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2008 年普通高等学校招生全国统一考试浙江卷
数学（理科）
本试题卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分。全卷共4 页，第Ⅰ卷1 至2 页，第Ⅱ卷3 至4 页。满
分150 分，考试时间120 分钟。
请考生按规定用笔将所有试题的答案涂、写在答题纸上。
第Ⅰ卷（共50 分）
注意事项：
1．答第Ⅰ卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号用黑色字迹的签字笔或钢笔填写在答
题纸上。
2．每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题纸上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡
皮擦干净后，再选涂其它答案标号。不能答在试题卷上。
参考公式：
如果事件A、B 互斥，那么
P（A+B）=P（A）+（B）
如果事件A、B 相互独立，那么
P（A·B）=P（A）·（B）
如果事件A 在一次试验中发生
的概率是p 那么n 次独立重复
试验中恰好发生k 次的概率：
球的表面积公式
S=4
其中R 表示球的半径
求的体积公式V=
其中R 表示球的半径
一、选择题：本大题共10 小题，每小题5 分，共50 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项
是符合题目要求的。
（1）已知是实数，
是春虚数，则=
（A）1 （B）-1 （C）
（D）-
（2）已知U=R，A=
,B=
,则（A
（A）
（B）
（C）
（D）
（3）已知，b 都是实数，那么“
”是“ >b”的
（A）充分而不必要条件 （B）必要而不充分条件
（C）充分必要条件 （D）既不充分也不必要条件
（4）在
的展开式中，含
的项的系数是
（A）-15 （B）85 （C）-120 （D）274
（5）在同一平面直角坐标系中，函数
的图象和直线
第 1 页 共 10 页
的交点个数是
（A）0 （B）1 （C）2 （D）4
（6）已知
是等比数列，
，则
=
（A）16（
） （B）16（
）
（C）
（
） （D）
（
）
（7）若双曲线
的两个焦点到一条准线的距离之比为3：2,则双曲线的离心率是
（A）3 （B）5 （C）
（D）
（8）若
则
=
（A）
（B）2 （C）
（D）
（9）已知，b 是平面内两个互相垂直的单位向量，若向量满足
,则
的
最大值是
（A）1 （B）2 （C）
（D）
（10）如图，AB 是平面的斜线段，A 为斜足，若点P 在平面内运动，使得△ABP 的面积为
定值，则动点P 的轨迹是
（A）圆 （B）椭圆
（C）一条直线 （D）两条平行直线
2008 年普通高等学校招生全国统一考试浙江卷
数学（理科）
第Ⅱ卷（共100 分）
注意事项：
1．黑色字迹的签字笔或钢笔填写在答题纸上，不能答在试题卷上。
2．在答题纸上作图,可先使用2B 铅笔，确定后必须使用黑色字迹的签字笔或钢笔描黑。
二．填空题：本大题共7 小题，每小题4 分，共28 分。
（11）已知>0，若平面内三点A（1，- ），B（2，
），C（3，
）共线，则=________。
第 2 页 共 10 页
（12）已知
为椭圆
的两个焦点，过
的直线交椭圆于A、B 两点
若
，则
=______________。
（13）在△ABC 中，角A、B、C 所对的边分别为、b、c ，若
，则
_________________。
（14）如图，已知球O 点面上四点A、B、C、D，DA 平面
ABC，AB BC，DA=AB=BC=
，则球O 点体积等于
___________。
（15）已知t 为常数，函数
在区间[0，3]上的最大值为2，则t=__________。
（16）用1，2，3，4，5，6 组成六位数（没有重复数字），要求任何相邻两个数字的奇偶性不同，
且1 和2 相邻，这样的六位数的个数是__________（用数字作答)。
（17）若
，且当
时，恒有
，则以,b 为坐标点P（，b）所形成
的平面区域的面积等于____________。
三．解答题：本大题共5 小题，共72 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
（18）（本题14 分）如图,矩形ABCD 和梯形BEFC 所在平面互相
垂直，BE//CF，
BCF=
CEF=
,AD=
,EF=2。
（Ⅰ）求证：AE//平面DCF；
（Ⅱ）当AB 的长为何值时,二面角A-EF-C 的大小为
？
第 3 页 共 10 页
（19）（本题14 分）一个袋中有若干个大小相同的黑球、白球和红球。已知从袋中任意摸
出1 个球，得到黑球的概率是
；从袋中任意摸出2 个球，至少得到1 个白球的概率是
。
（Ⅰ）若袋中共有10 个球，
（i）求白球的个数；
（ii）从袋中任意摸出3 个球,记得到白球的个数为,求随机变量的数学期望
。
（Ⅱ）求证：从袋中任意摸出2 个球，至少得到1 个黑球的概率不大于
。并指出袋中哪
种颜色的球个数最少。
（20）（本题15 分）已知曲线C 是到点P（
）和到直线
距离相等的点的轨迹。是过点Q（-1，0）的
直线，M 是C 上（不在上）的动点；A、B 在上，
轴（如图）。
（Ⅰ）求曲线C 的方程；
（Ⅱ）求出直线
的方程，使得
为常数。
（21）（本题15 分）已知是实数，函数
。
（Ⅰ）求函数
的单调区间；
（Ⅱ）设
为
在区间
上的最小值。
（i）写出
的表达式；
（ii）求的取值范围，使得
。
（22 ）（本题14 分）已知数列
，
，
，
．记
．
．
求证：当
时，
（Ⅰ）
；
（Ⅱ）
；
（Ⅲ）
。
2008 年普通高等学校招生全国统一考试浙江卷
数学（理科）参考答案
第 4 页 共 10 页
一、选择题：本题考查基本知识和基本运算．每小题5 分，满分50 分
1．A 2．D 3．D 4．A 5．C
6．C 7．D 8．B 9．C 10．B
二、填空题：本题考查基本知识和基本运算．每小题4 分，满分28 分．
11．
12．
13．
14．
15．1 16．40 17．1
三、解答题
18．本题主要考查空间线面关系、空间向量的概念与运算等基础知识，同时考查空间想象能力和推
理运算能力．满分14 分．
方法一：
（Ⅰ）证明：过点
作
交
于
，连结
，
可得四边形
为矩形，
又
为矩形，
所以
，从而四边形
为平行四边形，
故
．
因为
平面
，
平面
，
所以
平面
．
（Ⅱ）解：过点
作
交
的延长线于
，连结
．
由平面
平面
，
，得
平面
，
从而
．
所以
为二面角
的平面角．
在
中，因为
，
，所以
，
．
又因为
，所以
，
从而
．
于是
．
因为
，
所以当
为
时，二面角
的大小为
．
方法二：如图，以点
为坐标原点，以
和
分别作为
轴，轴和
轴，建立空间直角
坐标系
．
设
，
则
，
，
，
，
．
（Ⅰ）证明：
，
，
，
第 5 页 共 10 页
D
A
B
E
F
C
H
G
D
A
B
E
F
C
y
z
x
所以
，
，从而
，
，
所以
平面
．
因为
平面
，
所以平面
平面
．
故
平面
．
（Ⅱ）解：因为
，
，
所以
，
，从而
解得
．
所以
，
．
设
与平面
垂直，
则
，
，
解得
．
又因为
平面
，
，
所以
，
得到
．
所以当
为
时，二面角
的大小为
．
19．本题主要考查排列组合、对立事件、相互独立事件的概率和随机变量分布列和数学期望等概念，
同时考查学生的逻辑思维能力和分析问题以及解决问题的能力．满分14 分．
（Ⅰ）解：（i）记“从袋中任意摸出两个球，至少得到一个白球”为事件A，设袋中白球的个数为
，
则
，
得到
．
故白球有5 个．
（ii）随机变量
的取值为0，1，2，3，分布列是
0
1
2
3
第 6 页 共 10 页
的数学期望
．
（Ⅱ）证明：设袋中有
个球，其中
个黑球，由题意得
，
所以
，
，故
．
记“从袋中任意摸出两个球，至少有1 个黑球”为事件B，则
．
所以白球的个数比黑球多，白球个数多于
，红球的个数少于
．
故袋中红球个数最少．
20．本题主要考查求曲线的轨迹方程、两条直线的位置关系等基础知识，考查解析几何的基本思想
方法和综合解题能力．满分15 分．
（Ⅰ）解：设
为
上的点，则
，
到直线
的距离为
．
由题设得
．
化简，得曲线
的方程为
．
（Ⅱ）解法一：
设
，直线
，则
，从而
．
在
中，因为
，
第 7 页 共 10 页
A
B
O
Q
y
x
l
M
．
所以
.
，
．
当
时，
，
从而所求直线方程为
．
解法二：设
，直线
，则
，从而
．
过
垂直于的直线
．
因为
，所以
，
．
当
时，
，
从而所求直线方程为
．
21．本题主要考查函数的性质、求导、导数的应用等基础知识，同时考查分类讨论思想以及综合运
用所学知识分析问题和解决问题的能力．满分15 分．
（Ⅰ）解：函数的定义域为
，
第 8 页 共 10 页
A
B
O
Q
y
x
l
M
H
l1
（
）．
若
，则
，
有单调递增区间
．
若
，令
，得
，
当
时，
，
当
时，
．
有单调递减区间
，单调递增区间
．
（Ⅱ）解：（i）若
，
在
上单调递增，
所以
．
若
，
在
上单调递减，在
上单调递增，
所以
．
若
，
在
上单调递减，
所以
．
综上所述，
（ii）令
．
若
，无解．
若
，解得
．
若
，解得
．
故
的取值范围为
．
22．本题主要考查数列的递推关系，数学归纳法、不等式证明等基础知识和基本技能，同时考查逻
第 9 页 共 10 页
辑推理能力．满分14 分．
（Ⅰ）证明：用数学归纳法证明．
①当
时，因为
是方程
的正根，所以
．
②假设当
时，
，
因为
，
所以
．
即当
时，
也成立．
根据①和②，可知
对任何
都成立．
（Ⅱ）证明：由
，
（
），
得
．
因为
，所以
．
由
及
得
，
所以
．
（Ⅲ）证明：由
，得
所以
，
于是
，
故当
时，
，
又因为
，
所以
．
第 10 页 共 10 页
