文档文本内容
得 分
评 卷 人
绝密★启用前
2008 年普通高等学校招生全国统一考试（上海卷）
数学试卷（理工农医类）
（满分150 分，考试时间120 分钟）
考生注意
1.本场考试时间120 分钟，试卷共4 页，满分150 分，答题纸共2 页.
2.作答前，在答题纸正面填写姓名、准考证号，反面填写姓名，将核对后的条形码贴在答题纸
指定位置.
3.所有作答务必填涂或书写在答题纸上与试卷题号对应的区域，不得错位.在试卷上作答一
律不得分.
4.用2B 铅笔作答选择题，用黑色字迹钢笔、水笔或圆珠笔作答非选择题.
一. 填空题（本大题满分44 分）本大题共有11 题，只要求直接
填写结果，每个空格填对得4 分，否则一律得零分．
1．不等式
的解集是 .
2．若集合
、
满足
，则实数=_____________.
3．若复数满足
（是虚数单位），则=_____________.
4．若函数
的反函数为
（
），则
.
5．若向量、满足
，
，且与的夹角为
，则
=__________.
6．函数
的最大值是 .
7．在平面直角坐标系中，从六个点：
、
、
、
、
、
中任取三个，这三点能构成三角形的概率是 (结果用分数表示).
8．设函数
是定义在
上的奇函数. 若当
时，
，则满足
的的取值范围是 .
9．已知总体的各个体的值由小到大依次为2，3，3，7，，，12，13.7，18.3，20，且
总体的中位数为
. 若要使该总体的方差最小，则
的取值分别是
.
得 分
评 卷 人
10．某海域内有一孤岛. 岛四周的海平面（视为平面）上有一浅水区（含边界），其边界
是长轴长为
、短轴长为
的椭圆. 已知岛上甲、乙导航灯的海拔高度分别为
，且两个导航灯在海平面上的投影恰好落在椭圆的两个焦点上. 现有船只经过该海
域（船只的大小忽略不计），在船上测得甲、乙导航灯的仰角分别为
，那么
船只已进入该浅水区的判别条件是 .
11．方程
的解可视为函数
的图像与函数
的图像交点的
横坐标. 若方程
的各个实根
所对应的点(
)
（=
）均在直线
的同侧，则实数的取值范围是 .
二. 选择题（本大题满分16 分）本大题共有4 题，每题都给出
代号为A、B、C、D 的四个结论，其中有且只有一个结论
是正确的，必须把正确结论的代号写在题后的圆括号内，
选对得4 分，不选、选错或者选出的代号超过一个（不论
是否都写在圆括号内），一律得零分．
12. 组合数
恒等于 [答] ( )
(A)
. (B)
. (C)
. (D)
.
13. 给定空间中的直线及平面
. 条件“直线与平面
内无数条直线都垂直”是“直
线与平面
垂直”的 [答] ( )
(A) 充要条件. (B) 充分非必要条件.
(C) 必要非充分条件. (D) 既非充分又非必要条件.
14. 若数列
是首项为1，公比为
的无穷等比数列，且
各项的和为，则
的值是 [答] ( )
(A) 1. (B) 2. (C)
. (D)
.
15. 如图，在平面直角坐标系中，
是一个与轴的正半轴、
轴的正半轴分别相切于点
、
的定圆所围成的区域（含边界），
是该
圆的四等分点. 若点
、点
满足
且
，
则称
优于
. 如果
中的点
满足：不存在
中的其它点优
于
，那么所有这样的点
组成的集合是劣弧 [答] ( )
(A) . (B) . (C) . (D) .
AB
BC
CD
DA
得 分
评 卷 人
三. 解答题（本大题满分90 分）本大题共有6 题，解答下列各题必须写出必要的步骤．
16.（本题满分12 分）
如图，在棱长为 2 的正方体
中，
的中点. 求直线
与平面
所成角的大小（结果用反三角函数值表示）.
[解]
得 分
评 卷 人
得 分
评 卷 人
17.（本题满分13 分）
如图，某住宅小区的平面图呈圆心角为
的扇形
. 小区的两个出入口设置在点
及点
处，且小区里有一条平行于
的小路
. 已知某人从
沿
走到
用了10 分钟，从
沿
走到
用了6 分钟. 若此人步行的速度为每分钟50 米，求该扇形的半径
的长（精
确到1 米）.
[解]
18.（本题满分15 分）本题共有2 个小题，第1 小题满分6 分，第
2 小题满分9 分．
已知双曲线
，
是
上的任意点.
（1）求证：点
到双曲线
的两条渐近线的距离的乘积是一个常数；
（2）设点
的坐标为
，求
的最小值.
[证明]（1）
[解]（2）
得 分
评 卷 人
19.（本题满分16 分）本题共有2 个小题，第1 小题满分8 分，第2
小题满分8 分．
已知函数
.
（1）若
，求的值；
（2）若
对于
恒成立，求实数
的取值范围.
[解]（1）
（2）
得 分
评 卷 人
20.（本题满分16 分）本题共有3 个小题，第1 小题满分3 分，第2
小题满分5 分，第3 小题满分8 分．
设
是平面直角坐标系
中的点，是经过原点与点
的直线.
记
是直线与抛物线
的异于原点的交点.
（1）已知
. 求点
的坐标；
（2）已知点
在椭圆
上，
. 求证：点
落在双曲线
上；
（3）已知动点
满足
，
. 若点
始终落在一条关于轴对称的抛
物线上，试问动点
的轨迹落在哪种二次曲线上，并说明理由.
[解]（1）
[证明]（2）
[解]（3）
得 分
评 卷 人
21.（本题满分18 分）本题共有3 个小题，第1 小题满分3 分，第
2 小题满分7 分，第3 小题满分8 分．
已知以
为首项的数列
满足：
（1）当
，
时，求数列
的通项公式；
（2）当
，
时，试用
表示数列
前100 项的和
；
（3）当
（
是正整数），
，正整数
时，求证：数列
,
，
，
成等比数列当且仅当
.
[解]（1）
（2）
[证明]（3）
2 0 0 8 年 全 国 普 通 高 等 学 校 招 生 统 一 考
试
上海数学试卷(理工农医类)答案要点及评分标准
说明
1.本解答列出试题的一种或几种解法，如果考生的解法与所列解法不同，可参照解答中
评分标准的精神进行评分．
2.评阅试卷，应坚持每题评阅到底，不要因为考生的解答中出现错误而中断对该题的评
阅，当考生的解答在某一步出现错误，影响了后继部分，但该步以后的解答未改变这一题的
内容和难度时，可视影响程度决定后面部分的给分，这时原则上不应超过后面部分应给分数
之半，如果有较严重的概念性错误，就不给分．
解答
一、（第1 题至第11 题）
1.
. 2. . 3.
. 4. . 5.
.
6. 2. 7.
. 8.
. 9.
.
10.
. 11.
.
二、（第12 题至第15 题）
题 号
12
13
14
15
代 号
D
C
B
D
三、（第16 题至第21 题）
16．[解] 过
作
，交
于
，连接
.
，
是直线
与平面
所成的角. …… 4 分
由题意，得
.
,
. …… 8 分
，
. …… 10 分
故直线
与平面
所成角的大小是
. …… 12 分
17. [解法一] 设该扇形的半径为米. 连接
. …… 2 分
由题意，得
=500（米），
=300（米），
. …… 4 分
在△
中，
， …… 6 分
即
， …… 9 分
解得
（米）.
答：该扇形的半径
的长约为445 米. …… 13 分
[解法二] 连接
，作
，交
于
. …… 2 分
由题意，得
=500（米），
=300（米），
. …… 4 分
在△
中，
，
（米）， …… 6 分
. …… 9 分
在直角△
中，
（米），
，
（米）.
答：该扇形的半径
的长约为445 米. …… 13 分
18. [解] （1）设
是双曲线上任意一点，
该双曲线的两条渐近线方程分别是
和
. …… 2 分
点
到两条渐近线的距离分别是
和
， …… 4
分
它们的乘积是
.
点
到双曲线
的两条渐近线的距离的乘积是一个常数. …… 6 分
（2）设
的坐标为
，则
…… 8 分
. …… 11 分
， …… 13 分
当
时，
的最小值为
，
即
的最小值为
. …… 15 分
19. [解] （1）当
时，
；当
时，
. …… 2 分
由条件可知
，即
，
解得
. …… 6 分
，
. …… 8 分
（2）当
时，
， …… 10 分
即
.
，
. …… 13 分
，
故
的取值范围是
. …… 16 分
20. [解]（1）当
时，
解方程组
得
即点
的坐标为
. …… 3 分
[证明]（2）由方程组
得
即点
的坐标为
. …… 5 分
是椭圆上的点，即
，
.
因此点
落在双曲线
上. …… 8 分
（3）设
所在抛物线的方程为
，
. …… 10 分
将
代入方程，得
，即
. …… 12 分
当
时，
，此时点
的轨迹落在抛物线上；
当
时，
，此时点
的轨迹落在圆上；
当
且
时，
，此时点
的轨迹落在椭圆上；
当
时，
，此时点
的轨迹落在双曲线上.
…… 16 分
21. [解]（1）由题意得
. …… 3 分
（2）当
时，
，
，
，
，
，
，…，
，
，
，… …… 6 分
. …… 10 分
（3）当
时，
；
，
；
，
；
，
.
，
，
，
.
综上所述，当
时，数列
，
，
，
是公比为
的等比数列. ……13 分
当
时，
，
，
，
. ……15
分
由于
，
，
，
故数列
，
，
，
不是等比数列.
所以，数列
，
，
，
成等比数列当且仅当
.
……18 分
1.不等式
的解集是 .
【答案】
【解析】由
.
2.若集合A＝{x|x≤2}、B＝{x|x≥a}满足A∩B＝{2}，则实数a＝ .
【答案】
【解析】由
.
3.若复数z 满足z＝i(2-z)（i 是虚数单位），则z＝ .
【答案】
【解析】由
.
4.若函数f(x)的反函数为f －1(x)＝x2（x＞0），则f(4)＝ .
【答案】
【解析】令
.
5.若向量\s\up6(()、\s\up6(()满足|\s\up6(()|＝1，|\s\up6(()|＝2，且\s\up6(()与\s\up6(()的夹角为，
则|\s\up6(()+\s\up6(()|＝ .
【答案】
【解析】
.
6.函数f(x)＝sin x +sin(+x)的最大值是 .
【答案】
【解析】由
.
7.在平面直角坐标系中，从六个点：A(0,0)、B(2,0)、C(1,1)、D(0,2)、E(2,2)、F(3,3)中任取三个，
这三点能构成三角形的概率是 （结果用分数表示）.
【答案】
【解析】已知
六个无共线的点生成三角形总数为：
；
可构成三角形的个数为：
，所以所求概率为：
；
8.设函数f(x)是定义在R 上的奇函数，若当x∈(0,+∞)时，f(x)＝lg x，则满足f(x)＞0 的x 的取
值范围是 .
【答案】
【解析】
由f(x)为奇函数得：
9.已知总体的各个体的值由小到大依次为2,3,3,7,a,b,12，13.7，18.3，20，且总体的中位数为
10.5，若要使该总体的方差最小，则a、b 的取值分别是 .
【答案】
【解析】根据总体方差的定义知，只需且必须
时，总体方差最小；
10.某海域内有一孤岛，岛四周的海平面（视为平面）上有一浅水区（含边界），其边界是长轴
长为2a，短轴长为2b 的椭圆，已知岛上甲、乙导航灯的海拔高度分别为h1、h2，且两个导航
灯在海平面上的投影恰好落在椭圆的两个焦点上，现有船只经过该海域（船只的大小忽略
不计），在船上测得甲、乙导航灯的仰角分别为θ1、θ2，那么船只已进入该浅水区的判别条
件是 .
【答案】
【解析】依题意，
；
11.方程x2+x－1＝0 的解可视为函数y＝x+的图像与函数y＝的图像交点的横坐标，若x4+ax－
4＝0 的各个实根x1，x2，…，xk (k≤4)所对应的点(xi ,)（i＝1,2,…,k）均在直线y＝x 的同侧，
则实数a 的取值范围是 .
【答案】
【解析】方程的根显然
，原方程等价于
，原方程的实根是曲线
与
曲线
的交点的横坐标；而曲线
是由曲线
向上或向下平移
个单位
而得到的。若交点(xi ,)（i＝1,2,…,k）均在直线y＝x 的同侧，因直线y＝x 与
交点为：
；所以结合图象可得：
；
12.组合数C（n＞r≥1，n、r∈Z）恒等于（ ）
A．C B．(n+1)(r+1)C C．nr C D．C
【答案】
【解析】由
.
13. 给定空间中的直线l 及平面，条件“直线l 与平面内无数条直线都垂直”是“直线l
与平面垂直”的（ ）条件
A．充要 B．充分非必要 C．必要非充分 D．既非充分又非必要
【答案】
【解析】直线与平面内的无数条平行直线垂直，但该直线未必与平面垂直，
即充分性不成立；
14. 若数列{an}是首项为1，公比为a－的无穷等比数列，且{an}各项的和为a，则a 的值
是（ ） A．1 B．2 C． D．
【答案】
【解析】由
.
15.如图，在平面直角坐标系中，是一个与x 轴的正半轴、y 轴的正半轴分别相切于点C、D
的定圆所围成区域（含边界），A、B、C、D 是该圆的四等分点，若点P(x,y)、P’(x’,y’)满足
x≤x’ 且y≥y’，则称P 优于P’，如果
中的点Q 满足：不存在
中的其它点优于Q，那么
所有这样的点Q 组成的集合是劣弧（ ）
A． AB B． BC C． CD D． DA
【答案】
【解析】依题意，在点Q 组成的集合中任取一点，过
该点分别作平行于两坐标轴的直线，构成的
左上方区域（权且称为“第二象限”）与点
Q 组成的集合无公共元素，这样点Q 组成的
集合才为所求. 检验得：D． DA
x
y
O
· B
A
C
·
·
D ·
