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2008 年普通高等学校招生全国统一考试
数学（理工农医类）（北京卷）
本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，第Ⅰ卷1 至2 页，第Ⅱ卷3 至9
页，共150 分．考试时间120 分钟．考试结束，将本试卷和答题卡一并交回．
第Ⅰ卷（选择题 共40 分）
注意事项：
1．答第Ⅰ卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目涂写在答题卡上．
2．每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮
擦干净后，再选涂其他答案．不能答在试卷上．
一、本大题共8 小题，每小题5 分，共40 分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求
的一项．
1．已知全集
，集合
，
，那么集合
等于（ ）
A．
B．
C．
D．
2．若
，
，
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
3．“函数
存在反函数”是“函数
在
上为增函数”的（ ）
A．充分而不必要条件
B．必要而不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分也不必要条件
4．若点
到直线
的距离比它到点
的距离小1，则点
的轨迹为（ ）
A．圆
B．椭圆
C．双曲线
D．抛物线
5．若实数
满足
则
的最小值是（ ）
A．0
B．1
C．
D．9
6．已知数列
对任意的
满足
，且
，那么
等于（ ）
A．
B．
C．
D．
7．过直线
上的一点作圆
的两条切线
，当直线
关于
对称时，它们之间的夹角为（ ）
A．
B．
C．
D．
8．如图，动点
在正方体
的对角线
上．过点
作垂直于平面
的直线，与正方体表面相交于
．设
，
，则函数
的
图象大致是（ ）
B
CD
M
NP
B1
C1 D1
2008 年普通高等学校招生全国统一考试
数学（理工农医类）（北京卷）
第Ⅱ卷（共110 分）
注意事项：
1．用钢笔或圆珠笔将答案直接写在试卷上．
2．答卷前将密封线内的项目填写清楚．
二、填空题：本大题共6 小题，每小题5 分，共30 分．把答案填在题中横线上．
9．已知
，其中是虚数单位，那么实数
．
10．已知向量
与
的夹角为
，且
，那么
的值为 ．
A
A1
y
x
A ．
O
y
x
B ．
O
y
x
C ．
O
y
x
D ．
O
11．若
展开式的各项系数之和为32，则
，其展开式中的常数项为
．（用数字作答）
12．如图，函数
的图象是折线段
，其中
的坐标分别为
，
则
；
．（用数字作答）
13．已知函数
，对于
上的任意
，有如下条件：
①
；②
；③
．
其中能使
恒成立的条件序号是 ．
14．某校数学课外小组在坐标纸上，为学校的一块空地设计植树方案如下：第
棵树种植在
点
处，其中
，
，当
时，
表示非负实数
的整数部分，例如
，
．
按此方案，第6 棵树种植点的坐标应为 ；第2008 棵树种植点的坐标应为
．
三、解答题：本大题共6 小题，共80 分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．
15．（本小题共13 分）
已知函数
（
）的最小正周期为
．
（Ⅰ）求
的值；
（Ⅱ）求函数
在区间
上的取值范围．
16．（本小题共14 分）
2
B
C
A
y
x
1
O
3 4 5 6
1
2
3
4
如图，在三棱锥
中，
，
，
，
．
（Ⅰ）求证：
；
（Ⅱ）求二面角
的大小；
（Ⅲ）求点
到平面
的距离．
17．（本小题共13 分）
甲、乙等五名奥运志愿者被随机地分到
四个不同的岗位服务，每个岗位至少
有一名志愿者．
（Ⅰ）求甲、乙两人同时参加
岗位服务的概率；
（Ⅱ）求甲、乙两人不在同一个岗位服务的概率；
（Ⅲ）设随机变量
为这五名志愿者中参加
岗位服务的人数，求
的分布列．
18．（本小题共13 分）
已知函数
，求导函数
，并确定
的单调区间．
19．（本小题共14 分）
已知菱形
的顶点
在椭圆
上，对角线
所在直线的斜率为1．
（Ⅰ）当直线
过点
时，求直线
的方程；
（Ⅱ）当
时，求菱形
面积的最大值．
20．（本小题共13 分）
对于每项均是正整数的数列
，定义变换
，
将数列
变换成数列
．
对于每项均是非负整数的数列
，定义变换
，
将数列
各项从大到小
排列，然后去掉所有为零的项，得到数列
；
又定义
．
A
C
B
P
设
是每项均为正整数的有穷数列，令
．
（Ⅰ）如果数列
为5，3，2，写出数列
；
（Ⅱ）对于每项均是正整数的有穷数列
，证明
；
（Ⅲ）证明：对于任意给定的每项均为正整数的有穷数列
，存在正整数
，当
时，
．
2008 年普通高等学校招生全国统一考试
数学（理工农医类）（北京卷）参考答案
一、选择题（本大题共8 小题，每小题5 分，共40 分）
1．D 2．A 3．B 4．D 5．B 6．C 7．C 8．B
二、填空题（本大题共6 小题，每小题5 分，共30 分）
9．
10．
11．5
10
12．
13．②
14．
三、解答题（本大题共6 小题，共80 分）
15．（共13 分）
解：（Ⅰ）
．
因为函数
的最小正周期为
，且
，
所以
，解得
．
（Ⅱ）由（Ⅰ）得
．
因为
，
所以
，
所以
，
因此
，即
的取值范围为
．
16．（共14 分）
解法一：
（Ⅰ）取
中点
，连结
．
，
．
，
．
，
平面
．
平面
，
．
（Ⅱ）
，
，
．
又
，
．
又
，即
，且
，
平面
．
取
中点
．连结
．
，
．
是
在平面
内的射影，
．
是二面角
的平面角．
在
中，
，
，
，
．
二面角
的大小为
．
（Ⅲ）由（Ⅰ）知
平面
，
平面
平面
．
过
作
，垂足为
．
平面
平面
，
平面
．
的长即为点
到平面
的距离．
A
C
B
D
P
A
C
B
E
P
A
C
B
D
P
H
由（Ⅰ）知
，又
，且
，
平面
．
平面
，
．
在
中，
，
，
．
．
点
到平面
的距离为
．
解法二：
（Ⅰ）
，
，
．
又
，
．
，
平面
．
平面
，
．
（Ⅱ）如图，以
为原点建立空间直角坐标系
．
则
．
设
．
，
，
．
取
中点
，连结
．
，
，
，
．
是二面角
的平面角．
，
，
，
．
A
C
B
P
z
x
y
H
E
二面角
的大小为
．
（Ⅲ）
，
在平面
内的射影为正
的中心
，且
的长为点
到平面
的距离．
如（Ⅱ）建立空间直角坐标系
．
，
点
的坐标为
．
．
点
到平面
的距离为
．
17．（共13 分）
解：（Ⅰ）记甲、乙两人同时参加
岗位服务为事件
，那么
，
即甲、乙两人同时参加
岗位服务的概率是
．
（Ⅱ）记甲、乙两人同时参加同一岗位服务为事件
，那么
，
所以，甲、乙两人不在同一岗位服务的概率是
．
（Ⅲ）随机变量
可能取的值为1，2．事件“
”是指有两人同时参加
岗位服务，
则
．
所以
，
的分布列是
1
3
18．（共13 分）
解：
．
令
，得
．
当
，即
时，
的变化情况如下表：
0
当
，即
时，
的变化情况如下表：
0
所以，当
时，函数
在
上单调递减，在
上单调递增，
在
上单调递减．
当
时，函数
在
上单调递减，在
上单调递增，在
上单
调递减．
当
，即
时，
，所以函数
在
上单调递减，在
上
单调递减．
19．（共14 分）
解：（Ⅰ）由题意得直线
的方程为
．
因为四边形
为菱形，所以
．
于是可设直线
的方程为
．
由
得
．
因为
在椭圆上，
所以
，解得
．
设
两点坐标分别为
，
则
，
，
，
．
所以
．
所以
的中点坐标为
．
由四边形
为菱形可知，点
在直线
上，
所以
，解得
．
所以直线
的方程为
，即
．
（Ⅱ）因为四边形
为菱形，且
，
所以
．
所以菱形
的面积
．
由（Ⅰ）可得
，
所以
．
所以当
时，菱形
的面积取得最大值
．
20．（共13 分）
（Ⅰ）解：
，
，
；
，
．
（Ⅱ）证明：设每项均是正整数的有穷数列
为
，
则
为
，
，
，
，
，
从而
．
又
，
所以
，
故
．
（Ⅲ）证明：设
是每项均为非负整数的数列
．
当存在
，使得
时，交换数列
的第项与第
项得到数列
，
则
．
当存在
，使得
时，若记数列
为
，
则
．
所以
．
从而对于任意给定的数列
，由
可知
．
又由（Ⅱ）可知
，所以
．
即对于
，要么有
，要么有
．
因为
是大于2 的整数，所以经过有限步后，必有
．
即存在正整数
，当
时，
．
