文档文本内容
2008 年全国统一高考数学试卷（理科）（全国卷Ⅱ）
一、选择题（共12 小题，每小题5 分，满分60 分）
1．（5 分）设集合M={m∈Z|
3
﹣＜m＜2}，N={n∈Z|
1
﹣≤n≤3}，则M∩N=（ ）
A．{0，1}
B．{
1
﹣，0，1}
C．{0，1，2}
D．{
1
﹣，0，1，2}
2．（5 分）设a，b∈R 且b≠0，若复数（a+bi）3是实数，则（ ）
A．b2=3a2
B．a2=3b2
C．b2=9a2
D．a2=9b2
3．（5 分）函数f（x）=
x
﹣的图象关于（ ）
A．y 轴对称
B．直线y=
x
﹣对称C．坐标原点对称
D．直线y=x 对称
4．（5 分）若x∈（e
1
﹣，1），a=lnx，b=2lnx，c=ln3x，则（ ）
A．a＜b＜c
B．c＜a＜b
C．b＜a＜c
D．b＜c＜a
5．（5 分）设变量x，y 满足约束条件：
，则z=x
3y
﹣
的最小值（ ）
A．﹣2
B．﹣4
C．﹣6
D．﹣8
6．
（5 分）从20 名男同学，10 名女同学中任选3 名参加体能测试，则选到的3 名同学中既有男同学又
有女同学的概率为（ ）
A．
B．
C．
D．
7．（5 分）（1﹣
）6（1+
）4的展开式中x 的系数是（ ）
A．﹣4
B．﹣3
C．3
D．4
8．（5 分）若动直线x=a 与函数f（x）=sinx 和g（x）=cosx 的图象分别交于M，N 两点，则|MN|的最大值
为（ ）
A．1
B．
C．
D．2
9．（5 分）设a＞1，则双曲线
的离心率e 的取值范围是（ ）
A．
B．
C．（2，5）
D．
10．（5 分）已知正四棱锥S
ABCD
﹣
的侧棱长与底面边长都相等，E 是SB 的中点，则AE、SD 所成的角
的余弦值为（ ）
A．
B．
C．
D．
11．（5 分）等腰三角形两腰所在直线的方程分别为x+y
2=0
﹣
与x
7y
4=0
﹣
﹣
，原点在等腰三角形的底
边上，则底边所在直线的斜率为（ ）
A．3
B．2
C．
D．
12．（5 分）已知球的半径为2，相互垂直的两个平面分别截球面得两个圆，若两圆的公共弦长为2，
则两圆的圆心距等于（ ）
A．1
B．
C．
D．2
二、填空题（共4 小题，每小题5 分，满分20 分）
13．（5 分）设向量
，若向量
与向量
共线，则λ= ．
14．（5 分）设曲线y=eax在点（0，1）处的切线与直线x+2y+1=0 垂直，则a= ．
15．
（5 分）已知F 是抛物线C：y2=4x 的焦点，过F 且斜率为1 的直线交C 于A，B 两点．设|FA|＞|FB|，
则|FA|与|FB|的比值等于 ．
16．（5 分）平面内的一个四边形为平行四边形的充要条件有多个，如两组对边分别平行，类似地，写
出空间中的一个四棱柱为平行六面体的两个充要条件：
充要条件① ；
充要条件② ．
（写出你认为正确的两个充要条件）
三、解答题（共6 小题，满分70 分）
17．（10 分）在△ABC 中，cosB=﹣
，cosC=
．
（1）求sinA 的值
（2）设△ABC 的面积S△ABC=
，求BC 的长．
第1页（共12页）
18．（12 分）购买某种保险，每个投保人每年度向保险公司交纳保费a 元，若投保人在购买保险的一
年度内出险，则可以获得10 000 元的赔偿金．假定在一年度内有10 000 人购买了这种保险，且各投
保人是否出险相互独立．已知保险公司在一年度内至少支付赔偿金10 000 元的概率为1
0.999
﹣
．
（Ⅰ）求一投保人在一年度内出险的概率p；
（Ⅱ）设保险公司开办该项险种业务除赔偿金外的成本为50 000 元，为保证盈利的期望不小于0，求
每位投保人应交纳的最低保费（单位：元）．
19．（12 分）如图，正四棱柱ABCD
A
﹣
1B1C1D1中，AA1=2AB=4，点E 在CC1上且C1E=3EC．
（Ⅰ）证明：A1C⊥平面BED；
（Ⅱ）求二面角A1
DE
B
﹣
﹣的大小．
20．（12 分）设数列{an}的前n 项和为Sn．已知a1=a，an+1=Sn+3n，n∈N*．
（Ⅰ）设bn=Sn
3
﹣
n，求数列{bn}的通项公式；
（Ⅱ）若an+1≥an，n∈N*，求a 的取值范围．
21．（12 分）设椭圆中心在坐标原点，A（2，0），B（0，1）是它的两个顶点，直线y=kx（k＞0）与AB 相交
于点D，与椭圆相交于E、F 两点．
（Ⅰ）若
，求k 的值；
（Ⅱ）求四边形AEBF 面积的最大值．
22．（12 分）设函数
．
（Ⅰ）求f（x）的单调区间；
（Ⅱ）如果对任何x≥0，都有f（x）≤ax，求a 的取值范围．
第2页（共12页）
2008 年全国统一高考数学试卷（理科）（全国卷Ⅱ）
参考答案与试题解析
一、选择题（共12 小题，每小题5 分，满分60 分）
1．（5 分）设集合M={m∈Z|
3
﹣＜m＜2}，N={n∈Z|
1
﹣≤n≤3}，则M∩N=（ ）
A．{0，1}
B．{
1
﹣，0，1}
C．{0，1，2}
D．{
1
﹣，0，1，2}
【考点】1E：交集及其运算．菁优网版权所有
【分析】由题意知集合M={m∈z|
3
﹣＜m＜2}，N={n∈z|
1
﹣≤n≤3}，然后根据交集的定义和运算法
则进行计算．
【解答】解：∵M={
2
﹣，﹣1，0，1}，N={
1
﹣，0，1，2，3}，
∴M∩N={
1
﹣，0，1}，
故选：B．
【点评】此题主要考查集合和交集的定义及其运算法则，是一道比较基础的题．
2．（5 分）设a，b∈R 且b≠0，若复数（a+bi）3是实数，则（ ）
A．b2=3a2
B．a2=3b2
C．b2=9a2
D．a2=9b2
【考点】A5：复数的运算．菁优网版权所有
【分析】复数展开，化为a+bi（a、b∈R）的形式，虚部为0 即可．
【解答】解：（a+bi）3=a3+3a2bi
3ab
﹣
2
b
﹣
3i=（a3
3ab
﹣
2）+（3a2b
b
﹣
3）i，因是实数且b≠0，所以3a2b﹣
b3=0⇒b2=3a2
故选：A．
【点评】本题考查复数的基本运算，是基础题．
3．（5 分）函数f（x）=
x
﹣的图象关于（ ）
A．y 轴对称
B．直线y=
x
﹣对称C．坐标原点对称
D．直线y=x 对称
【考点】3M：奇偶函数图象的对称性．菁优网版权所有
【分析】根据函数f（x）的奇偶性即可得到答案．
【解答】解：∵f（﹣x）=﹣
+x=
f
﹣（x）
∴
是奇函数，所以f（x）的图象关于原点对称
故选：C．
【点评】本题主要考查函数奇偶性的性质，是高考必考题型．
4．（5 分）若x∈（e
1
﹣，1），a=lnx，b=2lnx，c=ln3x，则（ ）
A．a＜b＜c
B．c＜a＜b
C．b＜a＜c
D．b＜c＜a
【考点】4M：对数值大小的比较．菁优网版权所有
【分析】根据函数的单调性，求a 的范围，用比较法，比较a、b 和a、c 的大小．
【解答】解：因为a=lnx 在（0，+∞）上单调递增，
故当x∈（e
1
﹣，1）时，a∈（﹣1，0），
于是b
a=2lnx
lnx=lnx
﹣
﹣
＜0，从而b＜a．
又a
c=lnx
ln
﹣
﹣
3x=a（1+a）（1
a
﹣）＜0，从而a＜c．
综上所述，b＜a＜c．
故选：C．
【点评】对数值的大小，一般要用对数的性质，比较法，以及0 或1 的应用，本题是基础题．
5．（5 分）设变量x，y 满足约束条件：
，则z=x
3y
﹣
的最小值（ ）
A．﹣2
B．﹣4
C．﹣6
D．﹣8
第3页（共12页）
【考点】7C：简单线性规划．菁优网版权所有
【专题】11：计算题．
【分析】我们先画出满足约束条件：
的平面区域，求出平面区域的各角点，然后将角点坐标
代入目标函数，比较后，即可得到目标函数z=x
3y
﹣
的最小值．
【解答】解：根据题意，画出可行域与目标函数线如图所示，
由图可知目标函数在点（﹣2，2）取最小值﹣8
故选：D．
【点评】用图解法解决线性规划问题时，分析题目的已知条件，找出约束条件和目标函数是关键，可
先将题目中的量分类、列出表格，理清头绪，然后列出不等式组（方程组）寻求约束条件，并就题
目所述找出目标函数．然后将可行域各角点的值一一代入，最后比较，即可得到目标函数的最优
解．
6．
（5 分）从20 名男同学，10 名女同学中任选3 名参加体能测试，则选到的3 名同学中既有男同学又
有女同学的概率为（ ）
A．
B．
C．
D．
【考点】C6：等可能事件和等可能事件的概率．菁优网版权所有
【分析】由题意知本题是一个古典概型，试验发生的所有事件从30 名同学中任选3 名参加体能测试
共有C30
3 种结果，而满足条件的事件是选到的3 名同学中既有男同学又有女同学共有
C20
1C10
2+C20
2C10
1种结果．代入公式得到结果．
【解答】解：由题意知本题是一个古典概型，
∵试验发生的所有事件从30 名同学中任选3 名参加体能测试共有C30
3种结果，
满足条件的事件是选到的3 名同学中既有男同学又有女同学共有C20
1C10
2+C20
2C10
1种结果，
∴由古典概型公式得到
，
故选：D．
【点评】本题考查的是古典概型，可以从它的对立事件来考虑，概率教学的核心问题是让学生了解随
机现象与概率的意义，加强与实际生活的联系，以科学的态度评价身边的一些随机现象．
7．（5 分）（1﹣
）6（1+
）4的展开式中x 的系数是（ ）
A．﹣4
B．﹣3
C．3
D．4
【考点】DA：二项式定理．菁优网版权所有
【专题】11：计算题．
【分析】展开式中x 的系数由三部分和组成：
的常数项与
展开式的x 的系数积；
的展开式的x 的系数与
的常数项的积；
的
的系数与
的
的系数积．利用二项展开式的通项求得各项系数．
【解答】解：
的展开式的通项为
∴
展开式中常数项为C6
0，含x 的项的系数为C6
2，含
的项的系数为﹣C6
1
的展开式的通项为
第4页（共12页）
∴
的展开式中的x 的系数为C4
2，常数项为C4
0，含
的项的系数为C4
1
故
的展开式中x 的系数是
C6
0C4
2+C6
2C4
0
C
﹣
6
1C4
1=6+15
24=
3
﹣
﹣
故选：B．
【点评】本题考查二项展开式的通项公式是解决二项展开式的特定项问题的工具．
8．（5 分）若动直线x=a 与函数f（x）=sinx 和g（x）=cosx 的图象分别交于M，N 两点，则|MN|的最大值
为（ ）
A．1
B．
C．
D．2
【考点】H2：正弦函数的图象；H7：余弦函数的图象．菁优网版权所有
【分析】可令F（x）=|sinx
cosx
﹣
|求其最大值即可．
【解答】解：由题意知：f（x）=sinx、g（x）=cosx
令F（x）=|sinx
cosx
﹣
|=
|sin（x﹣
）|
当x﹣
=
+kπ，x=
+kπ，即当a=
+kπ 时，函数F（x）取到最大值
故选：B．
【点评】本题主要考查三角函数的图象和函数解析式的关系．属基础题．
9．（5 分）设a＞1，则双曲线
的离心率e 的取值范围是（ ）
A．
B．
C．（2，5）
D．
【考点】KC：双曲线的性质．菁优网版权所有
【专题】11：计算题．
【分析】根据题设条件可知：
，然后由实数a 的取值范围可以求出
离心率e 的取值范围．
【解答】解：
，
因为
是减函数，所以当a＞1 时
，
所以2＜e2＜5，即
，
故选：B．
【点评】本题的高考考点是解析几何与函数的交汇点，解题时要注意双曲线性质的灵活运用．
10．（5 分）已知正四棱锥S
ABCD
﹣
的侧棱长与底面边长都相等，E 是SB 的中点，则AE、SD 所成的角
的余弦值为（ ）
A．
B．
C．
D．
【考点】LM：异面直线及其所成的角．菁优网版权所有
【专题】11：计算题；35：转化思想．
【分析】由于是正方体，又是求角问题，所以易选用向量量，所以建立如图所示坐标系，先求得相关点
的坐标，进而求得相关向量的坐标，最后用向量夹角公式求解．
【解答】解：建立如图所示坐标系，
令正四棱锥的棱长为2，则A（1，﹣1，0），D（﹣1，﹣1，0），
S（0，0，
），E
，
=
，
=（﹣1，﹣1，﹣
）
∴cos＜
＞=
第5页（共12页）
故选：C．
【点评】本题主要考查多面体的结构特征和空间角的求法，同时，还考查了转化思想和运算能力，属
中档题．
11．（5 分）等腰三角形两腰所在直线的方程分别为x+y
2=0
﹣
与x
7y
4=0
﹣
﹣
，原点在等腰三角形的底
边上，则底边所在直线的斜率为（ ）
A．3
B．2
C．
D．
【考点】IQ：与直线关于点、直线对称的直线方程．菁优网版权所有
【专题】16：压轴题．
【分析】利用原点在等腰三角形的底边上，可设底边方程y=kx，用到角公式，再借助草图，选项判定结
果即可．
【解答】解：l1：x+y
2=0
﹣
，k1=
1
﹣，
，设底边为l3：y=kx
由题意，l3到l1所成的角等于l2到l3所成的角于是有
，解得k=3 或k=﹣
，
因为原点在等腰三角形的底边上，所以k=3．
k=
，原点不在等腰三角形的底边上（舍去），
故选：A．
【点评】两直线成角的概念及公式；本题是由教材的一个例题改编而成．（人教版P49 例7）解题过程
值得学习．
12．（5 分）已知球的半径为2，相互垂直的两个平面分别截球面得两个圆，若两圆的公共弦长为2，
则两圆的圆心距等于（ ）
A．1
B．
C．
D．2
【考点】LG：球的体积和表面积．菁优网版权所有
【专题】11：计算题；5F：空间位置关系与距离．
【分析】求解本题，可以从三个圆心上找关系，构建矩形利用对角线相等即可求解出答案．
【解答】解：设两圆的圆心分别为O1、O2，球心为O，公共弦为AB，其中点为E，则OO1EO2为矩形，
于是对角线O1O2=OE，而OE=
=
，
∴O1O2=
故选：C．
【点评】本题考查球的有关概念，两平面垂直的性质，是基础题．
二、填空题（共4 小题，每小题5 分，满分20 分）
13．（5 分）设向量
，若向量
与向量
共线，则λ=
2
．
【考点】96：平行向量（共线）．菁优网版权所有
【分析】用向量共线的充要条件：它们的坐标交叉相乘相等列方程解．
第6页（共12页）
【解答】解：∵a=（1，2），b=（2，3），
∴λa+b=（λ，2λ）+（2，3）=（λ+2，2λ+3）．
∵向量λa+b 与向量c=（﹣4，﹣7）共线，
∴﹣7（λ+2）+4（2λ+3）=0，
∴λ=2．
故答案为2
【点评】考查两向量共线的充要条件．
14．（5 分）设曲线y=eax在点（0，1）处的切线与直线x+2y+1=0 垂直，则a=
2
．
【考点】6H：利用导数研究曲线上某点切线方程．菁优网版权所有
【专题】11：计算题．
【分析】根据导数的几何意义求出函数f（x）在x=0 处的导数，从而求出切线的斜率，再根据两直线垂
直建立等式关系，解之即可．
【解答】解：∵y=eax∴y′=aeax
∴曲线y=eax在点（0，1）处的切线方程是y
1=a
﹣
（x
0
﹣），即ax
y
﹣+1=0
∵直线ax
y
﹣+1=0 与直线x+2y+1=0 垂直
∴﹣
a=
1
﹣，即a=2．
故答案为：2
【点评】本题主要考查了利用导数研究曲线上某点切线方程，以及两直线垂直的应用等有关问题，属
于基础题．
15．
（5 分）已知F 是抛物线C：y2=4x 的焦点，过F 且斜率为1 的直线交C 于A，B 两点．设|FA|＞|FB|，
则|FA|与|FB|的比值等于
．
【考点】K8：抛物线的性质．菁优网版权所有
【专题】11：计算题；16：压轴题．
【分析】先设点A，B 的坐标，求出直线方程后与抛物线方程联立消去y 得到关于x 的一元二次方程，
求出两根，再由抛物线的定义得到答案．
【解答】解：设A（x1，y1）B（x2，y2）
由
，
，（x1＞x2）
∴由抛物线的定义知
故答案为：
【点评】本题主要考查直线与抛物线的位置关系，抛物线定义的应用
16．（5 分）平面内的一个四边形为平行四边形的充要条件有多个，如两组对边分别平行，类似地，写
出空间中的一个四棱柱为平行六面体的两个充要条件：
充要条件① 三组对面分别平行的四棱柱为平行六面体 ；
充要条件② 平行六面体的对角线交于一点，并且在交点处互相平分； ．
（写出你认为正确的两个充要条件）
【考点】29：充分条件、必要条件、充要条件；L2：棱柱的结构特征．菁优网版权所有
【专题】16：压轴题；21：阅读型．
【分析】本题考查的知识点是充要条件的定义及棱柱的结构特征及类比推理，由平行六面体与平行
四边形的定义相似，故我们可以类比平行四边形的性质，类比推断平行六面体的性质．
【解答】解：类比平行四边形的性质：两组对边分别平行的四边形为平行四边形，
则我们类比得到：三组对面分别平行的四棱柱为平行六面体．
类比平行四边形的性质：两条对角线互相平分，
则我们类比得到：平行六面体的对角线交于一点，并且在交点处互相平分；
故答案为：三组对面分别平行的四棱柱为平行六面体；平行六面体的对角线交于一点，并且在交点
处互相平分；
【点评】类比推理的一般步骤是：（1）找出两类事物之间的相似性或一致性；（2）用一类事物的性质
去推测另一类事物的性质，得出一个明确的命题（猜想）．
第7页（共12页）
三、解答题（共6 小题，满分70 分）
17．（10 分）在△ABC 中，cosB=﹣
，cosC=
．
（1）求sinA 的值
（2）设△ABC 的面积S△ABC=
，求BC 的长．
【考点】HT：三角形中的几何计算．菁优网版权所有
【专题】11：计算题．
【分析】（Ⅰ）由cosB，cosC 分别求得sinB 和sinC，再通过sinA=sin（B+C），利用两角和公式，进而求得
sinA．
（Ⅱ）由三角形的面积公式及（1）中的sinA，求得AB•AC 的值，再利用正弦定理求得AB，再利用正弦
定理进而求得BC．
【解答】解：（Ⅰ）由
，得
，
由
，得
．
所以
．
（Ⅱ）由
得
，
由（Ⅰ）知
，
故AB×AC=65，
又
，
故
，
．
所以
．
【点评】本题主要考查了正弦定理及三角形的面积公式在解三角形中的应用．属基础题．
18．（12 分）购买某种保险，每个投保人每年度向保险公司交纳保费a 元，若投保人在购买保险的一
年度内出险，则可以获得10 000 元的赔偿金．假定在一年度内有10 000 人购买了这种保险，且各
投保人是否出险相互独立．已知保险公司在一年度内至少支付赔偿金10 000 元的概率为1﹣
0.999
．
（Ⅰ）求一投保人在一年度内出险的概率p；
（Ⅱ）设保险公司开办该项险种业务除赔偿金外的成本为50 000 元，为保证盈利的期望不小于0，求
每位投保人应交纳的最低保费（单位：元）．
【考点】C8：相互独立事件和相互独立事件的概率乘法公式；CH：离散型随机变量的期望与方差．
菁优网版权所有
【专题】11：计算题．
【分析】（1）由题意知各投保人是否出险互相独立，且出险的概率都是p，记投保的10000 人中出险
的人数为ξ，由题意知ξ 服从二项分布一投保人在一年度内出险的对立事件是没有一个人出险．
（2）写出本险种的收入和支出，表示出它的盈利期望，根据为保证盈利的期望不小于0，列出不等式，
解出每位投保人应交纳的最低保费．
【解答】解：由题意知
各投保人是否出险互相独立，且出险的概率都是p，
记投保的10000 人中出险的人数为ξ，
由题意知ξ～B（104，p）．
（Ⅰ）记A 表示事件：保险公司为该险种至少支付10000 元赔偿金，
则发生当且仅当ξ=0，
=1
P
﹣（ξ=0）=1﹣（1
p
﹣）104，
又P（A）=1
0.999
﹣
104，
故p=0.001．
（Ⅱ）该险种总收入为10000a 元，支出是赔偿金总额与成本的和．
支出10000ξ+50000，
盈利η=10000a﹣（10000ξ+50000），
盈利的期望为Eη=10000a
10000Eξ
50000
﹣
﹣
，
第8页（共12页）
由ξ～B（104，10
3
﹣）知，
Eξ=10000×10
3
﹣，
Eη=104a
10
﹣
4Eξ
5
﹣×104=104a
10
﹣
4×104×10
3
﹣
5
﹣×104．
Eη≥0⇔104a
10
﹣
4×10
5
﹣×104≥0⇔a
10
5
﹣
﹣≥0⇔a≥15（元）．
∴每位投保人应交纳的最低保费为15 元．
【点评】解决离散型随机变量分布列问题时，主要依据概率的有关概念和运算，同时还要注意题目中
离散型随机变量服从什么分布，若服从特殊的分布则运算要简单的多．
19．（12 分）如图，正四棱柱ABCD
A
﹣
1B1C1D1中，AA1=2AB=4，点E 在CC1上且C1E=3EC．
（Ⅰ）证明：A1C⊥平面BED；
（Ⅱ）求二面角A1
DE
B
﹣
﹣的大小．
【考点】LW：直线与平面垂直；MJ：二面角的平面角及求法．菁优网版权所有
【专题】14：证明题；15：综合题；35：转化思想．
【分析】法一：（Ⅰ）要证A1C⊥平面BED，只需证明A1C 与平面BED 内两条相交直线BD，EF 都垂直；
（Ⅱ）作GH⊥DE，垂足为H，连接A1H，说明∠A1HG 是二面角A1
DE
B
﹣
﹣的平面角，然后解三角形，求
二面角A1
DE
B
﹣
﹣的大小．
法二：建立空间直角坐标系，（Ⅰ）求出
，证明A1C⊥平面DBE．
（Ⅱ）求出 平面DA1E 和平面DEB 的法向量，求二者的数量积可求二面角A1
DE
B
﹣
﹣的大小．
【解答】解：解法一：
依题设知AB=2，CE=1．
（Ⅰ）连接AC 交BD 于点F，则BD⊥AC．
由三垂线定理知，BD⊥A1C．（3 分）
在平面A1CA 内，连接EF 交A1C 于点G，
由于
，
故Rt△A1AC∽Rt△FCE，∠AA1C=∠CFE，∠CFE 与∠FCA1互余．
于是A1C⊥EF．A1C 与平面BED 内两条相交直线BD，EF 都垂直，
所以A1C⊥平面BED．（6 分）
（Ⅱ）作GH⊥DE，垂足为H，连接A1H．由三垂线定理知A1H⊥DE，
故∠A1HG 是二面角A1
DE
B
﹣
﹣的平面角．（8 分）
，
，
．
，
．
又
，
．
．
所以二面角A1
DE
B
﹣
﹣的大小为
．（（12 分））
解法二：
以D 为坐标原点，射线DA 为x 轴的正半轴，
建立如图所示直角坐标系D
xyz
﹣
．
依题设，B（2，2，0），C（0，2，0），E（0，2，1），A1（2，0，4）．
，
．（3 分）
（Ⅰ）因为
，
，
故A1C⊥BD，A1C⊥DE．
又DB∩DE=D，
所以A1C⊥平面DBE．（6 分）
（Ⅱ）设向量=（x，y，z）是平面DA1E 的法向量，则
，
．
故2y+z=0，2x+4z=0．
令y=1，则z=
2
﹣，x=4，=（4，1，﹣2）．（9 分）
等于二面角A1
DE
B
﹣
﹣的平面角，
第9页（共12页）
所以二面角A1
DE
B
﹣
﹣的大小为
．（12 分）
【点评】本题考查直线与平面垂直的判定，二面角的求法，考查空间想象能力，逻辑思维能力，是中档
题．
20．（12 分）设数列{an}的前n 项和为Sn．已知a1=a，an+1=Sn+3n，n∈N*．
（Ⅰ）设bn=Sn
3
﹣
n，求数列{bn}的通项公式；
（Ⅱ）若an+1≥an，n∈N*，求a 的取值范围．
【考点】81：数列的概念及简单表示法；8H：数列递推式．菁优网版权所有
【专题】11：计算题；16：压轴题．
【分析】（Ⅰ）依题意得Sn+1=2Sn+3n，由此可知Sn+1
3
﹣
n+1=2（Sn
3
﹣
n）．所以bn=Sn
3
﹣
n=（a
3
﹣）2n
1
﹣，
n∈N*．
（Ⅱ）由题设条件知Sn=3n+（a
3
﹣）2n
1
﹣，n∈N*，于是，an=Sn
S
﹣n
1
﹣=
，由此可以求
得a 的取值范围是[
9
﹣，+∞）．
【解答】解：（Ⅰ）依题意，Sn+1
S
﹣n=an+1=Sn+3n，即Sn+1=2Sn+3n，
由此得Sn+1
3
﹣
n+1=2Sn+3n
3
﹣
n+1=2（Sn
3
﹣
n）．（4 分）
因此，所求通项公式为bn=Sn
3
﹣
n=（a
3
﹣）2n
1
﹣，n∈N*．①（6 分）
（Ⅱ）由①知Sn=3n+（a
3
﹣）2n
1
﹣，n∈N*，
于是，当n≥2 时，
an=Sn
S
﹣n
1
﹣=3n+（a
3
﹣）×2n
1
﹣
3
﹣
n
1
﹣﹣（a
3
﹣）×2n
2
﹣=2×3n
1
﹣+（a
3
﹣）2n
2
﹣，
an+1
a
﹣
n=4×3n
1
﹣+（a
3
﹣）2n
2
﹣=
，
当n≥2 时，
⇔a≥﹣9．
又a2=a1+3＞a1．
综上，所求的a 的取值范围是[
9
﹣，+∞）．（12 分）
【点评】本题考查数列的综合运用，解题时要仔细审题，注意挖掘题设中的隐含条件．
21．（12 分）设椭圆中心在坐标原点，A（2，0），B（0，1）是它的两个顶点，直线y=kx（k＞0）与AB 相交
于点D，与椭圆相交于E、F 两点．
（Ⅰ）若
，求k 的值；
（Ⅱ）求四边形AEBF 面积的最大值．
【考点】96：平行向量（共线）；KH：直线与圆锥曲线的综合．菁优网版权所有
【专题】11：计算题；16：压轴题．
【分析】（1）依题可得椭圆的方程，设直线AB，EF 的方程分别为x+2y=2，y=kx，D（x0，kx0），E（x1，kx1），
F（x2，kx2），且x1，x2满足方程（1+4k2）x2=4，进而求得x2的表达式，进而根据
求得x0的表达
式，由D 在AB 上知x0+2kx0=2，进而求得x0的另一个表达式，两个表达式相等求得k．
（Ⅱ）由题设可知|BO|和|AO|的值，设y1=kx1，y2=kx2，进而可表示出四边形AEBF 的面积进而根据基
本不等式的性质求得最大值．
第10页（共12页）
【解答】解：（Ⅰ）依题设得椭圆的方程为
，
直线AB，EF 的方程分别为x+2y=2，y=kx（k＞0）．
如图，设D（x0，kx0），E（x1，kx1），F（x2，kx2），其中x1＜x2，
且x1，x2满足方程（1+4k2）x2=4，
故
．①
由
知x0
x
﹣1=6（x2
x
﹣0），得
；
由D 在AB 上知x0+2kx0=2，得
．
所以
，
化简得24k2
25k
﹣
+6=0，
解得
或
．
（Ⅱ）由题设，|BO|=1，|AO|=2．由（Ⅰ）知，E（x1，kx1），F（x2，kx2），
不妨设y1=kx1，y2=kx2，由①得x2＞0，根据E 与F 关于原点对称可知y2=
y
﹣1＞0，
故四边形AEBF 的面积为S=S△OBE+S△OBF+S△OAE+S△OAF
=
•（﹣y1）
=
=x2+2y2
=
=
=
，
当x2=2y2时，上式取等号．所以S 的最大值为
．
【点评】本题主要考查了直线与圆锥曲线的综合问题．直线与圆锥曲线的综合问题是支撑圆锥曲线
知识体系的重点内容，问题的解决具有入口宽、方法灵活多样等，而不同的解题途径其运算量繁
简差别很大．
22．（12 分）设函数
．
（Ⅰ）求f（x）的单调区间；
（Ⅱ）如果对任何x≥0，都有f（x）≤ax，求a 的取值范围．
【考点】3R：函数恒成立问题；6B：利用导数研究函数的单调性．菁优网版权所有
【专题】11：计算题；16：压轴题．
【分析】（1）先确定函数的定义域然后求导数fˊ（x），在函数的定义域内解不等式fˊ（x）＞0 和fˊ（x）
＜0，求出单调区间．
（2）令g（x）=ax
f
﹣（x），根据导数研究单调性的方法，即转化成研究对任何x≥0，都有g（x）≥0 恒成
立，再利用分类讨论的方法求出a 的范围．
【解答】解：（Ⅰ）
．（2 分）
当
（k∈Z）时，
，即f'（x）＞0；
当
（k∈Z）时，
，即f'（x）＜0．
因此f（x）在每一个区间
（k∈Z）是增函数，f（x）在每一个区间
（k∈Z）是减函数．（6 分）
（Ⅱ）令g（x）=ax
f
﹣（x），则
=
=
．
故当
时，g'（x）≥0．
又g（0）=0，所以当x≥0 时，g（x）≥g（0）=0，即f（x）≤ax．（9 分）
第11页（共12页）
当
时，令h（x）=sinx
3ax
﹣
，则h'（x）=cosx
3a
﹣
．
故当x∈[0，arccos3a）时，h'（x）＞0．
因此h（x）在[0，arccos3a）上单调增加．
故当x∈（0，arccos3a）时，h（x）＞h（0）=0，
即sinx＞3ax．
于是，当x∈（0，arccos3a）时，
．
当a≤0 时，有
．
因此，a 的取值范围是
．（12 分）
【点评】本小题主要考查函数的导数、单调性、不等式等基础知识，考查综合利用数学知识分析问题、
解决问题的能力．
第12页（共12页）
