文档内容
2008 年普通高等学校招生全国统一考试(四川卷)
理科数学(非延考卷)
说明：2008年是四川省高考自主命题的第三年，因突遭特大地震灾害，四川六
市州40县延考，本卷为非延考卷．
一、选择题：（ ）
1．若集合 ， ， ，则 （ ）
A． B． C． D．
2．复数 （ ）
A． 4 B．4 C． 4 D．4
3． （ ）
A． B． C． D．
4．直线 绕原点逆时针旋转 ，再向右平移1个单位后所得的直线为（
）
A． B． C． D．
5．若 ， ，则 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
6．从包括甲、乙共10人中选4人去参加公益活动，要求甲、乙至少有 1人参
加，则不同的选法有（ ）
A．70 B．112 C．140 D．168
7．已知等比数列 中， ，则该数列前三项和 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
8．设 、 是球 的半径 上的两点，且 ，分别过 、 、
作垂直于 的面截球得三个圆，则这三个圆的面积之比为（ ）
A．3：5：6 B．3：6：8 C．5：7：9 D．5：8：9
9．设直线 平面 ，过平面 外一点 且与 、 都成 角的直线有且只有
（ ）
A．1条 B．2条 C．3条 D．4条
10．设 ，其中 ，则函数 是偶函数的充分必要条件是
（ ）A． B． C． D．
11．定义在 上的函数 满足： ， ，则 （
）
A． B． C． D．
12．设抛物线 的焦点为 ，准线与 轴相交于点 ，点 在 上且
，则 的面积为（ ）
A．4 B．8 C．16 D．32
二、填空题：（ ）
13． 的展开式中 项的系数是
14．已知直线 ，圆 ，则圆 上各点到直线
的距离的最小值是
15．已知正四棱柱的一条对角线长为 ，且与底面所成的角的余弦值为 ，
则该正四棱柱的体积是 ．
16．设等差数列 的前 项和为 ， ， ，则 的最大值是
.
三、解答题：（ ）解答应写出文字说明，证明过
程或演算步骤．
17．求函数 的最大值和最小值．18．设进入某商场的每一位顾客购买甲商品的概率 0.5，购买乙商品的概率为
0.6，且顾客购买甲商品与购买乙商品相互独立，每位顾客间购买商品也相互独
立．
（Ⅰ）求进入商场的1位顾客购买甲、乙两种商品中的一种的概率；
（Ⅱ）求进入商场的1位顾客至少购买甲、乙两种商品中的一种的概率；
（Ⅲ）设 是进入商场的3位顾客至少购买甲、乙商品中一种的人数，求 的分
布列及期望．19．如图，面 面 ，四边形 与 都是直角梯形，
， ， ．
F
（Ⅰ）求证： 、 、 、 四点共面；
（Ⅱ）若 ，求二面角 的大小．
E
A
D
B C20．设数列 满足： ．
（Ⅰ）当 时，求证： 是等比数列；
（Ⅱ）求 通项公式．21．设椭圆 的左、右焦点分别是 、 ，离心率 ，
右准线 上的两动点 、 ，且 ．
M
（Ⅰ）若 ，求 、 的值；
x
（Ⅱ）当 最小时，求证 与 共线．
F O F
1 2
N22．已知 是函数 的一个极值点．
（Ⅰ）求 的值；
（Ⅱ）求函数 的单调区间；
（Ⅲ）当直线 与函数 的图像有3个交点，求 的取值范围．2008 年普通高等学校招生全国统一考试(四川卷)
理科数学
说明：2008年是四川省高考自主命题的第三年，因突遭特大地震灾害，四川六
市州40县延考，本卷为非延考卷．
一、选择题：（ ）
1、解析：选B．离散型集合的交并补，送分题．难度为三年来最低，究其原因，
盖汶川地震之故．
2、解析：选A．计算题，无任何陷阱，徒送分耳．2008四川考生因祸得福．
3、解析：
原式
，
选D．同角三角函数基本关系式，切化弦技巧等，属三角恒等变换范畴，辅以
常规的代数变形．中等生无忧．
4、解析：本题有新意，审题是关键．
旋转 则与原直线垂直，故旋转后斜率为 ．再右移1得 ．选
A．
本题一考两直线垂直的充要条件，二考平移法则．辅以平几背景之旋转变换．
5 、 解 析 ： ， 即 ， 即 ， 即
；
又由 ，得 ；
综上， ，即 ．选C．本题考到了正弦函数的正负
区间．除三角函数的定义域、值域和最值、单调性、奇偶性、周期性之外，还
要记对称轴、对称中心、正负区间．
3，4，5题是本卷第一个坡，是中差生需消耗时间的地方．
6 、 解 析 ： 审 题 后 针 对 题 目 中 的 至 少 二 字 ， 首 选 排 除 法 ．
．选C．本题应注意解题策略．
7、解析： ．由双勾函数 的图象知， 或
，故本题选D．本题主要考查等比数列的相关概念和双勾函数的图象
和性质．以上诸题，基本功扎实的同学耗时不多．
8、解析：由题知， 、 是 的三等分点，三个圆的面积之比即为半径的
平方之比．在球的轴载面图中易求得：
， ， 故 三 个 圆 的 半 径 的 平 方 之 比 为 ：
，故本题选D．本题着意考查空间想象能力．
9、解析：所求直线在平面 内的射影必与直线 平行，这样的直线只有两条，
选B．本题考查空间角的概念和空间想象能力．
10、解析：本题考查理性思维和综合推理能力．函数 是偶函数，则
， ，故排除A，B．
又 ， ， ．选D．此为一般化思路．也可
走特殊化思路，取 ， 验证．
11 、 解 析 ： 由 ， 知 ， 所 以
，即 是周期函数，
周期为 4．所以 ．选C．题着意考查抽象
函数的性质．赋值、迭代、构造是解抽象函数问题不可或缺的三招．本题看似艰深，实为抽象函数问题中的常规题型，优生要笑了．
12、解析：解几常规题压轴，不怕．边读题边画图． 的焦点 ，准
线 ， ． 设 ， 由 ， 得
，即 ．化简得：
， 与 联 立 求 解 ， 解 得 ： ， ．
，选B．
本题的难度仅体现在对运算的准确性和快捷性上．
二、填空题：（ ）
13、答案： ．
解析：二项式定理再现，难度高于文科。
．
项的系数是 ．这是中档略偏难的常规题．
中差生在准确性和快捷性上有缺陷．
14、答案： ．
解析：由数想形，所求最小值＝圆心到到直线的距离－圆的半径．圆心 到
直线 的距离 ．故最小值为 ．
15、答案：2．
解析：由题意， ， ，
16、答案：4．
解析：由题意， ，即 ， ，
．这是加了包装的线性规划，有意思．建立平面直角坐标系 ，画出可行
域 （图略），画出目标函数即直线 ，由图知，当直线
过可行域内 点时截距最大，此时目标函数取最大值 ．本
题明为数列，实为线性规划，着力考查了转化化归和数形结合思想．掌握线性
规划问题＂画－移－求－答＂四步曲，理解线性规划解题程序的实质是根本．
这是本题的命题意图．
因约束条件只有两个，本题也可走不等式路线．设
，由 解得 ，∴
，由不等式的性质得：
，即 ， 的最
大值是4．
从解题效率来看，不等式路线为佳，尽管命题者的意图为线性规划路线．本题
解题策略的选择至关重要．
三、解答题：（ ）解答应写出文字说明，证明过
程或演算步骤．
17、解析：
， ．
解析：， ．
18、解析：题目这么容易，估计今年的评分标准要偏严了．
（Ⅰ）
（Ⅱ）
（Ⅲ） 可取0，1，2，3．
的分布列为
0 1 2 3
0.00 0.09 0.38 0.51
8 6 4 2
．
19、解析：不是会不会的问题，而是熟不熟的问题，答题时间是最大问题．
（Ⅰ）∵面 面 ，
∴ 面 ．
∴以 为原点，以 ， ， 所在直线为 轴， 轴， 轴，
建立如图所示的空间直角坐标系 ．
不妨设 ， ， ，则， ， ， ， ， ．
∴ ， ，∴ ，
∴ ，
∵ ，∴ ，
∴ 、 、 、 四点共面．
（Ⅱ）设 ，则 ，∴ ， ， ．
设平面 的法向量为 ，
由 ，得 ，
设平面 的法向量为
由 ，得 ，
由图知，二面角 为锐角，∴其大小为 ．
20、解析：由题意，在 中，令 ，得 ，
．
由
得
两式相减得：
即 …………①
（Ⅰ）当 时，由①知，于是
又 ，所以 是首项为1，公比为2的等比数列．
（Ⅰ）变：当 时，求 的通项公式．解法如下：
解：当 时，由①知，
两边同时除以 得
∴ 是等差数列，公差为 ，首项为
∴
∴ （∴ ，∴ 是等比数列，
首项为1，公比为2）
（Ⅱ）当 时，由（Ⅰ）知， ，即
当 时，由①：
两边同时除以 得
可设 …………②
展开②得 ，与 比较，
得 ，∴ ．
∴∴ 是 等 比 数 列 ， 公 比 为 ， 首 项 为
∴
∴
∴
21、解析：数列和解几位列倒数第三和第二，意料之中．开始挤牙膏吧．
（Ⅰ）由已知， ， ．由 ， ，∴ ．
又 ，∴ ， ．
∴ ： ， ， ．
延长 交 于 ，记右准线 交 轴于 ．
∵ ，∴ ．
由平几知识易证 ≌
∴ ，
即 ， ．
∵ ，
∴ ， ， ， ．
∴ ， ．
（Ⅰ）另解：∵ ，∴ ， ．
又联立 ，消去 、 得： ，
整理得： ， ．解得 ．但解
此方程组要考倒不少人．
（Ⅱ）∵ ，∴ ．
．
当且仅当 或 时，取等号．此时 取最小值
．
此时 ．
∴ 与 共线．
（Ⅱ）另解：∵ ，∴ ， ．
设 ， 的斜率分别为 ， ．
由 ，由
．当且仅当 即 ， 时
取等号．
即当 最小时， ，
此时 ．
∴ 与 共线．
22、解析：似曾相识．通览后三题，找感觉，先熟后生，先易后难，分步得分．
本卷后三难中，压轴题最熟最易入手．（Ⅰ）
是函数 的一个极值点．
（Ⅱ）由（Ⅰ） ， ．
令 ，得 ， ．
和 随 的变化情况如下：
极小
增 极大值 减 增
值
的增区间是 ， ；减区间是 ．
（Ⅲ）由（Ⅱ）知， 在 上单调递增，在 上单调递增，在
上单调递减．
∴ ， ．
又 时， ； 时， ；
可据此画出函数 的草图（图略），由图可知，
当直线 与函数 的图像有 3 个交点时， 的取值范围为
．
