文档文本内容
2008 年普通高等学校招生全国统一考试（四川卷）
数 学（文科）及参考答案
本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，第Ⅰ卷第1 至第2 页，第Ⅱ卷第3
至第4 页。全卷满分150 分，考试时间120 分钟。
考生注意事项：
1.
答题前，务必在试题卷、答题卡规定的地方填写自己的座位号、姓名，并认真核对答题卡
上所粘贴的条形码中“座位号、姓名、科类”与本人座位号、姓名、科类是否一致。
2.
答第Ⅰ卷时，每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需
改动、用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
3.
答第Ⅱ卷时，必须用0.5 毫米黑色墨水签字笔在答题卡上书写。在试题卷上作答无效。
4.
考试结束，监考员将试题卷和答题卡一并收回。
参考公式：
如果事件A、B 互斥，那么 球的表面积公式
如果事件A、B 相互独立，那么 其中R 表示球的半径
球的体积公式
如果事件
在一次实验中发生的概率是
，那么
次独立重复实验中事件
恰好发生
次的概率 其中R 表示球的半径
第Ⅰ卷
一．选择题：
１．设集合
，则
( B )
（Ａ）
（Ｂ）
（Ｃ）
（Ｄ）
【解】：∵
∴
又∵
∴
故选B；
２．函数
的反函数是( C )
（Ａ）
（Ｂ）
（Ｃ）
（Ｄ）
【解】：∵由
反解得
∴
从而淘汰（Ｂ）、（Ｄ）
又∵原函数定义域为
∴反函数值域为
故选C；
【考点】：此题重点考察求反函数的方法，考察原函数与反函数的定义域与值域的互换性；
【突破】：反解得解析式，或利用原函数与反函数的定义域与值域的互换对选项进行淘汰；
3．设平面向量
，则
( A )
（Ａ）
（Ｂ）
（Ｃ）
（Ｄ）
【解】：∵
∴
故选C；
【考点】：此题重点考察向量加减、数乘的坐标运算；
【突破】：准确应用向量的坐标运算公式是解题的关键；
4．
( D )
（Ａ）
（Ｂ）
（Ｃ）
（Ｄ）
【解】：∵
故选D；
【点评】：此题重点考察各三角函数的关系；
【突破】：熟悉三角公式，化切为弦；以及注意
；
5．不等式的解集为( A )
（Ａ）
（Ｂ）
（Ｃ）
（Ｄ）
【解】：∵
∴
即
，
，
∴
故选A；
【点评】：此题重点考察绝对值不等式的解法；
【突破】：准确进行不等式的转化去掉绝对值符号为解题的关键，可用公式法，平方法，特值验
证淘汰法；
6．直线
绕原点逆时针旋转
，再向右平移１个单位，所得到的直线为( A )
（Ａ）
（Ｂ）
（Ｃ）
（Ｄ）
【解】：∵直线
绕原点逆时针旋转
的直线为
，从而淘汰（Ｃ），（D）
又∵将
向右平移１个单位得
，即
故选A；
【点评】：此题重点考察互相垂直的直线关系，以及直线平移问题；
【突破】：熟悉互相垂直的直线斜率互为负倒数，过原点的直线无常数项；重视平移方法：“左
加右减”；
7．
的三内角
的对边边长分别为
，若
，则
( B
)
（Ａ）
（Ｂ）
（Ｃ）
（Ｄ）
【解】：∵
中
∴
∴
故选B；
【点评】：此题重点考察解三角形，以及二倍角公式；
【突破】：应用正弦定理进行边角互化，利用三角公式进行角的统一，达到化简的目的；在解三
角形中，利用正余弦定理进行边角转化是解题的基本方法，在三角函数的化简求值中常要重
视角的统一，函数的统一，降次思想的应用。
８．设
是球心
的半径
的中点，分别过
作垂直于
的平面，截球面得两个圆，
则这两个圆的面积比值为：( D )
（Ａ）
（Ｂ）
（Ｃ）
（Ｄ）
【解】：设分别过
作垂线于
的面截球得三个圆的半径为
，球半径为
，
则：
∴
∴这两个圆的面积比值为：
故选D
【点评】：此题重点考察球中截面圆半径，球半径之间的关系；
【突破】：画图数形结合，提高空间想象能力，利用勾股定理；
9．函数
满足
，若
，则
( C )
（Ａ）
（Ｂ）
（Ｃ）
（Ｄ）
【解】：∵
且
∴
，
，
，
，
，
，
∴
，∴
故选C
【点评】：此题重点考察递推关系下的函数求值；
【突破】：此类题的解决方法一般是求出函数解析式后代值，或者得到函数的周期性求解；
10．设直线
平面
，经过
外一点
与
都成
角的直线有且只有：( B )
（Ａ）１条 （Ｂ）２条 （Ｃ）３条 （Ｄ）４条
【解】：如图，当
时，直线
满足条件；
又由图形的对称性，知当
时，
直线
满足条件； 故选B
【点评】：此题重点考察线线角，线面角的关系，以及空间想象能力，图形的对称性；
【突破】：数形结合，利用圆锥的母线与底面所成的交角不变画图，重视空间想象能力和图形
的对称性；
11．已知双曲线
的左右焦点分别为
，
为
的右支上一点，且
，则
的面积等于( C )
（Ａ）
（Ｂ）
（Ｃ）
（Ｄ）
【解1】：∵双曲线
中
∴
∵
∴
作
边上的高
，则
∴
∴
的面积为
故选C
【解2】：∵双曲线
中
∴
设
， 则由
得
又∵
为
的右支上一点 ∴
∴
∴
即
解得
或
（舍去）
∴
∴
的面积为
故选B
【点评】：此题重点考察双曲线的第一定义，双曲线中与焦点，准线有关三角形问题；
【突破】：由题意准确画出图象，解法1 利用数形结合，注意到三角形的特殊性；解法2 利用待
定系数法求
点坐标，有较大的运算量；
12．若三棱柱的一个侧面是边长为2 的正方形，另外两个侧面都是有一个内角为
的菱形，
则该棱柱的体积等于( B )
（Ａ）
（Ｂ）
（Ｃ）
（Ｄ）
【解】：如图在三棱柱
中，设
，
由条件有
，作
于点
，
则
∴
∴
∴
故选B
【点评】：此题重点考察立体几何中的最小角定理和柱体体积公式，同时考察空间想象能力；
【突破】：具有较强的空间想象能力，准确地画出图形是解决此题的前提，熟悉最小角定理并
能准确应用是解决此题的关键；
第Ⅱ卷
二．填空题：本大题共4 个小题，每小题4 分，共16 分。把答案填在题中横线上。
13．
展开式中
的系数为______
_________。
【解】：∵
展开式中
项为
∴所求系数为
故填
【点评】：此题重点考察二项展开式中指定项的系数，以及组合思想；
【突破】：利用组合思想写出项，从而求出系数；
14．已知直线
与圆
，则
上各点到的距离的最小
值为_______
______。
【解】：如图可知：过原心作直线
的垂线，则
长即为所求；
∵
的圆心为
，半径为
点
到直线
的距离为
∴
故
上各点到的距离的最小值为
【点评】：此题重点考察圆的标准方程和点到直线的距离；
【突破】：数形结合，使用点
到直线的距离距离公式。
15．从甲、乙等10 名同学中挑选4 名参加某校公益活动，要求甲、乙中至少有1 人参加，则不
同的挑选方法共有_______
_________种。
【解】：∵从10 个同学中挑选4 名参加某项公益活动有
种不同挑选方法；
从甲、乙之外的8 个同学中挑选4 名参加某项公益活动有
种不同挑选方法；
∴甲、乙中至少有1 人参加，则不同的挑选方法共有
种不
同挑选方法 故填
；
【考点】：此题重点考察组合的意义和组合数公式；
【突破】：从参加 “某项”切入，选中的无区别，从而为组合问题；由“至少”从反面排除易
于解决；
16．设数列
中，
，则通项
______
_____。
【解】：∵
∴
，
，
，
，
，
，
将以上各式相加得：
故应填
；
【考点】：此题重点考察由数列的递推公式求数列的通项公式；
【突破】：重视递推公式的特征与解法的选择；抓住
中
系数相同是找
到方法的突破口；此题可用累和法，迭代法等；
三．解答题：本大题共6 个小题，共74 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17．（本小题满分12 分）
求函数
的最大值与最小值。
解：
由于函数
在
中的最大值为
最小值为
故当
时
取得最大值
，当
时
取得最小值
18．（本小题满分12 分）
设进入某商场的每一位顾客购买甲种商品的概率为
，购买乙种商品的概率为
，且
购买甲种商品与购买乙种商品相互独立，各顾客之间购买商品也是相互独立的。
（Ⅰ）求进入商场的1 位顾客购买甲、乙两种商品中的一种的概率；
（Ⅱ）求进入商场的3 位顾客中至少有2 位顾客既未购买甲种也未购买乙种商品的概率。
解：（Ⅰ）记
表示事件：进入商场的1 位顾客购买甲种商品，
记
表示事件：进入商场的1 位顾客购买乙种商品，
记
表示事件：进入商场的1 位顾客购买甲、乙两种商品中的一种，
（Ⅱ）记
表示事件：进入商场的3 位顾客中都未选购甲种商品，也未选购买乙种商品；
表示事件：进入商场的1 位顾客未选购甲种商品，也未选购买乙种商品；
表示事件：进入商场的3 位顾客中至少有2 位顾客既未选购甲种商品，也未选选
购乙种商品；
19．（本小题满分12 分）
如图，平面
平面
，四边形
与
都是直角梯形，
，
，
分别为
的中点
（Ⅰ）证明：四边形
是平行四边形；
（Ⅱ）
四点是否共面？为什么？
（Ⅲ）设
，证明：平面
平面
；
解法一：
（Ⅰ）由题意知，
所以
又
，故
所以四边形
是平行四边形。
（Ⅱ）
四点共面。理由如下：
由
，
是
的中点知，
，所以
由（Ⅰ）知
，所以
，故
共面。又点
在直线
上
所以
四点共面。
（Ⅲ）连结
，由
，
及
知
是正方形
故
。由题设知
两两垂直，故
平面
，
因此
是
在平面
内的射影，根据三垂线定理，
又
，所以
平面
由（Ⅰ）知
，所以
平面
。
由（Ⅱ）知
平面
，故
平面
，得平面
平面
解法二：
由平面
平面
，
，得
平面
，以
为坐标原点，
射线
为
轴正半轴，建立如图所示的直角坐标系
（Ⅰ）设
，则由题设得
所以
于是
又点
不在直线
上
所以四边形
是平行四边形。
（Ⅱ）
四点共面。理由如下：
由题设知
，所以
又
，故
四点共面。
（Ⅲ）由
得，所以
又
，因此
即
又
，所以
平面
故由
平面
，得平面
平面
20．（本小题满分12 分）
设
和
是函数
的两个极值点。
（Ⅰ）求
和
的值；
（Ⅱ）求
的单调区间
解：（Ⅰ）因为
由假设知：
解得
（Ⅱ）由（Ⅰ）知
当
时，
当
时，
因此
的单调增区间是
的单调减区间是
21．（本小题满分12 分）
设数列
的前
项和为
，
（Ⅰ）求
（Ⅱ）证明：
是等比数列；
（Ⅲ）求
的通项公式
解：（Ⅰ）因为
，
所以
由
知
得
①
所以
（Ⅱ）由题设和①式知
所以是首项为2，公比为2 的等比数列。
（Ⅲ）
22．（本小题满分14 分）
设椭圆
的左右焦点分别为
，离心率
，点
到右准
线为的距离为
（Ⅰ）求
的值；
（Ⅱ）设
是上的两个动点，
，
证明：当
取最小值时，
解：因为
，
到的距离
，所以由题设得
解得
由
，得
（Ⅱ）由
得
，的方程为
故可设
由知
知
得
，所以
当且仅当
时，上式取等号，此时
所以，
