绝密★启用前
2006 年普通高等学校招生全国统一考试（上海卷）
数学试卷(文史类)
（满分150 分，考试时间120 分钟）
考生注意
1.本场考试时间120 分钟，试卷共4 页，满分150 分，答题纸共2 页.
2.作答前，在答题纸正面填写姓名、准考证号，反面填写姓名，将核对后的条形码贴在答题纸
指定位置.
3.所有作答务必填涂或书写在答题纸上与试卷题号对应的区域，不得错位.在试卷上作答一
律不得分.
4.用2B 铅笔作答选择题，用黑色字迹钢笔、水笔或圆珠笔作答非选择题.
一、填空题（本大题满分48 分）本大题共有12 题，只要求直接填写结果，每个空
填对得4 分，否则一律得零分。
1、已知
，集合
，若
,则实数
。
2、已知两条直线
若
，则
____.
3、若函数
的反函数的图像过点
，则
。
4、计算：
。
5、若复数
满足
（为虚数单位），其中
则
。
6、函数
的最小正周期是_________。
7、已知双曲线中心在原点，一个顶点的坐标为
,且焦距与虚轴长之比为
则双曲线的标准方程是____________________.
8、方程
的解是_______.
9、已知实数
满足
，则
的最大值是_________.
10、在一个小组中有8 名女同学和4 名男同学，从中任意地挑选2 名同学担任交
通安全宣传志愿者，那么选到的两名都是女同学的概率是______（结果用分数表
示）。
11、若曲线
与直线
没有公共点，则
的取值范围是_________.
12、如图，平面中两条直线和
相交于点
，对
于平面上任意一点
,若
分别是
到直线
和
的距离，则称有序非负实数对
是点
的“距离坐标”，根据上述定义，“距离坐标”是（1，2）的点的个数是
____________.
二、选择题（本大题满分16 分）本大题共有4 题，每题都给出代号为A、B、C、D 的
四个结论，其中有且只有一个结论是正确的，必须把正确结论的代号写在题后的
圆括号内，选对得4 分，不选、选错或者选出的代号超过一个（不论是否都写在圆
括号内），一律得零分。
13、如图，在平行四边形
中，下列结论中错误的是 （ ）
（A）
（B）
（C）
（D）
14、如果
，那么，下列不等式中正确的是（ ）
（A）
（B）
（C）
（D）
15、若空间中有两条直线，则“这两条直线为异面直线”是“这两条直线没有公
共点”的 （ ）
（A）充分非必要条件 （B）必要非充分条件
（C）充分必要条件 （D）既非充分又非必要条件
16、如果一条直线与一个平面垂直，那么，称此直线与平面构成一个“正交线面
对”。在一个正方体中，由两个顶点确定的直线与含有四个顶点的平面构成的
“正交线面对”的个数是
（A）48 （B） 18 （C） 24 （D）36
三、解答题（本大题满分86 分）本大题共有6 题，解答下列各题必须写出必要的
步骤。
17、（本题满分12 分）
已知
是第一象限的角，且
，求
的值。
18、（本题满分12 分）如图，当甲船位于A 处时获悉，在其正东方方向相距20 海
里的
处有一艘渔船遇险等待营救。甲船立即前往救援，同时把消息告知在甲船
的南偏西
，相距10 海里
处的乙船，试问乙船应朝北偏东多少度的方向沿直
线前往
处救援（角度精确到
）？
19、（本题满分14）本题共有2 个小题，第1 小题满分6 分，第2 小题满分8 分。
在直三棱柱
中，
.
（1）求异面直线
与
所成的角的大小；
（2）若
与平面
S 所成角为
，求三棱锥
的体积。
20、（本题满分14）本题共有2 个小题，第1 小题满分6 分，第2 小题满分8 分。设
数列
的前
项和为
，且对任意正整数
，
。
（1）求数列
的通项公式
（2）设数列
的前
项和为
,对数列
，从第几项起
？
21、本题共有3 个小题，第1 小题满分4 分，第2 小题满分6 分，第3 小题满分6
分。
已知在平面直角坐标系
中的一个椭圆，它的中心在原点，左焦点为
,右顶点为
,设点
.
（1）求该椭圆的标准方程；
（2）若
是椭圆上的动点，求线段
中点
的轨迹方程；
（3）过原点
的直线交椭圆于点
，求
面积的最大值。
22（本题满分18 分）本题共有3 个小题，第1 小题满分4 分，第2 小题满分8 分，
第3 小题满分6 分。
已知函数
有如下性质：如果常数
，那么该函数在
上是减
函数，在
上是增函数。
（1）如果函数
在
上是减函数，在
上是增函数，求
的
值。
（2）设常数
，求函数
的最大值和最小值；
（3）当
是正整数时，研究函数
的单调性，并说明理由。
上海数学(文史类)参考答案
一、(第1 题至笫12 题)
1. 4 2. 2 3.
4.
5. 3 6.π 7.
8. 5 9. 0 10.
11.－1<b<1 12. 4
二、(第13 题至笫16 题)
13. C 14. A 15. A 16. D
1、已知
，集合
，若
, 则实数
。
2、已知两条直线
若
，
，则
2.
3、若函数
＝
（＞0，且≠1）的反函数的图象过点（2，－1），则原函数的图象过点
(－1，2)，∴
，＝
．
4、计算：
。
5、若复数
满足
（为虚数单位）为纯虚数，其中
，则m=2，
z=3i，
。
6、函数
=
sin2x，它的最小正周期是π。
7、已知双曲线中心在原点，一个顶点的坐标为
,则焦点在x 轴上，且a=3，焦距与虚轴长
之比为
，即
，解得
，则双曲线的标准方程是
.
8 、方程
的解满足
，解得
x=5.
9、已知实数
满足
，在坐标系中画出可行域，得
三个交点为A(3，0)、B(5，0)、C(1，2)，则
的最大值是0.
10、在一个小组中有8 名女同学和4 名男同学，从中任意地挑选2 名同学担任交通安全宣传
C
B
A
O
y
x
志愿者，那么选到的两名都是女同学的概率是
.
11、曲线
得|y|>1，∴ y>1 或y<－1，曲线与直线
没有公共点，则
的取值范
围是[－1，1].
12、如图，平面中两条直线
和
相交于点
，对于平面上
任意一点
,若
分别是
到直线
和
的距离，则称
有序非负实数对
是点
的“距离坐标”，根据上
述定义，“距离坐标”是（1，2）的点可以在两条直线相交
所成的四个区域内各找到一个，所以满足条件的点的个数
是4 个.
二、选择题：
13. C 14. A 15. A 16. D
13．如图，在平行四边形ABCD 中，根据向量的减法法则知
，
所以下列结论中错误的是C．
14、如果
，那么
，∴
，选A.
15、若空间中有两条直线，若“这两条直线为异面直线”，则“这两条直线没有公共点”；若
“这两条直线没有公共点”，则 “这两条直线可能平行，可能为异面直线”；∴ “这两条直
线为异面直线”是“这两条直线没有公共点”的充分非必要条件，选A.
16、如果一条直线与一个平面垂直，那么，称此直线与平面构成一个“正交线面对”．在一个
正方体中，由两个顶点确定的直线与含有四个顶点的平面构成的“正交线面对”，分情况讨
论：① 对于每一条棱，都可以与两个侧面构成“正交线面对”，这样的“正交线面对”有
2×12=24 个；② 对于每一条面对角线，都可以与一个对角面构成“正交线面对”，这样的
“正交线面对”有12 个；所以正方体中“正交线面对”共有36 个．选D.
三、(第17 题至笫22 题)
17.解：
=
由已知可得sin
,
∴原式=
.
18.解：连接BC,由余弦定理得BC2=202+102－2×20×10COS120°=700.
于是,BC=10
.
A
B
C
D
∵
, sin ACB=
∴
∠
,
ACB<90°
ACB=41°
∵∠
∴∠
∴乙船应朝北偏东71°方向沿直线前往B 处救援.
19.解：(1) ∵BC∥B1C1, ∴∠ACB 为异面直线B1C1与AC 所成角(或它的补角)
∵∠ABC=90°, AB=BC=1,
ACB=4
∴∠
5°,
∴异面直线B1C1与AC 所成角为45°.
(2) ∵AA1⊥平面ABC,
∠ACA1是A1C 与平面ABC 所成的角, ∠ACA =45°.
AB
∵∠
C=90°, AB=BC=1, AC=
,
∴AA1=
.
∴三棱锥A1-ABC 的体积V=
S△ABC×AA1=
.
20.解(1) a
∵n+ Sn=4096, a
∴1+ S1=4096, a1 =2048.
当n≥2 时, an= Sn－Sn－1=(4096－an)－(4096－an－1)= an－1－an
∴
=
an=2048(
)n－1.
(2) ∵log2an=log2[2048(
)n－1]=12－n,
∴Tn=
(－n2+23n).
由Tn<－509,解待n>
,而n 是正整数,于是,n≥46.
∴从第46 项起Tn<－509.
21.解(1)由已知得椭圆的半长轴a=2,半焦距c=
,则半短轴b=1.
又椭圆的焦点在x 轴上, ∴椭圆的标准方程为
(2)设线段PA 的中点为M(x,y) ,点P 的坐标是(x0,y0),
由
x=
得
x0=2x－1
y=
y0=2y－
由,点P 在椭圆上,得
,
∴线段PA 中点M 的轨迹方程是
.
(3)当直线BC 垂直于x 轴时,BC=2,因此△ABC 的面积S△ABC=1.
当直线BC 不垂直于x 轴时,说该直线方程为y=kx,代入
,
解得B(
,
),C(－
,－
),
则
,又点A 到直线BC 的距离d=
,
∴△ABC 的面积S△ABC=
于是S△ABC=
由
≥－1,得S△ABC≤
,其中,当k=－
时,等号成立.
∴S△ABC的最大值是
.
22.解(1) 由已知得
=4, b=
∴
4.
(2) ∵c∈[1,4], ∴
∈[1,2],
于是,当x=
时, 函数f(x)=x+
取得最小值2
.
f(1)－f(2)=
,
当1≤c≤2 时, 函数f(x)的最大值是f(2)=2+
；
当2≤c≤4 时, 函数f(x)的最大值是f(1)=1+c.
(3)设0<x1<x2,g(x2)－g(x1)=
.
当
<x1<x2时, g(x2)>g(x1), 函数g(x)在[
,+∞)上是增函数；
当0<x1<x2<
时, g(x2)>g(x1), 函数g(x)在(0,
]上是减函数.
当n 是奇数时,g(x)是奇函数,
函数g(x) 在(－∞,－
]上是增函数, 在[－
,0)上是减函数.
当n 是偶数时, g(x)是偶函数,
函数g(x)在(－∞,－
)上是减函数, 在[－
,0]上是增函数.
