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2008 年普通高等学校招生全国统一考试(四川卷)
理科数学(非延考卷)
说明：2008 年是四川省高考自主命题的第三年，因突遭特大地震灾害，四川六市
州40 县延考，本卷为非延考卷．
一、选择题：（
）
1．若集合
，
，
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
2．复数
（ ）
A．
4 B．4 C．
4 D．4
3．
（ ）
A．
B．
C．
D．
4．直线
绕原点逆时针旋转
，再向右平移1 个单位后所得的直线为（
）
A．
B．
C．
D．
5．若
，
，则
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
6．从包括甲、乙共10 人中选4 人去参加公益活动，要求甲、乙至少有1 人参加，
则不同的选法有（ ）
A．70 B．112 C．140 D．168
7．已知等比数列
中，
，则该数列前三项和
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
8．设
、
是球
的半径
上的两点，且
，分别过
、
、
作垂直于
的面截球得三个圆，则这三个圆的面积之比为（ ）
A．3：5：6 B．3：6：8 C．5：7：9 D．5：8：9
9．设直线
平面
，过平面
外一点
且与、
都成
角的直线有且只有（
）
A．1 条
B．2 条 C．3 条
D．4 条
10．设
，其中
，则函数
是偶函数的充分必要条件是（
）
A．
B．
C．
D．
11．定义在
上的函数
满足：
，
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
12．设抛物线
的焦点为
，准线与
轴相交于点
，点
在
上且
，则
的面积为（ ）
A．4
B．8
C．16
D．32
二、填空题：（
）
13．
的展开式中
项的系数是
14．已知直线
，圆
，则圆
上各点到直线的
距离的最小值是
15．已知正四棱柱的一条对角线长为
，且与底面所成的角的余弦值为
，则
该正四棱柱的体积是 ．
16．设等差数列
的前
项和为
，
，
，则
的最大值是
.
三、解答题：（
）解答应写出文字说明，证明过程或
演算步骤．
17．求函数
的最大值和最小值．
18．设进入某商场的每一位顾客购买甲商品的概率0.5，购买乙商品的概率为
0.6，且顾客购买甲商品与购买乙商品相互独立，每位顾客间购买商品也相互独
立．
（Ⅰ）求进入商场的1 位顾客购买甲、乙两种商品中的一种的概率；
（Ⅱ）求进入商场的1 位顾客至少购买甲、乙两种商品中的一种的概率；
（Ⅲ）设是进入商场的3 位顾客至少购买甲、乙商品中一种的人数，求的分布列
及期望．
19．如图，面
面
，四边形
与
都是直角梯形，
，
，
．
（Ⅰ）求证：
、
、
、
四点共面；
（Ⅱ）若
，求二面角
的大小．
B
A
C
D
E
F
20．设数列
满足：
．
（Ⅰ）当
时，求证：
是等比数列；
（Ⅱ）求
通项公式．
21．设椭圆
的左、右焦点分别是
、，离心率
，右准
线上的两动点
、
，且
．
（Ⅰ）若
，求
、的值；
（Ⅱ）当
最小时，求证
与
共线．
N
M
O
x
y
1F
2
F
22．已知
是函数
的一个极值点．
（Ⅰ）求
的值；
（Ⅱ）求函数
的单调区间；
（Ⅲ）当直线
与函数
的图像有3 个交点，求
的取值范围．
2008 年普通高等学校招生全国统一考试(四川卷)
理科数学
说明：2008 年是四川省高考自主命题的第三年，因突遭特大地震灾害，四川六市
州40 县延考，本卷为非延考卷．
一、选择题：（
）
1、解析：选B．离散型集合的交并补，送分题．难度为三年来最低，究其原因，盖汶
川地震之故．
2、解析：选A．计算题，无任何陷阱，徒送分耳．2008 四川考生因祸得福．
3、解析：
原式
，
选D．同角三角函数基本关系式，切化弦技巧等，属三角恒等变换范畴，辅以常规
的代数变形．中等生无忧．
4、解析：本题有新意，审题是关键．
旋转
则与原直线垂直，故旋转后斜率为
．再右移1 得
．选A．
本题一考两直线垂直的充要条件，二考平移法则．辅以平几背景之旋转变换．
5 、解析：
，即
，即
，即
；
又由
，得
；
综上，
，即
．选C．本题考到了正弦函数的正负区间．
除三角函数的定义域、值域和最值、单调性、奇偶性、周期性之外，还要记
对称轴、对称中心、正负区间．
3，4，5 题是本卷第一个坡，是中差生需消耗时间的地方．
6、解析：审题后针对题目中的至少二字，首选排除法．
．
选C．本题应注意解题策略．
7、解析：
．由双勾函数
的图象知，
或
，故本题选D．本题主要考查等比数列的相关概念和双勾函数的图象和
性质．以上诸题，基本功扎实的同学耗时不多．
8、解析：由题知，
、是
的三等分点，三个圆的面积之比即为半径的平方之
比．在球的轴载面图中易求得：
，
，故三个圆的半径的平方之比为：
，故本题选D．本题着意考查空间想象能力．
9、解析：所求直线在平面
内的射影必与直线平行，这样的直线只有两条，选
B．本题考查空间角的概念和空间想象能力．
10、解析：本题考查理性思维和综合推理能力．函数
是偶函数，则
，
，故排除A，B．
又
，
，
．选D．此为一般化思路．也可走特
殊化思路，取
，
验证．
11、解析：由
，知
，所以
，
即
是周期函数，
周期为4．所以
．选C．题着意考查抽象函数
的性质．赋值、迭代、构造是解抽象函数问题不可或缺的三招．本题看似艰深，实
为抽象函数问题中的常规题型，优生要笑了．
12、解析：解几常规题压轴，不怕．边读题边画图．
的焦点
，准线
，
．
设
，
由
，
得
，即
．化简得：
，与
联立求解，解得：
，
．
，选B．
本题的难度仅体现在对运算的准确性和快捷性上．
二、填空题：（
）
13、答案：
．
解析：二项式定理再现，难度高于文科。
．
项的系数是
．这是中档略偏难的常规题．中
差生在准确性和快捷性上有缺陷．
14、答案：
．
解析：由数想形，所求最小值＝圆心到到直线的距离－圆的半径．圆心
到直
线
的距离
．故最小值为
．
15、答案：2．
解析：由题意，
，
，
16、答案：4．
解析：由题意，
，即
，
，
．
这是加了包装的线性规划，有意思．建立平面直角坐标系
，画出可行域
（图略），画出目标函数即直线
，由图知，当直线
过可行域内
点时截距最大，此时目标函数取最大值
．本题
明为数列，实为线性规划，着力考查了转化化归和数形结合思想．掌握线性规划
问题＂画－移－求－答＂四步曲，理解线性规划解题程序的实质是根本．这是本
题的命题意图．
因约束条件只有两个，本题也可走不等式路线．设
，由
解得
，∴
，由不等式的性质得：
，即
，
的最大
值是4．
从解题效率来看，不等式路线为佳，尽管命题者的意图为线性规划路线．本题解
题策略的选择至关重要．
三、解答题：（
）解答应写出文字说明，证明过程或
演算步骤．
17、解析：
，
．
解析：
，
．
18、解析：题目这么容易，估计今年的评分标准要偏严了．
（Ⅰ）
（Ⅱ）
（Ⅲ）可取0，1，2，3．
的分布列为
0
1
2
3
0.00
8
0.09
6
0.38
4
0.51
2
．
19、解析：不是会不会的问题，而是熟不熟的问题，答题时间是最大问题．
（Ⅰ）∵面
面
，
∴
面
．
∴以
为原点，以
，
，
所在直线为
轴，
轴，
轴，
建立如图所示的空间直角坐标系
．
不妨设
，
，
，则
，
，
，
，
，
．
∴
，
，∴
，
∴
，
∵
，∴
，
∴
、
、
、
四点共面．
（Ⅱ）设
，则
，∴
，
，
．
设平面
的法向量为
，
由
，得
，
设平面
的法向量为
由
，得
，
由图知，二面角
为锐角，∴其大小为
．
20、解析：由题意，在
中，令
，得
，
．
由
得
两式相减得：
即
…………①
（Ⅰ）当
时，由①知，
于是
又
，所以
是首项为1，公比为2 的等比数列．
（Ⅰ）变：当
时，求
的通项公式．解法如下：
解：当
时，由①知，
两边同时除以
得
∴
是等差数列，公差为
，首项为
∴
∴
（∴
，∴
是等比数列，
首项为1，公比为2）
（Ⅱ）当
时，由（Ⅰ）知，
，即
当
时，由①：
两边同时除以
得
可设
…………②
展开②得
，与
比较，
得
，∴
．
∴
∴
是等比数列，公比为
，首项为
∴
∴
∴
21、解析：数列和解几位列倒数第三和第二，意料之中．开始挤牙膏吧．
（Ⅰ）由已知，
，
．由
，
，∴
．
又
，∴
，
．
∴：
，
，
．
延长
交
于
，记右准线交
轴于
．
∵
，∴
．
由平几知识易证
≌
∴
，
即
，
．
∵
，
∴
，
，
，
．
∴
，
．
（Ⅰ）另解：∵
，∴
，
．
又
联立
，消去
、
得：
，
整理得：
，
．解得
．但解此
方程组要考倒不少人．
（Ⅱ）∵
，∴
．
．
当且仅当
或
时，取等号．此时
取最小值
．
此时
．
∴
与
共线．
（Ⅱ）另解：∵
，∴
，
．
设
，
的斜率分别为
，
．
由
，由
．当且仅当
即
，
时
取等号．
即当
最小时，
，
此时
．
∴
与
共线．
22、解析：似曾相识．通览后三题，找感觉，先熟后生，先易后难，分步得分．本卷
后三难中，压轴题最熟最易入手．
（Ⅰ）
是函数
的一个极值点．
（Ⅱ）由（Ⅰ）
，
．
令
，得
，
．
和
随
的变化情况如下：
增
极大值
减
极小
值
增
的增区间是
，
；减区间是
．
（Ⅲ）由（Ⅱ）知，
在
上单调递增，在
上单调递增，在
上单调
递减．
∴
，
．
又
时，
；
时，
；
可据此画出函数
的草图（图略），由图可知，
当直线
与函数
的图像有3 个交点时，
的取值范围为
．
