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2010 年全国统一高考数学试卷（文科）（大纲版Ⅱ）
一、选择题（共12 小题，每小题5 分，满分60 分）
1．（5 分）设全集U={x∈N+|x＜6}，集合A={1，3}，B={3，5}，则∁U（A∪B）=（ ）
A．{1，4}
B．{1，5}
C．{2，4}
D．{2，5}
2．（5 分）不等式
＜0 的解集为（ ）
A．{x|
2
﹣＜x＜3}
B．{x|x＜﹣2}
C．{x|x＜﹣2 或x＞3}
D．{x|x＞3}
3．（5 分）已知sinα=
，则cos（π
2α
﹣
）=（ ）
A．﹣
B．﹣
C．
D．
4．（5 分）函数
的反函数是（ ）
A．y=e2x
1
﹣
1
﹣（x＞0）
B．y=e2x
1
﹣+1（x＞0）
C．y=e2x
1
﹣
1
﹣（x∈R）
D．y=e2x
1
﹣+1（x∈R）
5．（5 分）若变量x，y 满足约束条件
，则z=2x+y 的最大值为（ ）
A．1
B．2
C．3
D．4
6．（5 分）如果等差数列{an}中，a3+a4+a5=12，那么a1+a2+…+a7=（ ）
A．14
B．21
C．28
D．35
7．（5 分）若曲线y=x2+ax+b 在点（1，b）处的切线方程是x
y
﹣+1=0，则（ ）
A．a=1，b=2
B．a=
1
﹣，b=2
C．a=1，b=
2
﹣
D．a=
1
﹣，b=
2
﹣
8．（5 分）已知三棱锥S
ABC
﹣
中，底面ABC 为边长等于2 的等边三角形，SA 垂直于底面ABC，SA=3，
那么直线AB 与平面SBC 所成角的正弦值为（ ）
A．
B．
C．
D．
9．（5 分）将标号为1，2，3，4，5，6 的6 张卡片放入3 个不同的信封中，若每个信封放2 张，其中标号
为1，2 的卡片放入同一信封，则不同的方法共有（ ）
A．12 种
B．18 种
C．36 种
D．54 种
10．（5 分）△ABC 中，点D 在边AB 上，CD 平分∠ACB，若
= ，= ，| |=1，| |=2，则
=（ ）
A．
+
B．
+
C．
+
D．
+
11．（5 分）与正方体ABCD
A
﹣
1B1C1D1的三条棱AB、CC1、A1D1所在直线的距离相等的点（ ）
A．有且只有1 个
B．有且只有2 个
C．有且只有3 个
D．有无数个
12．（5 分）已知椭圆T：
+
=1（a＞b＞0）的离心率为
，过右焦点F 且斜率为k（k＞0）的直线与
T 相交于A，B 两点，若
=3
，则k=（ ）
A．1
B．
C．
D．2
二、填空题（共4 小题，每小题5 分，满分20 分）
13．（5 分）已知α 是第二象限的角，tanα=﹣
，则cosα= ．
14．（5 分）（x+
）9展开式中x3的系数是 ．（用数字作答）
15．（5 分）已知抛物线C：y2=2px（p＞0）的准线l，过M（1，0）且斜率为
的直线与l 相交于A，与C
的一个交点为B，若
，则p= ．
16．
（5 分）已知球O 的半径为4，圆M 与圆N 为该球的两个小圆，AB 为圆M 与圆N 的公共弦，AB=4，
若OM=ON=3，则两圆圆心的距离MN= ．
三、解答题（共6 小题，满分70 分）
17．（10 分）△ABC 中，D 为边BC 上的一点，BD=33，sinB=
，cos∠ADC=
，求AD．
第1页（共13页）
18．（12 分）已知{an}是各项均为正数的等比数列a1+a2=2（
），a3+a4+a5=64
+
+
）
（Ⅰ）求{an}的通项公式；
（Ⅱ）设bn=（an+
）2，求数列{bn}的前n 项和Tn．
19．（12 分）如图，直三棱柱ABC
A
﹣
1B1C1中，AC=BC，AA1=AB，D 为BB1的中点，E 为AB1上的一点，
AE=3EB1．
（Ⅰ）证明：DE 为异面直线AB1与CD 的公垂线；
（Ⅱ）设异面直线AB1与CD 的夹角为45°，求二面角A1
AC
﹣
1
B
﹣
1的大小．
20．（12 分）如图，由M 到N 的电路中有4 个元件，分别标为T1，T2，T3，T4，电流能通过T1，T2，T3的概
率都是P，电流能通过T4的概率是0.9，电流能否通过各元件相互独立．已知T1，T2，T3中至少有一
个能通过电流的概率为0.999．
（Ⅰ）求P；
（Ⅱ）求电流能在M 与N 之间通过的概率．
第2页（共13页）
21．（12 分）已知函数f（x）=
x
﹣2+ax+1
lnx
﹣
．
（Ⅰ）当a=3 时，求函数f（x）的单调递增区间；
（Ⅱ）若f（x）在区间（0，
）上是减函数，求实数a 的取值范围．
22．
（12 分）已知斜率为1 的直线l 与双曲线C：
相交于B、D 两点，且BD 的中
点为M（1，3）．
（Ⅰ）求C 的离心率；
（Ⅱ）设C 的右顶点为A，右焦点为F，|DF|•|BF|=17，证明：过A、B、D 三点的圆与x 轴相切．
第3页（共13页）
2010 年全国统一高考数学试卷（文科）（大纲版Ⅱ）
参考答案与试题解析
一、选择题（共12 小题，每小题5 分，满分60 分）
1．（5 分）设全集U={x∈N+|x＜6}，集合A={1，3}，B={3，5}，则∁U（A∪B）=（ ）
A．{1，4}
B．{1，5}
C．{2，4}
D．{2，5}
【考点】1H：交、并、补集的混合运算．菁优网版权所有
【专题】11：计算题．
【分析】由全集U={x∈N+|x＜6}，可得U={1，2，3，4，5}，然后根据集合混合运算的法则即可求解．
【解答】解：∵A={1，3}，B={3，5}，
∴A∪B={1，3，5}，
∵U={x∈N+|x＜6}={1，2，3，4，5}，
∴∁U（A∪B）={2，4}，
故选：C．
【点评】本题考查了集合的基本运算，属于基础知识，注意细心运算．
2．（5 分）不等式
＜0 的解集为（ ）
A．{x|
2
﹣＜x＜3} B．{x|x＜﹣2}
C．{x|x＜﹣2 或x＞3} D．{x|x＞3}
【考点】73：一元二次不等式及其应用．菁优网版权所有
【专题】11：计算题．
【分析】本题的方法是：要使不等式小于0 即要分子与分母异号，得到一个一元二次不等式，讨论x
的值即可得到解集．
【解答】解：∵
，得到（x
3
﹣）（x+2）＜0
即x
3
﹣＞0 且x+2＜0 解得：x＞3 且x＜﹣2 所以无解；
或x
3
﹣＜0 且x+2＞0，解得﹣2＜x＜3，
所以不等式的解集为﹣2＜x＜3
故选：A．
【点评】本题主要考查学生求不等式解集的能力，是一道基础题．
3．（5 分）已知sinα=
，则cos（π
2α
﹣
）=（ ）
A．﹣
B．﹣
C．
D．
【考点】GO：运用诱导公式化简求值；GS：二倍角的三角函数．菁优网版权所有
【专题】11：计算题．
【分析】先根据诱导公式求得cos（π
2a
﹣
）=
cos2a
﹣
进而根据二倍角公式把sinα 的值代入即可求得答
案．
【解答】解：∵sina=
，
∴cos（π
2a
﹣
）=
cos2a=
﹣
﹣（1
2sin
﹣
2a）=﹣
．
故选：B．
【点评】本题考查了二倍角公式及诱导公式．考查了学生对三角函数基础公式的记忆．
4．（5 分）函数
的反函数是（ ）
A．y=e2x
1
﹣
1
﹣（x＞0）
B．y=e2x
1
﹣+1（x＞0）
C．y=e2x
1
﹣
1
﹣（x∈R）
D．y=e2x
1
﹣+1（x∈R）
【考点】4H：对数的运算性质；4R：反函数．菁优网版权所有
【专题】11：计算题；16：压轴题．
【分析】从条件中
中反解出x，再将x，y 互换即得．解答本题首先熟悉反函数的
概念，然后根据反函数求解三步骤：1、换：x、y 换位，2、解：解出y，3、标：标出定义域，据此即可求
第4页（共13页）
得反函数．
【解答】解：由原函数解得
x=e 2y
1
﹣+1，
∴f
1
﹣（x）=e 2x
1
﹣+1，
又x＞1，∴x
1
﹣＞0；
∴ln（x
1
﹣）∈R∴在反函数中x∈R，
故选：D．
【点评】求反函数，一般应分以下步骤：（1）由已知解析式y=f（x）反求出x=Ф（y）；（2）交换x=Ф（y）中
x、y 的位置；（3）求出反函数的定义域（一般可通过求原函数的值域的方法求反函数的定义域）．
5．（5 分）若变量x，y 满足约束条件
，则z=2x+y 的最大值为（ ）
A．1
B．2
C．3
D．4
【考点】7C：简单线性规划．菁优网版权所有
【专题】31：数形结合．
【分析】先根据约束条件画出可行域，设z=2x+y，再利用z 的几何意义求最值，只需求出直线z=2x+y
过可行域内的点B 时，从而得到m 值即可．
【解答】解：作出可行域，作出目标函数线，
可得直线与y=x 与3x+2y=5 的交点为最优解点，
∴即为B（1，1），当x=1，y=1 时zmax=3．
故选：C．
【点评】本题考查了线性规划的知识，以及利用几何意义求最值，属于基础题．
6．（5 分）如果等差数列{an}中，a3+a4+a5=12，那么a1+a2+…+a7=（ ）
A．14
B．21
C．28
D．35
【考点】83：等差数列的性质；85：等差数列的前n 项和．菁优网版权所有
【分析】由等差数列的性质求解．
【解答】解：a3+a4+a5=3a4=12，a4=4，
∴a1+a2+…+a7=
=7a4=28
故选：C．
【点评】本题主要考查等差数列的性质．
7．（5 分）若曲线y=x2+ax+b 在点（1，b）处的切线方程是x
y
﹣+1=0，则（ ）
A．a=1，b=2
B．a=
1
﹣，b=2
C．a=1，b=
2
﹣
D．a=
1
﹣，b=
2
﹣
【考点】6H：利用导数研究曲线上某点切线方程．菁优网版权所有
【专题】11：计算题；52：导数的概念及应用．
【分析】由y=x2+ax+b，知y′=2x+a，再由曲线y=x2+ax+b 在点（1，b）处的切线方程为x
y
﹣+1=0，求出a
和b．
【解答】解：∵y=x2+ax+b，
∴y′=2x+a，
∵y′|x=1=2+a，
∴曲线y=x2+ax+b 在点（1，b）处的切线方程为y
b=
﹣
（2+a）（x
1
﹣），
∵曲线y=x2+ax+b 在点（1，b）处的切线方程为x
y
﹣+1=0，
∴a=
1
﹣，b=2．
故选：B．
【点评】本题考查利用导数求曲线上某点切线方程的应用，解题时要认真审题，仔细解答．
第5页（共13页）
8．（5 分）已知三棱锥S
ABC
﹣
中，底面ABC 为边长等于2 的等边三角形，SA 垂直于底面ABC，SA=3，
那么直线AB 与平面SBC 所成角的正弦值为（ ）
A．
B．
C．
D．
【考点】MI：直线与平面所成的角．菁优网版权所有
【专题】11：计算题．
【分析】由图，过A 作AE 垂直于BC 交BC 于E，连接SE，过A 作AF 垂直于SE 交SE 于F，连BF，由题设
条件证出∠ABF 即所求线面角．由数据求出其正弦值．
【解答】解：过A 作AE 垂直于BC 交BC 于E，连接SE，过A 作AF 垂直于SE 交SE 于F，连BF，
∵正三角形ABC，
∴E 为BC 中点，
∵BC⊥AE，SA⊥BC，
∴BC⊥面SAE，
∴BC⊥AF，AF⊥SE，
∴AF⊥面SBC，
∵∠ABF 为直线AB 与面SBC 所成角，由正三角形边长2，
∴AE=
，AS=3，
∴SE=2
，AF=
，
∴sin∠ABF=
．
故选：D．
【点评】本题考查了立体几何的线与面、面与面位置关系及直线与平面所成角．
9．（5 分）将标号为1，2，3，4，5，6 的6 张卡片放入3 个不同的信封中，若每个信封放2 张，其中标号
为1，2 的卡片放入同一信封，则不同的方法共有（ ）
A．12 种
B．18 种
C．36 种
D．54 种
【考点】D9：排列、组合及简单计数问题．菁优网版权所有
【专题】11：计算题．
【分析】本题是一个分步计数问题，首先从3 个信封中选一个放1，2 有3 种不同的选法，再从剩下的
4 个数中选两个放一个信封有C4
2，余下放入最后一个信封，根据分步计数原理得到结果．
【解答】解：由题意知，本题是一个分步计数问题，
∵先从3 个信封中选一个放1，2，有
=3 种不同的选法；根据分组公式，其他四封信放入两个信封，
每个信封两个有
=6 种放法，
∴共有3×6×1=18．
故选：B．
【点评】本题考查分步计数原理，考查平均分组问题，是一个易错题，解题的关键是注意到第二步从
剩下的4 个数中选两个放到一个信封中，这里包含两个步骤，先平均分组，再排列．
10．（5 分）△ABC 中，点D 在边AB 上，CD 平分∠ACB，若
= ，= ，| |=1，| |=2，则
=（ ）
A．
+
B．
+
C．
+
D．
+
【考点】9B：向量加减混合运算．菁优网版权所有
【分析】由△ABC 中，点D 在边AB 上，CD 平分∠ACB，根据三角形内角平分线定理，我们易得到
，我们将
后，将各向量用，表示，即可得到答案．
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【解答】解：∵CD 为角平分线，
∴
，
∵
，
∴
，
∴
故选：B．
【点评】本题考查了平面向量的基础知识，解答的核心是三角形内角平分线定理，即若AD 为三角形
ABC 的内角A 的角平分线，则AB：AC=BD：CD
11．（5 分）与正方体ABCD
A
﹣
1B1C1D1的三条棱AB、CC1、A1D1所在直线的距离相等的点（ ）
A．有且只有1 个
B．有且只有2 个
C．有且只有3 个
D．有无数个
【考点】LO：空间中直线与直线之间的位置关系．菁优网版权所有
【专题】16：压轴题．
【分析】由于点D、B1显然满足要求，猜想B1D 上任一点都满足要求，然后想办法证明结论．
【解答】解：在正方体ABCD
A
﹣
1B1C1D1上建立如图所示空间直角坐标系，
并设该正方体的棱长为1，连接B1D，并在B1D 上任取一点P，
因为
=（1，1，1），
所以设P（a，a，a），其中0≤a≤1．
作PE⊥平面A1D，垂足为E，再作EF⊥A1D1，垂足为F，
则PF 是点P 到直线A1D1的距离．
所以PF=
；
同理点P 到直线AB、CC1的距离也是
．
所以B1D 上任一点与正方体ABCD
A
﹣
1B1C1D1的三条棱AB、CC1、A1D1所在直线的距离都相等，
所以与正方体ABCD
A
﹣
1B1C1D1的三条棱AB、CC1、A1D1所在直线的距离相等的点有无数个．
故选：D．
【点评】本题主要考查合情推理的能力及空间中点到线的距离的求法．
12．（5 分）已知椭圆T：
+
=1（a＞b＞0）的离心率为
，过右焦点F 且斜率为k（k＞0）的直线与
T 相交于A，B 两点，若
=3
，则k=（ ）
A．1
B．
C．
D．2
【考点】KH：直线与圆锥曲线的综合．菁优网版权所有
【专题】11：计算题；16：压轴题．
【分析】设A（x1，y1），B（x2，y2），根据
求得y1和y2关系根据离心率设
，b=t，代入
椭圆方程与直线方程联立，消去x，根据韦达定理表示出y1+y2和y1y2，进而根据y1和y2关系求得
k．
【解答】解：A（x1，y1），B（x2，y2），
∵
，∴y1=
3y
﹣
2，
∵
，设
，b=t，
∴x2+4y2
4t
﹣
2=0 ①，
设直线AB 方程为
，代入①中消去x，可得
，
第7页（共13页）
∴
，
，
解得
，
故选：B．
【点评】本题主要考查了直线与圆锥曲线的综合问题．此类题问题综合性强，要求考生有较高地转化
数学思想的运用能力，能将已知条件转化到基本知识的运用．
二、填空题（共4 小题，每小题5 分，满分20 分）
13．（5 分）已知α 是第二象限的角，tanα=﹣
，则cosα=
．
【考点】GG：同角三角函数间的基本关系．菁优网版权所有
【分析】根据
，以及sin2α+cos2α=1 可求出答案．
【解答】解：∵
=
，∴2sinα=
cosα
﹣
又∵sin2α+cos2α=1，α 是第二象限的角
∴
故答案为：
【点评】本题考查了同角三角函数的基础知识．
14．（5 分）（x+
）9展开式中x3的系数是
84
．（用数字作答）
【考点】DA：二项式定理．菁优网版权所有
【分析】本题考查二项式定理的展开式，解题时需要先写出二项式定理的通项Tr+1，因为题目要求展
开式中x3的系数，所以只要使x 的指数等于3 就可以，用通项可以解决二项式定理的一大部分题
目．
【解答】解：写出（x+
）9通项
，
∵要求展开式中x3的系数
∴令9
2r=3
﹣
得r=3，
∴C9
3=84
故答案为：84．
【点评】本题是一个二项展开式的特定项的求法．解本题时容易公式记不清楚导致计算错误，所以牢
记公式．它是经常出现的一个客观题．
15．（5 分）已知抛物线C：y2=2px（p＞0）的准线l，过M（1，0）且斜率为
的直线与l 相交于A，与C
的一个交点为B，若
，则p=
2
．
【考点】K8：抛物线的性质．菁优网版权所有
【专题】11：计算题；16：压轴题．
【分析】设直线AB 的方程与抛物线方程联立消去y 得3x2+（﹣6
2p
﹣
）x+3=0，进而根据
，可知
M 为A、B 的中点，
可得p 的关系式，解方程即可求得p．
【解答】解：设直线AB：
，代入y2=2px 得3x2+（﹣6
2p
﹣
）x+3=0，
又∵
，即M 为A、B 的中点，
∴xB+（﹣
）=2，即xB=2+
，
得p2+4P
12=0
﹣
，
解得p=2，p=
6
﹣（舍去）
故答案为：2
【点评】本题考查了抛物线的几何性质．属基础题．
16．
（5 分）已知球O 的半径为4，圆M 与圆N 为该球的两个小圆，AB 为圆M 与圆N 的公共弦，AB=4，
若OM=ON=3，则两圆圆心的距离MN=
3
．
第8页（共13页）
【考点】JE：直线和圆的方程的应用；ND：球的性质．菁优网版权所有
【专题】11：计算题；16：压轴题．
【分析】根据题意画出图形，欲求两圆圆心的距离，将它放在与球心组成的三角形MNO 中，只要求出
球心角即可，通过球的性质构成的直角三角形即可解得．
【解答】解法一：∵ON=3，球半径为4，
∴小圆N 的半径为
，
∵小圆N 中弦长AB=4，作NE 垂直于AB，
∴NE=
，同理可得
，在直角三角形ONE 中，
∵NE=
，ON=3，
∴
，
∴
，
∴MN=3．
故填：3．
解法二：如下图：设AB 的中点为C，则OC 与MN 必相交于MN 中点为E，因为OM=ON=3，
故小圆半径NB 为
C 为AB 中点，故CB=2；所以NC=
，
∵△ONC 为直角三角形，NE 为△ONC 斜边上的高，OC=
∴MN=2EN=2•CN•
=2×
×
=3
故填：3．
【点评】本题主要考查了点、线、面间的距离计算，还考查球、直线与圆的基础知识，考查空间想象能
力、运算能力和推理论证能力，属于基础题．
三、解答题（共6 小题，满分70 分）
17．（10 分）△ABC 中，D 为边BC 上的一点，BD=33，sinB=
，cos∠ADC=
，求AD．
【考点】GG：同角三角函数间的基本关系；HP：正弦定理．菁优网版权所有
【分析】先由cos∠ADC=
确定角ADC 的范围，因为∠BAD=∠ADC
B
﹣所以可求其正弦值，最后由正
弦定理可得答案．
【解答】解：由cos∠ADC=
＞0，则∠ADC＜
，
又由知B＜∠ADC 可得B＜
，
由sinB=
，可得cosB=
，
又由cos∠ADC=
，可得sin∠ADC=
．
第9页（共13页）
从而sin∠BAD=sin（∠ADC
B
﹣）=sin∠ADCcosB
cos
﹣
∠ADCsinB=
=
．
由正弦定理得
，
所以AD=
=
．
【点评】三角函数与解三角形的综合性问题，是近几年高考的热点，在高考试题中频繁出现．这类题
型难度比较低，一般出现在17 或18 题，属于送分题，估计以后这类题型仍会保留，不会有太大改
变．解决此类问题，要根据已知条件，灵活运用正弦定理或余弦定理，求边角或将边角互化．
18．（12 分）已知{an}是各项均为正数的等比数列a1+a2=2（
），a3+a4+a5=64
+
+
）
（Ⅰ）求{an}的通项公式；
（Ⅱ）设bn=（an+
）2，求数列{bn}的前n 项和Tn．
【考点】88：等比数列的通项公式；8E：数列的求和．菁优网版权所有
【专题】11：计算题．
【分析】（1）由题意利用等比数列的通项公式建立首项a1与公比q 的方程，然后求解即可
（2）由bn的定义求出通项公式，在由通项公式，利用分组求和法即可求解
【解答】解：（1 ）设正等比数列{an} 首项为a1 ，公比为q ，由题意得：
∴an=2n
1
﹣（6 分）
（2）
∴bn的前n 项和Tn=
（12 分）
【点评】（1）此问重基础及学生的基本运算技能（2）此处重点考查了高考常考的数列求和方法之一
的分组求和，及指数的基本运算性质
19．（12 分）如图，直三棱柱ABC
A
﹣
1B1C1中，AC=BC，AA1=AB，D 为BB1的中点，E 为AB1上的一点，
AE=3EB1．
（Ⅰ）证明：DE 为异面直线AB1与CD 的公垂线；
（Ⅱ）设异面直线AB1与CD 的夹角为45°，求二面角A1
AC
﹣
1
B
﹣
1的大小．
【考点】LM：异面直线及其所成的角；LQ：平面与平面之间的位置关系．菁优网版权所有
【专题】11：计算题；14：证明题．
【分析】（1）欲证DE 为异面直线AB1与CD 的公垂线，即证DE 与异面直线AB1与CD 垂直相交即可；
（2）将AB1平移到DG，故∠CDG 为异面直线AB1与CD 的夹角，作HK⊥AC1，K 为垂足，连接B1K，由三
垂线定理，得B1K⊥AC1，因此∠B1KH 为二面角A1
AC
﹣
1
B
﹣
1的平面角，在三角形B1KH 中求出此角
即可．
【解答】解：（1）连接A1B，记A1B 与AB1的交点为F．
因为面AA1BB1为正方形，故A1B⊥AB1，且AF=FB1，
又AE=3EB1，所以FE=EB1，
又D 为BB1的中点，
故DE∥BF，DE⊥AB1．
作CG⊥AB，G 为垂足，由AC=BC 知，G 为AB 中点．
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又由底面ABC⊥面AA1B1B．连接DG，则DG∥AB1，
故DE⊥DG，由三垂线定理，得DE⊥CD．
所以DE 为异面直线AB1与CD 的公垂线．
（2）因为DG∥AB1，故∠CDG 为异面直线AB1与CD 的夹角，∠CDG=45°
设AB=2，则AB1=
，DG=
，CG=
，AC=
．
作B1H⊥A1C1，H 为垂足，因为底面A1B1C1⊥面AA1CC1，故B1H⊥面AA1C1C．又作HK⊥AC1，K 为垂足，连
接B1K，由三垂线定理，得B1K⊥AC1，因此∠B1KH 为二面角A1
AC
﹣
1
B
﹣
1的平面角．
B1H=
，C1H=
，AC1=
，HK=
tan∠B1KH=
，
∴二面角A1
AC
﹣
1
B
﹣
1的大小为arctan
．
【点评】本试题主要考查空间的线面关系与空间角的求解，考查考生的空间想象与推理计算的能力．
三垂线定理是立体几何的最重要定理之一，是高考的热点，它是处理线线垂直问题的有效方法，
同时它也是确定二面角的平面角的主要手段．通过引入空间向量，用向量代数形式来处理立体几
何问题，淡化了传统几何中的“形”到“形”的推理方法，从而降低了思维难度，使解题变得程
序化，这是用向量解立体几何问题的独到之处．
20．（12 分）如图，由M 到N 的电路中有4 个元件，分别标为T1，T2，T3，T4，电流能通过T1，T2，T3的概
率都是P，电流能通过T4的概率是0.9，电流能否通过各元件相互独立．已知T1，T2，T3中至少有一
个能通过电流的概率为0.999．
（Ⅰ）求P；
（Ⅱ）求电流能在M 与N 之间通过的概率．
【考点】C5：互斥事件的概率加法公式；C8：相互独立事件和相互独立事件的概率乘法公式．菁优网版权所有
【专题】11：计算题．
【分析】（1）设出基本事件，将要求事件用基本事件的来表示，将T1，T2，T3 至少有一个能通过电流
用基本事件表示并求出概率即可求得p．
（Ⅱ）根据题意，B 表示事件：电流能在M 与N 之间通过，根据电路图，可得B=A4+（1
A
﹣
4）A1A3+（1﹣
A4）（1
A
﹣
1）A2A3，由互斥事件的概率公式，代入数据计算可得答案．
【解答】解：（Ⅰ）根据题意，记电流能通过Ti为事件Ai，i=1、2、3、4，
A 表示事件：T1，T2，T3，中至少有一个能通过电流，
易得A1，A2，A3相互独立，且
，
P（）=（1
p
﹣）3=1
0.999=0.001
﹣
，
计算可得，p=0.9；
（Ⅱ）根据题意，B 表示事件：电流能在M 与N 之间通过，
有B=A4+（1
A
﹣
4）A1A3+（1
A
﹣
4）（1
A
﹣
1）A2A3，
则P（B）=P（A4+（1
A
﹣
4）A1A3+（1
A
﹣
4）（1
A
﹣
1）A2A3）
=0.9+0.1×0.9×0.9+0.1×0.1×0.9×0.9
=0.9891．
【点评】本题考查了概率中的互斥事件、对立事件及独立事件的概率，注意先明确事件之间的关系，
进而选择对应的公式来计算．
21．（12 分）已知函数f（x）=
x
﹣2+ax+1
lnx
﹣
．
（Ⅰ）当a=3 时，求函数f（x）的单调递增区间；
（Ⅱ）若f（x）在区间（0，
）上是减函数，求实数a 的取值范围．
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【考点】3D：函数的单调性及单调区间；3E：函数单调性的性质与判断．菁优网版权所有
【专题】16：压轴题．
【分析】（1）求单调区间，先求导，令导函数大于等于0 即可．
（2）已知f（x）在区间（0，）上是减函数，即f′（x）≤0 在区间（0，）上恒成立，然后用分离参数求最
值即可．
【解答】解：（Ⅰ）当a=3 时，f（x）=
x
﹣2+3x+1
lnx
﹣
∴
解f′（x）＞0，
即：2x2
3x
﹣
+1＜0
函数f（x）的单调递增区间是
．
（Ⅱ）f′（x）=
2x
﹣
+a﹣
，
∵f（x）在
上为减函数，
∴x∈
时﹣2x+a﹣
≤0 恒成立．
即a≤2x+
恒成立．
设
，则
∵x∈
时，
＞4，
∴g′（x）＜0，
∴g（x）在
上递减，
∴g（x）＞g（
）=3，
∴a≤3．
【点评】本题考查函数单调性的判断和已知函数单调性求参数的范围，此类问题一般用导数解决，综
合性较强．
22．
（12 分）已知斜率为1 的直线l 与双曲线C：
相交于B、D 两点，且BD 的中
点为M（1，3）．
（Ⅰ）求C 的离心率；
（Ⅱ）设C 的右顶点为A，右焦点为F，|DF|•|BF|=17，证明：过A、B、D 三点的圆与x 轴相切．
【考点】J9：直线与圆的位置关系；KC：双曲线的性质；KH：直线与圆锥曲线的综合．菁优网版权所有
【专题】11：计算题；14：证明题；16：压轴题．
【分析】（Ⅰ）由直线过点（1，3）及斜率可得直线方程，直线与双曲线交于BD 两点的中点为（1，3），
可利用直线与双曲线消元后根据中点坐标公式找出a，b 的关系式即求得离心率．
（Ⅱ）利用离心率将条件|FA||FB|=17，用含a 的代数式表示，即可求得a，则A 点坐标可得（1，0），由
于A 在x 轴上所以，只要证明2AM=BD 即证得．
【解答】解：（Ⅰ）由题设知，l 的方程为：y=x+2，代入C 的方程，并化简，
得（b2
a
﹣
2）x2
4a
﹣
2x
a
﹣
2b2
4a
﹣
2=0，
设B（x1，y1），D（x2，y2），则
，
，①
由M（1，3）为BD 的中点知
．
故
，即b2=3a2，②
故
，
∴C 的离心率
．
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（Ⅱ）由①②知，C 的方程为：3x2
y
﹣2=3a2，A（a，0），F（2a，0），
．
故不妨设x1≤﹣a，x2≥a，
，
，
|BF|•|FD|=（a
2x
﹣
1）（2x2
a
﹣）=
4x
﹣
1x2+2a（x1+x2）﹣a2=5a2+4a+8．
又|BF|•|FD|=17，故5a2+4a+8=17．
解得a=1，或
（舍去），
故
=6，
连接MA，则由A（1，0），M（1，3）知|MA|=3，
从而MA=MB=MD，且MA⊥x 轴，
因此以M 为圆心，MA 为半径的圆经过A、B、D 三点，且在点A 处与x 轴相切，
所以过A、B、D 三点的圆与x 轴相切．
【点评】本题考查了圆锥曲线、直线与圆的知识，考查学生运用所学知识解决问题的能力．
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