文档文本内容
1
C
C
B
1
B
1A
A
绝密★启用前
2007 年普通高等学校招生全国统一考试（上海卷）
数学试卷(文史类)
（满分150 分，考试时间120 分钟）
考生注意
1.本场考试时间120 分钟，试卷共4 页，满分150 分，答题纸共2 页.
2.作答前，在答题纸正面填写姓名、准考证号，反面填写姓名，将核对后的条形码贴在答题纸
指定位置.
3.所有作答务必填涂或书写在答题纸上与试卷题号对应的区域，不得错位.在试卷上作答一
律不得分.
4.用2B 铅笔作答选择题，用黑色字迹钢笔、水笔或圆珠笔作答非选择题.
一．填空题（本大题满分44 分）本大题共有11 题，只要求直接填写结果，
每个空格填对得4 分，否则一律得零分．
1．方程
的解是 ．
2．函数
的反函数
．
3．直线
的倾斜角
．
4．函数
的最小正周期
．
5．以双曲线
的中心为顶点，且以该双曲线的右焦点为焦点
的抛物线方程是
．
6．若向量
的夹角为
，
，则
．
7．如图，在直三棱柱
中，
，
，
，则异面直线
与
所成角
的大小是 （结果用反三角函数值表示）．
8．某工程由
四道工序组成，完成它们需用时间依次为
天．四道工
A
Bl
C
序的先后顺序及相互关系是：
可以同时开工；
完成后，
可以开工；
完成后，
可以开工．若该工程总时数为9 天，则完成工序
需要的天数最大是 ．
9．在五个数字
中，若随机取出三个数字，则剩下两个数字都是奇数的概率是
（结果用数值表示）．
10．对于非零实数
，以下四个命题都成立：
①
； ②
；
③ 若
，则
； ④ 若
，则
．
那么，对于非零复数
，仍然成立的命题的所有序号是
．
11．如图，
是直线上的两点，且
．两个半径
相等的动圆分别与相切于
点，
是这两个圆的公
共点，则圆弧
，
与线段
围成图形面积的
取值范围是
．
二．选择题（本大题满分16 分）本大题共有4 题，每题都给出代号为A，B，C，D
的四个结论，其中有且只有一个结论是正确的，必须把正确结论的代号写在题后
的圆括号内，选对得4 分，不选、选错或者选出的代号超过一个（不论是否都
写在圆括号内），一律得零分．
12．已知
，且
（是虚数单位）是一个实系数一元二次方程
的两个根，那么
的值分别是（ ）
Ａ．
Ｂ．
Ｃ．
Ｄ．
13．圆
关于直线
对称的圆的方程是（ ）
Ａ．
Ｂ．
Ｃ．
Ｄ．
14．数列
中，
则数列
的极限值（ ）
Ａ．等于
Ｂ．等于
Ｃ．等于或
Ｄ．不存在
15．设
是定义在正整数集上的函数，且
满足：“当
成立时，
总可推出
成立”． 那么，下列命题总成立的是（ ）
Ａ．若
成立，则
成立
Ｂ．若
成立，则
成立
Ｃ．若
成立，则当
时，均有
成立
Ｄ．若
成立，则当
时，均有
成立
三．解答题（本大题满分90 分）本大题共有6 题，解答下列各题必须写出必要的步骤．
16．（本题满分12 分）
如图,在正四棱锥
中，
，直线
与平面
所成的角为
，
求正四棱锥
的体积
．
P
B
C
A
D
17．（本题满分14 分）
在
中，
分别是三个内角
的对边．若
，
，求
的面积．
18．（本题满分14 分）本题共有2 个小题，第1 小题满分6 分，第2 小题满分8 分．
近年来，太阳能技术运用的步伐日益加快．2002 年全球太阳电池的年生产量达到
670 兆瓦，年生产量的增长率为34%． 以后四年中，年生产量的增长率逐年递增2%
（如，2003 年的年生产量的增长率为36%）．
（1）求2006 年全球太阳电池的年生产量（结果精确到0.1 兆瓦）；
（2）目前太阳电池产业存在的主要问题是市场安装量远小于生产量，2006 年的实际
安装量为1420 兆瓦．假设以后若干年内太阳电池的年生产量的增长率保持在42%，到2010
年，要使年安装量与年生产量基本持平（即年安装量不少于年生产量的95%），这四年中太阳
电池的年安装量的平均增长率至少应达到多少（结果精确到0.1%）？
19．（本题满分14 分）本题共有2 个小题，第1 小题满分7 分，第2 小题满分7 分．
已知函数
，常数
．
（1）当
时，解不等式
；
（2）讨论函数
的奇偶性，并说明理由．
20．（本题满分18 分）本题共有3 个小题，第1 小题满分3 分，第2 小题满分6 分，
第3 小题满分9 分．
如果有穷数列
（
为正整数）满足条件
，
，…，
，
即
（
），我们称其为“对称数列”．
例如，数列
与数列
都是“对称数列”．
（1）设
是7 项的“对称数列”，其中
是等差数列，且
，
．
依次写出
的每一项；
（2）设
是
项的“对称数列”，其中
是首项为，
公比为的等比数列，求
各项的和；
（3）设
是
项的“对称数列”，其中
是首项为，
y
O
1A
2
B
2A
1B
.
.
.
M
1F
0F
2F
x
.
公差为的等差数列．求
前项的和
．
21．（本题满分18 分）本题共有3 个小题，第1 小题满分4 分，第2 小题满分5 分，
第3 小题满分9 分．
我们把由半椭圆
与半椭圆
合成的曲线
称作“果圆”，其中
，
，
．
如图，设点
，
，
是相应椭圆的焦点，
，
和
，
是“果圆”
与，
轴的交点，
是线段
的中点．
（1）
若
是边长为1 的等边三角形，
求该“果圆”的方程；
（2）设
是“果圆”的半椭圆
上任意一点．求证：当
取得
最小值时，
在点
或
处；
（2）
若
是“果圆”上任意一点，求
取得最小值时点
的横坐标．
绝密★启用前
2007 年普通高等学校招生全国统一考试（上海卷）
数学试卷(文史类)
（满分150 分，考试时间120 分钟）
考生注意
1.本场考试时间120 分钟，试卷共4 页，满分150 分，答题纸共2 页.
2.作答前，在答题纸正面填写姓名、准考证号，反面填写姓名，将核对后的条形码贴在答题纸
指定位置.
3.所有作答务必填涂或书写在答题纸上与试卷题号对应的区域，不得错位.在试卷上作答一
律不得分.
4.用2B 铅笔作答选择题，用黑色字迹钢笔、水笔或圆珠笔作答非选择题.
一．填空题（本大题满分44 分）本大题共有11 题，只要求直接填写结果，
每个空格填对得4 分，否则一律得零分．
1．方程
的解是 ．
【答案】
【解析】
2．函数
的反函数
．
【答案】
【解析】由
3．直线
的倾斜角
．
【答案】
【解析】
.
4．函数
的最小正周期
．
【答案】
【解析】
.
5．以双曲线
的中心为顶点，且以该双曲线的右焦点为焦点
的抛物线方程是
．
1
C
C
B
1
B
1A
A
【答案】
【解析】双曲线
的中心为O（0,0），该双曲线的右焦点为F（3,0），
则抛物线的顶点为（0,0），焦点为（3,0），所以p=6，所以抛物线方程是)
。
6．若向量
的夹角为
，
，则
．
【答案】
【解析】
。
7．如图，在直三棱柱
中，
，
，
，则异面直线
与
所成角
的大小是 （结果用反三角函数值表示）．
【答案】
【解析】
异面直线
与
所成角为
，
易求
，
。
8．某工程由
四道工序组成，完成它们需用时间依次为
天．四道工
序的先后顺序及相互关系是：
可以同时开工；
完成后，
可以开工；
完成后，
可以开工．若该工程总时数为9 天，则完成工序
需要的天数最大是 ．
【答案】3
【解析】因为
完成后，
才可以开工，C 完成后，
才可以开工，完成A、C、D
需用时间依次为
天，且
可以同时开工，该工程总时数为9 天，
。
9．在五个数字
中，若随机取出三个数字，则剩下两个数字都是奇数的概率是
（结果用数值表示）．
【答案】
【解析】剩下两个数字都是奇数，取出的三个数为两偶一奇，
所以剩下两个数字都是奇数的概率是
。
A
Bl
C
10．对于非零实数
，以下四个命题都成立：
①
； ②
；
③ 若
，则
； ④ 若
，则
．
那么，对于非零复数
，仍然成立的命题的所有序号是
．
【答案】②④
【解析】 对于①：解方程
得 a i，所以非零复数 a i使得
，
①不成立；②显然成立；对于③：在复数集C 中，|1|=|i|，则
，
所以③不成立；④显然成立。则对于任意非零复数
，上述命题仍然成立的
所有序号是②④
11．如图，
是直线上的两点，且
．两个半径
相等的动圆分别与相切于
点，
是这两个圆的公
共点，则圆弧
，
与线段
围成图形面积的
取值范围是
．
【答案】
【解析】如图，当
外切于点C 时，最大，
此时，两圆半径为1，等于矩形ABO2O1的面积
减去两扇形面积，
，
随着圆半径的变化，C 可以向直线靠近，
当C 到直线的距离
。
二．选择题（本大题满分16 分）本大题共有4 题，每题都给出代号为A，B，C，D
的四个结论，其中有且只有一个结论是正确的，必须把正确结论的代号写在题后
的圆括号内，选对得4 分，不选、选错或者选出的代号超过一个（不论是否都
写在圆括号内），一律得零分．
12．已知
，且
（是虚数单位）是一个实系数一元二次方程
的两个根，那么
的值分别是（ ）
Ａ．
Ｂ．
Ｃ．
Ｄ．
【答案】A
C
l
O1
O2
B
A
【解析】 因为2 ai，bi（ i 是虚数单位）是实系数一元二次方程的两个根，
所以2 ai 与bi 互为共轭复数，则 a=－3，b=2。选A。
13．圆
关于直线
对称的圆的方程是（ ）
Ａ．
Ｂ．
Ｃ．
Ｄ．
【答案】C
【解析】圆
，圆心（1，0），半径
，关于直线
对称的圆半径不变，排除A、B，两圆圆心连线段的中点在直线
上，
C 中圆
的圆心为（－3，2），验证适合，故选C。
14．数列
中，
则数列
的极限值（ ）
Ａ．等于
Ｂ．等于
Ｃ．等于或
Ｄ．不存在
【答案】B
【解析】
，选B。
15．设
是定义在正整数集上的函数，且
满足：“当
成立时，
总可推出
成立”． 那么，下列命题总成立的是（ ）
Ａ．若
成立，则
成立
Ｂ．若
成立，则
成立
Ｃ．若
成立，则当
时，均有
成立
Ｄ．若
成立，则当
时，均有
成立
【答案】D
【解析】 对A，因为“原命题成立，否命题不一定成立”，所以若
成立，则不一定
成立；对B，因为“原命题成立，则逆否命题一定成立”，所以只能得出：若
成立，则
成立，不能得出：．若
成立，则
成立；对C，当k=1
P
B
C
A
D
O
或2 时，不一定有
成立；对D，
对于任意的
，均有
成立。故选D。
三．解答题（本大题满分90 分）本大题共有6 题，解答下列各题必须写出必要的步骤．
16．（本题满分12 分）
如图,在正四棱锥
中，
，直线
与平面
所成的角为
，
求正四棱锥
的体积
．
【解析】作
平面
，垂足为
．连接
，
是正方形
的中心，
是直线
与平面
所成的角．
＝
，
．
．
，
，
．
17．（本题满分14 分）
在
中，
分别是三个内角
的对边．若
，
，求
的面积．
【解析】由题意，得
为锐角，
，
，
由正弦定理得
，
．
P
B
C
A
D
18．（本题满分14 分）本题共有2 个小题，第1 小题满分6 分，第2 小题满分8 分．
近年来，太阳能技术运用的步伐日益加快．2002 年全球太阳电池的年生产量达到
670 兆瓦，年生产量的增长率为34%． 以后四年中，年生产量的增长率逐年递增2%
（如，2003 年的年生产量的增长率为36%）．
（1）求2006 年全球太阳电池的年生产量（结果精确到0.1 兆瓦）；
（2）目前太阳电池产业存在的主要问题是市场安装量远小于生产量，2006 年的实际
安装量为1420 兆瓦．假设以后若干年内太阳电池的年生产量的增长率保持在42%，到2010
年，要使年安装量与年生产量基本持平（即年安装量不少于年生产量的95%），这四年中太阳
电池的年安装量的平均增长率至少应达到多少（结果精确到0.1%）？
【解析】（1） 由已知得2003，2004，2005，2006 年太阳电池的年生产量的增长率依次为
，
，
，
． 则2006 年全球太阳电池的年生产量为
(兆瓦)．
（2）设太阳电池的年安装量的平均增长率为，则
．
解得
．
因此，这四年中太阳电池的年安装量的平均增长率至少应达到
．
19．（本题满分14 分）本题共有2 个小题，第1 小题满分7 分，第2 小题满分7 分．
已知函数
，常数
．
（1）当
时，解不等式
；
（2）讨论函数
的奇偶性，并说明理由．
【解析】（1）
，
，
．
原不等式的解为
．
（2）当
时，
，对任意
，
，
为偶函数．
当
时，
，
取
，得
，
，
函数
既不是奇函数，也不是偶函数．
20．（本题满分18 分）本题共有3 个小题，第1 小题满分3 分，第2 小题满分6 分，
第3 小题满分9 分．
如果有穷数列
（
为正整数）满足条件
，
，…，
，
即
（
），我们称其为“对称数列”．
例如，数列
与数列
都是“对称数列”．
（1）设
是7 项的“对称数列”，其中
是等差数列，且
，
．
依次写出
的每一项；
（2）设
是
项的“对称数列”，其中
是首项为，
公比为的等比数列，求
各项的和；
（3）设
是
项的“对称数列”，其中
是首项为，
公差为的等差数列．求
前项的和
．
【解析】（1）设数列
的公差为，则
，解得
，
数列
为
．
y
O
1A
2
B
2A
1B
.
.
.
M
1F
0F
2F
x
.
（2）
67108861．
（3）
．
由题意得
是首项为
，公差为
的等差数列．
当
时，
．
当
时，
综上所述，
21．（本题满分18 分）本题共有3 个小题，第1 小题满分4 分，第2 小题满分5 分，
第3 小题满分9 分．
我们把由半椭圆
与半椭圆
合成的曲线
称作“果圆”，其中
，
，
．
如图，设点
，
，
是相应椭圆的焦点，
，
和
，
是“果圆”
与，
轴的交点，
是线段
的中点．
（3）
若
是边长为1 的等边三角形，
求该“果圆”的方程；
（2）设
是“果圆”的半椭圆
上任意一点．求证：当
取得
最小值时，
在点
或
处；
（4）
若
是“果圆”上任意一点，求
取得最小值时点
的横坐标．
【解析】（1）
，
，于是
，
所求“果圆”方程为
，
．
（2）设
，则
，
，
的最小值只能在
或
处取到．
即当
取得最小值时，
在点
或
处．
（3）
，且
和
同时位于“果圆”的半椭圆
和半椭圆
上，所以，由（2）知，只需研究
位于“果圆”的半椭圆
上的情形即可．
．
当
，即
时，
的最小值在
时取到，
此时
的横坐标是
．
当
，即
时，由于
在
时是递减的，
的最小值在
时取到，此时
的横坐标是．
综上所述，若
，当
取得最小值时，点
的横坐标是
；
若
，当
取得最小值时，点
的横坐标是或
．
