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2008 年全国统一高考数学试卷（理科）（全国卷Ⅰ）
一、选择题（共12 小题，每小题5 分，满分60 分）
1．（5 分）函数
的定义域为（ ）
A．{x|x≥0}
B．{x|x≥1}
C．{x|x≥1}∪{0} D．{x|0≤x≤1}
2．（5 分）汽车经过启动、加速行驶、匀速行驶、减速行驶之后停车，若把这一过程
中汽车的行驶路程s 看作时间t 的函数，其图象可能是（ ）
A．
B．
C．
D．
3．（5 分）在△ABC 中，
= ，
= ．若点D 满足
=2
，则
=（ ）
A．
B．
C．
D．
4．（5 分）设a∈R，且（a+i）2i 为正实数，则a=（ ）
A．2
B．1
C．0
D．﹣1
5．（5 分）已知等差数列{an}满足a2+a4=4，a3+a5=10，则它的前10 项的和S10=
（ ）
A．138
B．135
C．95
D．23
6．（5 分）若函数y=f（x）的图象与函数y=ln
的图象关于直线y=x 对称，则f
（x）=（ ）
A．e2x
2
﹣
B．e2x
C．e2x+1
D．e2x+2
7．（5 分）已知曲线y=
在点（3，2）处的切线与直线ax+y+1=0 垂直，则a 的值为
（ ）
A．2
B．
C．﹣
D．﹣2
第1页（共26页）
8．（5 分）为得到函数
的图象，只需将函数y=sin2x 的图象（ ）
A．向左平移
个长度单位
B．向右平移
个长度单位
C．向左平移
个长度单位
D．向右平移
个长度单位
9．
（5 分）设奇函数f（x）在（0，+∞）上为增函数，且f（1）=0，则不等式
＜0 的解集为（ ）
A．（﹣1，0）∪（1，+∞）
B．（﹣∞，﹣1）∪（0，1）
C．（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）
D．（﹣1，0）∪（0，1）
10．（5 分）若直线
=1 与圆x2+y2=1 有公共点，则（ ）
A．a2+b2≤1
B．a2+b2≥1
C．
D．
11．
（5 分）已知三棱柱ABC
A
﹣
1B1C1的侧棱与底面边长都相等，A1在底面ABC 内的
射影为△ABC 的中心，则AB1与底面ABC 所成角的正弦值等于（ ）
A．
B．
C．
D．
12．
（5 分）如图，一环形花坛分成A，B，C，D 四块，现有4 种不同的花供选种，要求
在每块里种1 种花，且相邻的2 块种不同的花，则不同的种法总数为（ ）
A．96
B．84
C．60
D．48
第2页（共26页）
二、填空题（共4 小题，每小题5 分，满分20 分）
13．（5 分）若x，y 满足约束条件
，则z=2x
y
﹣的最大值为 ．
14．（5 分）已知抛物线y=ax2
1
﹣的焦点是坐标原点，则以抛物线与两坐标轴的三
个交点为顶点的三角形面积为 ．
15．（5 分）在△ABC 中，AB=BC，
．若以A，B 为焦点的椭圆经过点C，则
该椭圆的离心率e= ．
16．（5 分）等边三角形ABC 与正方形ABDE 有一公共边AB，二面角C
AB
D
﹣
﹣
的
余弦值为
，M，N 分别是AC，BC 的中点，则EM，AN 所成角的余弦值等于
．
三、解答题（共6 小题，满分70 分）
17．（10 分）设△ABC 的内角A，B，C 所对的边长分别为a，b，c，且acosB
bcosA=
﹣
c．
（Ⅰ）求
的值；
（Ⅱ）求tan（A
B
﹣）的最大值．
18．（12 分）四棱锥A
BCDE
﹣
中，底面BCDE 为矩形，侧面ABC⊥底面BCDE，BC=2，
，AB=AC．
（Ⅰ）证明：AD⊥CE；
（Ⅱ）设CE 与平面ABE 所成的角为45°，求二面角C
AD
E
﹣
﹣的大小．
第3页（共26页）
19．（12 分）已知函数f（x）=
x
﹣2+ax+1
lnx
﹣
．
（Ⅰ）当a=3 时，求函数f（x）的单调递增区间；
（Ⅱ）若f（x）在区间（0，
）上是减函数，求实数a 的取值范围．
20．（12 分）已知5 只动物中有1 只患有某种疾病，需要通过化验血液来确定患病
的动物．血液化验结果呈阳性的即为患病动物，呈阴性即没患病．下面是两种
化验方法：
方案甲：逐个化验，直到能确定患病动物为止．
方案乙：先任取3 只，将它们的血液混在一起化验．若结果呈阳性则表明患病动
物为这3 只中的1 只，然后再逐个化验，直到能确定患病动物为止；若结果呈
阴性则在另外2 只中任取1 只化验．
（Ⅰ）求依方案甲所需化验次数不少于依方案乙所需化验次数的概率；
（Ⅱ）ξ 表示依方案乙所需化验次数，求ξ 的期望．
第4页（共26页）
21．（12 分）双曲线的中心为原点O，焦点在x 轴上，两条渐近线分别为l1，l2，经过
右焦点F 垂直于l1的直线分别交l1，l2于A，B 两点．已知|
|、|
|、|
|成等
差数列，且
与
同向．
（Ⅰ）求双曲线的离心率；
（Ⅱ）设AB 被双曲线所截得的线段的长为4，求双曲线的方程．
22．（12 分）设函数f（x）=x
xlnx
﹣
．数列{an}满足0＜a1＜1，an+1=f（an）．
（Ⅰ）证明：函数f（x）在区间（0，1）是增函数；
（Ⅱ）证明：an＜an+1＜1；
（Ⅲ）设b∈（a1，1），整数
．证明：ak+1＞b．
第5页（共26页）
2008 年全国统一高考数学试卷（理科）（全国卷Ⅰ）
参考答案与试题解析
一、选择题（共12 小题，每小题5 分，满分60 分）
1．（5 分）函数
的定义域为（ ）
A．{x|x≥0}
B．{x|x≥1}
C．{x|x≥1}∪{0} D．{x|0≤x≤1}
【考点】33：函数的定义域及其求法．菁优网版权所有
【分析】偶次开方的被开方数一定非负．x（x
1
﹣）≥0，x≥0，解关于x 的不等式组，
即为函数的定义域．
【解答】解：由x（x
1
﹣）≥0，得x≥1，或x≤0．
又因为x≥0，所以x≥1，或x=0；所以函数的定义域为{x|x≥1}∪{0}
故选：C．
【点评】定义域是高考必考题通常以选择填空的形式出现，通常注意偶次开方一
定非负，分式中分母不能为0，对数函数的真数一定要大于0，指数和对数的底
数大于0 且不等于1．另外还要注意正切函数的定义域．
2．（5 分）汽车经过启动、加速行驶、匀速行驶、减速行驶之后停车，若把这一过程
中汽车的行驶路程s 看作时间t 的函数，其图象可能是（ ）
A．
B．
C．
D．
【考点】3A：函数的图象与图象的变换．菁优网版权所有
第6页（共26页）
【专题】16：压轴题；31：数形结合．
【分析】由已知中汽车经过启动、加速行驶、匀速行驶、减速行驶之后停车，汽车的
行驶路程s 看作时间t 的函数，我们可以根据实际分析函数值S（路程）与自变
量t（时间）之间变化趋势，分析四个答案即可得到结论．
【解答】解：由汽车经过启动后的加速行驶阶段，
路程随时间上升的速度越来越快，
故图象的前边部分为凹升的形状；
在汽车的匀速行驶阶段，
路程随时间上升的速度保持不变
故图象的中间部分为平升的形状；
在汽车减速行驶之后停车阶段，
路程随时间上升的速度越来越慢，
故图象的前边部分为凸升的形状；
分析四个答案中的图象，
只有A 答案满足要求，
故选：A．
【点评】从左向右看图象，如果图象是凸起上升的，表明相应的量增长速度越来越
慢；如果图象是凹陷上升的，表明相应的量增长速度越来越快；如果图象是直
线上升的，表明相应的量增长速度保持不变；如果图象是水平直线，表明相应
的量保持不变，即不增长也不降低；如果图象是凸起下降的，表明相应的量降
低速度越来越快；如果图象是凹陷下降的，表明相应的量降低速度越来越慢；
如果图象是直线下降的，表明相应的量降低速度保持不变．
3．（5 分）在△ABC 中，
= ，
= ．若点D 满足
=2
，则
=（ ）
A．
B．
C．
D．
【考点】9B：向量加减混合运算．菁优网版权所有
【分析】把向量用一组向量来表示，做法是从要求向量的起点出发，尽量沿着已知
向量，走到要求向量的终点，把整个过程写下来，即为所求．本题也可以根据D
第7页（共26页）
点把BC 分成一比二的两部分入手．
【解答】解：∵由
，
∴
，
∴
．
故选：A．
【点评】用一组向量来表示一个向量，是以后解题过程中常见到的，向量的加减运
算是用向量解决问题的基础，要学好运算，才能用向量解决立体几何问题，三
角函数问题，好多问题都是以向量为载体的
4．（5 分）设a∈R，且（a+i）2i 为正实数，则a=（ ）
A．2
B．1
C．0
D．﹣1
【考点】A4：复数的代数表示法及其几何意义．菁优网版权所有
【分析】注意到a+bi（a，b∈R）为正实数的充要条件是a＞0，b=0
【解答】解：（a+i）2i=（a2+2ai
1
﹣）i=
2a
﹣
+（a2
1
﹣）i＞0，a=
1
﹣．故选D．
【点评】本题的计算中，要注意到相应变量的范围．
5．（5 分）已知等差数列{an}满足a2+a4=4，a3+a5=10，则它的前10 项的和S10=
（ ）
A．138
B．135
C．95
D．23
【考点】83：等差数列的性质；85：等差数列的前n 项和．菁优网版权所有
【专题】11：计算题．
【分析】本题考查的知识点是等差数列的性质，及等差数列前n 项和，根据
a2+a4=4，a3+a5=10 我们构造关于基本量（首项及公差）的方程组，解方程组求出
基本量（首项及公差），进而代入前n 项和公式，即可求解．
【解答】解：∵（a3+a5）﹣（a2+a4）=2d=6，
∴d=3，a1=
4
﹣，
∴S10=10a1+
=95．
第8页（共26页）
故选：C．
【点评】在求一个数列的通项公式或前n 项和时，如果可以证明这个数列为等差
数列，或等比数列，则可以求出其基本项（首项与公差或公比）进而根据等差或
等比数列的通项公式，写出该数列的通项公式，如果未知这个数列的类型，则
可以判断它是否与某个等差或等比数列有关，间接求其通项公式．
6．（5 分）若函数y=f（x）的图象与函数y=ln
的图象关于直线y=x 对称，则f
（x ）=（ ）
A．e2x
2
﹣
B．e2x
C．e2x+1
D．e2x+2
【考点】4R：反函数．菁优网版权所有
【专题】11：计算题．
【分析】由函数y=f（x）的图象与函数y=ln
的图象关于直线y=x 对称知这两个
函数互为反函数，故只要求出函数y=f（x）的反函数即可，欲求原函数的反函数，
即从原函数y=ln
中反解出x，后再进行x，y 互换，即得反函数的解析式．
【解答】解：∵
，∴
，∴x=（ey
1
﹣）2=e2y
2
﹣，改写为：y=e2x
2
﹣
∴答案为A．
【点评】本题主要考查了互为反函数图象间的关系及反函数的求法．
7．（5 分）已知曲线y=
在点（3，2）处的切线与直线ax+y+1=0 垂直，则a 的值为
（ ）
A．2
B．
C．﹣
D．﹣2
【考点】6H：利用导数研究曲线上某点切线方程．菁优网版权所有
【专题】53：导数的综合应用．
【分析】求出函数的导数，切线的斜率，由两直线垂直的条件，即可得到a 的值．
【解答】解：∵y=
，
第9页（共26页）
∴y′=
=
，
∴曲线y=
在点（3，2）处的切线的斜率k=﹣
，
∵曲线y=
在点（3，2）处的切线与直线ax+y+1=0 垂直，
∴直线ax+y+1=0 的斜率k′=
a
﹣×
=
1
﹣，即a=
2
﹣．
故选：D．
【点评】本题考查导数的几何意义的求法，考查导数的运算，解题时要认真审题，
仔细解答，注意直线与直线垂直的性质的灵活运用．
8．（5 分）为得到函数
的图象，只需将函数y=sin2x 的图象（ ）
A．向左平移
个长度单位
B．向右平移
个长度单位
C．向左平移
个长度单位
D．向右平移
个长度单位
【考点】HJ：函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．菁优网版权所有
【专题】11：计算题．
【分析】先根据诱导公式将函数
化为正弦的形式，再根据左加右减
的原则进行平移即可得到答案．
【解答】解：∵
，
只需将函数y=sin2x 的图象向左平移
个单位得到函数
的图象．
故选：A．
【点评】本题主要考查诱导公式和三角函数的平移．属基础题．
9．
（5 分）设奇函数f（x）在（0，+∞）上为增函数，且f（1）=0，则不等式
＜0 的解集为（ ）
第10页（共26页）
A．（﹣1，0）∪（1，+∞）
B．（﹣∞，﹣1）∪（0，1）
C．（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）
D．（﹣1，0）∪（0，1）
【考点】3N：奇偶性与单调性的综合．菁优网版权所有
【专题】16：压轴题．
【分析】首先利用奇函数定义与
得出x 与f（x）异号，
然后由奇函数定义求出f（﹣1）=
f
﹣（1）=0，
最后结合f（x）的单调性解出答案．
【解答】解：由奇函数f（x）可知
，即x 与f（x）异号，
而f（1）=0，则f（﹣1）=
f
﹣（1）=0，
又f（x）在（0，+∞）上为增函数，则奇函数f（x）在（﹣∞，0）上也为增函数，
当0＜x＜1 时，f（x）＜f（1）=0，得
＜0，满足；
当x＞1 时，f（x）＞f（1）=0，得
＞0，不满足，舍去；
当﹣1＜x＜0 时，f（x）＞f（﹣1）=0，得
＜0，满足；
当x＜﹣1 时，f（x）＜f（﹣1）=0，得
＞0，不满足，舍去；
所以x 的取值范围是﹣1＜x＜0 或0＜x＜1．
故选：D．
【点评】本题综合考查奇函数定义与它的单调性．
10．（5 分）若直线
=1 与圆x2+y2=1 有公共点，则（ ）
A．a2+b2≤1
B．a2+b2≥1
C．
D．
【考点】J9：直线与圆的位置关系．菁优网版权所有
【分析】用圆心到直线的距离小于或等于半径，可以得到结果．
【解答】解：直线与圆有公共点，即直线与圆相切或相交得：d≤r
第11页（共26页）
，∴
，
故选：D．
【点评】本题考查点到直线的距离公式，直线和圆的位置关系，是基础题．
11．
（5 分）已知三棱柱ABC
A
﹣
1B1C1的侧棱与底面边长都相等，A1在底面ABC 内的
射影为△ABC 的中心，则AB1与底面ABC 所成角的正弦值等于（ ）
A．
B．
C．
D．
【考点】LP：空间中直线与平面之间的位置关系．菁优网版权所有
【专题】11：计算题；31：数形结合；4R：转化法；5G：空间角．
【分析】法一：由题意可知三棱锥A1
ABC
﹣
为正四面体，设棱长为2，求出AB1及三
棱锥的高，由线面角的定义可求出答案；
法二：先求出点A1到底面的距离A1D 的长度，即知点B1到底面的距离B1E 的长度，
再求出AE 的长度，在直角三角形AEB1中求AB1与底面ABC 所成角的正切，再
由同角三角函数的关系求出其正弦．
【解答】解：（法一）因为三棱柱ABC
A
﹣
1B1C1的侧棱与底面边长都相等，A1在底面
ABC 内的射影为△ABC 的中心，设为D，
所以三棱锥A1
ABC
﹣
为正四面体，设棱长为2，
则△AA1B1是顶角为120°等腰三角形，
所以AB1=2×2×sin60°=2
，A1D=
=
，
第12页（共26页）
所以AB1与底面ABC 所成角的正弦值为
=
=
；
（法二）由题意不妨令棱长为2，点B1到底面的距离是B1E，
如图，A1在底面ABC 内的射影为△ABC 的中心，设为D，
故DA=
，
由勾股定理得A1D=
=
故B1E=
，
如图作A1S⊥AB 于中点S，过B1 作AB 的垂线段，垂足为F，
BF=1，B1F=A1S=
，AF=3，
在直角三角形B1AF 中用勾股定理得：AB1=2
，
所以AB1与底面ABC 所成角的正弦值sin∠B1AE=
=
．
故选：B．
【点评】本题考查了几何体的结构特征及线面角的定义，还有点面距与线面距的
转化，考查了转化思想和空间想象能力．
12．
（5 分）如图，一环形花坛分成A，B，C，D 四块，现有4 种不同的花供选种，要求
在每块里种1 种花，且相邻的2 块种不同的花，则不同的种法总数为（ ）
第13页（共26页）
A．96
B．84
C．60
D．48
【考点】C6：等可能事件和等可能事件的概率．菁优网版权所有
【专题】16：压轴题．
【分析】这道题比起前几年出的高考题要简单些，只要分类清楚没有问题，分为三
类：分别种两种花、三种花、四种花，分这三类来列出结果．
【解答】解：分三类：种两种花有A4
2种种法；
种三种花有2A4
3种种法；
种四种花有A4
4种种法．
共有A4
2+2A4
3+A4
4=84．
故选：B．
【点评】本题也可以这样解：按A
B
C
D
﹣﹣﹣
顺序种花，可分A、C 同色与不同色有
4×3×（1×3+2×2）=84．
二、填空题（共4 小题，每小题5 分，满分20 分）
13．（5 分）若x，y 满足约束条件
，则z=2x
y
﹣的最大值为
9
．
【考点】7C：简单线性规划．菁优网版权所有
【专题】11：计算题；13：作图题．
【分析】首先作出可行域，再作出直线l0：y=2x，将l0平移与可行域有公共点，直线
y=2x
z
﹣在y 轴上的截距最小时，z 有最大值，求出此时直线y=2x
z
﹣经过的可
行域内的点的坐标，代入z=2x
y
﹣中即可．
【解答】解：如图，作出可行域，作出直线l0：y=2x，将l0平移至过点A 处时，函数
z=2x
y
﹣有最大值9．
第14页（共26页）
【点评】本题考查线性规划问题，考查数形结合思想．
14．（5 分）已知抛物线y=ax2
1
﹣的焦点是坐标原点，则以抛物线与两坐标轴的三
个交点为顶点的三角形面积为
2
．
【考点】K8：抛物线的性质．菁优网版权所有
【专题】11：计算题．
【分析】先根据抛物线y=ax2
1
﹣的焦点坐标为坐标原点，求得a，得到抛物线方程，
进而可知与坐标轴的交点的坐标，进而可得答案．
【解答】解：由抛物线y=ax2
1
﹣的焦点坐标为
坐标原点得，
，则
与坐标轴的交点为（0，﹣1），（﹣2，0），（2，0）
，则以这三点围成的三角形的面积为
故答案为2
【点评】本题主要考查抛物线的应用．考查了学生综合运用所学知识，解决实际问
题的能力．
15．（5 分）在△ABC 中，AB=BC，
．若以A，B 为焦点的椭圆经过点C，则
该椭圆的离心率e=
．
【考点】K4：椭圆的性质．菁优网版权所有
第15页（共26页）
【专题】11：计算题；16：压轴题．
【分析】设AB=BC=1，
，则
，由此可知
，从而求出该椭圆的离心率．
【解答】解：设AB=BC=1，
，则
，
∴
，
．
答案：
．
【点评】本题考查椭圆的性质及应用，解题时要注意的正确计算．
16．（5 分）等边三角形ABC 与正方形ABDE 有一公共边AB，二面角C
AB
D
﹣
﹣
的
余弦值为
，M，N 分别是AC，BC 的中点，则EM，AN 所成角的余弦值等于
．
【考点】LM：异面直线及其所成的角；MJ：二面角的平面角及求法．菁优网版权所有
【专题】11：计算题；16：压轴题．
【分析】先找出二面角的平面角，建立边之间的等量关系，再利用向量法将所求异
面直线用基底表示，然后利用向量的所成角公式求出所成角即可．
【解答】解：设AB=2，作CO⊥面ABDE，
OH⊥AB ，则CH⊥AB ，∠CHO 为二面角C
AB
D
﹣
﹣
的平面角
，
结合等边三角形ABC 与正方形ABDE 可知此四棱锥为正四棱锥，
则
，
=
第16页（共26页）
故EM，AN 所成角的余弦值
故答案为：
【点评】本小题主要考查异面直线所成的角，考查空间想象能力、运算能力和推理
论证能力，属于基础题．
三、解答题（共6 小题，满分70 分）
17．（10 分）设△ABC 的内角A，B，C 所对的边长分别为a，b，c，且acosB
bcosA=
﹣
c．
（Ⅰ）求
的值；
（Ⅱ）求tan（A
B
﹣）的最大值．
【考点】GP：两角和与差的三角函数；HP：正弦定理．菁优网版权所有
【分析】本题考查的知识点是正弦定理及两角和与差的正切函数，
（Ⅰ）由正弦定理的边角互化，我们可将已知中
，进行转化得到
sinAcosB=4cosAsinB，再利用弦化切的方法即可求
的值．
（Ⅱ）由（Ⅰ）的结论，结合角A，B，C 为△ABC 的内角，我们易得tanA=4tanB＞0，
则tan（A
B
﹣）可化为
，再结合基本不等式即可得到tan（A
B
﹣）的
最大值．
【解答】解：（Ⅰ）在△ABC 中，
，
由正弦定理得
第17页（共26页）
即sinAcosB=4cosAsinB，
则
；
（Ⅱ）由
得
tanA=4tanB＞0
当且仅当
时，等号成立，
故当
时，
tan（A
B
﹣）的最大值为
．
【点评】在解三角形时，正弦定理和余弦定理是最常用的方法，正弦定理多用于边
角互化，使用时要注意一般是等式两边是关于三边的齐次式．
18．（12 分）四棱锥A
BCDE
﹣
中，底面BCDE 为矩形，侧面ABC⊥底面BCDE，BC=2，
，AB=AC．
（Ⅰ）证明：AD⊥CE；
（Ⅱ）设CE 与平面ABE 所成的角为45°，求二面角C
AD
E
﹣
﹣的大小．
【考点】LY：平面与平面垂直；MJ：二面角的平面角及求法．菁优网版权所有
【专题】5F：空间位置关系与距离．
【分析】（1）取BC 中点F，证明CE⊥面ADF，通过证明线面垂直来达到证明线线垂
直的目的．
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（2）在面AED 内过点E 作AD 的垂线，垂足为G，由（1）知，CE⊥AD，则∠CGE 即为
所求二面角的平面角，△CGE 中，使用余弦定理求出此角的大小．
【解答】解：（1）取BC 中点F，连接DF 交CE 于点O，
∵AB=AC，∴AF⊥BC．
又面ABC⊥面BCDE，∴AF⊥面BCDE，∴AF⊥CE．
再根据
，可得∠CED=∠FDC．
又∠CDE=90°，∴∠OED+∠ODE=90°，
∴∠DOE=90°，即CE⊥DF，∴CE⊥面ADF，∴CE⊥AD．
（2）在面ACD 内过C 点作AD 的垂线，垂足为G．
∵CG⊥AD，CE⊥AD，∴AD⊥面CEG，∴EG⊥AD，
则∠CGE 即为所求二面角的平面角．
作CH⊥AB，H 为垂足．
∵平面ABC⊥平面BCDE，矩形BCDE 中，BE⊥BC，故BE⊥平面ABC，CH⊂平面
ABC，
故BE⊥CH，而AB∩BE=B，故CH⊥平面ABE，
∴∠CEH=45°为CE 与平面ABE 所成的角．
∵CE=
，∴CH=EH=
．
直角三角形CBH 中，利用勾股定理求得BH=
=
=1，∴AH=AB﹣
BH=AC
1
﹣；
直角三角形ACH 中，由勾股定理求得AC2=CH2+AH2=3+（AC
1
﹣）2，∴AB=AC=2．
由面ABC⊥面BCDE，矩形BCDE 中CD⊥CB，可得CD⊥面ABC，
故△ACD 为直角三角形，AD=
=
=
，
故CG=
=
=
，DG=
=
，
，又
，
则
，
第19页（共26页）
∴
，
即二面角C
AD
E
﹣
﹣的大小
．
【点评】本题主要考查通过证明线面垂直来证明线线垂直的方法，以及求二面角
的大小的方法，属于中档题．
19．（12 分）已知函数f（x）=
x
﹣2+ax+1
lnx
﹣
．
（Ⅰ）当a=3 时，求函数f（x）的单调递增区间；
（Ⅱ）若f（x）在区间（0，
）上是减函数，求实数a 的取值范围．
【考点】3D：函数的单调性及单调区间；3E：函数单调性的性质与判断．菁优网版权所有
【专题】16：压轴题．
【分析】（1）求单调区间，先求导，令导函数大于等于0 即可．
（2）已知f（x）在区间（0，）上是减函数，即f′（x）≤0 在区间（0，）上恒成立，然
后用分离参数求最值即可．
【解答】解：（Ⅰ）当a=3 时，f（x）=
x
﹣2+3x+1
lnx
﹣
∴
解f′（x）＞0，
即：2x2
3x
﹣
+1＜0
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函数f（x）的单调递增区间是
．
（Ⅱ）f′（x）=
2x
﹣
+a﹣
，
∵f（x）在
上为减函数，
∴x∈
时﹣2x+a﹣
≤0 恒成立．
即a≤2x+
恒成立．
设
，则
∵x∈
时，
＞4，
∴g′（x）＜0，
∴g（x）在
上递减，
∴g（x）＞g（
）=3，
∴a≤3．
【点评】本题考查函数单调性的判断和已知函数单调性求参数的范围，此类问题
一般用导数解决，综合性较强．
20．（12 分）已知5 只动物中有1 只患有某种疾病，需要通过化验血液来确定患病
的动物．血液化验结果呈阳性的即为患病动物，呈阴性即没患病．下面是两种
化验方法：
方案甲：逐个化验，直到能确定患病动物为止．
方案乙：先任取3 只，将它们的血液混在一起化验．若结果呈阳性则表明患病动
物为这3 只中的1 只，然后再逐个化验，直到能确定患病动物为止；若结果呈
阴性则在另外2 只中任取1 只化验．
（Ⅰ）求依方案甲所需化验次数不少于依方案乙所需化验次数的概率；
（Ⅱ）ξ 表示依方案乙所需化验次数，求ξ 的期望．
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【考点】C6：等可能事件和等可能事件的概率；CH：离散型随机变量的期望与方差．
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【分析】（1）由题意得到这两种方案的化验次数，算出在各个次数下的概率，写出
化验次数的分布列，求出方案甲所需化验次数不少于依方案乙所需化验次数
的概率．
（2）根据上一问乙的化验次数的分布列，利用期望计算公式得到结果．
【解答】解：（Ⅰ）若乙验两次时，有两种可能：
①先验三只结果为阳性，再从中逐个验时，恰好一次验中概率为：
②先验三只结果为阴性，再从其它两只中验出阳性（无论第二次试验中有没有，
均可以在第二次结束）
，
∴乙只用两次的概率为
．
若乙验三次时，只有一种可能：
先验三只结果为阳性，再从中逐个验时，恰好二次验中概率为在三次验出时概率
为
∴甲种方案的次数不少于乙种次数的概率为：
（Ⅱ）ξ 表示依方案乙所需化验次数，
∴ξ 的期望为Eξ=2×0.6+3×0.4=2.4．
【点评】期望是概率论和数理统计的重要概念之一，是反映随机变量取值分布的
特征数，学习期望将为今后学习概率统计知识做铺垫．同时，它在市场预测，经
济统计，风险与决策等领域有着广泛的应用，为今后学习数学及相关学科产生
深远的影响．
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21．（12 分）双曲线的中心为原点O，焦点在x 轴上，两条渐近线分别为l1，l2，经过
右焦点F 垂直于l1的直线分别交l1，l2于A，B 两点．已知|
|、|
|、|
|成等
差数列，且
与
同向．
（Ⅰ）求双曲线的离心率；
（Ⅱ）设AB 被双曲线所截得的线段的长为4，求双曲线的方程．
【考点】KB：双曲线的标准方程；KC：双曲线的性质．菁优网版权所有
【专题】11：计算题；16：压轴题．
【分析】（1）由2 个向量同向，得到渐近线的夹角范围，求出离心率的范围，再用
勾股定理得出直角三角形的2 个直角边的长度比，联想到渐近线的夹角，求出
渐近线的斜率，进而求出离心率．
（2）利用第（1）的结论，设出双曲线的方程，将AB 方程代入，运用根与系数的关
系及弦长公式，求出待定系数，即可求出双曲线方程．
【解答】解：（1）设双曲线方程为
，由
，
同向，
∴渐近线的倾斜角范围为（0，
），
∴渐近线斜率为：
，∴
．
∵|
|、|
|、|
|成等差数列，∴|OB|+|OA|=2|AB|，
∴|AB|2=（|OB|﹣|OA|）（|OB|+|OA|）=（|OB|﹣|OA|）•2|AB|，
∴
，
∴
，
可得：
，而在直角三角形OAB 中，
注意到三角形OAF 也为直角三角形，即tan∠AOB=
，
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而由对称性可知：OA 的斜率为k=tan
，
∴
，∴2k2+3k
2=0
﹣
，∴
；
∴
，∴
，∴
．
（2）由第（1）知，a=2b，可设双曲线方程为
﹣
=1，∴c=
b．
由于AB 的倾斜角为
+
∠AOB，故AB 的斜率为tan（
+
∠AOB ）=
cot
﹣
（
∠AOB）=
2
﹣，
∴AB 的直线方程为 y=
2
﹣（x﹣
b），代入双曲线方程得：15x2
32
﹣
bx+84b2=0，
∴x1+x2=
，x1•x2=
，
∴4=
•
=
•
，即16=
﹣
112b2，
∴b2=9，所求双曲线方程为：
﹣
=1．
【点评】做到边做边看，从而发现题中的巧妙，如据
，联想到对应的是2 渐
近线的夹角的正切值，属于中档题．
22．（12 分）设函数f（x）=x
xlnx
﹣
．数列{an}满足0＜a1＜1，an+1=f（an）．
（Ⅰ）证明：函数f（x）在区间（0，1）是增函数；
（Ⅱ）证明：an＜an+1＜1；
（Ⅲ）设b∈（a1，1），整数
．证明：ak+1＞b．
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【考点】6B：利用导数研究函数的单调性；RG：数学归纳法．菁优网版权所有
【专题】16：压轴题．
【分析】（1）首先求出函数的导数，然后令f′（x）=0，解出函数的极值点，最后根据
导数判断函数在区间（0，1）上的单调性，从而
进行证明．
（2）由题意数列{an}满足0＜a1＜1，an+1=f（an），求出an+1=an
a
﹣
nlnan，然后利用归纳
法进行证明；
（3）由题意f（x）=x
xlnx
﹣
，an+1=f（an）可得ak+1=ak
b
a
﹣﹣
k，然后进行讨论求解．
【解答】解：（Ⅰ）证明：∵f（x）=x
xlnx
﹣
，
∴f′（x）=
lnx
﹣
，
当x∈（0，1）时，f′（x）=
lnx
﹣
＞0
故函数f（x）在区间（0，1）上是增函数；
（Ⅱ）证明：（用数学归纳法）
（i）当n=1 时，0＜a1＜1，a1lna1＜0，
a2=f（a1）=a1
a
﹣
1lna1＞a1，
∵函数f（x）在区间（0，1）是增函数且函数f（x）在x=1 处连续，
∴f（x）在区间（0，1]是增函数，
a2=f（a1）=a1
a
﹣
1lna1＜1，即a1＜a2＜1 成立，
（ⅱ）假设当x=k（k∈N+）时，ak＜ak+1＜1 成立，
即0＜a1≤ak＜ak+1＜1，
那么当n=k+1 时，由f（x）在区间（0，1]是增函数，0＜a1≤ak＜ak+1＜1，
得f（ak）＜f（ak+1）＜f（1），
而an+1=f（an），
则ak+1=f（ak），ak+2=f（ak+1），ak+1＜ak+2＜1，
也就是说当n=k+1 时，an＜an+1＜1 也成立，
根据（ⅰ）、（ⅱ）可得对任意的正整数n，an＜an+1＜1 恒成立．
（Ⅲ）证明：由f（x）=x
xlnx
﹣
，an+1=f（an）可得
ak+1=ak
a
﹣
klnak=
，
1）若存在某i≤k，满足ai≤b，则由（Ⅱ）知：ak+1
b
﹣＞ai
b
﹣≥0，
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2 ）若对任意i≤k ，都有ai ＞b ，则ak+1=ak
a
﹣
klnak=
=
≥a1
b
﹣
1
ka
﹣
1lnb=0，
即ak+1＞b 成立．
【点评】此题主要考查多项式函数的导数，函数单调性的判定，函数最值，函数、方
程与不等式等基础知识及数学归纳法的应用，一般出题者喜欢考查学生的运
算求解能力、推理论证能力及分析与解决问题的能力，要出学生会用数形结合
的思想、分类与整合思想，化归与转化思想、有限与无限的思想来解决问题．
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