绝密★启用前
2006 年普通高等学校招生全国统一考试（上海卷）
数学试卷（理工农医类）
（满分150 分，考试时间120 分钟）
考生注意
1.本场考试时间120 分钟，试卷共4 页，满分150 分，答题纸共2 页.
2.作答前，在答题纸正面填写姓名、准考证号，反面填写姓名，将核对后的条形码贴
在答题纸指定位置.
3.所有作答务必填涂或书写在答题纸上与试卷题号对应的区域，不得错位.在试卷
上作答一律不得分.
4.用2B 铅笔作答选择题，用黑色字迹钢笔、水笔或圆珠笔作答非选择题.
一．填空题（本大题满分48 分）
1．已知集合A＝
－1，3，2
－1 ，集合B＝
3，
．若B
A，则实数
＝
．
2．已知圆
－4 －4＋
＝0 的圆心是点P，则点P 到直线－
－1＝0 的距离是
．
3．若函数
＝
（＞0，且≠1）的反函数的图像过点（2，－1），则＝ ．
4．计算：
＝ ．
5．若复数同时满足－＝2 ，＝
（为虚数单位），则＝ ．
6．如果
＝
，且
是第四象限的角，那么
＝
．
7．已知椭圆中心在原点，一个焦点为F（－2
，0），且长轴长是短轴长的2 倍，则该
椭圆的标准方程是 ．
8．在极坐标系中，O 是极点，设点A（4，
），B（5，－
），则△OAB 的面积是
．
9．两部不同的长篇小说各由第一、二、三、四卷组成，每卷1 本，共8 本．将它们任意
地排成一排，左边4 本恰好都属于同一部小说的概率是 （结果用分
数表示）．
10．如果一条直线与一个平面垂直，那么，称此直线与平面构成一个“正交线面对”
在一个正方体中，由两个顶点确定的直线与含有四个顶点的平面构成的“正交线
面对”的个数是 ．
11．若曲线
＝| |＋1 与直线
＝
＋没有公共点，则、分别应满足的条件是
．
12．三个同学对问题“关于的不等式
＋25＋|
－5
|≥
在[1，12]上恒成立，
求实数的取值范围”提出各自的解题思路．
甲说：“只须不等式左边的最小值不小于右边的最大值”．
乙说：“把不等式变形为左边含变量的函数，右边仅含常数，求函数的最值”．
丙说：“把不等式两边看成关于的函数，作出函数图像”．
参考上述解题思路，你认为他们所讨论的问题的正确结论，即
的取值范围是
．
二．选择题（本大题满分16 分）
13．如图，在平行四边形ABCD 中，下列结论中错误的是 [答]（ ）
（A）
＝
；（B）
＋
＝
；
（C）
－
＝
；（D）
＋
＝．
14．若空间中有四个点，则“这四个点中有三点在同一直线上”是“这四个点在同
一
平
面
上
”
的
[答]（ ）
（A）充分非必要条件；
（B）必要非充分条件；
（C）充要条件；
（D）非充分非必要条件．
15．若关于的不等式
≤
＋4 的解集是M，则对任意实常数，总有[答]
（ ）
（A）2∈M，0∈M； （B）2
M，0
M； （C）2∈M，0
M； （D）2
M，0∈M．
16．如图，平面中两条直线
和
相交于点O，对于平面上任意一点M，若
、分别
是M 到直线
和
的距离，则称有序非负实数对（
，）是点M 的“距离坐标”．
已知常数
≥0，≥0，给出下列命题：
①若
＝＝0，则“距离坐标”为（0，0）的点
有且仅有1 个；
②若
＝0，且
＋≠0，则“距离坐标”为
（
，）的点有且仅有2 个；
③若
≠0，则“距离坐标”为（
，）的点有且仅有4 个．
上述命题中，正确命题的个数是 [答]（ ）
（A）0； （B）1； （C）2； （D）3．
三．解答题（本大题满分86 分）本大题共有6 题，解答下列各题必须写出必要的步骤．
17．（本题满分12 分）
求函数
＝2
＋
的值域和最小正周期．
[解]
A
B
C
D
1l
2l
O
M （，）
18．（本题满分12 分）
如图，当甲船位于A 处时获悉，在其正东方向相距20 海里的B 处有一艘渔船遇险
等待营救．甲船立即前往救援，同时把消息告知在甲船的南偏西30 ，相距10 海里
C 处的乙船，试问乙船应朝北偏东多少度的方向沿直线前往B 处救援（角度精确到
1 ）？
[解]
19．（本题满分14 分）本题共有2 个小题，第1 小题满分6 分，第2 小题满分8 分）
在四棱锥P－ABCD 中，底面是边长为2 的菱形，∠DAB＝60 ，对角线AC 与
BD 相交于点O，PO⊥平面ABCD，PB 与平面ABCD 所成的角为60 ．
（1）求四棱锥P－ABCD 的体积；
（2）若E 是PB 的中点，求异面直线
DE 与PA 所成角的大小（结果用反
三角函数值表示）．
[解]（1）
（2）
20．（本题满分14 分）本题共有2 个小题，第1 小题满分6 分，第2 小题满分8 分）
在平面直角坐标系O
中，直线与抛物线
＝2 相交于A、B 两点．
（1）求证：“如果直线过点T（3，0），那么
＝3”是真命题；
（2）写出（1）中命题的逆命题，判断它是真命题还是假命题，并说明理由．
北
20
10
A
B
•
• C
P
A
B
C
D
O
E
[解]（1）
（2）
21．（本题满分16 分）本题共有3 个小题，第1 小题满分4 分，第2 小题满分6 分，第
3 小题满分6 分）
已知有穷数列
共有2 项（整数≥2），首项
＝2．设该数列的前项和
为
，且
＝
＋2（＝1，2，┅，2 －1），其中常数＞1．
（1）求证：数列
是等比数列；
（2）若＝2
，数列
满足
＝
（＝1，2，┅，2 ），求
数列
的通项公式；
（3）若（2）中的数列
满足不等式|
－
|＋|
－
|＋┅＋|
－
|＋|
－
|≤4，求的值．
[解]（1）
（2）
（3）
22．（本题满分18 分）本题共有3 个小题，第1 小题满分3 分，第2 小题满分6 分，第
3 小题满分9 分）
已知函数
＝＋
有如下性质：如果常数＞0，那么该函数在0，
上是
减函数，在
，＋∞上是增函数．
（1）如果函数
＝＋
（＞0）的值域为6，＋∞，求的值；
（2）研究函数
＝
＋
（常数＞0）在定义域内的单调性，并说明理由；
（3）对函数
＝＋
和
＝
＋
（常数＞0）作出推广，使它们都是你所推广
的函数的特例．研究推广后的函数的单调性（只须写出结论，不必证明），并求函数
＝
＋
（是正整数）在区间[
，2]上的最大值和最小值
（可利用你的研究结论）．
[解]（1）
（2）
（3）
上海数学(理工农医类)参考答案
2 0 0 6 年高考上海 数学试卷（理）
一．填空题
1． 解：由
，经检验，
为所求；
2． 解：由已知得圆心为：
，由点到直线距离公式得：
；
3． 解：由互为反函数关系知，
过点
，代入得：
；
4
．
解
：
；
5． 解：已知
；
6． 解：已知
；
7．
解：已知
为所求；
8． 解：如图△OAB 中，
(平方单位)；
9． 解：分为二步完成： 1) 两套中任取一套，再作全排列，
有
种方法； 2) 剩下的一套全排列，有
种方法；
所以，所求概率为：
；
10．解：正方体中，一个面有四条棱与之垂直，六个面，共构成24 个“正交线面对”；
而正方
体的六个对角截面中，每个对角面又有两条面对角线与之垂直，共构成12
个“正交线
面对”，所以共有36 个“正交线面对”；
11．解：作出函数
的图象，
如右图所示：
所以，
；
12．解：由
＋25＋|
－5
|≥
，
而
，等号当且仅当
时成立；
且
，等号当且仅当
时成立；
所以，
，等号当且仅当
时成立；故
；
二．选择题（本大题满分16 分）
13． 解：由向量定义易得， （C）选项错误；
；
14．解： 充分性成立： “这四个点中有三点在同一直线上”有两种情况：
1）第四点在共线三点所在的直线上，可推出“这四个点在同一平面
上”；
2）第四点不在共线三点所在的直线上，可推出“这四点在唯一的一
个平面内”；
必要性不成立：“四个点在同一平面上”可能推出“两点分别在两条相交或
平行直线上”；
故选（A）
15．解：选（A）
方法1：代入判断法，将
分别代入不等式中，判断关于
的不等式解
集是否为
；
方法2：求出不等式的解集；
16．解：选（D）
① 正确，此点为点
② 正确，注意到
为常数，由
中必有一个为零，另一
个非零，从而可知有且仅有2 个点，这两点在其中一条直线上，且到另一直线的距离
为（或
）； ③ 正确，四个交点为与直线
相距为
的两条平行线和与直线
相距为
的两条平行线的交点；
三．解答题（本大题满分86 分）本大题共有6 题，解答下列各题必须写出必要的步骤．
17．（本题满分12 分）
求函数
的值域和最小正周期．
[解]
A
B
C
D
∴ 函数
的值域是
,最小正周
期是
；
18．（本题满分12 分）
如图，当甲船位于A 处时获悉，在其正东方向相距20 海里的B 处有一艘渔船遇险
等待
营救．甲船立即前往救援，同时把消息告知在甲船的南偏西30 ，相距10 海里C 处
的乙
船，试问乙船应朝北偏东多少度的方向沿直线前往B 处救援（角度精确到
）？
[解] 连接BC,由余弦定理得
BC2=202+102－2×20×10COS120°=700.
于是,BC=10
.
∵
, sin ACB=
∴
∠
,
ACB<90°
ACB=41°
∵∠
∴∠
∴乙船应朝北偏东71°方向沿直线前往B 处救援.
19．（本题满分14 分）本题共有2 个小题，第1 小题满分6 分，第2 小题满分8 分）
在四棱锥P－ABCD 中，底面是边长为2 的菱形，∠DAB＝60 ，对角线AC 与
BD 相交
于点O，PO⊥平面ABCD，PB 与平面ABCD 所成的角为60 ．
（1）求四棱锥P－ABCD 的体积；
（2）若E 是PB 的中点，求异面直线
DE 与PA 所成角的大小（结果用
反三角函数值表示）．
[解]（1）在四棱锥P-ABCD 中,由PO⊥平面ABCD,得
PBO
∠
是PB 与平面ABCD 所成的角, PBO=60°.
∠
在Rt
AOB
△
中BO=ABsin30°=1, 由PO BO,
⊥
于是,PO=BOtg60°=
,而底面菱形的面积为2
.
∴四棱锥P-ABCD 的体积V=
×2
×
=2.
（2）解法一：以O 为坐标原点,射线OB、OC、
P
A
B
C
D
O
E
OP 分别为x 轴、y 轴、z 轴的正半轴建立
空间直角坐标系.
在Rt
AOB
△
中OA=
,于是,点A、B、
D、P 的坐标分别是A(0,－
,0),
B (1,0,0), D (－1,0,0), P (0,0,
).
E 是PB 的中点,则E(
,0,
) 于是
=(
,0,
),
=(0,
,
).
设
的夹角为θ,有cosθ=
,θ=arccos
,
∴异面直线DE 与PA 所成角的大小是arccos
；
解法二：取AB 的中点F,连接EF、DF.
由E 是PB 的中点,得EF PA
∥
，
FED
∴∠
是异面直线DE 与PA 所成
角(或它的补角)，
在Rt
AOB
△
中AO=ABcos30°=
=OP，
于是, 在等腰Rt
POA
△
中，
PA=
，则EF=
.
在正△ABD 和正△PBD 中,DE=DF=
，
cos FED=
∠
=
∴异面直线DE 与PA 所成角的大小是arccos
.
20．（本题满分14 分）本题共有2 个小题，第1 小题满分6 分，第2 小题满分8 分）
在平面直角坐标系O
中，直线与抛物线
＝2 相交于A、B 两点．
（1）求证：“如果直线过点T（3，0），那么
＝3”是真命题；
（2）写出（1）中命题的逆命题，判断它是真命题还是假命题，并说明理由．
[解]（1）设过点T(3,0)的直线
交抛物线y2=2x 于点A(x1,y1)、B(x2,y2).
当直线
的钭率不存在时,直线
的方程为x=3,此时,直线
与抛物线相交
于点A(3,
)、B(3,－
). ∴
=3；
当直线
的钭率存在时,设直线
的方程为
，其中
，
由
得
又 ∵
，
∴
，
综上所述，命题“如果直线过点T(3,0)，那么
=3”是真命题；
(2)逆命题是：设直线交抛物线y2=2x 于A、B 两点,如果
=3,那么该直线
过点T(3,0).该命题是假命题.
例如：取抛物线上的点A(2,2)，B(
,1)，此时
=3,
直线AB 的方程为：
，而T(3,0)不在直线AB 上；
说明：由抛物线y2=2x 上的点A (x1,y1)、B (x2,y2) 满足
=3，可得
y1y2=－6，
或y1y2=2，如果y1y2=－6，可证得直线AB 过点(3,0)；如果y1y2=2，可
证得直线
AB 过点(－1,0),而不过点(3,0).
21．（本题满分16 分，本题共有3 个小题，第1 小题满分4 分，第2 小题满分6 分，第
3 小题
满分6 分）
已知有穷数列
共有2 项（整数≥2），首项
＝2．设该数列的前项和
为
，且
＝
＋2（＝1，2，┅，2 －1），其中常数＞1．
（1）求证：数列
是等比数列；
（2）若＝2
，数列
满足
＝
（＝1，2，┅，2
），
求数列
的通项公式；
（3）若（2）中的数列
满足不等式|
－
|＋|
－
|＋┅＋|
－
|
＋|
－
|
≤4，求的值．
(1) [证明] 当n=1 时,a2=2a,则
=a；
2≤n≤2k－1 时, an+1=(a－1) Sn+2, an=(a－1) Sn－1+2,
an+1－an=(a－1) an, ∴
=a, ∴数列{an}是等比数列.
(2) 解：由(1) 得an=2a
, a
∴1a2…an=2
a
=2
a
=2
,
bn=
(n=1,2,…,2k).
（3）设bn≤
,解得n≤k+
,又n 是正整数,于是当n≤k 时, bn<
；
当n≥k+1 时, bn>
.
原式=(
－b1)+(
－b2)+…+(
－bk)+(bk+1－
)+…+(b2k－
)
=(bk+1+…+b2k)－(b1+…+bk)
=
=
.
当
≤4,得k2－8k+4≤0, 4－2
≤k≤4+2
,又k≥2,
∴当k=2,3,4,5,6,7 时,原不等式成立.
22．（本题满分18 分，本题共有3 个小题，第1 小题满分3 分，第2 小题满分6 分，第
3 小题
满分9 分）
已知函数
＝＋
有如下性质：如果常数＞0，那么该函数在0，
上是
减函数，在
，＋∞上是增函数．
（1）如果函数
＝＋
（＞0）的值域为6，＋∞，求的值；
（2）研究函数
＝
＋
（常数＞0）在定义域内的单调性，并说明理由；
（3）对函数
＝＋
和
＝
＋
（常数＞0）作出推广，使它们都是你所推
广的
函数的特例．研究推广后的函数的单调性（只须写出结论，不必证明），并
求函数
＝
＋
（是正整数）在区间[
，2]上的最大值和最小值
（可利
用你的研究结论）．
[解]（1）函数y=x+
(x>0)的最小值是2
，则2
=6, b=log
∴
29.
(2) 设0<x1<x2,y2－y1=
.
当
<x1<x2时, y2>y1, 函数y=
在[
,+∞)上是增函数；
当0<x1<x2<
时y2<y1, 函数y=
在(0,
]上是减函数.
又y=
是偶函数，于是，
该函数在(－∞,－
]上是减函数, 在[－
,0)上是增函数；
(3) 可以把函数推广为y=
(常数a>0),其中n 是正整数.
当n 是奇数时,函数y=
在(0,
]上是减函数,在[
,+∞) 上是增函
数,
在(－∞,－
]上是增函数, 在[－
,0)
上是减函数；
当n 是偶数时,函数y=
在(0,
]上是减函数,在[
,+∞) 上是增函
数,
在(－∞,－
]上是减函数, 在[－
,0)
上是增函数；
F(x)=
+
=
因此F(x) 在 [
,1]上是减函数,在[1,2]上是增函数.
所以，当x=
或x=2 时，F(x)取得最大值(
)n+(
)n；
当x=1 时F(x)取得最小值2n+1；
