绝密★启用前
2005 年普通高等学校招生全国统一考试（上海卷）
数学试卷(文史类)
（满分150 分，考试时间120 分钟）
考生注意
1.本场考试时间120 分钟，试卷共4 页，满分150 分，答题纸共2 页.
2.作答前，在答题纸正面填写姓名、准考证号，反面填写姓名，将核对后的条形码贴在答题纸
指定位置.
3.所有作答务必填涂或书写在答题纸上与试卷题号对应的区域，不得错位.在试卷上作答一
律不得分.
4.用2B 铅笔作答选择题，用黑色字迹钢笔、水笔或圆珠笔作答非选择题.
一、填空题（本大题满分48 分）本大题共有12 题，只要求直接填写结果，每个空格填对得4
分，否则一律得零分.
1．函数
)1
(
log
)
(
4
x
x
f
的反函数
)
(
1 x
f
=__________.
2．方程
0
2
2
4
x
x
的解是__________.
3．若
y
x,
满足条件
x
y
y
x
2
3，则
y
x
z
4
3
的最大值是__________.
4．直角坐标平面xoy 中，若定点
)
2,1(
A
与动点
)
,
(
y
x
P
满足
4
OA
OP
，则点P 的轨迹方
程是__________.
5．函数
x
x
x
y
cos
sin
2
cos
的最小正周期T=__________.
6．若
7
1
cos
，
2
,0
，则
3
cos
=__________.
7．若椭圆长轴长与短轴长之比为2，它的一个焦点是
0,
15
2
，则椭圆的标准方程是
__________.
8．某班有50 名学生，其中15 人选修A 课程，另外35 人选修B 课程.从班级中任选两名学生，
他们是选修不同课程的学生的概率是__________.（结果用分数表示）
9．直线
x
y
2
1
关于直线
1
x
对称的直线方程是__________.
10．在ABC
中，若
120
A
，AB=5，BC=7，则AC=__________.
11．函数
2,0
|,
sin
|
2
sin
)
(
x
x
x
x
f
的图象与直线
k
y
有且仅有两个不同的交点，
则k 的取值范围是__________.
12．有两个相同的直三棱柱，高为a
2 ，底面三角形的三
边长分别为
)
0
(
5,
4,
3
a
a
a
a
.用它们拼成一个三棱柱或四棱柱，在所有可能的情形中，全
面积最小的是一个四棱柱，则a 的取值范围是__________.
二、选择题（本大题满分16 分）本大题共有4 题，每题都给出代号为A、B、C、D 的四个结论，
其中有且只有一个结论是正确的，必须把正确结论的代号写在题后的圆括号内，选对得
4 分，不选、选错或者选出的代号超过一个（不论是否都写在圆括号内），一律得零分.
13．若函数
1
2
1
)
(
x
x
f
，则该函数在
,
上是
（ ）
A．单调递减无最小值
B．单调递减有最小值
C．单调递增无最大值
D．单调递增有最大值
14．已知集合
R
x
x
x
M
,2
|
1
||
，
Z
x
x
x
P
,1
1
5
|
，则
P
M
等于（ ）
A．
Z
x
x
x
,3
0
|
B．
Z
x
x
x
,3
0
|
C．
Z
x
x
x
,0
1
|
D．
Z
x
x
x
,0
1
|
15．条件甲：“
1
a
”是条件乙：“
a
a
”的
（ ）
A．既不充分也不必要条件
B．充要条件
C．充分不必要条件 D．必要不充分条件
16．用n 个不同的实数
n
a
a
a
,
,
,
2
1
可得到!n 个不同的排列，每个排列为一行写成一个!n 行
的数阵. 对第i 行
in
i
i
a
a
a
,
,
,
2
1
，记
in
n
i
i
i
i
na
a
a
a
b
)1
(
3
2
3
2
1
，
!
,
,3,2,1
n
i
.例如：用1，2，3 可得数阵如图，
由于此数阵中每一列各数之和都是12，所以，
24
12
3
12
2
12
6
2
1
b
b
b
，
那么，在用1，2，3，4，5 形成的数阵中，
120
2
1
b
b
b
等于（ ）
A．－3600
B．1800
C．—1080
D．—720
三、解答题（本大题满分86 分）本大题共有6 题，解答下列各题必须写出必要的步骤.
17．（本题满分12 分）已知长方体
1
1
1
1
D
C
B
A
ABCD
中，M、N 分别
是
1
BB 和BC 的中点，AB=4，AD=2，D
B1
与平面ABCD 所成角
的大小为
60 ，求异面直线
D
B1
与MN 所成角的大小.（结果用
反三角函数值表示）
1
2
3
1
2
3
1
2
3
1
2
3
1
2
3
1
2
3
18．（本题满分12 分）在复数范围内解方程
i
i
i
z
z
z
2
3
)
(
|
|
2
（i 为虚数单位）.
19．（本题满分14 分）本题共有2 个小题，第1 小题满分6 分，第2 小题满分8 分.
已知函数
b
kx
x
f
)
(
的图象与
y
x,
轴分别相交于点A、B，
j
i
AB
2
2
（
j
i,
分别
是与
y
x,
轴正半轴同方向的单位向量），函数
6
)
(
2
x
x
x
g
.
（1）求
b
k,
的值；
（2）当x 满足
)
(
)
(
x
g
x
f
时，求函数
)
(
1
)
(
x
f
x
g
的最小值.
20．（本题满分14 分）本题共有2 个小题，第1 小题满分6 分，第2 小题满分8 分.
假设某市2004 年新建住房面积400 万平方米，其中有250 万平方米是中低价房.预计在
今后的若干年内，该市每年新建住房面积平均比上一年增长8%.另外，每年新建住房中，中低
价房的面积均比上一年增加50 万平方米.那么，到哪一年底，
（1）该市历年所建中低价层的累计面积（以2004 年为累计的第一年）将首次不少于4750
万平方米？
（2）当年建造的中低价房的面积占该年建造住房面积的比例首次大于85%？
21．（本题满分16 分）本题共有3 个小题，第1 小题满分4 分，第2 小题满分6 分，第3 小题满
分6 分.
已知抛物线
)
0
(
2
2
p
px
y
的焦点为F，A 是抛物线上横坐标为4、且位于x 轴上方的
点，A 到抛物线准线的距离等于5.过A 作AB 垂直于y 轴，垂足为B，OB 的中点为M.
（1）求抛物线方程；
（2）过M 作
FA
MN
，垂足为N，求点N 的坐标；
（3）以M 为圆心，MB 为半径作圆M，当
)
0,
(m
K
是x 轴上一动点时，讨论直线AK 与圆
M 的位置关系.
22．（本题满分18 分）本题共有3 个小题，第1 小题满分4 分，第2 小题满分8 分，第3 小题满
分6 分.
对定义域是
f
D 、
g
D 的函数
)
(x
f
y
、
)
(x
g
y
，规定：函数
g
f
g
f
g
f
D
x
D
x
x
g
D
x
D
x
x
f
D
x
D
x
x
g
x
f
x
h
且
当
且
当
且
当
),
(
),
(
),
(
)
(
)
(
.
（1）若函数
3
2
)
(
x
x
f
，
2
)
(
x
x
g
，写出函数
)
(x
h
的解析式；
（2）求问题（1）中函数
)
(x
h
的最大值；
（3）若
)
(
)
(
x
f
x
g
，其中是常数，且
,0
，请设计一个定义域为R 的函数
)
(x
f
y
，及一个的值，使得
x
x
h
2
cos
)
(
，并予以证明.
数学（文）参考答案
说明
1，本解答列出试题的一种或几种解法，如果考生的解法与所列解法不同.可参照解答中
评分标准的精神进行评分.
2．评阅试卷，应坚持每题阅到底，不要因为考生的解答中出现错误而中断对该题的评阅，
当考生的解答在某一步出现错误，影响了后继部分，但该步以后的解答未改变这一题的内容
和难度时，可视影响程度决定后面部分的给分，这时原则上不应超过后面部分应给分数之半，
如果有较严重的概念性错误，就不给分.
一、（第1 题至第12 题）
1．
1
4
x
2．x=0 3．11 4．x+2y－4=0 5．π 6．
14
11
7．
1
20
80
2
2
y
x
8．
7
3 9．x+2y－2=0 10．3 11．
3
1
k
12．
3
15
0
a
二、（第13 题至16 题）
13.A 14.B 15.B 16.C
三、（第17 题至第22 题）
17．[解]联结B1C，由M、N 分别是BB1和BC 的中点，得B1C//MN
∴∠DB1C 就是异面直线B1D 与MN 所成的角.
联结BD，在Rt△ABD 中，可得
5
2
BD
，
又BB1⊥平面ABCD.
∠B1DB 是B1D 与平面ABCD 的所成的角，
∴∠B1DB=60°.
在Rt△B1BD 中，BB1=BDtan60°=
15
2
，
又DC⊥平面BB1C1C， ∴DC⊥B1C，
在Rt△CB1C 中，
2
1
tan
2
1
2
1
1
BB
BC
DC
C
B
DC
C
DB
∴∠DB1C=
,
2
1
arctan
即异面直线B1D 与MN 所成角的大小为
2
1
arctan
.
18．解：原方程化简为
i
i
z
z
z
1
)
(
|
|
2
设
),
,
(
R
y
x
yi
x
z
代入上述方程得
,
1
2
1
,
1
2
2
2
2
2
x
y
x
i
xi
y
x
解得
,
2
3
2
1
y
x
∴原方程的解是
.
2
3
2
1
i
z
19．解：（1）由已知得
}
,
{
),
,0
(
),
0,
(
b
k
b
AB
b
B
k
b
A
则
于是
.2
1
,
2
2
b
k
b
k
b
（2）由
,6
2
),
(
)
(
2
x
x
x
x
g
x
f
得
即
,4
2
,0
)
4
)(
2
(
x
x
x
得
,5
2
1
2
2
5
)
(
1
)
(
2
x
x
x
x
x
x
f
x
g
由于
3
)
(
1
)
(
,0
2
x
f
x
g
x
则
，其中等号当且仅当x+2=1，即x=－1 时成立，
∴
)
(
1
)
(
x
f
x
g
时的最小值是－3.
20．解：（1）设中低价房面积形成数列
n
a
，由题意可知
n
a
是等差数列，
其中a1=250，d=50，则
,
225
25
50
2
)1
(
250
2
n
n
n
n
n
Sn
令
,
4750
225
25
2
n
n
即
.
10
,
,0
190
9
2
n
n
n
n
是正整数
而
∴到2013 年底，该市历年所建中低价房的累计面积将首次不少于4750 万平方米.
（2）设新建住房面积形成数列{bn}，由题意可知{bn}是等比数列，
其中b1=400，q=1.08， 则bn=400·(1.08)n－1
由题意可知
n
n
b
a
85
.0
有250+(n－1)50>400 · (1.08)n－1 · 0.85.
由计算器解得满足上述不等式的最小正整数n=6，
∴到2009 年底，当年建造的中低价房的面积占该年建造住房面积的比例首次大于85%.
21．解：（1）抛物线
.2
,5
2
4
,
2
2
2
p
p
p
x
px
y
于是
的准线为
∴抛物线方程为y2= 4x.
（2）∵点A 的坐标是（4，4）， 由题意得B（0，4），M（0，2），
又∵F（1，0）， ∴
,
4
3
,
;
3
4
MN
FA
k
FA
MN
k
则FA 的方程为y= 3
4 （x－1），MN 的方程为
.
4
3
2
x
y
解方程组
).
5
4
,
5
8
(
5
4
5
8
,
4
3
2
)1
(
3
4
N
y
x
x
y
x
y
得
（3）由题意得，圆M 的圆心是点（0，2），半径为2.
当m=4 时，直线AK 的方程为x=4，此时，直线AK 与圆M 相离，
当m≠4 时，直线AK 的方程为
),
(
4
4
m
x
m
y
即为
,0
4
)
4
(
4
m
y
m
x
圆心M（0，2）到直线AK 的距离
2)
4
(
16
|
8
2
|
m
m
d
，令
1
,2
m
d
解得
1
m
当
时，直线AK 与圆M 相离；
当m=1 时，直线AK 与圆M 相切；
当
1
m
时，直线AK 与圆M 相交.
22．解（1）
)1,
(
2
)
,1[
)
2
)(
3
2
(
)
(
x
x
x
x
x
x
h
（2）当
.
8
1
)
4
7
(
2
6
7
2
)
2
)(
3
2
(
)
(
,
1
2
2
x
x
x
x
x
x
h
x
时
.
8
1
)
(
,
4
7
,1
)
(
,
1
;
8
1
)
(
取得最大值是
时
当
时
当
x
h
x
x
h
x
x
h
（3）[解法一]令
,
2
,
cos
sin
)
(
x
x
x
f
则
,
sin
cos
)
2
cos(
)
2
sin(
)
(
)
(
x
x
x
x
x
f
x
g
于是
.
2
cos
)
sin
)(cos
sin
(cos
)
(
)
(
)
(
x
x
x
x
x
x
f
x
f
x
h
[解法二]令
,
sin
2
1
)
(
x
x
f
，
则
,
sin
2
1
)
sin(
2
1
)
(
)
(
x
x
x
f
x
g
于是
.
2
cos
sin
2
1
)
sin
2
1
)(
sin
2
1(
)
(
)
(
)
(
2
x
x
x
x
x
f
x
f
x
h
