绝密★启用前
2005 年普通高等学校招生全国统一考试（上海卷）
数学试卷（理工农医类）
（满分150 分，考试时间120 分钟）
考生注意
1.本场考试时间120 分钟，试卷共4 页，满分150 分，答题纸共2 页.
2.作答前，在答题纸正面填写姓名、准考证号，反面填写姓名，将核对后的条形码贴在答题纸
指定位置.
3.所有作答务必填涂或书写在答题纸上与试卷题号对应的区域，不得错位.在试卷上作答一
律不得分.
4.用2B 铅笔作答选择题，用黑色字迹钢笔、水笔或圆珠笔作答非选择题.
一、填空题（
）
1.函数
的反函数
________________
2.方程
的解是___________________
3.直角坐标平面
中，若定点
与动点
满足
，则点P 的轨迹方
程是______________
4.在
的展开式中，
的系数是15，则实数
______________
5.若双曲线的渐近线方程为
，它的一个焦点是
，则双曲线的方程是____
6.将参数方程
（
为参数）化为普通方程，所得方程是______
7.计算：
______________
8.某班有50 名学生，其15 人选修A 课程，另外35 人选修B 课程从班级中任选两名学生，他
们是选修不同课程的学生的概率是____________（结果用分数表示）
9.在
中，若
，
，
，则
的面积S=_________
10.函数
的图像与直线
又且仅有两个不同的交点，
则
的取值范围是____________
11.有两个相同的直三棱柱，高为
，底面三
角形的三边长分别为
、
、
用它们拼成一个三棱柱或四棱柱，在所有可
能的情形中，全面积最小的一个是四棱柱，
则
的取值范围是_______
12.用n 个不同的实数
可得到
个不同的排列，每个排列为一行写成一个
行的数阵对第行
，
记
例如：用1，2，3 可
得数阵如下，由于此数阵中每一列各数之和都是12 ，所以，
那么，在用1，2，3，4，5 形成的数
4a
5a
3a
2
a
4a
5a
3a
2
a
阵中，
___________________
二、选择题（
）
13.若函数
，则该函数在
上是
(A)单调递减无最小值 (B)单调递减有最小值
(C)单调递增无最大值 (D)单调递增有最大值
14.已知集合
，
，则
等于
(A)
(B)
(C)
(D)
15.过抛物线
的焦点作一条直线与抛物线相交于A、B 两点，它们的横坐标之和等于
5，则这样的直线
(A)又且仅有一条 (B)有且仅有两条
(C)有无穷多条 (D)不存在
16. 设定义域为为R 的函数
，则关于
的方程
有7 个不同的实数解得充要条件是
(A)
且
(B)
且
(C)
且
(D)
且
三、解答题
17. 已知直四棱柱
中，
，底面
是直角梯形，
，
，
，
，
，求异面直线
与
所成的角的大小（结果用反三
角函数表示）
18.证明：在复数范围内，方程
（为虚数单位）无解
19.点A、B 分别是椭圆
长轴的左、右焦点，点F 是椭圆的右焦点点P 在椭圆上，
且位于x 轴上方，
（1）求P 点的坐标；
（2）设M 是椭圆长轴AB 上的一点，M 到直线AP
的距离等于
，求椭圆上的点到点M 的距离d
3
2
1
-1
-2
-3
F
A
P
B
M
o
y
x
D1
C1
B1
A1
D
C
B
A
的最小值
20.假设某市2004 年新建住房400 万平方米，其中有250 万平方米是中低价房预计在今后的
若干年内，该市每年新建住房面积平均比上一年增长8%，另外，每年新建住房中，中低价房
的面积均比上一年增加50 万平方米那么，到那一年底，
（1）该市历年所建中低价房的累计面积（以2004 年为累计的第一年）将首次不少于4750 万
平方米？
（2）当年建造的中低价房的面积占该年建造住房面积的比例首次大于85%？
21.（本题满分18 分）本题共有3 个小题，第1 小题满分4 分，第2 小题满分8 分，第3 小
题满分6 分
对定义域是
.
的函数
.
，
规定：函数
（1）若函数
，
，写出函数
的解析式；
（2）求问题（1）中函数
的值域；
（3）若
，其中
是常数，且
，请设计一个定义域为R 的函数
，及一个
的值，使得
，并予以证明
22.在直角坐标平面中，已知点
，
，
，
，其中n 是正整
数对平面上任一点
，记
为
关于点
的对称点，
为
关于点
的对称点，
为
关于点
的对称点
（1）求向量
的坐标；
（2）当点
在曲线C 上移动时，点
的轨迹是函数
的图像，其中
是以3 位
周期的周期函数，且当
时，
求以曲线C 为图像的函数在
上的解析
式；
（3）对任意偶数n，用n 表示向量
的坐标
2005 年高考理科数学上海卷试题及答案
参考答案
1.
2. x=0 3. x+2y－4=0 4. －
5.
6.
7. 3 8.
9.
10.
11.
解析：①拼成一个三棱柱时，只有一种一种情况，就是
将上下底面对接，其全面积为
②拼成一个四棱柱，有三种情况，就是分别让边长为
所在的侧面重合，其上下
底面积之和都是
，但侧面积分别为：
，
显然，三个是四棱柱中全面积最小的值为：
由题意，得
解得
12.－1080
13. A 14. B 15. B 16.C
17. [解]由题意AB∥CD,∴∠C1BA 是异面直线BC1 与DC 所
成的角.连结AC1与AC,在Rt△ADC 中,可得AC=
.
又在Rt△ACC1中,可得AC1=3.
在梯形ABCD 中,过C 作CH∥AD 交AB 于H,
得∠CHB=90°,CH=2,HB=3, ∴CB=
.
又在Rt△CBC1中,可得BC1=
,
在△ABC1中,cos∠C1BA=
,∴∠C1BA=arccos
异面直线BC1与DC 所成角的大小为arccos
另解:如图,以D 为坐标原点,分别以DA、DC、DD1所在
H
D1
C1
B1
A1
D
C
B
A
D1
C1
B1
A1
D
C
B
A
x
z
y
4a
5a
3a
2
a
4a
5a
3a
2
a
直线为x、y、z 轴建立直角坐标系.
则C1(0,1,2),B(2,4,0), ∴
=(－2,－3,2),
=(0,－1,0),设
与
所成的角为θ,
则cosθ=
=
,θ= arccos
.
异面直线BC1与DC 所成角的大小为arccos
18. [解] 原方程化简为
,
设z=x+yi(x、y∈R),代入上述方程得 x2+y2+2xi=1－i,
∴x2+y2=1 且2x=－1,解得x=－
且y=±
,
∴原方程的解是z=－
±
i.
19. [解]（1）由已知可得点A(－6,0),F(0,4)
设点P(x,y),则
={x+6,y},
={x－4,y},
由已知可得
则2x2+9x－18=0,解得x=
或x=－6.
由于y>0,只能x=
,于是y=
.
∴点P 的坐标是(
,
)
(2) 直线AP 的方程是x－
y+6=0.
设点M(m,0),则M 到直线AP 的距离是
.
于是
=
,又－6≤m≤6,解得m=2.
椭圆上的点(x,y)到点M 的距离d 有
d2=(x－2)2+y2=x－4x2+4+20－
x2=
(x－
)2+15,
由于－6≤m≤6, ∴当x=
时,d 取得最小值
20. [ 解](1) 设中低价房面积形成数列{an}, 由题意可知{an} 是等差数列, 其中
a1=250,d=50,
则Sn=250n+
=25n2+225n,
令25n2+225n≥4750,即n2+9n-190≥0,而n 是正整数, ∴n≥10.
∴到2013 年底,该市历年所建中低价房的累计面积将首次不少于4750 万平方米.
(2)设新建住房面积形成数列{bn},由题意可知{bn}是等比数列,其中b1=400,q=1.08,
则bn=400·(1.08)n-1.
由题意可知an>0.85 bn,有250+(n-1)·50>400·(1.08)n-1·0.85.
由计算器解得满足上述不等式的最小正整数n=6.
∴到2009 年底,当年建造的中低价房的面积占该年建造住房面积的比例首次大于85%.
21. [解] (1)
(2) 当x≠1 时, h(x)=
=x－1+
+2,
若x>1 时, 则h(x)≥4,其中等号当x=2 时成立
若x<1 时, 则h(x)≤ 0,其中等号当x=0 时成立
∴函数h(x)的值域是(－∞,0]∪{1}∪[4,+∞)
(3)令 f(x)=sin2x+cos2x,α=
则g(x)=f(x+α)= sin2(x+
)+cos2(x+
)=cos2x－sin2x,
于是h(x)= f(x)·f(x+α)= (sin2x+co2sx)( cos2x－sin2x)=cos4x.
另解令f(x)=1+
sin2x, α=
,
g(x)=f(x+α)= 1+
sin2(x+π)=1－
sin2x,
于是h(x)= f(x)·f(x+α)= (1+
sin2x)( 1－
sin2x)=cos4x.
22. [解](1)设点A0(x,y), A0为P1关于点的对称点A0的坐标为(2－x,4－y),
A1为P2关于点的对称点A2的坐标为(2+x,4+y),
∴
={2,4}.
(2) ∵
={2,4},
∴f(x)的图象由曲线C 向右平移2 个单位,再向上平移4 个单位得到.
因此, 曲线C 是函数y=g(x)的图象,其中g(x)是以3 为周期的周期函数,且当x∈(－
2,1]时,g(x)=lg(x+2)－4.于是,当x∈(1,4]时,g(x)=lg(x－1)－4.
另解设点A0(x,y), A2(x2,y2),于是x2－x=2,y2－y=4,
若3< x2≤6,则0< x2－3≤3,于是f(x2)=f(x2－3)=lg(x2－3).
当1< x≤4 时, 则3< x2≤6,y+4=lg(x－1).
∴当x∈(1,4]时,g(x)=lg(x－1)－4.
(3)
=
,
由于
,得
=2(
)
=2({1,2}+{1,23}+┄+{1,2n－1})=2{
,
}={n,
}
