文档文本内容
绝密★启用前
2007 年普通高等学校招生全国统一考试（上海卷）
数学试卷（理工农医类）
（满分150 分，考试时间120 分钟）
考生注意
1.本场考试时间120 分钟，试卷共4 页，满分150 分，答题纸共2 页.
2.作答前，在答题纸正面填写姓名、准考证号，反面填写姓名，将核对后的条形码贴在答题纸指
定位置.
3.所有作答务必填涂或书写在答题纸上与试卷题号对应的区域，不得错位.在试卷上作答一律
不得分.
4.用2B 铅笔作答选择题，用黑色字迹钢笔、水笔或圆珠笔作答非选择题.
一．填空题（本大题满分44 分）本大题共有11 题，只要求直接填写结果，
每个空格填对得4 分，否则一律得零分．
1．函数
的定义域是 ．
2．若直线
与直线
平行，则
．
3．函数
的反函数
．
4．方程
的解是
．
5．已知
，且
，则
的最大值是
．
6．函数
的最小正周期
．
7．在五个数字
中，若随机取出三个数字，则剩下两个数字都是奇数的
概率是
（结果用数值表示）．
8．以双曲线
的中心为焦点，且以该双曲线的左焦点为顶点的抛物线方程
是
．
9．对于非零实数
，以下四个命题都成立：
①
； ②
；
③ 若
，则
； ④ 若
，则
．
那么，对于非零复数
，仍然成立的命题的所有序号是
．
10．在平面上，两条直线的位置关系有相交、平行、重合三种． 已知
是两个
相交平面，空间两条直线
在
上的射影是直线
，
在
上的射影是
直线
．用
与
，
与
的位置关系，写出一个总能确定
与
是异
面直线的充分条件：
．
11．已知
为圆
上任意
一点（原点
除外），直线
的倾斜角为
弧度，记
．
在右侧的坐标系中，画出以
为坐标的点的轨迹的大致图形为
二．选择题（本大题满分16 分）本大题共有4 题，每题都给出代号为A，B，C，D
的四个结论，其中有且只有一个结论是正确的，必须把正确结论的代号写在题后
的圆括号内，选对得4 分，不选、选错或者选出的代号超过一个（不论是否都
写在圆括号内），一律得零分．
12．已知
，且
（是虚数单位）是实系数一元二次方程
的两个根，那么
的值分别是（ ）
Ａ．
Ｂ．
Ｃ．
Ｄ．
13．设
是非零实数，若
，则下列不等式成立的是（ ）
Ａ．
Ｂ．
Ｃ．
Ｄ．
14．直角坐标系
中，
分别是与
轴正方向同向的单位向量．在直角三角
形
中，若
，则的可能值个数是（ ）
Ａ．1 Ｂ．2 Ｃ．3 Ｄ．4
15．设
是定义在正整数集上的函数，且
满足：“当
成立时，
总可推出
成立”．那么，下列命题总成立的是（ ）
Ａ．若
成立，则当
时，均有
成立
Ｂ．若
成立，则当
时，均有
成立
Ｃ．若
成立，则当
时，均有
成立
Ｄ．若
成立，则当
时，均有
成立
三．解答题（本大题满分90 分）本大题共有6 题，解答下列各题必须写出必要的步骤．
16．（本题满分12 分）
如图，在体积为1 的直三棱柱
中，
． 求直线
与
平面
所成角的大小（结果用反三角函数值表示）．
C
B
1
B
1A
A
1
C
17．（本题满分14 分）
在
中，
分别是三个内角
的对边．若
，
，
求
的面积．
18．（本题满分14 分）本题共有2 个小题，第1 小题满分6 分，第2 小题满分8 分．
近年来，太阳能技术运用的步伐日益加快．2002 年全球太阳电池的年生产量达到670 兆瓦，
年生产量的增长率为34%．以后四年中，年生产量的增长率逐年递增2%
（如，2003 年的年生产量的增长率为36%）．
（1）求2006 年全球太阳电池的年生产量（结果精确到0.1 兆瓦）；
（2）目前太阳电池产业存在的主要问题是市场安装量远小于生产量，2006 年的实际安装量
为1420 兆瓦．假设以后若干年内太阳电池的年生产量的增长率保持在42%，到2010 年，要使
年安装量与年生产量基本持平（即年安装量不少于年生产量的95%），这四年中太阳电池的年
安装量的平均增长率至少应达到多少（结果精确到0.1%）？
19．（本题满分14 分）本题共有2 个小题，第1 小题满分7 分，第2 小题满分7 分．
已知函数
，常数
．
（1）讨论函数
的奇偶性，并说明理由；
（2）若函数
在
上为增函数，求的取值范围．
20．（本题满分18 分）本题共有3 个小题，第1 小题满分3 分，第2 小题满分6 分，
第3 小题满分9 分．
如果有穷数列
（为正整数）满足条件
，
，…，
，即
（
），我们称其为“对称数列”．例如，由组合数组成的数列
就是“对称数列”．
（1）设
是项数为7 的“对称数列”，其中
是等差数列，且
，
．依次写出
的每一项；
（2）设
是项数为
(正整数
)的“对称数列”，其中
是首项为
，公差为
的等差数列．记
各项的和为
．当为
何值时，
取得最大值？并求出
的最大值；
（3）对于确定的正整数
，写出所有项数不超过
的“对称数列”，
使得
依次是该数列中连续的项；当
时，
求其中一个“对称数列”前
项的和
．
21．（本题满分18 分）本题共有3 个小题，第1 小题满分4 分，第2 小题满分6 分，
第3 小题满分8 分．
我们把由半椭圆
与半椭圆
合成的曲线称作“果圆”，其中
，
，
．
如图，点
，
，
是相应椭圆的焦点，
，
和
，
分别是“果圆”
与，
轴的交点．
（1）
若
是边长为1 的等边三角形，
求“果圆”的方程；
y
1B
O
1A
2B
2
A
.
.
1
F
0F
2F
x
.
（2）当
时，求
的取值范围；
（3）连接“果圆”上任意两点的线段称为“果圆”的弦．
试研究：是否存在实数，使斜率为的“果圆”
平行弦的中点轨迹总是落在某个椭圆上？若存在，
求出所有可能的值；若不存在，说明理由．
绝密★启用前
2007 年普通高等学校招生全国统一考试（上海卷）
数学试卷（理工农医类）
（满分150 分，考试时间120 分钟）
考生注意
1.本场考试时间120 分钟，试卷共4 页，满分150 分，答题纸共2 页.
2.作答前，在答题纸正面填写姓名、准考证号，反面填写姓名，将核对后的条形码贴在答题纸指
定位置.
3.所有作答务必填涂或书写在答题纸上与试卷题号对应的区域，不得错位.在试卷上作答一律
不得分.
4.用2B 铅笔作答选择题，用黑色字迹钢笔、水笔或圆珠笔作答非选择题.
一．填空题（本大题满分44 分）本大题共有11 题，只要求直接填写结果，
每个空格填对得4 分，否则一律得零分．
1．函数
的定义域是 ．
【答案】
【解析】
2．若直线
与直线
平行，则
．
【答案】
【解析】
3．函数
的反函数
．
【答案】
【解析】由
4．方程
的解是
．
【答案】
【解析】
（舍去），
。
5．已知
，且
，则
的最大值是
．
【答案】
【解析】
，当且仅当x=4y=
时取等号.
6．函数
的最小正周期
．
【答案】
【解析】
。
7．在五个数字
中，若随机取出三个数字，则剩下两个数字都是奇数的
概率是
（结果用数值表示）．
【答案】
【解析】
8．以双曲线
的中心为焦点，且以该双曲线的左焦点为顶点的抛物线方程
是
．
【答案】
【解析】双曲线
的中心为O（0,0），该双曲线的左焦点为F（－3,0），则抛物线的顶点
为（－3,0），焦点为（0,0），所以p=6，所以抛物线方程是)
9．对于非零实数
，以下四个命题都成立：
①
； ②
；
③ 若
，则
； ④ 若
，则
．
那么，对于非零复数
，仍然成立的命题的所有序号是
．
【答案】②④
【解析】 对于①：解方程
得 a i，所以非零复数 a i使得
，
①不成立；②显然成立；对于③：在复数集C 中，|1|=|i|，则
，所以③不成立；
④显然成立。则对于任意非零复数
，上述命题仍然成立的所有序号是②④
10．在平面上，两条直线的位置关系有相交、平行、重合三种． 已知
是两个
相交平面，空间两条直线
在
上的射影是直线
，
在
上的射影是
直线
．用
与
，
与
的位置关系，写出一个总能确定
与
是异
面直线的充分条件：
．
【答案】
，并且
与
相交（
，并且
与
相交）
【解析】 作图易得“能成为
是异面直线的充分条件”的是“
，并且
与
相交”
或“
，并且
与
相交”。
11．已知
为圆
上任意
一点（原点
除外），直线
的倾斜角为
弧度，记
．
在右侧的坐标系中，画出以
为坐标的点的轨迹的大致图形为
【答案】
【解析】
二．选择题（本大题满分16 分）本大题共有4 题，每题都给出代号为A，B，C，D
的四个结论，其中有且只有一个结论是正确的，必须把正确结论的代号写在题后
的圆括号内，选对得4 分，不选、选错或者选出的代号超过一个（不论是否都
写在圆括号内），一律得零分．
12．已知
，且
（是虚数单位）是实系数一元二次方程
的两个根，那么
的值分别是（ ）
Ａ．
Ｂ．
Ｃ．
Ｄ．
【答案】A
【解析】 因为2 ai，bi（ i 是虚数单位）是实系数一元二次方程
的两个根，所以a=－1，b=2，所以实系数一元二次方程
的两个
根是
所以
。
13．设
是非零实数，若
，则下列不等式成立的是（ ）
Ａ．
Ｂ．
Ｃ．
Ｄ．
【答案】C
【解析】若aba2b2，A不成立；若
B不成立；
若a=1，b=2，则
,所以D不成立 ,故选C。
14．直角坐标系
中，
分别是与
轴正方向同向的单位向量．在直角三角形
中，若
，则的可能值个数是（ ）
Ａ．1 Ｂ．2 Ｃ．3 Ｄ．4
【答案】B
【解析】解法一：
（1） 若A为直角，则
；
（2） 若B为直角，则
；
（3） 若C为直角，则
。
所以 k 的可能值个数是2，选B
解法二：数形结合．如图，将A 放在坐标原点，则B 点坐标为(2,1)，C 点坐标为(3,k)，所以C
点在直线x=3 上，由图知，只可能A、B 为直角，C 不可能为直角．所以 k 的可能值个数是2，选
B
15．设
是定义在正整数集上的函数，且
满足：“当
成立时，
总可推出
成立”．那么，下列命题总成立的是（ ）
Ａ．若
成立，则当
时，均有
成立
Ｂ．若
成立，则当
时，均有
成立
Ｃ．若
成立，则当
时，均有
成立
Ｄ．若
成立，则当
时，均有
成立
【答案】D
【解析】 对A，当k=1 或2 时，不一定有
成立；对B，应有
成立；
对C，只能得出：对于任意的
，均有
成立，不能得出：任意的
，
均有
成立；对D，
对于任意的
，
均有
成立。故选D。
三．解答题（本大题满分90 分）本大题共有6 题，解答下列各题必须写出必要的步骤．
16．（本题满分12 分）
如图，在体积为1 的直三棱柱
中，
． 求直线
与
平面
所成角的大小（结果用反三角函数值表示）．
【解析】法一： 由题意，可得体积
，
．连接
．
，
平面
，
是直线
与平面
所成的角．
C
B
1
B
1A
A
1
C
C
B
1
B
1A
1A
A
1
C
1B
B
x
y
z
，
，
则
＝
．即直线
与平面
所成角的大小为
．
法二： 由题意，可得
体积
，
，
如图，建立空间直角坐标系． 得点
，
，
． 则
，
平面
的法向量为
．
设直线
与平面
所成的角为，
与的夹角为，
则
，
，
即直线
与平面
所成角的大小为
．
17．（本题满分14 分）
在
中，
分别是三个内角
的对边．若
，
，
求
的面积．
【解析】 由题意，得
为锐角，
，
，
由正弦定理得
，
．
18．（本题满分14 分）本题共有2 个小题，第1 小题满分6 分，第2 小题满分8 分．
近年来，太阳能技术运用的步伐日益加快．2002 年全球太阳电池的年生产量达到670 兆瓦，
年生产量的增长率为34%．以后四年中，年生产量的增长率逐年递增2%
（如，2003 年的年生产量的增长率为36%）．
（1）求2006 年全球太阳电池的年生产量（结果精确到0.1 兆瓦）；
（2）目前太阳电池产业存在的主要问题是市场安装量远小于生产量，2006 年的实际安装量
为1420 兆瓦．假设以后若干年内太阳电池的年生产量的增长率保持在42%，到2010 年，要使
年安装量与年生产量基本持平（即年安装量不少于年生产量的95%），这四年中太阳电池的年
安装量的平均增长率至少应达到多少（结果精确到0.1%）？
【解析】（1）由已知得2003，2004，2005，2006 年太阳电池的年生产量的增长率依次为
，
，
，
．
则2006 年全球太阳电池的年生产量为
(兆瓦)．
（2）设太阳电池的年安装量的平均增长率为，则
．解得
．
因此，这四年中太阳电池的年安装量的平均增长率至少应达到
．
19．（本题满分14 分）本题共有2 个小题，第1 小题满分7 分，第2 小题满分7 分．
已知函数
，常数
．
（1）讨论函数
的奇偶性，并说明理由；
（2）若函数
在
上为增函数，求的取值范围．
【解析】（1）当
时，
，
对任意
，
，
为偶函数．
当
时，
，
取
，得
，
，
函数
既不是奇函数，也不是偶函数．
（2）解法一：设
，
，
要使函数
在
上为增函数，必须
恒成立．
，即
恒成立．
又
，
．
的取值范围是
．
解法二：当
时，
，显然在
为增函数．
当
时，反比例函数
在
为增函数，
在
为增函数．
当
时，同解法一．
20．（本题满分18 分）本题共有3 个小题，第1 小题满分3 分，第2 小题满分6 分，
第3 小题满分9 分．
如果有穷数列
（为正整数）满足条件
，
，…，
，即
（
），我们称其为“对称数列”．例如，由组合数组成的数列
就是“对称数列”．
（1）设
是项数为7 的“对称数列”，其中
是等差数列，且
，
．依次写出
的每一项；
（2）设
是项数为
(正整数
)的“对称数列”，其中
是首项为
，公差为
的等差数列．记
各项的和为
．当为
何值时，
取得最大值？并求出
的最大值；
（3）对于确定的正整数
，写出所有项数不超过
的“对称数列”，
使得
依次是该数列中连续的项；当
时，
求其中一个“对称数列”前
项的和
．
【解析】（1）设
的公差为，则
，解得
，
数列
为
．
（2）
，
，
当
时，
取得最大值．
的最大值为626．
（3）所有可能的“对称数列”是：
①
；
②
；
③
；
④
．
对于①，当
时，
．
当
时，
．
对于②，当
时，
．
当
时，
．
对于③，当
时，
．
当
时，
．
对于④，当
时，
．
当
时，
．
21．（本题满分18 分）本题共有3 个小题，第1 小题满分4 分，第2 小题满分6 分，
第3 小题满分8 分．
我们把由半椭圆
与半椭圆
y
O
1A
2
B
2A
1B
.
.
.
M
1F
0
F
2F
x
合成的曲线称作“果圆”，其中
，
，
．
如图，点
，
，
是相应椭圆的焦点，
，
和
，
分别是“果圆”
与，
轴的交点．
（2）
若
是边长为1 的等边三角形，
求“果圆”的方程；
（2）当
时，求
的取值范围；
（3）连接“果圆”上任意两点的线段称为“果圆”的弦．
试研究：是否存在实数，使斜率为的“果圆”
平行弦的中点轨迹总是落在某个椭圆上？若存在，
求出所有可能的值；若不存在，说明理由．
【解析】（1）
，
，
于是
，所求“果圆”方程为
，
（2）由题意，得
，即
．
，
，得
．
又
．
．
（3）设“果圆”
的方程为
，
．
记平行弦的斜率为．
当
时，直线
与半椭圆
的交点是
，与半椭圆
的交点是
．
的中点
满足
得
．
y
1B
O
1A
2B
2
A
.
.
1
F
0F
2F
x
.
，
．
综上所述，当
时，“果圆”平行弦的中点轨迹总是落在某个椭圆上．
当
时，以为斜率过
的直线与半椭圆
的交点是
．
由此，在直线右侧，以为斜率的平行弦的中点轨迹在直线
上，
即不在某一椭圆上．
当
时，可类似讨论得到平行弦中点轨迹不都在某一椭圆上．
