - 25 高三上·广西南宁·月考) 已知△ABC 的三个内角A,B,C 所对的边分别是a,b,c．已知b
c =
sin2B
2sinA+sinB ．
(1) 求角C；
(2) 若点D 在边AB 上，b = 2,CD = 1，请在下列两个条件中任选一个，求边长AB．
①CD 为△ABC 的角平分线；②CD 为△ABC 的中线．
9
必刷大题
名校模拟题
题1. (24 - 25 高三上·山东菏泽·期中) 记锐角△ABC 的内角A,B,C 的对边分别为a,b,c，已知c
b - cosC
cosB =
2cosA．
(1) 求B；
(2) 延长AC 到D，使AC = 2CD,∠CBD = 15°，求tanA．
题2. (24 - 25 高三上·上海·期中) 设△ABC 的内角A，B，C 的对边分别为a,b,c，a = btanA 且B 为钝角.
(1) 若A = π
12 ,c = 2，求△ABC 的面积；
(2) 求sinA + sinC 的取值范围.
题3. (24 - 25 高三上·湖南长沙·月考) 在△ABC 中，a，b，c 分别是内角A，B，C 的对边，且b2+ c2= 5a2.
(1) 若sinB =
6
2 sinC，求cosA；
(2) 若AB
⋅AC
= 8，求△ABC 的面积的最大值.
10
题4. (24 - 25 高三上·辽宁大连·月考) 在△ABC 中，角A、B、C 的对边分别为a、b、c，满足sin2A + sin2C =
sin2B + sinAsinC.
(1) 求角B 的大小；
(2) 若△ABC 的面积为
3，求a + c 的最小值．
题5. (24 - 25 高三上·江苏无锡·期中) 在△ABC 中，已知
3tanA-1
3tanB-1
= 4.
(1) 若△ABC 为锐角三角形，求角C 的值，并求sin2A - cos2B 的取值范围;
(2) 若AB =
3，线段AB 的中垂线交边AC 于点D，且CD = 1，求A 的值.
题6. (24 - 25 高三上·天津·月考) 在△ABC 中，角A,B,C 对应边分别为a,b,c，外接圆半径为1，已知
2 sin2A-sin2C
= a-b
sinB.
(1) 证明：a2+ b2- c2= ab；
(2) 求角C 和边c；
(3) 若b = 3
2 ，求sin 2A+4B+5C
.
11
高考真题
题7. (2024·上海·高考真题) 已知f(x) = sin ωx+ π
3
，ω > 0
(1) 设ω = 1，求解:y = f x
,x ∈0,π
的值域;
(2)a > π(a ∈R),f(x) 的最小正周期为π，若在x ∈π,a
上恰有3 个零点，求a 的取值范围.
题8. (2024·广东江苏·高考真题) 记△ABC 的内角A、B、C 的对边分别为a，b，c，已知sinC =
2cosB，a2+ b2
- c2=
2ab
(1) 求B；
(2) 若△ABC 的面积为3 +
3，求c．
题9. (2024·全国·高考真题) 记△ABC 的内角A，B，C 的对边分别为a，b，c，已知sinA +
3cosA = 2．
(1) 求A．
(2) 若a = 2，2bsinC = csin2B，求△ABC 的周长．
12
题10. (2024·天津·高考真题) 在△ABC 中，角A,B,C 所对的边分别为a,b,c，已知cosB = 9
16 ，b = 5，a
c = 2
3 ．
(1) 求a 的值；
(2) 求sinA 的值；
(3) 求cos B-2A
的值．
题11. (2024·北京·高考真题) 在△ABC 中，内角A,B,C 的对边分别为a,b,c，∠A 为钝角，a = 7，sin2B =
3
7 bcosB．
(1) 求∠A；
(2) 从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使得△ABC 存在，求△ABC 的面积．
条件①：b = 7；条件②：cosB = 13
14 ；条件③：csinA = 5
2
3．
注：如果选择的条件不符合要求，第(2) 问得0 分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计
分．
13
题12. (2023·北京·高考真题) 设函数f(x) = sinωxcosφ + cosωxsinφ ω>0,|φ|< π
2
．
(1) 若f(0) =-
3
2 ，求φ 的值．
(2) 已知f(x) 在区间- π
3 , 2π
3
上单调递增，f 2π
3
= 1，再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一
个作为已知，使函数f(x) 存在，求ω,φ 的值．
条件①：f
π
3
=
2；
条件②：f - π
3
=-1；
条件③：f(x) 在区间- π
2 ,- π
3
上单调递减．
注：如果选择的条件不符合要求，第(2) 问得0 分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计
分．
1
解答题：空间向量与立体几何
目录
题型一空间异面直线夹角的求解1
题型二空间直线与平面夹角的求解3
题型三空间平面与平面夹角的求解5
题型四空间点、线、面间的距离求解7
题型五空间几何体的体积求解9
题型六空间几何体的翻折问题11
题型七空间动点存在性问题的探究13
必刷大题15
题型一
空间异面直线夹角的求解
大题典例
1. (23 - 24 高三上·河北衡水·月考) 如图，在四棱锥P - ABCD 中，PA ⊥平面ABCD，底面ABCD 是平
行四边形，且△ABD 是等边三角形，AB = 2.
(1) 求证：BD ⊥平面PAC；
(2) 若△PAB 是等腰三角形，求异面直线PB 与AC 所成角的余弦值.
2
解法指导
1、求异面直线所成角一般步骤：
(1) 平移：选择适当的点，线段的中点或端点，平移异面直线中的一条或两条成为相交直线．
(2) 证明：证明所作的角是异面直线所成的角．
(3) 寻找：在立体图形中，寻找或作出含有此角的三角形，并解之．
(4) 取舍：因为异面直线所成角θ 的取值范围是0, π
2
，所以所作的角为钝角时，应取它的补角作为异面直线
所成的角．
2、可通过多种方法平移产生，主要有三种方法：
(1) 直接平移法(可利用图中已有的平行线)；
(2) 中位线平移法；
(3) 补形平移法(在已知图形中，补作一个相同的几何体，以便找到平行线)．
3、异面直线所成角：若n1
,n2
分别为直线l1,l2 的方向向量，θ 为直线l1,l2 的夹角，则cosθ =
cos<n1
,n2
>
=
n1
⋅n2
n1
n2
.
变式训练
2. (24 - 25 高三上·江西南昌·开学考试) 如图，圆锥PO 的轴截面PAB 是边长为4 的等边三角形，C 是
OB 的中点，D 是底面圆周上一点，∠DOC = 2π
3 .
(1) 求DC 的值；
(2) 求异面直线PA 与DC 所成角的余弦值.
3
3. (24 - 25 高三上·上海·期中) 如图，在直三棱柱ABC - A1B1C1中，AB ⊥AC，AB = AC = AA1= 1.
(1) 求证：A1C ⊥平面ABC1；
(2) 求直线A1B 与AC1所成角的余弦值.
题型二
空间直线与平面夹角的求解
大题典例
4. (24 - 25 高三上·江苏南京·期中) 如图，在四棱锥P - ABCD 中，平面PAD ⊥平面ABCD，PA ⊥PD，
AB ⊥AD，PA = PD，AB = 2，AD = 8，AC = CD = 5，
(1) 求证：平面PCD ⊥平面PAB；
(2) 求直线PB 与平面PCD 所成角的正弦值.
4
解法指导
1、垂线法求线面角(也称直接法)：
(1) 先确定斜线与平面，找到线面的交点B 为斜足；找线在面外的一点A，过点A 向平面α 做垂线，确定垂
足O；
(2) 连结斜足与垂足为斜线AB 在面α 上的投影；投影BO 与斜线AB 之间的夹角为线面角；
(3) 把投影BO 与斜线AB 归到一个三角形中进行求解(可能利用余弦定理或者直角三角形)。
3、公式法求线面角(也称等体积法)：
用等体积法，求出斜线PA 在面外的一点P 到面的距离，利用三角形的正弦公式进行求解。
公式为：sinθ = h
l ，其中θ 是斜线与平面所成的角，h 是垂线段的长，l 是斜线段的长。
方法：已知平面β 内一个多边形的面积为S，它在平面α 内的射影图形的面积为S射影，
平面α 和平面β 所成的二面角的大小为θ，则COSθ = S射影
S
. 这个方法对于无棱二面角的求解很简便。
4、直线与平面所成角：设n1
是直线l 的方向向量，n2
是平面α 的法向量，直线与平面的夹角为θ. 则sinθ
= cos<n1
,n2
>
=
n1
⋅n2
n1
n2
.
变式训练
5. (24 - 25 高三上·黑龙江哈尔滨·月考) 在三棱柱ABC - A1B1C1 中，AB1 = BB1 = B1C = 5，AB = 4，
AC = 6，AB ⊥BC，D 为AC 中点.
(1) 求证：B1D ⊥平面ABC；
(2) 求直线B1C1与平面ABB1A1所成角的正弦值.
5
6. (24 - 25 高三上·云南大理·月考) 如图，在四棱锥P - ABCD 中，底面ABCD 为平行四边形，侧棱PD
⊥底面ABCD，PD = CD = 2,BD = 2 2 ,∠BDC = 45°. 点E 是棱PC 的中点，点F 为棱PB 上的一
点，且BF
= 2
3 BP
.
(1) 求证：平面PBC ⊥平面PCD；
(2) 求直线DC 与平面DEF 所成角的正弦值.
题型三
空间平面与平面夹角的求解
大题典例
7. (24 - 25 高三上·湖北·期中) 如图，球O 的半径为R，A,B,C 为球面上三点，若三角形ABC 为直角三角
形，其中AC ⊥BC. 延长AO 与球O 的表面交于点D.
(1) 求证：BD ⊥平面ABC；
(2) 若直线DA,DC 与平面ABC 所成的角分别为π
4 , π
3 ，试求二面角C - AD - B 的正弦值.
6
解法指导
1、几何法
(1) 定义法(棱上一点双垂线法)：在二面角的棱上找一个特殊点，在两个半平面内分别过该点作垂直于棱的
射线．
(2) 三垂线法(面上一点双垂线法)：自二面角的一个面上一点向另外一个面作垂线，再由垂足向棱作垂线得
到棱上的点(即斜足)，斜足和面上一点的连线与斜足和垂足的连线所夹的角，即为二面角的平面角
(3) 垂面法(空间一点垂面法)：过空间一点作与棱垂直的平面，截二面角得两条射线，这两条射线所成的角
就是二面角的平面角。
(4) 射影面积法求二面角cosθ = s射影
S
2、向量法：若n1
,n2
分别为平面α,β 的法向量，θ 为平面α,β 的夹角，则cosθ = cos<n1
,n2
>
=
n1
⋅n2
n1
n2
.
变式训练
8. (24 - 25 高三上·福建南平·期中) 如图，在四棱锥P - ABCD 中，点B 在平面PAD 上射影是△PAD 的
外心，且BP =
5,PA = PD =
2,∠APD = 90°,E 是棱PA 的中点，且CD ⊥平面PAD.
(1) 证明：BE ∥平面PCD；
(2) 若CD = 1，求二面角A - PB - C 的正弦值.
7
9. (24 - 25 高三上·北京·月考) 如图，在四棱锥P - ABCD 中，底面ABCD 为正方形，PA ⊥平面
ABCD，PA = AB，M 为线段PD 的动点.
(1) 若直线PB ⎳平面ACM ，求证：M 为PD 的中点：
(2) 求证：平面ABM ⊥平面PAD
(3) 若平面PAC 与平面MAC 夹角的余弦值为
3
3 ，求PM
MD 的值.
题型四
空间点、线、面间的距离求解
大题典例
10. (24 - 25 高三上·贵州贵阳·月考) 如图，DE 是正三角形ABC 的一条中位线，AB = 2，将△ADE 沿DE
折起，得到四棱锥A1- BCDE.
(1) 证明：AA1⊥平面A1BC；
(2) 若A1E ⊥CD 求点B 到平面EA1D 的距离.
8
解法指导
1、几何法求点面距
(1) 定义法(直接法)：找到或者作出过这一点且与平面垂直的直线，求出垂线段的长度；
(2) 等体积法：通过点面所在的三棱锥，利用体积相等求出对应的点线距离；
(3) 转化法：转化成求另一点到该平面的距离，常见转化为求与面平行的直线上的点到面的距离．
2、向量法求空间距离：
(1) 点面距：已知平面α 的法向量为n, A 是平面α 内的任一点，P 是平面α 外一点, 过点P 作则平面α
的垂线l，交平面α 于点Q，则点P 到平面α 的距离为PQ = AP
⋅n
n
(2) 直线a 与平面α 之间的距离：d =
AB
⋅n
|n|
，其中A ∈a,B ∈α，n是平面α 的法向量。
(3) 两平行平面α,β 之间的距离：d =
AB
⋅n
|n|
，其中A ∈α,B ∈β，n是平面α 的法向量。
变式训练
11. (24 - 25 高三上·广东广州·月考) 已知四棱柱ABCD - A1B1C1D1 中，底面ABCD 为梯形，AB ∥CD，
A1A ⊥平面ABCD，AD ⊥AB，其中AB = AA1 = 2，AD = DC = 1.N ，M 分别是线段B1C1 和线段
DD1上的动点，且C1N
= λC1B1
，DM
= λDD1
(0 < λ < 1).
(1) 求证：D1N ⎳平面CB1M ；
(2) 若N 到平面CB1M 的距离为
11
11 ，求D1N 的长度.
9
12. (24 - 25 高三上·福建福州·月考) 如图，在直四棱柱ABCD - A1B1C1D1 中，底面四边形ABCD 为梯形，
AD ⎳BC，AB = AD = 2，BD = 2 2 ，BC = 4．
(1) 证明：A1B1⊥AD1；
(2) 若直线AB 与平面B1CD1所成角的正弦值为
6
6 ，求直线BD 到平面B1CD1的距离．
题型五
空间几何体的体积求解
大题典例
13. (23 - 24 高三上·海南海口·月考) 如图，在长方体ABCD - A1B1C1D1 中，AA1 = 2AD = 2AB = 4，E，F
分别为AA1，CD 的中点．
(1) 证明：B1D ⊥A1C1；
(2) 求三棱锥E - B1C1F 的体积．
10
解法指导
1、处理空间几何体体积的基本思路
(1) 转：转换底面与高，将原本不容易求面积的底面转换为容易求面积的底面，或将原来不容易看出的高转
换为容易看出并容易求解的高；
(2) 拆：将一个不规则的几何体拆成几个规则的几何体，便于计算；
(3) 拼：将小几何体嵌入一个大几何体中，如有时将一个三棱锥复原成一个三棱柱，将一个三棱柱复原乘一
个四棱柱，还台位锥，这些都是拼补的方法。
2、求体积的常用方法
(1) 直接法：对于规则的几何体，利用相关公式直接计算；
(2) 割补法：把不规则的几何体分割成规则的几何体，然后进行体积计算；或者把不规则的几何体补成规则
的几何体，不熟悉的几何体补成熟悉的几何体，便于计算；
(3) 等体积法：选择合适的底面来求几何体的体积，常用于求三棱锥的体积，即利用三棱锥的任一个面作为
三棱锥的底面进行等体积变换
变式训练
14. (24 - 25 高三上·广东深圳·月考) 如图，将长方形OAA1O1(及其内部) 绕OO1 旋转一周形成圆柱，其中
OA = 1，OO1= 2，劣弧AB 的长为α，A1B1为圆O1的直径，平面AOB 与平面A1O1B 的交线为l.
(1) 证明：l ⎳OA；
(2) 若平面AOB 与平面A1O1B 夹角的正切值为4 3
3
，求四棱锥B - OAA1O1的体积．
11
15. (24 - 25 高三上·河南·开学考试) 如图，四棱锥P - ABCD 中，底面四边形ABCD 为凸四边形，且PD
= AD = CD = 4，PA = PC = AC = 4 2 ，AB = BC．
(1) 证明：AC ⊥PB；
(2) 已知平面APC 与平面BPC 夹角的余弦值为7 57
57
，求四棱锥P - ABCD 的体积．
题型六
空间几何体的翻折问题
大题典例
16. (23 - 24 高三下·山东·模拟预测) 如图，在菱形ABCD 中，∠BAD = 60°，E 是AD 的中点，将△ABE 沿
直线BE 翻折使点A 到达点A1的位置，F 为线段A1C 的中点.
(1) 求证：DF ∥平面A1BE；
(2) 若平面A1BE ⊥平面BCDE，求直线A1E 与平面A1BC 所成角的大小.
12
解法指导
翻折问题的两个解题策略
1、确定翻折前后变与不变的关系：画好翻折前后的平面图形与立体图形，分清翻折前后图形的位置
和数量关系的变与不变．一般地，位于“折痕”同侧的点、线、面之间的位置和数量关系不变，而位于
“折痕”两侧的点、线、面之间的位置关系会发生变化；对于不变的关系应在平面图形中处理，而对于
变化的关系则要在立体图形中解决
2、确定翻折后关键点的位置：所谓的关键点，是指翻折过程中运动变化的点．因为这些点的位置移
动，会带动与其相关的其他的点、线、面的关系变化，以及其他点、线、面之间位置关系与数量关系的
变化．只有分析清楚关键点的准确位置，才能以此为参照点，确定其他点、线、面的位置，进而进行
有关的证明与计算
变式训练
17. (24 - 25 高三上·云南昆明·期中) 已知在长方形ABCD 中，AD = 2，AB = 4，点M 是边CD 的中点，如
图甲所示. 将△ADM 沿AM 翻折到△PAM ，连接PB，PC，得到四棱锥P - ABCM ，其中PB = 2 3 ，
如图乙所示.
(1) 求证：平面PAM ⊥平面ABCM ；
(2) 求平面PAM 和平面PBC 夹角的余弦值.
13
18. (2024·河北承德·二模) 如图1，在直角△APB 中，∠APB = 90°,C 为PB 中点，PA = PC = 1，取AC 中
点D，连接PD,BD，现把△APC 沿着AC 翻折，形成三棱锥P - ABC 如图2，此时PB =
3 ，取BC 中
点E，连接PE,DE，记平面PAB 和平面PDE 的交线为l,Q 为l 上异于P 的一点.
(1) 求证：PD ⊥平面ABC；
(2) 若直线AQ 与平面PDB 所成角的正弦值为
10
15 ，求PQ 的长度.
题型七
空间动点存在性问题的探究
大题典例
19. (24 - 25 高三上·四川德阳·月考) 如图，在四棱锥P - ABCD 中，底面ABCD 为矩形，PA ⊥平面
ABCD,E 为棱PD 上的动点.
(1) 若E 为PD 中点，证明：PB ⎳平面AEC；
(2) 若AP = 1,AD = 3,AB = 2，在线段PD 上是否存在点E 使得面DAE 与面AEC 夹角余弦值为
3 157
157
，若存在，求出点E 位置，若不存在，说明理由.
14
解法指导
借助于空间直角坐标系，把几何对象上动态点的坐标用参数(变量) 表示，将几何对象坐标化，这样
根据所要满足的题设要求得到相应的方程或方程组．若方程或方程组在题设范围内有解，则通过
参数的值反过来确定几何对象的位置；若方程或方程组在题设范围内无解，则表示满足题设要求的
几何对象不存在．
变式训练
20. (24 - 25 高三上·江西南昌·月考) 如图，在矩形纸片ABCD 中，AB = 4,BC = 2，沿AC 将△ADC 折起，
使点D 到达点P 的位置，且满足平面ABP ⊥平面BCP.
(1) 求证：平面ABC ⊥平面APB，并求PB 的长度；
(2) 若M 是线段PC 上(不包括端点) 的一个动点，是否存在点M ，使得直线MB 与平面PAC 的夹角
为π
3 ？若存在，求CM 的长度；若不存在，说明理由.
21. (24 - 25 高三上·湖南·月考) 如图，侧面BCC1B1 水平放置的正三棱台ABC - A1B1C1,AB = 2A1B1 = 4，
侧棱长为
2,P 为棱A1B1上的动点.
(1) 求证：AA1⊥平面BCC1B1；
(2) 是否存在点P，使得平面APC 与平面A1B1C1的夹角的余弦值为5 33
33
？若存在，求出点P；若不
存在，请说明理由.
15
必刷大题
刷模拟
22. (24 - 25 高三上·江苏扬州·月考) 已知三棱锥A - BCD,AD ⊥底面BCD,BC ⊥CD,AD = 4,BC =
CD = 2，点P 是AD 的中点，点Q 为线段BC 上一动点，点M 在线段DQ 上.
(1) 若PM ⎳平面ABC，求证：M 为DQ 的中点；
(2) 若Q 为BC 的中点，求直线DQ 与平面ABC 所成角的余弦值.
23. (24 - 25 高三上·江苏苏州·月考) 如图，在平行四边形ABCM 中，AB = AC = 3,∠ACM = 90°，以AC
为折痕将△ACM 折起，使点M 到达点D 的位置，且AB ⊥DA.
(1) 证明：平面ACD ⊥平面ABC.
(2)Q 为线段AD 上一点，P 为线段BC 上一点，且BP = DQ = 2
3 DA，求点P 到平面ABQ 的距离.
16
24. (24 - 25 高三上·浙江宁波·模拟考试) 在三棱锥P - ABC 中，侧面PAC 是边长为2 的等边三角形，
AB =
3 ，PB = 2，∠ABC = π
2 .
(1) 求证：平面PAC ⊥平面ABC；
(2) 求平面PAB 与平面PAC 的夹角的余弦值.
25. (24 - 25 高三上·黑龙江大庆·期中) 在梯形ABCD 中，AB ⎳CD，∠BAD = π
3 ，AB = 2AD = 2CD =
4，P 为AB 的中点，线段AC 与DP 交于O 点(如图1). 将△ACD 沿AC 折起到△ACD位置，使得
DO ⊥OP(如图2).
(1) 求证：平面DAC ⊥平面ABC；
(2) 线段PD上是否存在点Q，使得CQ 与平面BCD所成角的正弦值为
6
8 ? 若存在，求出PQ
PD的
值；若不存在，请说明理由.
17
26. (24 - 25 高三上·北京·期中) 如图，在四棱锥P - ABCD 中，直线AB ⎳平面PCD.∠ABC = 90°，
∠DAB = ∠PCB = 60°，CD = 1，AB = 3，PC = PB，平面PCB ⊥平面ABCD，F 为线段BC 的中点，
E 为线段PF 上一点.
(1) 证明：AB ⎳CD；
(2) 证明：PF ⊥AD；
(3) 是否存在点E，使得点E 到平面PAD 的距离是1
2 ，若存在求出FE
EP
的值，若不存在请说明理由.
27. (24 - 25 高三上·浙江·月考) 在四棱锥P - ABCD 中，AB ⊥BC ，AD ⊥CD，PO ⊥底面ABCD，点
O 在AC 上，且PB = PC.
(1) 求证：PA = PD；
(2) 若∠COD = π
6 ，AB = BC，点E 在PB 上，PD ⎳平面EOC，求PE
PB 的值；
(3) 若PO = AB = BC = 1，二面角P - AD - B 的正切值为2 2 ，求二面角D - AP - B 的余弦值.
18
刷真题
28. (2024·北京·高考真题) 如图，在四棱锥P - ABCD 中，BC ⎳AD，AB = BC = 1，AD = 3, 点E 在AD
上，且PE ⊥AD，PE = DE = 2．
(1) 若F 为线段PE 中点，求证：BF ⎳平面PCD．
(2) 若AB ⊥平面PAD，求平面PAB 与平面PCD 夹角的余弦值．
29. (2024·全国·高考真题) 如图，在以A，B，C ，D，E，F 为顶点的五面体中，四边形ABCD 与四边形
ADEF 均为等腰梯形，EF ⎳AD,BC ⎳AD，AD = 4,AB = BC = EF = 2，ED =
10,FB = 2 3 ，M 为
AD 的中点．
(1) 证明：BM ⎳平面CDE；
(2) 求二面角F - BM - E 的正弦值．
19
30. (2024·全国·高考真题) 如图，平面四边形ABCD 中，AB = 8，CD = 3，AD = 5 3 ，∠ADC = 90°，
∠BAD = 30°，点E ，F 满足AE
= 2
5 AD
，AF
= 1
2 AB
，将△AEF 沿EF 翻折至△PEF ，使得PC =
4 3．
(1) 证明：EF ⊥PD；
(2) 求平面PCD 与平面PBF 所成的二面角的正弦值．
31. (2024·广东江苏·高考真题) 如图，四棱锥P - ABCD 中，PA ⊥底面ABCD，PA = AC = 2，BC = 1,
AB =
3．
(1) 若AD ⊥PB，证明：AD ⎳平面PBC；
(2) 若AD ⊥DC，且二面角A - CP - D 的正弦值为
42
7
，求AD．
20
32. (2024·天津·高考真题) 如图，在四棱柱ABCD - A1B1C1D1 中，A1A ⊥平面ABCD，AB ⊥AD,
AB ⎳DC，AB = AA1= 2,AD = DC = 1．M,N 分别为DD1,B1C1的中点，
(1) 求证：D1N ⎳平面CB1M ；
(2) 求平面CB1M 与平面BB1C1C 夹角余弦值；
(3) 求点B 到平面CB1M 的距离．
1
解答题：数列及其综合应用
目录
题型一等差数列与等比数列证明1
题型二分组转化法求数列的前n 项和2
题型三裂项相消法求数列的前n 项和3
题型四错位相减法求数列的前n 项和4
题型五数列与不等式综合问题5
题型六数列中的探究问题7
必刷大题9
题型一
等差数列与等比数列证明
大题典例
1. (23 - 24 高三下·内蒙古包头·三模) 已知数列an
的前n 项和为Sn，a1= 3，Sn= 1 + an+1．
(1) 证明：数列Sn-1
是等比数列，并求Sn；
(2) 求数列
1
an
的前n 项和Tn．
2
变式训练
2. (24 - 25 高三上·上海·期中) 某人购买某种教育基金，今年5 月1 日交了10 万元，年利率5%，以后每年
5 月1 日续交2 万元，设从今年起每年5 月1 日的教育基金总额依次为a1，a2，a3，⋯⋯.
(1) 写出a2和a3，并求出an+1与an之间的递推关系式；
(2) 求证：数列an+40
为等比数列，并求出数列an
的通项公式.
3. (24 - 25 高三上·山东淄博·月考) 记Sn为数列an
的前n 项和，已知Sn= an
2 + n2+ 1，n ∈N *．
(1) 求a1+ a2，并证明an+an+1
是等差数列；
(2) 求S2n．
题型二
分组转化法求数列的前n 项和
大题典例
4. (24 - 25 高三上·北京·月考) 已知an
是各项均为正数的等比数列，a1 = 1，且a1，a2，-3a3 成等差数
列．
(1) 求an
的通项公式；
(2) 求数列an-n
的前n 项和Sn．
3
变式训练
5. (24 - 25 高三上·河北衡水·月考) 已知数列an
的前n 项和为Sn，a1= 13，an+1= an-8,n为奇数
3an,n为偶数
．
(1) 证明：数列a2n-1-12
为等比数列；
(2) 若S2n+1= 16n + 1469，求n 的值．
6. (24 - 25 高三上·海南海口·月考) 已知数列an
是公差为3 的等差数列，数列bn
满足b1 = 1，b2 =
1
3 ，anbn+1+ bn+1= nbn，
(1) 求数列an
，bn
的通项公式；
(2) 求数列(-1)nan+bn
的前2n 项和S2n．
题型三
裂项相消法求数列的前n 项和
大题典例
7. (24 - 25 高三上·湖北·期中) 记Sn 是等差数列an
的前n 项和，a1 = 2，且a2 - 2，a3 - 4，a4 - 6 成等比
数列.
(1) 求an和Sn；
(2) 若bnSn= 2，求数列bn
的前20 项和T20.
4
变式训练
8. (24 - 25 高三上·广东深圳·模拟预测) 若一个数列从第二项起，每一项与前一项的差值组成的新数列是
一个等差数列，则称这个数列是一个“二阶等差数列”，已知数列an
是一个二阶等差数列，其中a1 =
1,a2= 3,a3= 6．
(1) 求a4及an
的通项公式；
(2) 设bn=
8an-4n
8an-4n-1 ，求数列bn
的前n 项和Sn．
9. (24 - 25 高三上·宁夏石嘴山·月考) 已知数列an
的首项为1，且an+1= 2an n∈N ∗
.
(1) 求数列an
的通项公式；
(2) 若bn=
2n-1
an+1
an+1+1
，求数列bn
的前n 项和Tn.
题型四
错位相减法求数列的前n 项和
大题典例
10. (24 - 25 高三上·广东广州·模拟预测) 已知数列an
的前n 项和公式为Sn = 3n2 - 2n，数列bn
满足
b1= a1.
(1) 求数列an
的通项公式；
(2) 若an= 2n bn+1-bn
，求数列bn
的通项公式.
5
变式训练
11. (24 - 25 高三上·贵州贵阳·月考) 已知数列an
满足：an = 2n - 10，数列bn
满足：b1 + b2
5 + b3
52 +⋯
+ bn
5n-1 = 5n,n ∈N *.
(1) 求数列
an
的前15 项和S15；
(2) 求数列
an
bn
的前n 项和Tn.
12. (24 - 25 高三上·湖北·期中) 已知an
是公差不为0 的等差数列，a4 = 21，且a1，a2，a5 成等比数列，数
列bn
满足：bn+1= 4bn- 3，且b1= 2a1- 1.
(1) 求an
和bn
的通项公式；
(2) 若Tn为数列
an
bn-1
的前n 项和，求Tn.
题型五
数列与不等式综合问题
大题典例
13. (23 - 24 高三下·河北邢台·二模) 已知数列an
的前n 项和为Sn，且Sn= 2an- 1, n≥1
．
(1) 求数列an
的通项公式；
(2) 求证：1
S1
+ 1
S2
+ 1
S3
+⋯+ 1
Sn
< 2．
6
变式训练
14. (24 - 25 高三上·吉林·模拟预测) 已知数列an
的首项a1= 4
5 ，且满足an+1=
4an
an+3 ，设bn= 1
an - 1．
(1) 求证：数列bn
为等比数列；
(2) 若1
a1
+ 1
a2
+ 1
a3
+⋯+ 1
an > 2024，求满足条件的最小正整数n．
15. (24 - 25 高三上·辽宁·开学考试) 已知Sn 为数列an
的前n 项和，Tn 为数列bn
的前n 项和，an+2 =
2an+1- an,bn= 2an+1,n为奇数
2an-1,n为偶数
,b4=8,S5=15
.
(1) 求an
的通项公式；
(2) 若T2n- S2n< 2025，求n 的最大值；
(3) 设cn=
1
T2n-S2n
，证明：1
2 ≤
n
i=1
ci
< 3
4 .
7
题型六
数列中的探究问题
大题典例
16. (23 - 24 高三下·福建·模拟预测) 已知数列an
的前n 项和为Sn，a1 = 1，数列bn
满足Sn
an = bn，且
an,bn均为正整数.
(1) 是否存在数列an
，使得bn
是等差数列？若存在，求此时的Sn；若不存在，说明理由；
(2) 若bn> bn-1，求an
的通项公式.
变式训练
17. (24 - 25 高三上·天津·月考) 已知等比数列an
的前n 项和为Sn，且an+1= 2Sn+ 2 n∈N *
．
(1) 求数列an
的通项公式；
(2) 在an与an+1之间插入n 个数，使这n + 2 个数组成一个公差为dn的等差数列．
(i) 求数列dn
的通项及
2n-1
k=1
(k+1)
dk；
(ii) 在数列dn
中是否存在3 项dm,dk,dp(其中m，k，p 成等差数列) 成等比数列？若存在，求出这样
的3 项；若不存在，请说明理由．
8
18. (24 - 25 高三上·江苏无锡·期中) 在下面n 行、n 列n∈N *
的表格内填数：第一列所填各数自上而下
构成首项为1，公差为2 的等差数列an
；第一行所填各数自左向右构成首项为1，公比为2 的等比数
列bn
；其余空格按照“任意一格的数是它上面一格的数与它左边一格的数之和”的规则填写. 设第2
行的数自左向右依次记为c1,c2,c3, ⋯,cn.
第1 列
第2 列
第3 列
⋯
第n 列
第1 行
1
2
22
⋯
2n-1
第2 行
3
5
9
第3 行
5
10
⋯
⋯
第n 行
2n - 1
(1) 求数列cn
通项公式;
(2) 对任意的m ∈N ∗，将数列an
中落入区间bm,cm
内项的个数记为dm，
①求d1和d10的值;
②设数列am⋅dm
的前m 项和Tm；是否存在m ∈N *，使得9 Tm+2
= 5m ⋅3m-1，若存在，求出所有m
的值，若不存在，请说明理由.
9
必刷大题
刷模拟
1. (24 - 25 高三上·贵州铜仁·模拟预测) 已知正项等差数列an
满足：a1 = 1 且a1，a3，2a7 - 1 成等比数
列.
(1) 求数列an
的通项公式；
(2) 若数列bn
满足：bn= 2an，n ∈N *，求数列an+bn
的前n 项和Tn.
2. (24 - 25 高三上·江苏镇江·模拟预测) 已知数列an
满足a1= 1，an+1= an,n为奇数
an+4,n为偶数
(1) 记bn= a2n，写出b1，b2，证明数列{bn} 是等差数列，并求数列{bn} 的通项公式；
(2) 求an
的前20 项和．
3. (24 - 25 高三上·湖南长沙·月考) 已知数列an
的前n 项和为Sn，a1= 1，满足2Sn= nan+1．
(1) 求an；
(2) 若bn= 3n⋅an，求数列bn
的前n 项和Tn．
10
4. (24 - 25 高三上·江西上饶·月考) 设函数f x
=
3x
2x+3 ，数列an
满足a1= 1，且an+1= f an
,n ∈N *.
(1) 求证：数列
1
an
是等差数列；
(2) 令bn= an-1⋅an n≥2
,b1= 3,Sn= b1+ b2+⋯+bn，若Sn< m-2015
2
对一切n ∈N *成立，求最小正
整数m 的值.
5. (24 - 25 高三上·江苏泰州·期中) 已知数列an
为等差数列，公差d ≠0，前n 项和为Sn，a2 为a1 和a5
的等比中项，S11= 121.
(1) 求数列an
的通项公式；
(2) 是否存在正整数m，n 3<m<n
，使得1
a3
，1
am ，1
an 成等差数列？若存在，求出m，n 的值；若不
存在，请说明理由；
(3) 求证：数列∑
n+1
i=2
1
Si
< 2
3 .
11
6. (24 - 25 高三上·山东青岛·月考) 已知数列an
的前n 项和Sn = 1
3
1-an
n∈N ∗
．若2 + bn =
3log 1
4an，且数列cn
满足cn= an⋅bn．
(1) 求证：数列bn
是等差数列；
(2) 求证：数列cn
的前n 项和Tn< 2
3 ；
(3) 若cn≤1
4
t2+t-1
对一切n ∈N ∗恒成立，求实数t 的取值范围．
刷真题
7. (2024·全国·高考真题) 已知等比数列an
的前n 项和为Sn，且2Sn= 3an+1- 3.
(1) 求an
的通项公式；
(2) 求数列Sn
的前n 项和.
12
8. (2024·全国·高考真题) 记Sn为数列an
的前n 项和，已知4Sn= 3an+ 4．
(1) 求an
的通项公式；
(2) 设bn= (-1)n-1nan，求数列bn
的前n 项和Tn．
9. (2024·上海·高考真题) 若f x
= logax(a > 0,a ≠1)．
(1)y = f x
过4,2
，求f 2x-2
< f x
的解集；
(2) 存在x 使得f x+1
、f ax
、f x+2
成等差数列，求a 的取值范围．
10. (2024·天津·高考真题) 已知an
为公比大于0 的等比数列，其前n 项和为Sn，且a1= 1,S2= a3- 1．
(1) 求an
的通项公式及Sn；
(2) 设数列bn
满足bn= k,n=ak
bn-1+2k,ak<n<ak+1
，其中k ∈N *．
(ⅰ) 求证：当n = ak+1 k∈N *,且k>1
时，求证：bn-1≥ak⋅bn；
(ⅱ) 求
Sn
i=1
bi
．
1
解答题：概率与统计
目录
题型一离散型随机变量及其分布列1
题型二超几何分布与二项分布3
题型三均值与方差的实际应用5
题型四正态分布与标准正态分布7
题型五线性回归与非线性回归9
题型六独立性检验及应用12
题型七条件概率/ 全概率公式/ 贝叶斯公式14
题型八概率与统计图表的综合应用16
题型九概率与其他知识的交汇应用19
题型十利用概率解决决策类问题22
必刷大题25
题型一
离散型随机变量及其分布列
大题典例
1. (23 - 24 高三下·广东佛山·一模) 密室逃脱是当下非常流行的解压放松游戏，现有含甲在内的7 名成员
参加密室逃脱游戏，其中3 名资深玩家，4 名新手玩家，甲为新手玩家.
(1) 在某个游戏环节中，需随机选择两名玩家进行对抗，若是同级的玩家对抗，双方获胜的概率均为
1
2 ；若是资深玩家与新手玩家对抗，新手玩家获胜的概率为1
3 ，求在该游戏环节中，获胜者为甲的概
率；
(2) 甲作为上一轮的获胜者参加新一轮游戏：如图，有两间相连的密室，设两间密室的编号分别为①和
②. 密室①有2 个门，密室②有3 个门(每个门都可以双向开)，甲在每个密室随机选择1 个门出去，若
走出密室则挑战成功. 若甲的初始位置为密室①，设其挑战成功所出的密室号为X X=1,2
，求X 的
分布列.
2
变式训练
2. (24 - 25 高三上·贵州·月考习) 已知甲、乙两人参加某档知识竞赛节目，规则如下：甲、乙两人以抢答的
方式答题，抢到并回答正确得1 分，答错则对方得1 分，甲、乙两人初始分均为0 分，答题过程中当一人
比另一人的得分多2 分时，答题结束，且分高者获胜，若甲、乙两人总共答完5 题时仍未分出胜负，则答
题直接结束，且分高者获胜. 已知甲、乙两人每次抢到题的概率都为1
2 ，甲、乙两人答对每道题的概率
分别为3
4 , 5
12 ，每道题两人答对与否相互独立，且每题都有人抢答.
(1) 求第一题结束时甲获得1 分的概率；
(2) 记X 表示知识竞赛结束时，甲、乙两人总共答题的数量，求X 的分布列与期望.
3. (24 - 25 高三上·北京·月考习) 某校举办知识竞赛，已知学生甲是否做对每个题目相互独立，做对A,B,
C 三道题目的概率以及做对时获得相应的奖金如表所示.
题目
A
B
C
做对的概率
4
5
1
2
1
4
获得的奖金/ 元
20
40
80
规则如下：按照A,B,C 的顺序做题，只有做对当前题目才有资格做下一题.
[注：甲最终获得的奖金为答对的题目相对应的奖金总和.]
(1) 求甲没有获得奖金的概率；
(2) 求甲最终获得的奖金X 的分布列及期望；
(3) 如果改变做题的顺序，最终获得的奖金期望是否相同？如果不同，你认为哪个顺序最终获得的奖
金期望最大？(不需要具体计算过程，只需给出判断)
3
题型二
超几何分布与二项分布
大题典例
4. (24 - 25 高三上·北京·期中) 某种产品按照产品质量标准分为一等品、二等品、三等品、四等品四个等
级，某采购商从采购的该种产品中随机抽取100 件，根据产品的等级分类得到如下数据：
等级
一等品
二等品
三等品
四等品
数量
40
30
10
20
(1) 根据产品等级，按分层抽样的方法从这100 件产品中抽取10 件，再从这10 件产品中随机抽取3 件，
记这3 件产品中一等品的数量为X，求X 的分布列及数学期望；
(2) 若将频率视为概率，从采购的产品中有放回地随机抽取3 件产品，求恰好有1 件四等品的概率；
(3) 生产商提供该产品的两种销售方案供采购商选择，
方案一：产品不分类，售价均为21 元/ 件.
方案二：分类卖出，分类后的产品售价如下：
等级
一等品
二等品
三等品
四等品
售价/(元/ 件)
24
22
18
16
从采购商的角度考虑，你觉得应该选择哪种销售方案？请说明理由.
4
变式训练
5. (24 - 25 高三上·黑龙江哈尔滨·月考习) 哈三中文学社团举行知识竞赛答题活动，比赛分两轮，具体规
则如下：第一轮，参赛选手从A 类6 道题中任选3 道进行答题，都答完后错题个数不超过1 道(否则终
止比赛) 才能进行第二轮答题；第二轮答题从B 类10 道题中任选3 道进行答题．A 类题每答对一道
得10 分，B 类题每答对一道得30 分，答错不扣分，以两轮总分和决定优胜．总分80 分或90 分为三等
奖，110 分为二等奖，120 分为一等奖．某班参加活动的同学A 类题中只有4 道能答对，B 类题中，每
题答对的概率均为2
3 ，且各题答对与否互不影响．
(1) 求该同学被终止比赛的概率；
(2) 现该同学进入第二轮，求他在第二轮答题中得分X 的分布列及期望；
(3) 求该同学获得三等奖的概率．
6. (24 - 25 高三上·重庆·月考习) 我国承诺2030 年前“碳达峰”，2060 年“碳中和”，
“碳达峰”是指二氧化
碳的排放不再增长，达到峰值之后再慢慢减下去；
“碳中和”是指针对排放的二氧化碳要采取植树、节
能减排等各种方式全部抵消掉. 做好垃圾分类和回收工作可以有效地减少处理废物造成的二氧化碳
的排放，助力“碳中和”. 重庆十一中某班利用班会课时间组织了垃圾分类知识竞赛活动，竞赛分为初
赛、复赛和决赛，只有通过初赛和复赛，才能进入决赛. 首先出战的是第一组、第二组、第三组，已知第
一组、第二组通过初赛和复赛获胜的概率均为2
3 ，第三组通过初赛和复赛的概率分别为p 和4
3 - p，
其中0 < p ≤3
4 ，三组是否通过初赛和复赛互不影响.
(1) 求p 取何值时，第三组进入决赛的概率最大；
(2) 在(1) 的条件下，求进入决赛的队伍数X 的分布列和数学期望.
5
题型三
均值与方差的实际应用
大题典例
7. (24 - 25 高三上·河北·期中) 随着我国城镇化建设的不断推进，各种智能终端的普及和互联互通，人工
智能在教育、医疗、金融、出行、物流等领域发挥了巨大的作用. 为普及人工智能相关知识，培养青少年
对科学技术的兴趣，某中学组织开展“科技兴国”人工智能知识竞赛. 竞赛试题有甲、乙、丙三类(每类
题有若干道)，各类试题的每题分值及选手小李答对概率如下表所示，各小题回答正确得到相应分值，
否则得0 分，竞赛分三轮答题依次进行，竞赛结束，各轮得分之和即为选手最终得分.
项目
题型
每小题分值
每小题答对概率
甲类题
10
2
3
乙类题
20
1
3
丙类题
30
1
2
其竞赛规则为：
第一轮，先回答一道甲类题，若正确，进入第二轮答题；若错误，继续回答另一道甲类题，该题回答正
确，同样进入第二轮答题；否则，退出比赛.
第二轮，在丙类题中选择一道作答，若正确，进入第三轮答题；否则，退出比赛.
第三轮，在乙类试题中选择一道作答.
(1) 求小李答题次数恰好为2 次的概率；
(2) 求小李最终得分的数学期望.
6
变式训练
8. (24 - 25 高三上·四川成都·月考习) 某小区有3000 名居民，想通过验血的方法筛选乙肝病毒携带者，假
设携带病毒的人占a%. 为减轻工作量，随机地按n 人一组分组，然后将各组n 个人的血样混合在一起
化验. 若混合血样呈阴性，说明这n 个人全部阴性；若混合血样呈阳性，说明其中至少有一人的血样呈
阳性，就需要对每个人再分别化验一次.
(1) 若a = 0.2,n = 20, 试估算该小区化验的总次数；
(2) 若a = 0.9，且每人单独化验一次花费10 元，n 人混合化验一次花费n + 9 元，求当n 为何值时，每
个居民化验的平均费用最少.
注：假设每位居民的化验结果呈阴性还是阳性相互独立. 当0 < p < 0.01 时，(1 - p)n≈1 - np.
9. (24 - 25 高三上·辽宁丹东·期中) 甲乙两人各有n 张卡片，每张卡片上标有一个数字，甲的卡片上分别
标有数字1，3，5，2n - 1，乙的卡片上分别标有数字2，4，6，⋯⋯，2n，两人进行n 轮比赛，在每轮比
赛中，甲按照固定顺序1，3，5，⋯⋯，2n - 1 每轮出一张卡片，乙从自己持有的卡片中随机选一张，并
比较所选卡片上数字的大小，数字大的人得1 分，数字小的人得0 分，然后各自弃置此轮所选的卡片
(弃置的卡片在此后的轮次中不能使用)．
(1) 当n = 4 时，求甲的总得分小于2 的概率．
(2) 分别求甲得分的最小值和最大值的概率；
(3) 已知：若随机变量Xi服从两点分布，且P Xi=1
= 1 - P Xi=0
= qi，i = 1，2，3，⋯，n，则
E
n
i=1
Xi
=
n
i=1
qi
，记n 轮比赛(即从第1 轮到第n 轮比赛) 中甲的总得分为Y，乙的总得分为Z，求E
(Y) 和E(Z) 的值，并由这两个值来判断随着轮数的增加，甲乙的总得分期望之差有什么变化规律？
7
题型四
正态分布与标准正态分布
大题典例
10. (24 - 25 高三上·浙江·月考习) 在一次联考中，经统计发现，甲乙两个学校的考生人数都为1000 人，数
学均分都为94，标准差都为12，并且根据统计密度曲线发现，甲学校的数学分数服从正态分布，乙学校
的数学分数不服从正态分布.
(1) 甲学校为关注基础薄弱学生的教学，准备从70 分及以下的学生中抽取10 人进行访问，学生小A 考
分为68 分，求他被抽到的概率大约为多少；
(2) 根据统计发现学校乙得分不低于130 分的学生有25 人，得分不高于58 分的有1 人，试说明乙学校
教学的特点；
参考数据：若X~N μ,σ2
，则P(μ - σ ≤X ≤μ + σ) ≈0.68，P(μ - 2σ ≤X ≤μ + 2σ) ≈0.95，P(μ - 3σ
≤X ≤μ + 3σ) ≈0.99.
8
变式训练
11. (24 - 25 高三上·江苏泰州·月考习) 以A 地生产的所有番茄为总体，总体中每个番茄的重量为随机变
量X,X ∼N μ,σ2
，其中μ,σ 均为正数．随机从总体中抽取n 个番茄作为一个样本，番茄的重量分别
为X1,X2，⋯,Xn，其取值相互独立．样本均值为X
．
(1) 已知对于任意的随机变量Y1,Y2, ⋯,Yn，有E
n
i=1
Yi
=
n
i=1
E
Yi
；如果Y1,Y2，⋯,Yn的取值相互独
立，则又有D
n
i=1
Yi
=
n
i=1
D
Yi
．求E X
及σ X
．
(2) 若d > 0，证明：μ - d < X
< μ + d 是X
- d < μ < X
+ d 的充要条件．
12. 按照国际乒联的规定, 标准的乒乓球在直径符合的条件下, 重量为2.7 克, 其重量的误差在区间[
-0.081,0.081] 内就认为是合格产品, 在正常情况下样本的重量误差x 服从正态分布. 现从某厂生产的
一批产品中随机抽取10 件样本, 其重量如下：
2.72 2.68 2.7 2.75 2.66 2.7 2.6 2.69 2.7 2.8
(1) 计算上述10 件产品的误差的平均数及标准差s；
(2) ①利用(1) 中求的平均数, 标准差s, 估计这批产品的合格率能否达到96%；
②如果产品的误差服从正态分布N(0,0.04052), 那么从这批产品中随机抽取10 件产品, 则有不合格产
品的概率为多少？(附：若随机变量x 服从正态分布N(μ,σ2), 则P(μ - σ < x < μ + σ) ≈0.683，P(μ -
2σ < x < μ + 2σ) ≈0.954，P(μ - 3σ < x < μ + 3σ) ≈0.997，0.95410用0.624，0.99710用0.9704 分别代
替计算)
9
题型五
线性回归与非线性回归
大题典例
13. (24 - 25 高三上·陕西西安·模拟预测) 近年来我国新能源汽车行业蓬勃发展，新能源汽车不仅对环境保
护具有重大的意义，而且还能够减少对不可再生资源的开发，是全球汽车发展的重要方向．“保护环
境，人人有责”，在政府和有关企业的努力下，某地区近几年新能源汽车的购买情况如下表所示：
年份x
2019
2020
2021
2022
2023
新能源汽车购买数量> (万辆)
0.40
0.70
1.10
1.50
1.80
(1) 计算y 与x 的相关系数r(保留三位小数)；
(2) 求y 关于x 的线性回归方程，并预测该地区2025 年新能源汽车购买数量．
参考公式r =
∑
n
i=1 xi-x
y1-y
∑
n
i=1 xi-x
2
∑
n
i=1 yi-y
2
，b=
∑
n
i=1 xi-x
yi-y
∑
n
i=1 xi-x
2
，a= y- bx．
参考数值：13 ≈3.6056，∑
5
i=1 xi-x
yi-y
= 3.6．
10
变式训练
14. (24 - 25 高三上·广东·月考习) 仙人掌别名老鸦舌，神仙掌，这一独特的仙人掌科草本植物，以其顽强的
生命力和独特的形态在自然界中独树一帜，以其形似并拢手指的手掌，且带有刺的特征而得名．仙人
掌不仅具有极高的观赏价值，还具有一定的药用价值，被誉为“夜间氧吧”，其根茎深入土壤或者干燥
的黄土中使其能够吸收足够多的水分进行储藏来提高生存能力，我国某农业大学植物研究所相关人
员为了解仙人掌的植株高度y(单位：cm)，与其根茎长度x(单位：cm) 之间是否存在线性相关的关系，
通过采样和数据记录得到如下数据：
样本编号i
1
2
3
4
根茎长度xi
10
12
14
16
植株高度yi
62
86
112
132
参考数据：
4
i=1
xi-x
2
= 20,
4
i=1
yi-y
2
= 2792, 3490 ≈59.1．
(1) 由上表数据计算相关系数r，并说明是否可用线性回归模型拟合y 与x 的关系(若r
> 0.75，则可
用线性回归模型拟合，计算结果精确到0.001)；
(2) 求y 关于x 的线性回归方程.
附：对于一组数据x1,y1
, x2,y2
, ⋯, xn,yn
，其回归直线的斜率和截距的最小二乘法估计公式，相关
系数r 的公式分别为b=
n
i=1
xi-x
yi-y
n
i=1
xi-x
2
,a= y- bx,r =
n
i=1
xi-x
yi-y
n
i=1
xi-x
2
n
i=1
yi-y
2
．
11
15. (24 - 25 高三上·福建泉州·月考习) 一只药用昆虫的产卵数y 与一定范围内的温度x 有关，现收集了该
种药用昆虫的6 组观测数据如下表：
温度x/°C
21
23
24
27
29
32
产卵数y/ 个
6
11
20
27
57
77
经计算得：x= 1
6 ∑
6
i=1xi= 26,y= 1
6 ∑
6
i=1yi= 33,∑
6
i=1 xi-x
yi-y
= 557,∑
6
i=1 xi-x
2= 84,∑
6
i=1 yi-y
2=
3930, 线性回归模型的残差平方和∑
6
i=1 yi-y
i
2= 236.64,e8.0605 ≈3167，其中xi,yi分别为观测数据中的
温差和产卵数，i = 1,2,3,4,5,6.
(1) 若用线性回归方程，求y 关于x 的回归方程y= bx + a(精确到0.1)；
(2) 若用非线性回归模型求得y 关于x 回归方程为y= 0.06e0.2303x，且相关指数R2= 0.9522.
(i) 试与(1) 中的回归模型相比，用R2说明哪种模型的拟合效果更好.
(ii) 用拟合效果好的模型预测温度为35°C 时该种药用昆虫的产卵数(结果取整数).
附：一组数据x1,y1
, x2,y2
, ⋯, xn,yn
，其回归直线y= bx + a的斜率和截距的最小二乘估计为b=
∑
n
i=1 xi-x
yi-y
∑
n
i=1 xi-x
2
,a= y- bx；相关指数R2= 1 -
∑
n
i=1 yi-y
i
2
∑
n
i=1 yi-y
2 .
12
题型六
独立性检验及应用
大题典例
16. (24 - 25 高三上·四川绵阳·月考习)2021 年8 月，义务教育阶段“双减”政策出台，某初中在课后延时服
务开设奥数、科技、体育等特色课程. 为了进一步了解学生选课的情况，随机选取了400 人进行调查问
卷，整理后获得如下统计表:
喜欢奥数
不喜欢奥数
总计
已选奥数课(A 组)
150
50
200
未选奥数课(B 组)
90
110
200
总计
240
160
400
(1) 若从样本内喜欢奥数的240 人中用分层抽样方法随机抽取32 人，则应在A 组、B 组各抽取多少人？
(2) 依据小概率值α = 0.005 的独立性检验，能否认为选报奥数延时课与喜欢奥数有关？
附:
P χ2≥α
0.1
0.05
0.01
0.005
0.001
α
2.706
3.841
6.635
7.879
10.828
参考公式:χ2=
n(ad-bc)2
a+b
c+d
a+c
b+d
，其中n = a + b + c + d.
13
变式训练
17. (24 - 25 高三上·宁夏中卫·月考习) 宁夏新高考改革方案已正式公布，根据改革方案，将采用“3 + 1 +
2”的高考模式，其中，
“3”为语文、数学，外语3 门参加全国统一考试，选择性考试科目为政治，历史、地
理、物理、化学、生物6 门，由考生根据报考高校以及专业要求，结合自身实际，首先在物理和历史中选
择1 门，再从政治、地理、化学、生物中选择2 门，形成自己的“高考选考组合”.
(1) 若某学生根据方案进行随机选科，求该生恰好选到“物化生”组合的概率；
(2) 由于物理和历史两科必须选择1 科，某校想了解高一新生选科的需求，随机选取100 名高一新生进
行调查，得到如下统计数据，完成下面2 × 2 列联表，依据小概率值α = 0.01 的独立性检验，能否认为
“选科与性别有关”？
选择物理
选择历史
合计
男生
40
50
女生
合计
30
100
附参考公式与表：χ2=
n(ad-bc)2
a+b
c+d
a+c
b+d
，n = a + b + c + d.
χ2独立性检验中常用的小概率值和相应的临界值：
α
0.10
0.05
0.01
0.005
0.001
xσ
2.706
3.841
6.635
7.879
10.828
18. (24 - 25 高三上·上海·开学考试) 某地生产队在面积相等的50000 块稻田上种植一种新型水稻，从中抽
取100 块得到各块稻田的亩产量(单位：kg) 与优质频数并部分整理成下表(最终亩产量均在900kg
到1200kg 之间)
亩产量
900,950
950,1000
1000,1050
1100,1150
1150,1200
优质频数
5
10
14
18
6
普通频数
1
2
4
6
4
(1) 这50000 块稻田中，亩产量在1050,1100
的频数约为多少？
(2) 估计这片稻田的平均亩产量(单位kg)；
(3) 已知在100 块抽取稻田中亩产量在1050,1100
的优质稻田有25 块，是否有0.95 的把握认为产品
是否优质与亩产量不少于1050kg 且少于1200kg 有关？(参考公式：χ2=
a+b+c+d
ad-bc
2
a+b
c+d
a+c
b+d
，参考数据：P χ2≥3.841
≈0.05)
14
题型七
条件概率/ 全概率公式/ 贝叶斯公式
大题典例
19. (24 - 25 高三上·贵州遵义·模拟预测) 已知4 台车床加工的同一种零件共计1000 件，其中第一台加工
200 件，次品率为5%；第二台加工250 件，次品率为6%；第三台加工250 件，次品率为8%；第四台加工
300 件，次品率为10%. 现从这1000 件零件中任取一个零件.
(1) 求取到的零件是次品的概率；
(2) 若取到的零件是次品，求它是第i(其中i = 1,2,3,4) 台车床加工的零件的概率.
变式训练
20. (24 - 25 高三上·广东·月考习) 甲乙两人参加知识竞赛活动，比赛规则如下：两人轮流随机抽题作答，
答对积1 分，答错不得分：然后换对方抽题作答，甲乙两人各完成一次答题记为一轮比赛．比赛过程
中，有选手领先2 分者立即晋级，比赛结束(不管该轮比赛有没有完成)．已知甲答对题目的概率为
1
3 ，乙答对题目的概率为p，答对与否相互独立，抽签决定首次答题方，已知第一轮答题后甲乙两人各
积1 分的概率为1
6 ．记比赛结束时甲乙两人的答题总次数为n n≥2
．
(1) 求p；
(2) 求在n = 4 的情况下，甲晋级的概率；
(3) 由于比赛时长关系，比赛答题不能超过3 轮，若超过3 轮没有晋级者，则择期再进行比赛．求甲在
3 轮比赛之内成功晋级的概率．
15
21. (24 - 25 高三上·四川内江·月考习) 夏日天气炎热，学校为高三备考的同学准备了绿豆汤和银耳羹两种
凉饮，某同学每天都会在两种凉饮中选择一种，已知该同学第1 天选择绿豆汤的概率是2
3 ，若在前一
天选择绿豆汤的条件下，后一天继续选择绿豆汤的概率为1
3 ，而在前一天选择银耳羹的条件下，后一
天继续选择银耳羹的概率为1
2 ，如此往复．(提示：设An表示第n 天选择绿豆汤)
(1) 求该同学第一天和第二天都选择绿豆汤的概率
(2) 求该同学第2 天选择绿豆汤的概率；
(3) 记该同学第n 天选择绿豆汤的概率为Pn，求出Pn的通项公式.
16
题型八
概率与统计图表的综合应用
大题典例
22. (24 - 25 高三上·广东广州·模拟预测) 在某地区进行高中学生每周户外运动调查，随机调查了1000 名
高中学生户外运动的时间(单位：小时)，得到如下样本数据的频率分布直方图.
(1) 求a 的值，估计该地区高中学生每周户外运动的平均时间；(同一组数据用该区间的中点值作代表)
(2) 为进一步了解这1000 名高中学生户外运动的时间分配，在14,16
，16,18
两组内的学生中，采用
分层抽样的方法抽取了5 人，现从这5 人中随机抽取3 人进行访谈，记在14,16
内的人数为X，求X
的分布列和期望；
(3) 以频率估计概率，从该地区的高中学生中随机抽取8 名学生，用“P8 k
”表示这8 名学生中恰有k
名学生户外运动时间在8,10
内的概率，当P8 k
最大时，求k 的值.
17
变式训练
23. (24 - 25 高三上·宁夏石嘴山·月考) 某校为了解该校学生“停课不停学”的网络学习效率，随机抽查了
高一年级100 位学生的某次数学成绩(单位：分)，得到如下所示的频率分布直方图：
(1) 估计这100 位学生的数学成绩的平均值x；(同一组中的数据用该组区间的中点值代表)
(2) 根据整个年级的数学成绩可以认为学生的数学成绩X 近似地服从正态分布N(μ，σ2)，经计算，(1)
中样本的标准差s 的近似值为10，用样本平均数x作为μ 的近似值，用样本标准差s 作为σ 的估计值，
现任抽取一位学生，求他的数学成绩恰在64 分到94 分之间的概率；(若随机变量X~N(μ，σ2)，则P(μ
- σ ≤X ≤μ + σ) ≈0.6827，P(μ - 2σ ≤X ≤μ + 2σ) ≈0.9545，P(μ - 3σ ≤X ≤μ + 3σ) ≈0.9973)
(3) 该年级1 班的数学老师为了能每天督促学生的网络学习，提高学生每天的作业质量及学习数学的
积极性，特意在微信上设计了一个每日作业小程序，每当学生提交的作业获得优秀时，就有机会参与
一次小程序中”玩游戏，得奖励积分”的活动，开学后可根据获得积分的多少向老师领取相应的小奖
品. 小程序页面上有一列方格，共15 格，刚开始有只小兔子在第1 格，每点一下游戏的开始按钮，小兔
子就沿着方格跳一下，每次跳1 格或跳2 格，概率均为1
2 ，依次点击游戏的开始按钮，直到小兔子跳到
第14 格(奖励0 分) 或第15 格(奖励5 分) 时，游戏结束，每天的积分自动累加，设小兔子跳到第n(1 ≤
n ≤14) 格的概率为Pn，试证明Pn+1-Pn
是等比数列，并求P15(获胜的概率) 的值.
18
24. (24 - 25 高三上·黑龙江哈尔滨·月考习) 某汽车销售公司为了提升公司的业绩，将最近一段时间内每
日的汽车销售情况进行了统计，如图所示.
(1) 求a 的值，并求该公司这段时间内每日汽车销售量的第60 百分位数；
(2) 以频率估计概率，若在这段时间内随机选择4 天，设每日汽车销售量在200,250
内的天数为X，
在恰有1 天的汽车销售量不超过150 辆的条件下，求X 的分布列及数学期望；
(3) 为增加销售量，公司规定顾客每购买一辆汽车可以进行一次抽奖活动，规则如下：在三棱锥A -
BCD 中，△BCD、△ACD 均是边长为2 的正三角形，AB =
3 ，现从写有数字1~8 的八个标签中随机
选择两个分别贴在A、B 两个顶点，记顶点A、B 上的数字分别为m 和n，若E 为侧棱AB 上一个动
点，满足AE
EB
= m
n ，当“二面角E - CD - A 大于π
4 ”即为中奖，求中奖的概率.
19
题型九
概率与其他知识的交汇应用
大题典例
25. (24 - 25 高三上·广东深圳·月考习) 甲乙两人参加知识竞赛活动，比赛规则如下：两人轮流随机抽题作
答，答对积1 分且对方不得分，答错不得分且对方积1 分；然后换对方抽题作答，直到有领先2 分者晋
级，比赛结束. 已知甲答对题目的概率为4
5 ，乙答对题目的概率为p，答对与否相互独立，抽签决定首
次答题方，已知两次答题后甲乙两人各积1 分的概率为2
5 . 记甲乙两人的答题总次数为n n≥2
.
(1) 求p；
(2) 当n = 2 时，求甲得分X 的分布列及数学期望；
(3) 若答题的总次数为n 时，甲晋级的概率为Pn A
，证明：8
15 ≤P2 A
+ P3 A
+⋅⋅⋅+Pn A
< 8
9 .
20
变式训练
26. (24 - 25 高三上·湖南·月考习) 若无穷正项数列an
同时满足下列两个性质：①存在M > 0，使得an <
M,n ∈N *；②an
为单调数列，则称数列an
具有性质P.
(1) 若an= 2n - 1,bn=
1
3
n
，
(i) 判断数列an
, bn
是否具有性质P，并说明理由；
(ii) 记Sn= a1b1+ a2b2+⋯+anbn，判断数列Sn
是否具有性质P，并说明理由；
(2) 已知离散型随机变量X 服从二项分布B n,p
,0 < p < 1
2 ，记X 为奇数的概率为cn. 证明：数列
cn
具有性质P.
21
27. (24 - 25 高三上·海南省·开学考试) 第十五届全国运动会将于2025 年在广东、香港、澳门三地举办．为
了普及全运知识，某大学举办了一次全运知识闯关比赛，比赛分为初赛与复赛，初赛胜利后才能参加
复赛，初赛规定：三人组队参赛，每次只派一个人，且每人只派一次；如果一个人闯关失败，再派下一个
人重新闯关；三人中只要有人闯关成功即视作初赛胜利，无需继续闯关．现有甲、乙、丙三人组队参加
初赛，他们各自闯关成功的概率分别为p1、p2、p3，假定p1、p2、p3 互不相等，且每人能否闯关成功相互
独立．
(1) 若计划依次派甲、乙、丙进行初赛闯关，p1= 3
4 ,p2= 2
3 ,p3= 1
2 ，求该小组初赛胜利的概率；
(2) 已知1 > p1> p2> p3，若乙只能安排在第二个派出，要使初赛派出人员数目的期望较小，试确定甲、
丙谁先派出；
(3) 初赛胜利小组的三名成员都可以进入复赛，复赛规定：单人参赛，每个人回答三道题，全部答对获
得一等奖；答对两道题获得二等奖；答对一道题获得三等奖；全部答错不获奖，已知某学生进入了复
赛，他在复赛中前两道题答对的概率均为a，第三道题答对的概率为b．若他获得一等奖的概率为1
8 ，
设他获得二等奖的概率为p，求p 的最小值．
22
题型十
利用概率解决决策类问题
大题典例
28. (24 - 25 高三上·宁夏银川·月考习)2023 年12 月30 号，长征二号丙/ 远征一号S 运载火箭在酒泉卫星
发射中心点火起飞，随后成功将卫星互联网技术实验卫星送入预定轨道，发射任务获得圆满完成，此
次任务是长征系列运载火箭的第505 次飞行，也代表着中国航天2023 年完美收官. 某市一调研机构为
了了解当地学生对我国航天事业发展的关注度，随机的从本市大学生和高中生中抽取一个容量为40
的样本进行调查，调查结果如下表：
学生群体
关注度
合计
关注
不关注
大学生
20
28
高中生
合计
24
附：
α
0.10
0.05
0.025
0.010
0.005
0.001
xα
2.706
3.841
5.024
6.635
7.879
10.828
χ2=
n ad-bc
2
a+b
c+d
a+c
b+d
，n = a + b + c + d.
(1) 完成上述列联表，依据小概率值α = 0.05 的独立性检验，能否认为关注航天事业发展与学生群体有
关？
(2) 该市为了提高本市学生对航天事业的关注，举办了一次航天知识闯关比赛，包含三个问题，有两种
答题方案选择：
方案一：回答三个问题，至少答出两个可以晋级；
方案二：在三个问题中，随机选择两个问题，都答对可以晋级.
已知小华同学答出三个问题的概率分别是3
5 ，1
3 ，1
2 ，小华回答三个问题正确与否相互独立，则小华
应该选择哪种方案晋级的可能性更大？(说明理由)
23
变式训练
29. (24 - 25 高三上·贵州贵阳·月考习) 某校将进行篮球定点投篮测试，规则为：每人至多投3 次，在M 处
投一次三分球，投进得3 分，未投进不得分，在N 处连续投2 次两分球，每投进一次得2 分，未投进不得
分，测试者累计得分高于3 分即通过测试，并终止投篮(若前两次投篮后确定不能通过测试也终止投
篮). 甲同学为了通过测试，刻苦训练，投中3 分球的概率为1
5 ，投中2 分球的概率为1
2 ，且每次投篮结
果互不影响.
(1) 若甲同学先投3 分球，求他投篮2 次就终止投篮的概率；
(2) 为使通过测试的概率最大，甲同学应先投几分球？
(3) 为使投篮累计得分期望最大，甲同学应先投几分球？
24
30. (24 - 25 高三上·内蒙古赤峰·月考习) 某校高三年级部组织高中生数学知识竞赛，竞赛分为个人赛和
团体赛，竞赛规则如下：个人赛规则：每位参赛选手只有一次挑战机会，电脑同时给出2 道判断题T1,T2
(判断对错) 和4 道选择题X1,X2,X3,X4(每个选择题的四个选项中有且仅有一个是正确的)，要求参赛
者全都作答，若有4 道或4 道以上答对，则该选手挑战成功. 团体赛规则：以班级为单位，每班参赛人数
不少于20 人，且参赛人数为偶数，参赛方式有如下两种可自主选择其中之一参赛：方式一：将班级选
派的2n 个人平均分成n 组，每组2 人，电脑随机分配给同组两个人一道相同试题，两人同时独立答题，
若这两人中至少有一人回答正确，则该小组挑战成功，若这n 个小组都挑战成功，则该班级挑战成功.
方式二：将班级选派的2n 个人平均分成2 组，每组n 个人，电脑随机分配给同组n 个人一道相同试题，
各人同时独立答题，若这n 个人都回答正确，则该小组挑战成功. 若这两个小组至少有一个小组挑战
成功则该班级挑战成功.
(1) 在个人赛中若一名参赛选手全部随机作答，求这名选手恰好答对一道判断题并且答对两道选择题
的概率；
(2) 甲同学参加个人赛，他能够答对判断题T1并且答对选择题X1，其余题目只能随机作答，求甲同学
挑战成功的概率；
(3) 在团体赛中，假设某班每位参赛同学对给出的试题回答正确的概率均为常数P(0 < P < 1)，为使本
班团队挑战成功的可能性更大，应选择哪种参赛方式？说明理由.
25
必刷大题
刷模拟
31. (2024·全国·高考真题) 某工厂进行生产线智能化升级改造，升级改造后，从该工厂甲、乙两个车间的产
品中随机抽取150 件进行检验，数据如下：
优级品
合格品
不合格品
总计
甲车间
26
24
0
50
乙车间
70
28
2
100
总计
96
52
2
150
(1) 填写如下列联表：
优级品
非优级品
甲车间
乙车间
能否有95% 的把握认为甲、乙两车间产品的优级品率存在差异？能否有99% 的把握认为甲，乙两车
间产品的优级品率存在差异？
(2) 已知升级改造前该工厂产品的优级品率p = 0.5，设p为升级改造后抽取的n 件产品的优级品率.
如果p> p + 1.65
p(1-p)
n
，则认为该工厂产品的优级品率提高了，根据抽取的150 件产品的数据，
能否认为生产线智能化升级改造后，该工厂产品的优级品率提高了？( 150 ≈12.247)
附：K 2=
n(ad-bc)2
(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)
P K 2≥k
0.050
0.010
0.001
k
3.841
6.635
10.828
26
32. (2024·全国·高考真题) 某投篮比赛分为两个阶段，每个参赛队由两名队员组成，比赛具体规则如下：第
一阶段由参赛队中一名队员投篮3 次，若3 次都未投中，则该队被淘汰，比赛成绩为0 分；若至少投中
一次，则该队进入第二阶段. 第二阶段由该队的另一名队员投篮3 次，每次投篮投中得5 分，未投中得
0 分. 该队的比赛成绩为第二阶段的得分总和．某参赛队由甲、乙两名队员组成，设甲每次投中的概率
为p，乙每次投中的概率为q，各次投中与否相互独立．
(1) 若p = 0.4，q = 0.5，甲参加第一阶段比赛，求甲、乙所在队的比赛成绩不少于5 分的概率．
(2) 假设0 < p < q，
(i) 为使得甲、乙所在队的比赛成绩为15 分的概率最大，应该由谁参加第一阶段比赛？
(ii) 为使得甲、乙所在队的比赛成绩的数学期望最大，应该由谁参加第一阶段比赛？
27
33. (2024·北京·高考真题) 某保险公司为了了解该公司某种保险产品的索赔情况，从合同险期限届满的保
单中随机抽取1000 份，记录并整理这些保单的索赔情况，获得数据如下表：
赔偿次数
0
1
2
3
4
单数
800
100
60
30
10
假设：一份保单的保费为0.4 万元；前3 次索赔时，保险公司每次赔偿0.8 万元；第四次索赔时，保险公
司赔偿0.6 万元. 假设不同保单的索赔次数相互独立. 用频率估计概率.
(1) 估计一份保单索赔次数不少于2 的概率；
(2) 一份保单的毛利润定义为这份保单的保费与赔偿总金额之差.
(i) 记X 为一份保单的毛利润，估计X 的数学期望E X
；
(ⅱ) 如果无索赔的保单的保费减少4%，有索赔的保单的保费增加20%，试比较这种情况下一份保单
毛利润的数学期望估计值与(i) 中E X
估计值的大小．(结论不要求证明)
28
34. (2024·上海·高考真题) 为了解某地初中学生体育锻炼时长与学业成绩的关系，从该地区29000 名学生
中抽取580 人，得到日均体育锻炼时长与学业成绩的数据如下表所示：
时间范围学业成绩
0,0.5
0.5,1
1,1.5
1.5,2
2,2.5
优秀
5
44
42
3
1
不优秀
134
147
137
40
27
(1) 该地区29000 名学生中体育锻炼时长不少于1 小时人数约为多少？
(2) 估计该地区初中学生日均体育锻炼的时长(精确到0.1)
(3) 是否有95% 的把握认为学业成绩优秀与日均体育锻炼时长不小于1 小时且小于2 小时有关？
(附：χ2=
n(ad-bc)2
a+b
c+d
a+c
b+d
, 其中n = a + b + c + d，P χ2≥3.841
≈0.05．)
35. (2024·上海·高考真题) 水果分为一级果和二级果，共136 箱，其中一级果102 箱，二级果34 箱．
(1) 随机挑选两箱水果，求恰好一级果和二级果各一箱的概率；
(2) 进行分层抽样，共抽8 箱水果，求一级果和二级果各几箱；
(3) 抽取若干箱水果，其中一级果共120 个，单果质量平均数为303.45 克，方差为603.46；二级果48 个，
单果质量平均数为240.41 克，方差为648.21；求168 个水果的方差和平均数，并预估果园中单果的质
量．
1
解答题：圆锥曲线的综合应用
目录
题型一最值问题1
题型二参数范围问题3
题型三定值问题4
题型四过定点问题6
题型五定直线问题7
题型六动点轨迹问题9
题型七角度关系证明问题11
题型八向量共线问题12
题型九存在性问题探究14
题型十“非对称”韦达定理16
必刷大题18
题型一
最值问题
大题典例
1. (24 - 25 高三上·福建福州·月考) 已知椭圆Γ: x2
a2 + y2
b2 = 1 经过点A 2,3
，右焦点为F 2,0
(1) 求椭圆Γ 的方程；
(2) 若直线l 与Γ 交于B,C 两点，且直线AB 与AC 的斜率互为相反数，求BC 的中点M 与F 的最小距
离．
变式训练
2
2. (24 - 25 高三上·贵州黔东南·开学考试) 已知双曲线C1：y2
a2 - x2
b2 = 1 a>0,b>0
的一个焦点与抛物
线C2：x2= 8y 的焦点F 重合，且C1被C2的准线l 截得的弦长为2 3
3
.
(1) 求C1的方程；
(2) 若过F 的直线与C1的上支交于A，B 两点，设O 为坐标原点，求OA
+OB
的取值范围.
3. (24 - 25 高三上·四川成都·期中) 已知抛物线E：y2 = 2px(p > 0) 经过点P 1,2
，直线l：y = kx + m 与
E 的交点为A，B，且直线PA 与PB 倾斜角互补.
(1) 求抛物线在点P 1,2
处的切线方程；
(2) 求k 的值；
(3) 若m < 3，求△PAB 面积的最大值.
题型二
参数范围问题
3
大题典例
4. (23 - 24 高三下·全国·模拟预测) 已知椭圆C: x2
4 + y2= 1.
(1) 若椭圆C 的左右焦点分别为F1,F2,P 为C 的上顶点，求△PF1F2的周长；
(2) 设过定点M 0,2
的直线l 与椭圆C 交于不同的两点A、B，且∠AOB 为锐角(其中O 为坐标原
点)，求直线l 的斜率k 的取值范围.
变式训练
5. (23 - 24 高三下·江苏苏州·月考) 在平面直角坐标系xOy 中，已知动点M 到定点F
3,0
的距离和它
到定直线x = 2 3
3
的距离之比为
6
2 ，记M 的轨迹为曲线C.
(1) 求C 的方程；
(2) 已知点A 0,1
，不过A 的直线l 与C 交于P，Q 两点，直线AP，PQ，AQ 的斜率依次成等比数列，
求A 到l 距离的取值范围.
6. (24 - 25 高三上·湖南·开学考试) 已知抛物线C:y2 = 2px(p > 0) 的焦点为F ，点D x0,2
在抛物线C
4
上，且DF
= 2.
(1) 求抛物线C 的标准方程；
(2) 抛物线的准线与x 轴交于点K，过K 的直线l 交抛物线C 于M,N 两点，且KM
= λKN
,λ ∈1,2
，
点G 为线段MN 的垂直平分线与x 轴的交点，求点G 的横坐标xG 的取值范围.
题型三
定值问题
大题典例
7. (24 - 25 高三上·贵州毕节·期中) 已知椭圆C: x2
a2 + y2
b2 = 1 a>b>0
的焦距为4，Q
3,1
为椭圆C
上一点.
(1) 求椭圆C 的标准方程；
(2) 设F 为椭圆C 的左焦点，直线l:x = t，P 为椭圆上任意一点，点P 到F 的距离为m，点P 到l 的距
离为n，若m
n 为定值，求此定值及t 的值.
变式训练
5
8. (24 - 25 高三上·湖北武汉·开学考试) 已知曲线C 上的点到点F -1,0
的距离比到直线x = 3 的距离
小2,O 为坐标原点. 直线l 过定点A 0,1
.
(1) 直线l 与曲线C 仅有一个公共点，求直线l 的方程；
(2) 曲线C 与直线l 交于M,N 两点，试分别判断直线OM,ON 的斜率之和、斜率之积是否为定值？并
说明理由.
9. (24 - 25 高三上·甘肃张掖·模拟预测) 已知双曲线C: x2
a2 - y2
b2 = 1(a > 0,b > 0) 的焦距为8，右焦点为
F，直线l:y =
3
3 x 与双曲线在一、三象限的交点分别为P,Q，且FP ⊥FQ．
(1) 求双曲线C 的方程及△PQF 的面积；
(2) 直线y = kx + n k≠0
与双曲线C 交于A,B 两点，若直线PA、PB 与x 轴分别交于点A1,B1，且
PA1
= PB1
．证明：k 为定值．
题型四
过定点问题
6
大题典例
10. (24 - 25 高三上·河南驻马店·开学考试) 已知动圆P 过点F2(2,0)，并且与圆F1:(x + 2)2+ y2= 4 外切，设
动圆的圆心P 的轨迹为C.
(1) 直线F2Q 与圆F1相切于点Q，求F2Q
的值；
(2) 求曲线C 的方程；
(3) 过点F2的直线l1与曲线C 交于E，F 两点，设直线l:x = 1
2 ，点D(-1,0)，直线ED 交l 于点M ，证明
直线FM 经过定点，并求出该定点的坐标.
变式训练
11. (24 - 25 高三上·湖北襄阳·月考) 已知抛物线E:y2 = 2px(p > 0) 与双曲线x2
3 - y2
4 = 1 的渐近线在第
一象限的交点为Q，且Q 点的横坐标为3．
(1) 求抛物线E 的方程；
(2) 过点M(-3,0) 的直线l 与抛物线E 相交于A,B 两点，B 关于x 轴的对称点为B，求证：直线AB
必过定点．
12. (24 - 25 高三上·天津北辰·期中) 已知椭圆C：x2
a2 + y2
b2 = 1(a > b > 0) 的一个焦点为F，其短轴长是焦
7
距的
3 倍，点A 为椭圆上任意一点，且AF
的最大值为3.
(1) 求椭圆C 的方程；
(2) 设动直线l：y = kx + m 与椭圆C 有且只有一个公共点P，且与直线x = 4 相交于点Q. 问：x 轴上
是否存在定点M ，使得以PQ 为直径的圆恒过定点M？若存在，求出点M 的坐标；若不存在，说明理
由.
题型五
定直线问题
大题典例
13. (24 - 25 高三上·北京·月考) 已知椭圆C：x2
a2 + y2
b2 = 1 a>b>0
的左、右焦点分别为F1、F2，一个焦点
为F
2,0
，P 是椭圆上一动点(与左、右顶点不重合). 已知△PF1F2的面积的最大值为2.
(1) 求椭圆C 的方程；
(2) 过点1,0
且斜率不为0 的直线l 与椭圆C 相交于M ，N 两点，椭圆长轴的两个端点分别为A1，
A2，A1M 与A2N 相交于点Q，求证：点Q 在某条定直线上.
变式训练
8
14. (23 - 24 高三下·湖南长沙·三模) 已知抛物线C:y2= 2px(p > 0)，过点D 0,2
的直线l 与C 交于不同的
两点A,B. 当直线l 的倾斜角为135°时，AB
= 4 30.
(1) 求C 的方程；
(2) 在线段AB 上取异于点A,B 的点E，且满足DA
DB
= AE
EB
，试问是否存在一条定直线，使得点E 恒
在这条定直线上？若存在，求出该直线；若不存在，请说明理由.
15. (24 - 25 高三上·上海·期中) 已知双曲线C 的中心为坐标原点，F1,F2 是C 的两个焦点，其中左焦点为(
-2 5,0)，离心率为
5.
(1) 求C 的方程；
(2) 双曲线C 上存在一点P，使得∠F1PF2= 120°，求三角形PF1F2的面积；
(3) 记C 的左、右顶点分别为A1,A2，过点(-4,0) 的直线与C 的左支交于M ，N 两点，M 在第二象限，
直线MA1与NA2交于点P. 证明：点P 在定直线上.
题型六
动点轨迹问题
9
大题典例
16. (23 - 24 高三下·湖南益阳·一模) 已知两点A(-2,0)，B(2,0) 及一动点P，直线PA，PB 的斜率满足kPA
⋅kPB =- 1
4 ，动点P 的轨迹记为C. 过点(1,0) 的直线l 与C 交于M ，N 两点，直线AM ，BN 交于点Q.
(1) 求C 的方程；
(2) 求△AMN 的面积的最大值；
(3) 求点Q 的轨迹方程.
变式训练
17. (23 - 24 高三下·江西抚州·月考) 在平面直角坐标系xOy 中，已知双曲线M : x2
m - y2 = 1 经过点
A 2,1
，点B 与点A 关于原点对称，C 为M 上一动点，且C 异于A,B 两点.
(1) 求M 的离心率；
(2) 若△BCT 的重心为A，点D 8,4
，求DT
的最小值；
(3) 若△BCT 的垂心为A，求动点T 的轨迹方程.
10
18. (23 - 24 高三下·安徽合肥·模拟预测) 图1 为一种卫星信号接收器，该接收器的曲面与其轴截面的交线
为抛物线的一部分，已知该接收器的口径AB = 4 3 ，深度MO = 2，信号处理中心F 位于抛物线的焦
点处，以顶点O 为坐标原点，以直线OF 为x 轴建立如图2 所示的平面直角坐标系xOy．
(1) 求该抛物线的方程；
(2) 设Q 是该抛物线的准线与x 轴的交点，直线l 过点Q，且与抛物线交于R，S 两点，若线段RS 上有
一点P，满足RP
PS
= RQ
QS
，求点P 的轨迹方程．
11
题型七
角度关系证明问题
大题典例
19. (24 - 25 高三上·云南昆明·开学考试) 在平面直角坐标系xOy 中，已知点A -2,0
,B 2,0
，动点M 满
足直线AM 与直线BM 的斜率之积为- 3
4 ，设点M 的轨迹为曲线C.
(1) 求C 的方程；
(2) 已知点F 1,0
，直线l:x = 4 与x 轴交于点D，直线AM 与l 交于点N ，证明：∠MFD = 2∠NFD.
变式训练
20. (23 - 24 高三下·山西运城·三模) 已知双曲线C:x2 - y2
3 = 1 的左、右焦点分别为F1，F2，点A 为C 的左
顶点，点P 为C 右支上一点(非顶点)，∠F1PF2的平分线PM 交x 轴于M
(1) 过右焦点F2作F2N ⊥PM 于N ，求ON
；
(2) 求证：∠PF2A = 2∠PAF2.
12
21. (23 - 24 高三下·广西·二模) 已知抛物线C:x2 = y，过点E 0,2
作直线交抛物线C 于A，B 两点，过A，
B 两点分别作抛物线C 的切线交于点P．
(1) 证明：P 在定直线上；
(2) 若F 为抛物线C 的焦点，证明：∠PFA = ∠PFB．
题型八
向量共线问题
大题典例
22. (24 - 25 高三上·四川成都·模拟预测) 椭圆C 的中心为坐标原点O，焦点在y 轴上，离心率e =
2
2 ，椭
圆上的点到焦点的最短距离为1 - e，直线l 与y 轴交于点P(0,m) (m ≠0)，与椭圆C 交于相异两点
A、B，且OA
+ λOB
= 4OP
．
(1) 求椭圆方程；
(2) 求m 的取值范围．
13
变式训练
23. (23 - 24 高三下·山西太原·三模) 已知双曲线C: x2
a2 - y2
b2 = 1 a>0,b>0
的左、右顶点分别为A 与
B，点D 3, 2
在C 上，且直线AD 与BD 的斜率之和为
2 .
(1) 求双曲线C 的方程;
(2) 过点P 3,0
的直线与C 交于M,N 两点(均异于点A,B )，直线MA 与直线x = 1 交于点Q，求
证: B,N,Q 三点共线.
24. 已知抛物线Γ:y2 = 2px(p > 0) 经过点P 1,2
，直线l 与抛物线Γ 有两个不同的交点A,B，直线PA 交y
轴于M ，直线PB 交y 轴于N．
(1) 若直线l 过点Q 0,1
，求直线l 的斜率k 的取值范围；
(2) 若直线l 过抛物线Γ 的焦点F，交y 轴于点D,DA
= λAF
,DB
= μBF
，求λ + μ 的值；
(3) 若直线l 过点Q 0,1
，设O 0,0
,QM
= λQO
,QN
= μQO
，求1
λ + 1
μ 的值．
14
题型九
存在性问题探究
大题典例
25. (23 - 24 高三下·上海·三模) 已知椭圆C：x2
8 + y2
4 = 1，F1、F2 分别为左、右焦点，直线l 过F2 交椭圆于
A、B 两点.
(1) 求椭圆的离心率；
(2) 当∠F1AB = 90°，且点A 在x 轴上方时，求A、B 两点的坐标；
(3) 若直线AF1交y 轴于M ，直线BF1交y 轴于N ，是否存在直线l，使得S△F1AB = S△F1MN？若存在，求出
直线l 的方程；若不存在，请说明理由.
15
变式训练
26. (24 - 25 高三上·上海·月考) 已知双曲线C : x2
a2 - y2
b2 = 1(a > 0,b > 0) 的离心率e = 2，左顶点
A -1,0
，过C 的右焦点F 作与x 轴不重合的直线l，交C 于P、Q 两点．
(1) 求双曲线C 的方程；
(2) 求证：直线AP、AQ 的斜率之积为定值；
(3) 设PF
= λFQ
，试问：在x 轴上是否存在定点T，使得AF
⊥(TP
- λTQ
) 恒成立？若存在，求出点
T 的坐标；若不存在，说明理由．
27. (23 - 24 高三下·西藏拉萨·月考) 已知抛物线C:y2 = 2px(p > 0)，准线l 与x 轴交于点M,A x0,y0
为抛
物线C 上一点，AD ⊥l 交y 轴于点D. 当y0= 4 2 时，MA
= MD
+ MF
.
(1) 求抛物线C 的方程；
(2) 设直线AM 与抛物线C 的另一交点为B(点B 在点A,M 之间)，过点F 且垂直于x 轴的直线交AM
于点N. 是否存在实数λ，使得AM
BN
= λ BM
AN
？若存在，求出λ 的值；若不存在，请说明理由.
16
题型十
“非对称”韦达定理
大题典例
28. (23 - 24 高三上·陕西西安·期中) 已知椭圆W: x2
4m + y2
m = 1 m>0
的长轴长为4，左、右顶点分别为
A，B，经过点P(1，0) 的动直线与椭圆W 相交于不同的两点C，D(不与点A，B 重合)．
(1) 求椭圆W 的方程及离心率；
(2) 若直线CB 与直线AD 相交于点M ，判断点M 是否位于一条定直线上？若是，求出该直线的方程；
若不是，说明理由．
变式训练
29. (23 - 24 高三上·上海闵行·期中) 已知双曲线C：x2
a2 - y2
b2 = 1 a>0,b>0
的离心率为
2 ，点3,-1
在双曲线C 上．过C 的左焦点F 作直线l 交C 的左支于A、B 两点．
(1) 求双曲线C 的方程；
(2) 若M -2,0
，试问：是否存在直线l，使得点M 在以AB 为直径的圆上? 请说明理由．
(3) 点P -4,2
，直线AP 交直线x =-2 于点Q．设直线QA、QB 的斜率分别k1、k2，求证：k1- k2为
定值．
17
30. (24 - 25 高三上·重庆·月考) 已知F 是椭圆C: x2
a2 + y2
b2 = 1 a>b>0
的右焦点，O 为坐标原点，M 为
椭圆上任意一点，MF
的最大值为2 +
3 ，当OM
= OF
时，△MOF 的面积为1
2 .
(1) 求b
a 的值；
(2)A,B 为椭圆的左、右顶点，点P 满足AP
= 3PB
，当M 与A,B 不重合时，射线MP 交椭圆C 于点N ，
直线AM,BN 交于点T，求∠ATB 的最大值.
18
必刷大题
刷模拟
1. (23 - 24 高三下·河北·模拟预测) 椭圆C：x2
a2 + y2
b2 = 1 a>b>0
左右顶点分别为A，B，且AB
= 4，
离心率e =
2
2 .
(1) 求椭圆C 的方程；
(2) 直线l 与抛物线y2= 4x 相切，且与C 相交于M、N 两点，求△MNB 面积的最大值.
2. (24 - 25 高三上·河北石家庄·月考) 已知焦距为2 3 的椭圆C: x2
a2 + y2
b2 = 1(a > b > 0) 的右焦点为F，
右顶点为A，过F 作直线l 与椭圆C 交于B、D 两点(异于点A)，当BD ⊥x 轴时，|BD| = 1．
(1) 求椭圆C 的方程；
(2) 证明：∠BAD 是钝角．
19
3. (24 - 25 高三上·重庆·月考) 已知双曲线C: x2
a2 - y2
b2 = 1(a > 0,b > 0) 的一条渐近线方程为y =
3
2 x，
点P 4,3
在双曲线C 上．
(1) 求双曲线C 的方程.
(2) 设过点-1,0
的直线l 与双曲线C 交于M ，N 两点，问在x 轴上是否存在定点Q，使得QM
⋅QN
为常数？若存在，求出Q 点坐标及此常数的值；若不存在，说明理由．
4. (24 - 25 高三上·云南保山·期中) 若P 2,2
为抛物线Γ:y2 = mx 上一点，过P 作两条关于x = 2 对称的
直线分别另交Γ 于A x1,y1
,B x2,y2
两点.
(1) 求抛物线Γ 的方程与焦点坐标；
(2) 判断直线AB 的斜率是否为定值？若是，求出定值；若不是，请说明理由.
20
5. (24 - 25 高三上·湖北武汉·期中) 已知椭圆C ：x2
a2 + y2
b2 = 1 a>b>0
的离心率为
3
2 ，点A 0,1
在
C 上，直线l 与C 交于不同于A 的两点M ，N．
(1) 求C 的方程；
(2) 若AM
⋅AN
= 0，求△AMN 面积的最大值；
(3) 记直线AM ，AN 的斜率分别为k1，k2，若k1k2=- 1
16 ，证明：以MN 为直径的圆过定点，并求出定点
坐标．
21
6. (24 - 25 高三上·上海宝山·月考) 已知椭圆C: x2
a2 + y2
b2 = 1(a > b > 0) 的左、右焦点分别为F ₁、F ₂，
N -2,0
为椭圆的一个顶点，且右焦点F ₂到双曲线. x² -y² = 2 渐近线的距离为
2
2 ，
(1) 求椭圆C 的标准方程；
(2) 设直线l:y = kx + m k≠0
与椭圆C 交于A、B 两点.
①若直线l 过椭圆右焦点F ₂，且△AF ₁ B 的面积为8 3
5
，求实数k 的值；
②若直线l 过定点P(0,2)，且k > 0，在x 轴上是否存在点T(t,0) 使得以TA、TB 为邻边的平行四边
形为菱形? 若存在，则求出实数t 的取值范围；若不存在，请说明理由.
22
刷真题
7. (2024·全国·高考真题) 已知A(0,3) 和P 3, 3
2
为椭圆C: x2
a2 + y2
b2 = 1(a > b > 0) 上两点.
(1) 求C 的离心率;
(2) 若过P 的直线l 交C 于另一点B，且△ABP 的面积为9，求l 的方程．
8. (2024·全国·高考真题) 已知椭圆C: x2
a2 + y2
b2 = 1(a > b > 0) 的右焦点为F，点M 1, 3
2
在C 上，且MF
⊥x 轴．
(1) 求C 的方程；
(2) 过点P 4,0
的直线交C 于A,B 两点，N 为线段FP 的中点，直线NB 交直线MF 于点Q，证明：
AQ ⊥y 轴．
23
9. (2024·天津·高考真题) 已知椭圆x2
a2 + y2
b2 = 1(a > b > 0) 的离心率为1
2 ．左顶点为A，下顶点为B，C
是线段OB 的中点(O 为原点)，△ABC 的面积为3 3
2
．
(1) 求椭圆的方程．
(2) 过点C 的动直线与椭圆相交于P，Q 两点．在y 轴上是否存在点T，使得TP
⋅TQ
≤0 恒成立．若
存在，求出点T 纵坐标的取值范围；若不存在，请说明理由．
10. (2024·北京·高考真题) 已知椭圆E：x2
a2 + y2
b2 = 1 a>b>0
，以椭圆E 的焦点和短轴端点为顶点的四
边形是边长为2 的正方形. 过点0,t
t>
2
且斜率存在的直线与椭圆E 交于不同的两点A,B，过点
A 和C 0,1
的直线AC 与椭圆E 的另一个交点为D．
(1) 求椭圆E 的方程及离心率；
(2) 若直线BD 的斜率为0，求t 的值．
24
11. (2024·上海·高考真题) 已知双曲线Γ:x2 - y2
b2 = 1,(b > 0), 左右顶点分别为A1,A2，过点M -2,0
的直
线l 交双曲线Γ 于P,Q 两点.
(1) 若离心率e = 2 时，求b 的值．
(2) 若b = 2 6
3
,△MA2P 为等腰三角形时，且点P 在第一象限，求点P 的坐标．
(3) 连接OQ 并延长，交双曲线Γ 于点R，若A1R
⋅A2P
= 1，求b 的取值范围．
25
12. (2024·上海·高考真题) 在平面直角坐标系xOy 中，已知点A 为椭圆Γ: x2
6 + y2
2 = 1 上一点，F1、F2 分别
为椭圆的左、右焦点.
(1) 若点A 的横坐标为2，求AF1
的长;
(2) 设Γ 的上、下顶点分别为M1、M2，记△AF1F2的面积为S1,△AM1M2的面积为S2，若S1≥S2，求OA
的取值范围
(3) 若点A 在x 轴上方，设直线AF2与Γ 交于点B，与y 轴交于点K，KF1延长线与Γ 交于点C，是否存
在x 轴上方的点C，使得F1A
+ F1B
+ F1C
= λ F2A
+F2B
+F2C
λ∈R
成立? 若存在，请求出点C 的坐
标; 若不存在，请说明理由.
1
解答题：函数与导数的综合应用
目录
题型一利用导数研究函数的单调性1
题型二利用导数研究函数的极值3
题型三利用导数研究函数的最值4
题型四利用导数解决恒成立与能成立6
题型五利用导数求解函数的零点7
题型六利用导数证明不等式9
题型七利用导数研究双变量问题10
题型八利用导数研究极值点偏移问题12
题型九隐零点问题综合应用13
题型十导数与数列综合问题15
必刷大题17
题型一
利用导数研究函数的单调性
大题典例
1. (24 - 25 高三上·海南·期中) 设函数f x
= x
ekx k≠0
.
(1) 求曲线y = f x
在点0,f 0
切线方程；
(2) 求函数f x
的单调区间;
2
变式训练
2. (24 - 25 高三上·北京·期中) 已知函数f(x) = x3+ ax2+ bx - 1 在x = 1 处有极值-1.
(1) 求实数a，b 的值;
(2) 求函数g x
= ax + lnx2 的单调区间.
3. (24 - 25 高三上·江苏常州·月考) 已知函数f(x) =
x-a
(x+1)2
(1) 当a = 0 时，求曲线y = f x
在点0,f 0
处的切线方程；
(2) 求函数f x
的单调区间．
3
题型二
利用导数研究函数的极值
大题典例
4. (24 - 25 高三上·黑龙江·月考) 已知函数f(x) = ax2+ (a - 2)x - lnx.
(1) 当a = 0 时，求函数f(x) 在x = 1 处的切线;
(2) 当a > 0 时，若f(x) 的极小值小于0，求a 的取值范围
变式训练
5. (24 - 25 高三上·福建宁德·期中) 已知函数f x
=
1
ex+1 + a 为R 上的奇函数．
(1) 求a；
(2) 若函数g x
= 2 ex+1
f x
+ 2x，讨论g x
的极值．
4
6. (24 - 25 高三上·河南安阳·月考) 已知函数f x
= lna+lnx
ln x+1
．
(1) 求f x
的定义域；
(2) 若f x
存在极大值，求a 的取值范围
题型三
利用导数研究函数的最值
大题典例
7. (24 - 25 高三上·江西·月考) 已知函数f x
= 3x-sinx+2
ex
．
(1) 求曲线y = f x
在点0,f 0
处的切线方程；
(2) 求f x
的最值．
5
变式训练
8. (24 - 25 高三上·北京·期中) 已知函数f x
= x2-ax+1
ex(a ∈R) 在x = 2 处取得极小值.
(1) 求a 的值，并求函数f x
的单调区间；
(2) 求f x
在区间-2,0
上的最大值和最小值.
9. (24 - 25 高三上·湖北武汉·期中) 已知函数f x
= ax - lnx a∈R
．
(1) 若函数f x
在
1
e ,1
上的最小值为3
2 ，求a 的值；
(2) 若a = 0，函数g x
= ex+ f x
-1
x
，求g x
的最小值．
6
题型四
利用导数解决恒成立与能成立
大题典例
10. (24 - 25 高三上·河北衡水·月考) 已知函数f x
= ex x2-x+1
．
(1) 求函数f x
的单调区间；
(2) 函数f x
≤a 在-2,1
上恒成立，求最小的整数a．
变式训练
11. (24 - 25 高三上·四川成都·期中) 已知函数f x
= ex- a+1
x
(1) 讨论f x
的单调性；
(2) 若f x
= ex- a+1
x ≥b 对于x ∈R 恒成立，求b - a 的最大值.
7
12. (24 - 25 高三上·浙江绍兴·月考) 已知函数f(x) = ex- ax - 1.
(1) 当a = 2 时，求f(x) 在区间0,1
上的值域；
(2) 若存在x0> 1，当x ∈0,x0
时，f(x) < 0，求a 的取值范围.
题型五
利用导数求解函数的零点
大题典例
13. (24 - 25 高三上·江苏苏州·开学考试) 已知函数f x
= sinx + ex - 4x，e 为自然对数的底数，函数
g x
= x3- ax + 3.
(1) 若f x
在0,1
处的切线也是g x
的切线，求实数a 的值；
(2) 求f x
在-π,+∞
上的零点个数.
8
变式训练
14. (24 - 25 高三上·云南玉溪·月考) 已知函数f(x) = lnx - x + 2sinx
(1) 证明：f(x) 在区间0,π
存在唯一极大值点；
(2) 求f(x) 的零点个数．
15. (24 - 25 高三上·四川绵阳·月考) 函数f(x) = 2x3- 3ax2+ 1.
(1) 若a = 1，求函数f(x) 在x =-1 处的切线方程；
(2) 证明：存在实数a 使得曲线y = f(x) 关于点(1, -3) 成中心对称图形；
(3) 讨论函数f(x) 零点的个数.
9
题型六
利用导数证明不等式
大题典例
16. (24 - 25 高三上·广东·月考) 已知函数f x
= ex-a- lnx
x
- 1．
(1) 当a = 0 时，求曲线y = f x
在点1,f 1
处的切线方程；
(2) 当a = 1 时，证明：f x
≥0．
变式训练
17. (24 - 25 高三上·广东广州·月考) 已知函数f x
= 1
3 x3- 3x + 4.
(1) 求曲线y = f x
在点
3,f
3
处的切线方程；
(2) 当x ∈0，3
时，求证：f x
≤x + 4.
10
18. (24 - 25 高三上·河北保定·期中) 已知函数f x
= ex+ sinx - 2x,g x
= 2 - cosx.
(1) 已知直线x - y + a = 0 是曲线y = g x
,x ∈0,π
的切线，求实数a 的值；
(2) 求函数f x
的单调区间；
(3) 求证：f x
≥g x
恒成立.
题型七
利用导数研究双变量问题
大题典例
19. (24 - 25 高三上·福建龙岩·期中) 已知函数f(x) = 1
2 ax2- (2a + 1)x + 2lnx + 4a(a > 0).
(1) 求f x
的单调区间;
(2) 设g x
= x2- 2x，若对任意x1∈(0,2]，均存在x2∈(0,2]，使得f x1
< g x2
，求实数a 的取值范
围.
11
变式训练
20. (24 - 25 高三上·湖北·期中) 已知x = 2 为函数f(x) = x(x - c)2- 1
e 的极小值点.
(1) 求c 的值；
(2) 设函数g(x) = kx
ex ，若对∀x1∈(0, +∞)，∃x2∈R，使得f(x1) - g(x2) ≥0，求k 的取值范围.
21. (24 - 25 高三上·上海·期中) 已知实数a > 0，设f x
=- 2
3 ax3+ x2.
(1) 若a = 3，求函数y = f x
的图象在点1,-1
处的切线方程；
(2) 若a = 1
3 ，已知函数y = f x
，x ∈m,+∞
的值域为-∞,3
，求实数m 的取值范围；
(3) 若对于任意的x1∈2,+∞
，总存在x2∈1,+∞
，使得f x1
⋅f x2
= 1，求a 的取值范围.
12
题型八
利用导数研究极值点偏移问题
大题典例
22. (24 - 25 高三上·云南·月考) 已知函数f x
= ex- 1
2 x2+ ax + a.
(1) 若f x
为增函数，求a 的取值范围；
(2) 若f x
有两个极值点x1,x2，证明：x1+ x2< 0.
变式训练
23. (23 - 24 高三上·天津·月考) 已知函数f x
=- 1
2 x2+ ax - lnx a∈R
.
(1) 当a = 1 时，求曲线y = f x
在点1,f 1
处的切线方程；
(2) 求f x
的单调区间；
(3) 若函数f x
有两个极值点x1,x2 x1<x2
，求证：4f x1
- 2f x2
≤1 + 3ln2.
13
24. (24 - 25 高三上·内蒙古包头·开学考试) 设函数f(x) = (x - 1)2ex- x，
(1) 证明：f(x) 有两个零点；
(2) 记f(x) 是f(x) 的导数，x1,x2为f(x) 的两个零点，证明：fx1+x2
2
>-1．
题型九
隐零点问题综合应用
大题典例
25. (23 - 24 高三下·湖南衡阳·一模) 已知函数f(x) = sinx - aln(b + x)
(1) 若f(x) 在x = π 处的切线方程为2x + y + 2π(ln2π - 1) = 0，求a、b 的值；
(2) 若b = 1 时，在-1, π
2
上f(x) ≥0 恒成立，求a 的取值范围；
14
变式训练
26. (24 - 25 高三上·浙江杭州·月考) 已知函数f x
= 1
2 ax2- a+1
x + lnx,g x
= xex- 1
2 ax2- 2．
(1) 讨论f x
的单调性；
(2) 证明：f x
+ g x
≥2lnx - ax - 1．
27. (24 - 25 高三上·四川成都·期中) 已知函数f x
= ex- ax2- x - 1.
(其中e ≈2.71828)
(1) 当a = 0 时，证明：f x
≥0
(2) 若x > 0 时，f x
> 0，求实数a 的取值范围；
(3) 记函数g x
= ex-1
x
- 2lnx 的最小值为m，求证：m ∈
23
20 ,e-1
15
题型十
导数与数列综合问题
大题典例
28. (23 - 24 高三下·河北·三模) 已知函数f x
= xlnx - ax2+ 2a-1
x - a + 1 a∈R
．
(1) 若f x
≤0 在1,+∞
恒成立，求实数a 的取值范围；
(2) 证明：1
n+1 +
1
n+2 +
1
n+3 +⋯+
1
n+n + 1
4n > ln2．
变式训练
29. (23 - 24 高三下·四川雅安·一模) 已知函数f(x) = ax2+ (1 - a)x - lnx．
(1) 若f(x) 有2 个相异极值点，求a 的取值范围；
(2) 若f(x) ≥1，求a 的值；
(3) 设m 为正整数，若∀n ∈N *，1+ 1
4
1+ 3
42
1+ 32
43
⋯1+ 3n-1
4n
< m，求m 的最小值．
16
30. (24 - 25 高三上·上海·月考) 已知函数f(x) = lnx - k(x-1)
x
+ 1.
(1) 若k > 0，求函数y = f(x) 的极值；
(2) ①当x > 1 时，f(x) > 0 恒成立，求正整数k 的最大值；
②证明：(1 + 1 × 2) (1 + 2 × 3) ⋯[1 + n(n + 1)] > e
n 2-
3
n+1
17
必刷大题
刷模拟
31. (24 - 25 高三上·福建泉州·期中) 已知函数f(x) = 1
2 ax2+ lnx - (a + 1)x，a ∈R．
(1) 当a > 0 时，讨论f(x) 的单调性；
(2) 当a > 0 时，设g(x) = f(x)
x
，若g(x) 既有极大值又有极小值，求a 的取值范围．
32. (24 - 25 高三上·山东·期中) 已知函数f(x) = ax3+ 2sinx - x.
(1) 求曲线y = f(x) 在点(0,f(0)) 处的切线方程；
(2) 当a = 1 时，讨论f(x) 的单调性；
(3) 当x ≥0 时，f(x) ≥0，求a 的取值范围.
18
33. (24 - 25 高三上·北京房山·期中) 已知函数f x
= ax3 + bx2 + cx 在点x0 处取得极大值5，其导函数y
= fx
的图象经过点1,0
，2,0
，如图所示. 求：
(1)x0的值；
(2)a，b，c 的值；
(3) 函数f x
在区间-1,3
上的最大值和最小值.
19
34. (24 - 25 高三上·江苏盐城·期中) 设函数f x
= xex，x ∈R.
(1) 求f x
的极值；
(2) 已知实数a > 0，若存在正实数x 使不等式a ⋅3axln3 - f lnx
x
≤0 成立，求a 的取值范围；
(3) 已知不等式f m
- f n
> k m-n
2对满足m > n > 0 的一切实数m，n 恒成立，求实数k 的取
值范围.
20
35. (23 - 24 高三下·广东佛山·一模) 已知函数f x
= ax2- 1 + 2lnx．
(1) 讨论f x
的单调性；
(2) 当a = 1 时，若存x1、x2在，满足f x1
=-f x2
，证明：x1+ x2≥2；
(3) 对任意的x > 0，fx
≤xe2x+ 2
x - lnx - 1 恒成立，其中fx
是函数f x
的导数，求a 的取值
范围．
21
36. (23 - 24 高三下·浙江杭州·一模) 已知函数f x
= axlnx - x3- 1.
(1) 若a = 1，求f x
的单调区间;
(2) 若0 ≤a ≤3，求证:f x
< 0;
(3) 若h x
= f x
+x3+1
a
，∃x1≠x2使得h x1
= h x2
= b，求证:be + 1 < x1-x2
< b + 1.
22
刷真题
37. (2024·全国·高考真题) 已知函数f x
= a x-1
- lnx + 1．
(1) 求f x
的单调区间；
(2) 当a ≤2 时，证明：当x > 1 时，f x
< ex-1恒成立．
38. (2024·全国·高考真题) 已知函数f x
= 1-ax
ln 1+x
- x．
(1) 当a =-2 时，求f x
的极值；
(2) 当x ≥0 时，f x
≥0，求a 的取值范围．
23
39. (2024·全国·高考真题) 已知函数f(x) = ex- ax - a3．
(1) 当a = 1 时，求曲线y = f(x) 在点1,f(1)
处的切线方程；
(2) 若f(x) 有极小值，且极小值小于0，求a 的取值范围．
40. (2024·天津·高考真题) 已知函数f x
= xlnx．
(1) 求曲线y = f x
在点1,f 1
处的切线方程；
(2) 若f x
≥a x-
x
对任意x ∈0,+∞
成立，求实数a 的值；
(3) 若x1,x2∈0,1
，求证：f x1
- f x2
≤x1-x2
1
2．
24
41. (2024·全国·高考真题) 已知函数f(x) = ln
x
2-x + ax + b(x - 1)3
(1) 若b = 0，且f(x) ≥0，求a 的最小值；
(2) 证明：曲线y = f(x) 是中心对称图形；
(3) 若f(x) >-2 当且仅当1 < x < 2，求b 的取值范围．
25
42. ( 2024 · 北京· 高考真题) 设函数f x
= x + kln 1+x
k≠0
，直线l 是曲线y = f x
在点
t,f t
t>0
处的切线．
(1) 当k =-1 时，求f x
的单调区间.
(2) 求证：l 不经过点0,0
.
(3) 当k = 1 时，设点A t,f t
t>0
，C 0,f t
，O 0,0
，B 为l 与y 轴的交点，S△ACO 与S△ABO 分别
表示△ACO 与△ABO 的面积．是否存在点A 使得2S△ACO = 15S△ABO 成立？若存在，这样的点A 有
几个？
(参考数据：1.09 < ln3 < 1.10，1.60 < ln5 < 1.61，1.94 < ln7 < 1.95)
26
43. (2024·上海·高考真题) 对于一个函数f x
和一个点M a,b
，令s x
= (x - a)2 +
f x
-b
2，若
P x0,f x0
是s x
取到最小值的点，则称P 是M 在f x
的“最近点”．
(1) 对于f(x) = 1
x (x > 0)，求证：对于点M 0,0
，存在点P，使得点P 是M 在f x
的“最近点”；
(2) 对于f x
= ex,M 1,0
，请判断是否存在一个点P，它是M 在f x
的“最近点”，且直线MP 与y
= f(x) 在点P 处的切线垂直；
(3) 已知y = f(x) 在定义域R 上存在导函数f(x)，且函数g(x) 在定义域R 上恒正，设点
M1 t-1,f t
-g t
，M2 t+1,f t
+g t
．若对任意的t ∈R，存在点P 同时是M1,M2在f x
的“最
近点”，试判断f x
的单调性．
1
解答题：新定义问题
目录
题型一集合的新定义问题1
题型二函数与导数的新定义问题4
题型三复数与不等式的新定义问题7
题型四三角函数的新定义问题10
题型五平面向量的新定义问题13
题型六数列的新定义问题16
题型七立体几何的新定义问题19
题型八平面解析几何的新定义问题22
题型九概率统计的新定义问题25
题型十高等数学背景下的新定义问题28
必刷大题31
题型一
集合的新定义问题
大题典例
1. (24 - 25 高三上·山东·期中) 已知集合S = 0,1,2,⋯,5n
n∈N *
，集合T ⊆S，记T 的元素个数为T
.
若集合T 中存在三个元素a，b，c(a < b < c)，使得c + 2a > 3b，则称T 为“理想集”.
(1) 若n = 1，分别判断集合T1= {0,2,3,5}，T2= {0,1,2,5} 是否为“理想集”(不需要说明理由)；
(2) 若n = 1，写出所有的“理想集”T 的个数并列举；
(3) 若|T| = 4n + 2，证明：集合T 必为“理想集”.
2
变式训练
2. (24 - 25 高三上·广东·月考) 已知集合A = 1,2,3,⋯,2n
(n ∈N *)，S 是集合A 的子集，若存在不大于
n 的正整数m，使集合S 中的任意一对元素s1，s2，都有s1-s2
≠m，则称集合S 具有性质P.
(1) 当n = 10 时，试判断集合B = x∈A x>9
和C = x∈A x=3k-1,k∈N *
是否具有性质P？并
说明理由；
(2) 当n = 100 时，若集合S 具有性质P，那么集合T = 201-x x∈S
是否具有性质P？并说明理由；
(3) 当n = 3k，k ∈N *时，若集合S 具有性质P，求集合S 中元素个数的最大值f n
.
3
3. (24 - 25 高三上·北京·期中) 已知集合A = 1,2,3,⋅⋅⋅,n
，其中n ∈N *，A1，A2，⋯，Am 是A 的互不相
同的子集. 记Ai的元素个数为Mi(i = 1,2, ⋅⋅⋅,m)，Ai∩Aj的元素个数为Nij(1 ≤i < j ≤m).
(1) 若n = 4，m = 3，A1= 1,2
，A2= 1,3
，N13= N23= 1，写出所有满足条件的集合A3(结论不要求
证明)；
(2) 若n = 5，且对任意的1 ≤i < j ≤m，都有Nij > 0，求m 的最大值；
(3) 若给定整数n ≥7，Mi≤3(i = 1,2, ⋅⋅⋅,m) 且对任意1 ≤i < j ≤m，都有Nij = 1，求m 的最大值.
4
题型二
函数与导数的新定义问题
大题典例
4. (23 - 24 高三上·北京·月考) 设离散型随机变量X 和Y 有相同的可能取值，它们的分布列分别为
P X=ak
= xk，P Y=ak
= yk，xk > 0，yk > 0，k = 1,2, ⋯,n,
n
k=1
xk
=
n
k=1
yk
= 1．指标D(X‖Y) 可用
来刻画X 和Y 的相似程度，其定义为D(X‖Y) =
n
k=1
xk
ln xk
yk
．设X~B(n,p),0 < p < 1．
(1) 若Y~B(n,q),0 < q < 1，求D(X‖Y)；
(2) 若n = 2,P(Y = k - 1) = 1
3 ,k = 1,2,3，求D(X‖Y) 的最小值；
(3) 对任意与X 有相同可能取值的随机变量Y，证明：D(X‖Y) ≥0，并指出取等号的充要条件
5
变式训练
5. (24 - 25 高三上·湖北·期中) 把满足任意x，y ∈R 总有f x+y
+ f x-y
= 2f x
f y
的函数称为“类
余弦型”函数.
(1) 已知f x
为“类余弦型”函数f x
> 0，f 2
= 17
8 ，求f 1
的值；
(2) 在(1) 的条件下，定义数列：an= 2f n+1
- f n
n∈N *
，求log2
a1
3 + log2
a2
3 +⋅⋅⋅+log2
a100
3
的
值；
(3) 若g x
为“类余弦型”函数，且g 0
> 0，对任意非零实数t，总有g t
> 1. 设有理数x1，x2满足x2
> x1
，判断g x2
与g x1
的大小关系，并给出证明.
6
6. (24 - 25 高三上·上海·期中) 已知函数y = f x
，若其定义域为0,+∞
，且满足xfx
- f x
>-1 对
一切x ∈0,+∞
恒成立，则称f x
为一个“逆构造函数”.
(1) 设g x
= x3+ 1 x>0
，判断y = g x
是否为“逆构造函数”，并说明理由；
(2) 若函数y = ax - 3 - lnx - 1-a
x
是“逆构造函数”，求a 的取值范围；
(3) 已知“逆构造函数”y = f x
满足对任意的x1,x2> 0，都有f x1+x2
≤f x1
f x2
，且f 1
= 2.
求证：对任意a ≤1，关于x 的方程f x
= a 无解.
7
题型三
复数与不等式的新定义问题
大题典例
7. (24 - 25 高三上·江苏泰州·月考) 已知常数a,b,c ∈R，设关于x 的方程ax2+ bx + c = 0．
(1) 在复数范围内求解该方程．
(2) 当a ≠0 时，设该方程的复根分别为x1,x2，证明：
x1+x2=- b
a ,
x1x2= c
a .
(3) 如果多项式的系数是复数，那么称该多项式为复系数多项式．已知任何一元n 次(n ∈N *) 复系数
多项式方程f x
= 0 至少有一个复根．证明：f x
= 0 有n 个复数根(重根按重数计)．
(4) 将题设的常数“a,b,c ∈R”改为“a,b,c ∈C”，并证明：(2) 仍然成立．
8
变式训练
8. (24 - 25 高三上·山东枣庄·月考) 对于四个正数m、n、p、q，若满足mq < np，则称有序数对m,n
是
p,q
的“下位序列”．
(1) 对于2、3、7、11，有序数对3,11
是2,7
的“下位序列”吗？请简单说明理由；
(2) 设a、b、c、d 均为正数，且a,b
是c,d
的“下位序列”，试判断a
b 、c
d 、a+c
b+d 之间的大小关系；
(3) 设正整数n 满足条件：对集合m 0<m<2024
,m∈N
内的每个m，总存在正整数k，使得
m,2024
是k,n
的“下位序列”，且k,n
是m+1,2025
的“下位序列”，求正整数n 的最小值．
9
9. (23 - 24 高三下·辽宁·模拟预测) 柯西不等式在数学的众多分支中有精彩应用，柯西不等式的n 元形式
为：设ai，bi ∈R(i = 1,2, ⋯,n)，ai 不全为0，bi 不全为0，则∑
n
i=1a2
i∑
n
i=1b2
i ≥∑
n
i=1aibi
2
，当且仅当存在一个数
k，使得ai= kbi时，等号成立．
(1) 请你写出柯西不等式的二元形式；
(2) 设P 是棱长为
2 的正四面体ABCD 内的任意一点，点P 到四个面的距离分别为d1，d2，d3，d4，求
d2
1 + d2
2+ d2
3+ d2
4的最小值；
(3) 已知无穷正数数列an
满足：
①存在m ∈R，使得ai≤m；
②对任意正整数i、j(i ≠j) (j = 1,2, ⋯)，均有ai-aj
≥
1
i+j .
求证：对任意n ≥4，n ∈N ，恒有m ≥1.
10
题型四
三角函数的新定义问题
大题典例
10. ( 24 - 25 高三上· 全国· 专题练习) 对于集合A =
θ1,θ2,⋯,θn
和常数θ 0 ，定义：σ =
sin2 θ1-θ0
+sin2 θ2-θ0
+⋯+sin2 θn-θ0
n
为集合A 相对的θ0的“正弦标准差”．
(1) 若集合A =
π
6 , π
3
，θ0= π
4 ，求A 相对的θ0的“正弦标准差”；
(2) 若集合A =
π
4 ,α,β
，是否存在α ∈
3π
4 ,π
，β ∈
3π
2 , 7π
4
，使得相对任何常数θ0的“正弦标准
差”是一个与θ0无关的定值？若存在，求出α，β 的值；若不存在，请说明理由．
11
变式训练
11. ( 24 - 25 高三上· 江西宜春· 期中) 定义有序实数对( a , b ) 的“跟随函数”为f x
= asinx +
bcosx x∈R
．
(1) 记有序数对(1, -1) 的“跟随函数”为f(x)，若f x
= 0,x ∈0,2π
，求满足要求的所有x 的集合；
(2) 记有序数对(0,1) 的“跟随函数”为f(x)，若函数g x
= f x
+
3 sinx
,x ∈0,2π
与直线y = k 有
且仅有四个不同的交点，求实数k 的取值范围；
(3) 已知a = 3，若有序数对(a,b) 的“跟随函数”y = f x
在x = x0处取得最大值，当b 在区间(0, 3]
变化时，求tan2x0的取值范围．
12
12. (24 - 25 高三上·甘肃兰州·月考) 人脸识别技术在各行各业的应用改变着人类的生活，所谓人脸识别，
就是利用计算机分析人脸视频或者图像，并从中提取出有效的识别信息，最终判别对象的身份，在人
脸识别中为了检测样本之间的相似度主要应用距离的测试，常用测量距离的方式有曼哈顿距离和余
弦距离. 若二维空间有两个点A x1,y1
，B x2,y2
，则曼哈顿距离为：d A,B
= x1-x2
+ y1-y2
，余弦
相似度为：cos A,B
=
x1
x2
1+y2
1
×
x2
x2
2+y2
2
+
y1
x2
1+y2
1
×
y2
x2
2+y2
2
，余弦距离为1 - cos A,B
(1) 若A -1,2
，B 3
5 , 4
5
，求A，B 之间的曼哈顿距离d A,B
和余弦距离；
(2) 已知M sinα,cosα
，N sinβ,cosβ
，Q sinβ,-cosβ
，若cos M,N
= 1
5 ，cos M,Q
= 2
5 ，求
tanαtanβ 的值
13
题型五
平面向量的新定义问题
大题典例
13. (24 - 25 高三上·河南·期中) 如图，我们把由平面内夹角成60° 的两条数轴Ox，Oy 构成的坐标系，称为
“完美坐标系”. 设e1
，e2
分别为Ox，Oy 正方向上的单位向量，若向量OP
= xe1
+ ye2
，则把实数对
[x,y] 叫做向量OP
的“完美坐标”.
(1) 若向量OP
的“完美坐标”为[3,4]，求OP
；
(2) 已知x1,y1
，x2,y2
分别为向量a，b的“完美坐标”，证明：a⋅b= x1x2+ y1y2+ 1
2
x1y2+x2y1
；
(3) 若向量a，b的“完美坐标”分别为[sinx,1]，[cosx,1]，设函数f(x) = a⋅b，x ∈R，求f(x) 的值域.
14
变式训练
14. (24 - 25 高三上·浙江绍兴·月考)n 维向量是平面向量和空间向量的推广，对n 维向量m
n =
x1,x2,⋅⋅⋅,xn
xi∈0,1
,i=1,2,⋅⋅⋅,n
，记f m
n
= 1 + x 1 + x 1x 2 +⋅⋅⋅+x 1x 2 ⋅⋅⋅x n，设集合D m
n
=
m
n
f m
n
为偶数
.
(1) 求D m
2
，D m
3
；
(2) (i) 求D m
n
中元素的个数；
(ii) 记g m
n
=
n
i=1
xi
，求使得
m
n∈D m
n
g m
n
≤2025 成立的最大正整数n.
15
15. (24 - 25 高三上·河南驻马店·月考) 给定平面上一个图形D，以及图形D 上的点P1,P2, ⋯,Pn，如果对于
D 上任意的点P，∑
n
i=1 PPi
2 为与P 无关的定值，我们就称P1,P2, ⋯,Pn 为关于图形D 的一组稳定向量基
点.
(1) 已知P1 0,0
,P2 2,0
,P3 0,2
,△P1P2P3为图形D，判断点P1,P2,P3是不是关于图形D 的一组稳定向
量基点；
(2) 若图形D 是边长为2 的正方形，P1,P2,P3,P4是它的4 个顶点，P 为该正方形上的动点，求
P1P2
+P2P3
+P3P4
-P1P
的取值范围；
(3) 若给定单位圆E 及其内接正2024 边形P1P2⋯P2024,P 为该单位圆上的任意一点，证明P1,P2, ⋯,
P2024是关于圆E 的一组稳定向量基点，并求∑
2024
i=1 PPi
2的值.
16
题型六
数列的新定义问题
大题典例
16. (24 - 25 高三上·福建泉州·期中) 若存在常数t，使得数列an
满足an+1 - a1a2a3 ⋯an = t(n ≥1,n ∈
N)，则称数列an
为“H(t) 数列”．
(1) 判断数列：1，3，5，10，152 是否为“H(2) 数列”，并说明理由；
(2) 若数列an
是首项为2 的“H(t) 数列”，数列bn
是等比数列，且an
与bn
满足
n
i=1
a2
i
= a1a2a3
⋯an+ log2bn，求t 的值和数列bn
的通项公式；
(3) 若数列an
是“H(t) 数列”，Sn为数列an
的前n 项和，a1> 1，t > 0，证明：t > Sn+1- Sn- eSn-n．
17
变式训练
17. (24 - 25 高三上·江西上饶·月考) 数列an
、bn
满足：bn
是等比数列，a1 = 2，b2 = 4 且a1b1 + a2b2 +
⋯⋯+anbn= 2 an-3
bn+ 8 n∈N+
．
(1) 求an、bn．
(2) 求集合A = x x-ai
x-bi
=0,i≤100,i∈N+
中所有元素的和．
(3) 对数列cn
，若存在互不相等的正整数k1,k2, ⋯⋯kj j≥2
，使得ck1+ ck2+⋯⋯+ckj也是数列cn
中的项，则称数列cn
是“和稳定数列”．试别断数列an
、bn
是否是“和稳定数列”，并说明理由．
18
18. (24 - 25 高三上·山东青岛·期中) 如果正项有穷数列a1,a2, ⋯,am 满足a1 ⋅am = 1,a2 ⋅am-1 = 1, ⋯，即ai
⋅am-i+1 = 1(i = 1,2, ⋯,m)，我们称其为“1 的对称数列”，例如：数列2，3，1
3 ，1
2 与数列3，2，1，1
2 ，
1
3 都是“1 的对称数列”．
(1) 设bn
是项数为8 的“1 的对称数列”，其中b1,b2,b3,b4是等差数列，且b2= 4,b4= 8，请依次写出
bn
的每一项；
(2) 设数列cn
是13 项的“1 的对称数列”，其中c1,c2⋯c5是等比数列，c1- c5= 15,c2- c4= 6，求数列
cn
的所有项和S 的最小值；
(3) 设数列dn
是2m 项的“1 的对称数列”，数列前m 项的通项公式为dn= n2+ n，求数列dn
的前
n 项和Sn．(注：12+ 22+⋯+n2= n(n+1)(2n+1)
6
)
19
题型七
立体几何的新定义问题
大题典例
19. (24 - 25 高三上·广东广州·月) 离散曲率是刻画空间弯曲性的重要指标．设P 为多面体M 的一个顶
点
，定
义
多
面
体
M
在
点
P
处
的
离
散
曲
率
为
Φ
P
=
1
-
1
2π ∠Q1PQ2+∠Q2PQ3+⋅⋅⋅∠Qk-1PQk+∠QkPQ1
，其中Qi i=1,2,⋅⋅⋅,k,k≥3
为多面体M 的所有与
点P 相邻的顶点，且平面Q1PQ2，平面Q2PQ3，⋯，平面Qk-1PQk 和平面QkPQ1 为多面体M 的所有以
P 为公共点的面．
(1) 求三棱锥P - ABC 在各个顶点处的离散曲率的和；
(2) 如图，已知在三棱锥P - ABC 中，PA ⊥平面ABC，AC ⊥BC，AC = BC，三棱锥P - ABC 在顶
点C 处的离散曲率为1
3 ．
①求直线PC 与直线AB 所成角的余弦值；
②若点Q 在棱PB 上运动，求直线CQ 与平面ABC 所成的角的最大值．
20
变式训练
20. (23 - 24 高三下·江西新余·模拟预测) 我们规定：在四面体P - ABC 中，取其异面的两条棱的中点连线
称为P - ABC 的一条“内棱”，三条内棱两两垂直的四面体称为“垂棱四面体”.
(1) 如左图，在四面体P - ABC 中，Mi i=1,2,...,6
分别为所在棱的中点，证明：P - ABC 的三条内棱
交于一点.
(2) 同左图，若P - ABC 为垂棱四面体，M1M2= 2,M3M4= 4,M5M6= 6，求直线PB 与平面ABC 所成
角的正弦值.
(3) 如右图，在空间直角坐标系中，xOy 平面内有椭圆C：x2+ y2
2 = 1，F1为其下焦点，经过F1的直线
y = kx + m 与C 交于A、B 两点，P 为xOy 平面下方一点，若P - ABO 为垂棱四面体，则其外接球表
面积S 是k 的函数S k
，求S k
的定义域与最小值.
21
21. (24 - 25 高三上·湖南长沙·月考) 高斯- 博内公式是大范围微分几何学的一个经典的公式，是关于曲
面的图形(由曲率表征) 和拓扑(由欧拉示性数表征) 间联系的一项重要表述，建立了空间的局部性质
和整体性质之间的联系. 其特例是球面三角形总曲率x 与球面三角形内角和θ 满足：θ = π + αx，其中
α 为常数，(如图，把球面上的三个点用三个大圆(以球心为半径的圆) 的圆弧联结起来，所围成的图形
叫做球面三角形，每个大圆弧叫做球面三角形的一条边，两条边所在的半平面构成的二面角叫做球面
三角形的一个角. 球面三角形的总曲率等于S
R2 ，S 为球面三角形面积，R 为球的半径).
(1) 若单位球面有一个球面三角形，三条边长均为π
2 ，求此球面三角形内角和；
(2) 求α 的值；
(3) 把多面体的任何一个面伸展成平面，如果所有其他各面都在这个平面的同侧，这样的多面体叫做
凸多面体. 设凸多面体Ω 顶点数为V，棱数为E，面数为F，试证明凸多面体欧拉示性数χ Ω
= V - E
+ F 为定值，并求出χ Ω
.
22
题型八
平面解析几何的新定义问题
大题典例
22. (24 - 25 高三上·浙江·月考) 直线族是指具有某种共同性质的直线的全体，例如y = kx + 1 k∈R
表示
过点0,1
的直线族(不包括直线y 轴)，直线族的包络曲线定义为：直线族中的每一条直线都是该曲
线上某点处的切线，且该曲线上的每一点处的切线都是该直线族中的某条直线.
(1) 圆M ：x2+ y-3
2= 4 是直线族mx + ny = 1 m,n∈R
的包络曲线，求m，n 满足的关系式；
(2) 若点N x0,y0
不在直线族Ω:y = tx - t2 t∈R
的任意一条直线上，求y0的取值范围及直线族Ω 的
包络曲线E 的方程；
(3) 在(1) (2) 的条件下，过曲线E 上动点P 向圆M 做两条切线PA，PB，交曲线E 于点A，B，求
△PAB 面积S 的最小值.
23
变式训练
23. (23 - 24 高三下·江西新余·模拟预测) 我们知道，在平面直角坐标系xOy 中，可以用两点之间距离公式
刻画A、B 两点的距离d A,B
，事实上，这里的距离属于这两个点的一种“度量”. 在拓扑学中，我们
规定某一实数D A,B
满足：①D A,B
≥0，当且仅当A = B 时等号成立； ②D A,B
= D B,A
；
③D A,B
≤D B,C
+ D C,A
. 其中，A、B、C 为平面直角坐标系内的三个点，我们就称
D A,B
是关于A、B 两点的一个“度量”. 设：平面直角坐标系xOy(O 为坐标原点) 内两点A x1,y1
、
B x2,y2
的“ρ 距离”ρ A,B
=
x1-x2
1+ x1-x2
+
y1-y2
1+ y1-y2
.
(1) 求证：A、B 两点的“ρ 距离”是关于A、B 两点的一个“度量”.
(2) 设P 为平面直角坐标系xOy 内任意一点.
(ⅰ) 若ρ O,P
= 1
2 ，请在下图中定性做出P 点的集合组成的图像(不必说明理由，但要求做出特殊点
与其特征).
(ⅱ) 求证：ρ O,P
< 2.
(3) 规定平面内两条平行直线的ρ 距离ρ l1,l2
为在l1、l2上分别取的任意两个点A、Bρ 距离的最小值.
已知不重合的直线l1：y = kx + 1
2 ，l2：y = kx - 1
2 ，ρ l1,l2
= 1
2 ，求k 的取值范围.
24
24. (24 - 25 高三上·内蒙古赤峰·月考) 在平面直角坐标系Oxy 中，定义：若曲线C1 和C2 上分别存在点
M ，N 关于原点O 对称，则称点M 和点N 为C1和C2的一对“关联点”.
(1) 若C1:y2+ xy - x + y = 4 上任意一点P 的“关联点”为点Q，求点Q 所在的曲线方程.
(2) 若C1:x2+ y- x
2= 1 上任意一点S 的“关联点”为点T，求ST
2的取值范围.
(3) 若C1:y = aex+ 2 和C2:y = xex- a 有且仅有两对“关联点”，求实数a 的取值范围.
25
题型九
概率统计的新定义问题
大题典例
25. (24 - 25 高三上·湖北·月考) 在信息论中，熵(entropy) 是接收的每条消息中包含的信息的平均量，又
被称为信息熵、信源熵. 若把信息熵定义为概率分布的对数的相反数，设随机变量X 的所有取值为1,
2,3, ⋯,n n∈N *
,P X=i
= pi，定义信息熵：H(X) = Hn p1,p2,⋯,pn
=-
n
i=1
pilog2pi
,
n
i=1
pi
= 1,i = 1,
2, ⋯,n
(1) 若n = 2，且p1= p2，求随机变量X 的信息熵；
(2) 若p1= 1
2n + 1
2 ,p2= 1
2n ,pk+1= 2pk,k = 2,3, ⋯,n，求随机变量X 的信息熵；
(3) 设X 和Y 是两个独立的随机变量，求证：H XY
= H X
+ H Y
.
26
变式训练
26. (23 - 24 高三下·湖南·月考) 多样性指数是生物群落中种类与个体数的比值. 在某个物种数目为S 的群
落中，辛普森多样性指数D = 1 -
s
i=1
ni
N
2
，其中ni 为第i 种生物的个体数，N 为总个体数. 当D 越大
时，表明该群落的多样性越高. 已知A,B 两个实验水塘的构成如下：
绿藻
衣藻
水绵
蓝藻
硅藻
A
6
6
6
6
6
B
12
4
3
6
5
(1) 若从A,B 中分别抽取一个生物个体，求两个生物个体为同一物种的概率；
(2) (i) 比较A,B 的多样性大小；
(ii) 根据(i) 的计算结果，分析可能影响群落多样性的因素.
27
27. (23 - 24 高三下·浙江·开学考试) 一般地，n 元有序实数对a1,a2,⋯,an
称为n 维向量. 对于两个n 维
向量a= a1,a2,⋯,an
,b= b1,b2,⋯,bn
，定义：两点间距离d =
b1-a1
2+ b2-a2
2+⋯+ bn-an
2 ，
利用n 维向量的运算可以解决许多统计学问题. 其中，依据“距离”分类是一种常用的分类方法：计算
向量与每个标准点的距离dn，与哪个标准点的距离dn 最近就归为哪类. 某公司对应聘员工的不同方面
能力进行测试，得到业务能力分值a1
、管理能力分值a2
、计算机能力分值a3
、沟通能力分值a4
(分值ai ∈N *,i ∈1,2,3,4
代表要求度，1 分最低，5 分最高) 并形成测试报告. 不同岗位的具体要求见
下表：
岗位
业务能力分值
a1
管理能力分值
a2
计算机能力分值
a3
沟通能力分值
a4
合计分
值
会计(1)
2
1
5
4
12
业务员(2)
5
2
3
5
15
后勤(3)
2
3
5
3
13
管理员(4)
4
5
4
4
17
对应聘者的能力报告进行四维距离计算，可得到其最适合的岗位. 设四种能力分值分别对应四维向量
β= a1,a2,a3,a4
的四个坐标.
(1) 将这四个岗位合计分值从小到大排列得到一组数据，直接写出这组数据的第三四分位数；
(2) 小刚与小明到该公司应聘，已知：只有四个岗位的拟合距离的平方d2
n均小于20 的应聘者才能被招
录.
(i) 小刚测试报告上的四种能力分值为β0
= 4,3,2,5
，将这组数据看成四维向量中的一个点，将四种
职业1、2、3、4 的分值要求看成样本点，分析小刚最适合哪个岗位；
(ii) 小明已经被该公司招录，其测试报告经公司计算得到四种职业1、2、3、4 的推荐率p
分别为14
43 ,
13
43 , 9
43 , 7
43
pn=
d2
n
d2
1+d2
2+d2
3+d2
4
，试求小明的各项能力分值.
28
题型十
高等数学背景下的新定义问题
大题典例
28. (24 - 25 高三上·四川自贡·期中) 新信息题型是目前高考的热点题型. 这类题要求答题者在有限的时
间内，阅读并理解题目所给予的信息，根据获取的信息解答问题. 请同学们根据以下信息回答问题：
(1) 在高等数学中，我们将y = f x
在x = x0处可以用一个多项式函数近似表示，具体形式为：f x
=
f x0
+ fx0
x-x0
+ fx0
2!
x-x0
2+⋯+ f n
x0
n!
x-x0
n+⋯，(其中f n
x
表示f x
的n 次导
数n ≥3，n ∈N *)，以上公式我们称为函数f x
在x = x0处的泰勒展开式，当x0= 0 时泰勒展开式也
称为麦克劳林公式，比如ex在x = 0 处的麦克劳林公式为：ex= 1 + x + 1
2! x2+ 1
3! x2+⋯+ 1
n! xn+⋯，
由此当x ≥0 时，可以非常容易得到不等式ex≥1 + x，ex≥1 + x + 1
2 x2，ex≥1 + x + 1
2 x2+ 1
6 x3，
⋯，请利用上述公式和所学知识写出y = sinx 在x = 0 处的泰勒展开式；(写出展开式的前三项即可)
(2) 设m 为正整数，数列a1，a2，⋯，a4m+2是公差不为0 的等差数列，若从中删去两项ai和aj i<j
后
剩余的4m 项可被平均分为m 组，且每组的4 个数都能构成等差数列，则称数列a1，a2，⋯，a4m+2是(i,
j) 一可分数列. 请写出所有的i,j
，1 ≤i < j ≤6，使数列a1，a2，⋯，a6是(i,j) - 可分数列.
29
变式训练
29. (24 - 25 高三上·山东潍坊·月考) 设数阵X0 = x11
x12
x21
x22
，其中x11,x12,x21,x22 ∈1,2,3,4,5,6
. 设B =
n1,n2,⋯,nk
⊆1,2,3,4,5,6
，其中n1 < n2 <⋯< nk,k ∈N * 且k ≤6. 定义变换Mt 为“对于数阵的每
一列，若其中有t 或-t，则将这一列中所有数均保持不变；若其中没有t 且没有-t，则这一列中每个数
都乘以-1 t=n1,n2,⋯,nk
”，MB X0
表示“将X0 经过Mn1 变换得到X1，再将X1 经过Mn2 变换得到
X2, ⋯，以此类推，最后将Xk-1经过Mnk变换得到Xk”. 记数阵Xk中四个数的和为TB X0
.
(1) 若X0= 2
1
3
4
,B = 2,5
，写出X0经过M2变换后得到的数阵X1，并求TB X0
的值；
(2) 若X0= 2
1
3
4
,B = n1,n2,n3
，求所有TB X0
取值的和；
(3) 对任意确定的一个数阵X0，证明：所有TB X0
取值的和不大于-8；
(4) 如果X0= 1
3
3
6
，其他条件不变，你研究(1) 后得出什么结论？
30
30. (24 - 25 高三上·江苏南通·月考) 小学我们都学过质数与合数，每一个合数都能分解为若干个质数的
积，比如36 = 2 × 2 × 3 × 3，74 = 2 × 37 等等，分解出来的质数称为这个合数的质因子，如2，3 都是6
的质因子．在研究某两个整数的关系时，我们称它们是互质的，如果它们没有相同的质因子．例如
25 的质因子只有5，而36 的质因子只有2，3，所以25，36 是互质的．为方便表示，对于任意的正整数
n，我们将比n 小且与n 互质的正整数的个数记为A n
．例如，小于10 且与10 互质的数有1，3，7，9，
所以A 10
= 4，同理有A 12
= 4．
(1) 求A 60
，A 312
；
(2) 求所有n ∈N *，n ≥2，使得A n
是奇数；
(3) 若正整数n = p1p2⋯pk，其中p1,p2,...,pk表示互不相同的质数．证明：A n
= n 1- 1
p1
1- 1
p2
⋯1- 1
pk
.
31
必刷大题
刷模拟
1. (24 - 25 高三上·上海·期中) 设函数y = f(x) 的定义域为R，其导函数为y = f(x)，x ∈R．若存在区间
I 及实数t 满足：对任意x ∈I ，都有f(x + t) ≥t ⋅f(x) 恒成立，则称函数y = f(x) 为I 上的“M (t) 函
数”．
(1) 判断函数y = ex是否为0，+∞
上的M(2) 函数，并说明理由；
(2) 已知实数m 满足：函数y = x2+ mx + 1 为2，+∞
上的M(1) 函数，求m 的取值范围；
(3) 已知函数y = f(x) 存在最大值．对于以下两个命题，P：对任意x ∈R，都有f(x) ≤0 与f(x) ≥0
恒成立；Q：对任意正整数n，满足函数y = f(x) 都是R 上的M(n) 函数；判断P 是否为Q 的充要条件，
并说明理由．
32
2. ( 24 - 25 高三上· 湖南长沙· 期中) 设n ∈N * , n ≥2 , x i ∈
0,1
, i = 1 , 2 , ⋯, n ，集合S n =
X∣X= x1,x2,⋯,xn
. 对于P =
p1,p2,⋯,pn
∈S n , Q =
q1,q2,⋯,qn
∈S n
，记P ⊖Q =
p1-q1
, p2-q2
,⋯, pn-qn
,P*Q =
n
i=1
|pi-qi|
.
(1) 若A,B,C ∈Sn，证明：A⊖C
* B⊖C
= A*B；
(2) 若A,B,C ∈Sn,A*B 和A*C 都为奇数，证明：B*C 为偶数；
(3) 若X1,X2, ⋯,X10∈S20 ，当1 ≤i < j ≤10 时，求所有X*
i Xj 之和的最大值.
33
3. (24 - 25 高三上·河北沧州·期中) 已知O 为坐标原点，对于函数f(x) = asinx + bcosx，称向量OM
=
(a,b) 为函数f(x) 的相伴特征向量，同时称函数f(x) 为向量OM
的相伴函数．
(1) 记向量ON
= (3, 3) 的相伴函数为f(x)，若当f(x) = 3 且x ∈(- π
3 , π
3 ) 时，求x 的值；
(2) 设g(x) =
3cos x+ π
3
+ cos π
6 -x
(x ∈R)，试求函数g(x) 的相伴特征向量OM
，并求出与
OM
同向的单位向量；
(3) 已知OA
= (0,1) 为函数h(x) 的相伴特征向量，若在△ABC 中，AB = 2，cosC = h π
6
，若点G 为
该△ABC 的外心，求GC
⋅AB
+ CA
⋅CB
的最大值．
34
4. (2024 高三·全国·专题练习) 已知函数f(x) = asinx + bcosx，称向量p= a,b
为f x
的特征向量，
f x
为p的特征函数.
(1) 设g x
= 2sin π-x
+ sin 3
2 π-x
，求g x
的特征向量；
(2) 设向量p=
3,1
的特征函数为f x
，求当f x
= 6
5 且x ∈- π
6 , π
3
时，sinx 的值；
(3) 设向量p= - 1
2 ,
3
2
的特征函数为f x
，记h x
= f2 x
- 1
4 ，若h x
在区间a,b
上至少有
40 个零点，求b - a 的最小值.
35
5. (24 - 25 高三上·河北邯郸·期中) 对于无穷数列an
，
“若存在am - ak = t(m、k ∈N *，且m > k)，必有
am+1- ak+1= t”，则称数列an
具有P t
性质.
(1) 若数列an
满足an= 2n n=1,2
2n-5 n≥3,且n∈N *
，判断数列an
是否具有P 1
性质？数列an
是
否具有P 4
性质？
(2) 对于无穷数列an
，设T = x x=aj-ai,i,j∈N *,且i<j
，求证：若数列an
具有P 0
性质，则T
必为有限集
(3) 已知an
是各项均为正整数的数列，且an
既具有P 2
性质，又具有P 3
性质，是否存在正整
数N,k，使得aN，aN+1，aN+2，⋯，aN+k，⋯成等差数列. 若存在，请加以证明；若不存在，说明理由.
36
6. (24 - 25 高三上·四川·模拟测试) 已知抛物线C：y2 = 2px p>0
的焦点为F，过点F 的直线与C 相交
于点A，B，△AOB 面积的最小值为1
2 (O 为坐标原点). 按照如下方式依次构造点Fn n∈N *
：F1 的坐
标为p,0
，直线AFn，BFn 与C 的另一个交点分别为An，Bn，直线AnBn 与x 轴的交点为Fn+1，设点Fn
的横坐标为xn.
(1) 求p 的值；
(2) 求数列xn
的通项公式；
(3) 数列xn
中，是否存在连续三项(按原顺序) 构成等差数列？若存在，指出所有这样的连续三项；若
不存在，请说明理由.
37
7. (24 - 25 高三上·广西来宾·模拟预测) 已知：①定积分的定义：
设y = f x
为定义在a,b
上的连续非负函数，为求y = f x
、x = a、x = b、x 轴围成的曲边梯形的面
积，可采取如下方法：
将区间a,b
分为n 个小区间，每个小区间长度为b-a
n
，每个区间即可表示为
a+ b-a
n
i-1
,a+ b-a
n
i
i=1,2,3,⋯n
，再分别过每个区间的左右端点作x 轴的垂线与y = f x
图象相交，即可得到一个小的曲边梯形. 如图，
当n →+∞时，每个小曲边梯形可近似看作矩形，矩形的宽即为每个小区间的长度，长可由每个小区间
内的任一点的函数值近似代替(一般用区间端点的函数值)，将这样无穷多个小矩形的面积相加，所得
之和即为所求的由y = f x
、x = a、x = b、x 轴围成的曲边梯形的面积，即S =
lim
n→∞∑
n
i=1 f a+ b-a
n
i
⋅b-a
n
，上式也记为
b
a f
(x)dx，即对y = f x
在a,b
上求定积分.
②定积分的计算：
b
a f
(x)dx = F(b) - F(a) 其中Fx
= f x
.
根据以上信息，回答以下问题：
(1) 已知0 < α < π
2 ，求证：
α
0 cos
xdx < α.
(2) 将x = 1、x = 2、y = 1
x 、x 轴围成的图形面积分别表示为定积分的形式与面积和的极限形式，并求
其值；
(3) 试证明：1
101 +
1
102 +⋯+ 1
200 < ln2 <
1
100 +
1
101 +⋯+ 1
199 .
38
刷真题
8. (2024·上海·高考真题) 记M a
= t∣t= f x
- f a
,x≥a
，L a
= t∣t= f x
- f a
,x≤a
(1) 若f x
= x2+ 1，求M 1
和L 1
;
(2) 若f x
= x3- 3x2，求证: 对于任意a ∈R，都有M a
⊆-4,+∞
，且存在a，使得-4 ∈M a
.
(3) 已知定义在R 上f x
有最小值，求证"f x
是偶函数" 的充要条件是“对于任意正实数c，均有
M -c
= L c
”.
39
9. (2024·全国·高考真题) 设m 为正整数，数列a1,a2,...,a4m+2 是公差不为0 的等差数列，若从中删去两项
ai 和a j i<j
后剩余的4m 项可被平均分为m 组，且每组的4 个数都能构成等差数列，则称数列a1,
a2,...,a4m+2是i,j
- 可分数列．
(1) 写出所有的i,j
，1 ≤i < j ≤6，使数列a1,a2,...,a6是i,j
- 可分数列；
(2) 当m ≥3 时，证明：数列a1,a2,...,a4m+2是2,13
- 可分数列；
(3) 从1,2,...,4m + 2 中任取两个数i 和j i<j
，记数列a1,a2,...,a4m+2是i,j
- 可分数列的概率为Pm，
证明：Pm > 1
8 ．
40
10. (2024·北京·高考真题) 已知集合M =
i,j,k,w
i∈1,2
,j∈3,4
,k∈5,6
,w∈7,8
,且i+j+k+w为偶数
．给定数列A:a1,a2, ⋯,a8，和
序列Ω:T1,T2, ⋯Ts，其中Tt= it,jt,kt,wt
∈M t=1,2,⋯,s
，对数列A 进行如下变换：将A 的第i1,j1,
k1,w1项均加1，其余项不变，得到的数列记作T1 A
；将T1 A
的第i2,j2,k2,w2项均加1，其余项不变，得
到数列记作T2T1 A
；⋯⋯；以此类推，得到Ts⋯T2T1 A
，简记为Ω A
．
(1) 给定数列A:1,3,2,4,6,3,1,9 和序列Ω: 1,3,5,7
, 2,4,6,8
, 1,3,5,7
，写出Ω A
；
(2) 是否存在序列Ω，使得Ω A
为a1+ 2,a2+ 6,a3+ 4,a4+ 2,a5+ 8,a6+ 2,a7+ 4,a8+ 4，若存在，写出
一个符合条件的Ω；若不存在，请说明理由；
(3) 若数列A 的各项均为正整数，且a1+ a3+ a5+ a7为偶数，求证：
“存在序列Ω，使得Ω A
的各项都
相等”的充要条件为“a1+ a2= a3+ a4= a5+ a6= a7+ a8”．
