文档文本内容
得 分
评 卷 人
绝密★启用前
2008 年普通高等学校招生全国统一考试（上海卷）
数学试卷(文史类)
（满分150 分，考试时间120 分钟）
考生注意
1.本场考试时间120 分钟，试卷共4 页，满分150 分，答题纸共2 页.
2.作答前，在答题纸正面填写姓名、准考证号，反面填写姓名，将核对后的条形码贴在答题纸
指定位置.
3.所有作答务必填涂或书写在答题纸上与试卷题号对应的区域，不得错位.在试卷上作答一
律不得分.
4.用2B 铅笔作答选择题，用黑色字迹钢笔、水笔或圆珠笔作答非选择题.
一. 填空题（本大题满分44 分）本大题共有11 题，只要求直接
填写结果，每个空格填对得4 分，否则一律得零分．
1．不等式
的解集是 .
2．若集合
、
满足
，则实数= .
3．若复数满足
（是虚数单位），则= .
4．若函数
的反函数为
，则
.
5．若向量、满足
，
，且与的夹角为
，则
= .
6．若直线
经过抛物线
的焦点，则实数
.
7．若是实系数方程
的一个虚根，且
，则
.
8．在平面直角坐标系中，从五个点：
、
、
、
、
中任取三个，这三点能构成三角形的概率是__________（结果用分数表示）.
9 ．若函数
是偶函数，且它的值域为
，
则该函数的解析式
.
得 分
评 卷 人
得 分
评 卷 人
10．已知总体的各个体的值由小到大依次为2，3，3，7，，，12，13.7，18.3，20，
且总体的中位数为
. 若要使该总体的方差最小，则
的取值分别是
.
11．在平面直角坐标系中，点
的坐标分别为
、
、
. 如果
是△
围成的区域（含边界）上的点，那么当
取到最大值时，点
的坐标是
.
二. 选择题（本大题满分16 分）本大题共有4 题，每题都给出
代号为A、B、C、D 的四个结论，其中有且只有一个结论
是正确的，必须把正确结论的代号写在题后的圆括号内，
选对得4 分，不选、选错或者选出的代号超过一个（不论
是否都写在圆括号内），一律得零分．
12. 设
是椭圆
上的点. 若
、
是椭圆的两个焦点，则
等于
[答] ( )
(A) 4. (B) 5. (C) 8. (D) 10.
13. 给定空间中的直线及平面
. 条件“直线与平面
内两条相交直线都垂直”是“直
线与平面
垂直”的 [答] ( )
(A) 充分非必要条件. (B) 必要非充分条件.
(C) 充要条件. (D) 既非充分又非必要条件.
14. 若数列
是首项为1，公比为
的无穷等比数列，且
各项的和为，则
的值是 [答] ( )
(A) 1. (B) 2. (C)
. (D)
.
15. 如图，在平面直角坐标系中，
是一个与轴的正半轴、
轴的正半轴分别相切于点
、
的定圆所围成的区域（含边界），
是该
圆的四等分点. 若点
、点
满足
且
，
则称
优于
. 如果
中的点
满足：不存在
中的其它点优
于
，那么所有这样的点
组成的集合是劣弧 [答] ( )
(A) . (B) . (C) . (D) .
三. 解答题（本大题满分90 分）本大题共有6 题，解答下列各题必须写出必要的步骤．
AB
BC
CD
DA
16.（本题满分12 分）
如图，在棱长为 2 的正方体
中，
的中点. 求直线
与平面
所成角的大小（结果用反三角函数值表示）.
[解]
得 分
评 卷 人
17.（本题满分13 分）
如图，某住宅小区的平面图呈扇形
. 小区的两个出入口设置在点
及点
处. 小区
里有两条笔直的小路
、
，且拐弯处的转角为120°. 已知某人从
沿
走到
用了10
分钟，从
沿
走到
用了6 分钟. 若此人步行的速度为每分钟50 米，求该扇形的半径
的长（精确到1 米）.
[解]
得 分
评 卷 人
18.（本题满分15 分）本题共有2 个小题，第1 小题满分5 分，第2
小题满分10 分．
已知函数
，直线
与函数
、
的图像分别交于
两点.
（1）当
时，求
的值；
（2）求
在
时的最大值.
[解]（1）
（2）
得 分
评 卷 人
19.（本题满分16 分）本题共有2 个小题，第1 小题满分8 分，第
2 小题满分8 分．
已知函数
.
（1）若
，求的值；
（2）若
对于
恒成立，求实数
的取值范围.
[解] （1）
（2）
得 分
评 卷 人
20.（本题满分16 分）本题共有3 个小题，第1 小题满分3 分，
第2 小题满分6 分，第3 小题满分7 分．
已知双曲线
.
（1）求双曲线
的渐近线方程；
（2）已知点
的坐标为
. 设
是双曲线
上的点，是点
关于原点的对称点.
记
. 求的取值范围；
（3）已知点
的坐标分别为
，为双曲
线
上在第一象限内的点. 记为经过原点与点
的直线，为△
截直线所得线段的长.
试将表示为直线的斜率的函数.
[解]（1）
（2）
（3）
得 分
评 卷 人
21.（本题满分18 分）本题共有3 个小题，第1 小题满分4 分，第2
小题满分6 分，第3 小题满分8 分．
已知数列
：
，
，
，
（是正整数），与数列
：
，
，
，
，
（是正整数）. 记
.
（1）若
，求的值；
（2）求证：当是正整数时，
；
（3）已知
，且存在正整数
，使得在
，
中有4 项为100.
求的值，并指出哪4 项为100.
[解] (1)
[证明]（2）
[解]（3）
2 0 0 8 年 全 国 普 通 高 等 学 校 招 生 统 一 考
试
上海数学试卷(文史类)答案要点及评分标准
说明
1.本解答列出试题的一种或几种解法，如果考生的解法与所列解法不同，可参照解答中
评分标准的精神进行评分．
2.评阅试卷，应坚持每题评阅到底，不要因为考生的解答中出现错误而中断对该题的评
阅，当考生的解答在某一步出现错误，影响了后继部分，但该步以后的解答未改变这一题的
内容和难度时，可视影响程度决定后面部分的给分，这时原则上不应超过后面部分应给分数
之半，如果有较严重的概念性错误，就不给分．
解答
一、（第1 题至第11 题）
1.
. 2. . 3.
. 4.
.
5.
. 6.
. 7. . 8.
.
9.
. 10.
. 11.
.
二、（第12 题至第15 题）
题 号
12
13
14
15
代 号
D
C
B
D
三、（第16 题至第21 题）
16．[解] 过
作
，交
于
，连接
.
，
是直线
与平面
所成的角. …… 4 分
由题意，得
.
,
. …… 8 分
，
. …… 10 分
故直线
与平面
所成角的大小是
. …… 12 分
17. [解法一] 设该扇形的半径为米. 由题意，得
=500（米），
=300（米），
. …… 4 分
在△
中，
， …… 6 分
即
, …… 9 分
解得
（米）.
答：该扇形的半径
的长约为445 米. …… 13 分
[解法二] 连接
，作
，交
于
. …… 2 分
由题意，得
=500（米），
=300（米），
. …… 4 分
在△
中，
，
（米）， …… 6 分
. …… 9 分
在直角△
中，
（米），
，
（米）.
答：该扇形的半径
的长约为445 米. …… 13 分
18. [解] （1）
…… 2
分
. …… 5 分
（2）
…… 8 分
. …… 11 分
，
， …… 13
分
的最大值为
. …… 15 分
19. [解] （1）当
时，
；当
时，
. …… 2 分
由条件可知
，即
，
解得
. …… 6 分
，
. …… 8 分
（2）当
时，
， …… 10 分
即
.
，
. …… 13 分
，
故
的取值范围是
. …… 16 分
20. [解]（1）所求渐近线方程为
. …… 3 分
（2）设
的坐标为
，则
的坐标为
. …… 4 分
. …… 7 分
,
的取值范围是
. …… 9 分
（3）若
为双曲线
上第一象限内的点，
则直线的斜率
. …… 11
分
由计算可得，当
时，
；
当
时，
. …… 15 分
表示为直线的斜率的函数是
…… 16 分
21. [解]（1）
. …… 2 分
，
. …… 4 分
[证明]（2）用数学归纳法证明：当
时，
.
① 当
时，
，等式成立. …… 6 分
② 假设
时等式成立，即
，
那么当
时，
……
8 分
，等式也成立.
根据①和②可以断定：当
时，
. …… 10 分
[解]（3）
(
).
当
时，
；
当
时，
；
当
时，
；
当
时，
；
当
时，
；
当
时，
. …… 13 分
是奇数，
，
，
均为负数，
这些项均不可能取到100. …… 15 分
，解得
，
，
此时
为100. …… 18 分
1．不等式
的解集是 ．
【答案】
【解析】由
.
2．若集合
，
满足
，则实数a= ．
【答案】
【解析】由
.
3．若复数z 满足
(i 是虚数单位)，则z= ．
【答案】
【解析】由
.
4．若函数
的反函数为
，则
．
【答案】
【解析】令
则
且
5．若向量
，
满足
且
与
的夹角为
，则
．
【答案】
【解析】
6．若直线
经过抛物线
的焦点，则实数
．
【答案】-1
【解析】直线
经过抛物线
的焦点
则
7．若
是实系数方程
的一个虚根，且
，则
．
【答案】4
【解析】设
,则方程的另一个根为
,且
，
由韦达定理直线
所以
8．在平面直角坐标系中，从五个点：
中
任取三个，这三点能构成三角形的概率是 （结果用分数表示）．
【答案】
【解析】由已知得
所以五点中任选三点能构成三角形的概率为
9．若函数
（常数
）是偶函数，且它的值域为
，
则该函数的解析式
．
【答案】
【解析】
是偶函数，则其图象关于
y 轴对称,
且值域为
，
10．已知总体的各个体的值由小到大依次为2，3，3，7，a，b，12，13.7，18.3，20，
且总体的中位数为10.5．若要使该总体的方差最小，则a、b 的取值分别 ．
【答案】
【解析】中位数为10.5
根据均值不等式知，只需
时，
总体方差最小.
11．在平面直角坐标系中，点
的坐标分别为
．如果
是
围成的区域（含边界）上的点，那么当
取到最大值时，点
的坐标
是 ．
【答案】
【解析】作图知
取到最大值时，点
在线段BC 上,
故当
时,
取到最大值.
二、选择题（本大题满分16 分）本大题共有4 题，每题都给出代号为A、B、C、D 的四个结论，
其中有且只有一个结论是正确的，必须把正确结论的代号写在题后的圆括号内，选对得4 分，
不选、选错或者选出的代号超过一个（不论是否都写在圆括号内），一律得零分．
12．设
是椭圆
上的点．若
是椭圆的两个焦点，
则
等于（ ）
A．4
B．5
C．8
D．10
【答案】D
【解析】 由椭圆的第一定义知
13．给定空间中的直线l 及平面
．条件“直线l 与平面
内两条相交直线都垂直”
是“直线l 与平面
垂直”的（ ）
Ａ．充分非必要条件 Ｂ．必要非充分条件
C．充要条件 Ｄ．既非充分又非必要条件
【答案】C
【解析】“直线l 与平面
内两条相交直线都垂直”
“直线l 与平面
垂直”.
14．若数列
是首项为1，公比为
的无穷等比数列，且
各项的和为a，
则
的值是（ ）
Ａ．1 Ｂ．2 Ｃ．
Ｄ．
【答案】B
【解析】由
.
15．如图，在平面直角坐标系中，
是一个与x 轴的正半轴、y 轴的正半轴分别相切于点C、D
的定圆所围成的区域（含边界），A、B、C、D 是该圆的四等分点．若点
、点
满足
且
，则称P 优于
．如果
中的点
满足：不存在
中的
其它点优于Q，那么所有这样的点Q 组成的集合是劣弧（ D ）
Ａ．
B．
C．
D．
【答案】
【解析】由题意知，若P 优于
,则P 在
的左上方,
当Q 在
上时, 左上的点不在圆上,
不存在其它优于Q 的点,
Q 组成的集合是劣弧
.
三、解答题（本大题满分90 分）本大题共有6 题，解答下列各题必须写出必要的步骤．
16．(本题满分12 分)
如图，在棱长为2 的正方体
中，E 是BC1的中点．求直线DE 与平面ABCD
所成角的大小（结果用反三角函数值表示）．
16. 【解】过E 作EF⊥BC，交BC 于F，连接DF.
∵ EF⊥平面ABCD，
∴ ∠EDF 是直线DE 与平面ABCD 所成的角. ……………4 分
A
B
C
D
O
x
y
由题意，得EF=
∵
…………………………..8 分
∵ EF⊥DF， ∴
……………..10 分
故直线DE 与平面ABCD 所成角的大小是
….12 分
17．（本题满分13 分）
如图，某住宅小区的平面图呈扇形AOC．小区的两个出入口设置在点A 及点C 处，小区里
有两条笔直的小路
，且拐弯处的转角为
．已知某人从
沿
走到
用了10
分钟，从
沿
走到
用了6 分钟．若此人步行的速度为每分钟50 米，求该扇形的半径
的长（精确到1 米）．
17. 【解法一】设该扇形的半径为r 米. 由题意，得
CD=500（米），DA=300（米），∠CDO=
……………………………4 分
在
中，
……………6 分
即
…………………….9 分
解得
（米）. …………………………………………….13 分
【解法二】连接AC，作OH⊥AC，交AC 于H…………………..2 分
由题意，得CD=500（米），AD=300（米），
………….4 分
∴ AC=700（米）
…………………………..6 分
D1
C1
A1
B1
A
B
C
D
E
1200
O
C
A
E
D1
C1
A1
B1
A
B
C
D
F
H
1200
O
C
A
………….…….9 分
在直角
∴
（米）. ………………………13 分
18．（本题满分15 分）本题共有2 个小题，第1 个题满分5 分，第2 小题满分10 分．
已知函数f(x)=sin2x，g(x)=cos
，直线
与函数
的图象分别交于M、N 两点．
（1）当
时，求｜MN｜的值；
（2）求｜MN｜在
时的最大值．
18、【解】（1）
…………….2 分
………………………………5 分
（2）
……...8 分
…………………………….11 分
∵
…………13 分
∴ ｜MN｜的最大值为
. ……………15 分
19．（本题满分16 分）本题共有2 个小题，第1 小题满分8 分，第2 小题满分8 分．
已知函数
．
（1）若
，求
的值；
（2）若
对于
恒成立，求实数m 的取值范围．
19、【解】（1）
. …………….2 分
由条件可知，
解得
…………6 分
∵
…………..8 分
（2）当
……………10 分
即
………………13 分
故m 的取值范围是
…………….16 分
20．（本题满分16 分）本题共有3 个小题，第1 小题满分3 分，第2 小题满分6 分，
第3 小题满分7 分．
已知双曲线
．
（1）求双曲线
的渐近线方程；
（2）已知点
的坐标为
．设
是双曲线
上的点，
是点
关于原点的对称点．
记
．求
的取值范围；
（3）已知点
的坐标分别为
，
为双曲线
上在第一象限内
的点．记为经过原点与点
的直线，为
截直线所得线段的长．试将
表示
为直线的斜率
的函数．
20、【解】（1）所求渐近线方程为
……………...3 分
（2）设P 的坐标为
，则Q 的坐标为
， …………….4 分
……………7 分
的取值范围是
……………9 分
（3）若P 为双曲线C 上第一象限内的点，
则直线的斜率
……………11 分
由计算可得，当
当
……………15 分
∴ s 表示为直线的斜率k 的函数是
….16 分
21．（本题满分18 分）本题共有3 个小题，第1 小题满分４分，第2 小题满分６分，
第3 小题满分8 分．
已知数列
：
，
，
，
（
是正整数），与数列
：
，
，
，
，
（
是正整数）．
记
．
（1）若
，求
的值；
（2）求证：当
是正整数时，
；
（3）已知
，且存在正整数
，使得在
，
，
，
中有4 项为100．
求
的值，并指出哪4 项为100．
21、【解】（1）
………………..2 分
∵
………………..4 分
【证明】（2）用数学归纳法证明：当
①
当n=1时，
等式成立….6分
②
假设n=k时等式成立，即
那么当
时，
………8 分
等式也成立.
根据①和②可以断定：当
…………………...10 分
【解】（3）
………………………..13 分
∵ 4m+1 是奇数，
均为负数，
∴ 这些项均不可能取到100. ………………………..15 分
此时，
为100. …………………………18 分
