2008 年普通高等学校招生全国统一考试山东文科数学试题及答案
第Ⅰ卷（共60 分）
参考公式：
锥体的体积公式：
，其中
是锥体的底面积，
是锥体的高．
球的表面积公式：
，其中
是球的半径．
如果事件
互斥，那么
．
一、选择题：本大题共12 小题，每小题5 分，共60 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项
是符合题目要求的．
1．满足
，且
的集合
的个数是（
）
A．1
B．2
C．3
D．4
2．设
的共轭复数是
，若
，
，则
等于（ ）
A．
B．
C．
D．
3．函数
的图象是（ ）
4．给出命题：若函数
是幂函数，则函数
的图象不过第四象限．在它的逆
命题、否命题、逆否命题三个命题中，真命题的个数是（ ）
A．3
B．2
C．1
D．0
5．设函数
则
的值为（ ）
A．
B．
C．
D．
6．右图是一个几何体的三视图，根据图中数据，
可得该几何体的表面积是（ ）
A．
B．
y
x
π
2
π
2
O
y
x
π
2
π
2
O
y
x
π
2
π
2
O
y
x
π
2
π
2
O
A ．
B ．
C ．
D ．
俯视图正( 主) 视图侧( 左) 视图
2
3
2
2
C．
D．
7．不等式
的解集是（ ）
A．
B．
C．
D．
8 ．已知
为
的三个内角
的对边，向量
．若
，且
，则角
的
大小分别为（ ）
A．
B．
C．
D．
9．从某项综合能力测试中抽取100 人的成绩，统计如表，则这100 人成绩的标准差为（ ）
分数
5
4
3
2
1
人数
20
10
30
30
10
A．
B．
C．3
D．
10．已知
，则
的值是（ ）
A．
B．
C．
D．
11．若圆
的半径为1，圆心在第一象限，且与直线
和
轴相切，则该圆的标准方
程是（ ）
A．
B．
C．
D．
12．已知函数
的图象如图所示，则
满足的关系是
（ ）
A．
B．
C．
D．
第Ⅱ卷（共90 分）
1
O
y
x
二、填空题：本大题共4 小题，每小题4 分，共16 分．
13．已知圆
．以圆
与坐标轴的交点分别作为双曲线的一个焦
点和顶点，则适合上述条件的双曲线的标准方程为 ．
14．执行右边的程序框图，若
，
则输出的
．
15．已知
，
则
的
值等于 ．
16．设
满足约束条件
则
的最大值为 ．
三、解答题：本大题共6 小题，共74 分．
17．（本小题满分12 分）
已知函数
（
，
）为偶函数，且函数
图象的两相邻对称轴间的距离为
．
（Ⅰ）求
的值；
（Ⅱ）将函数
的图象向右平移
个单位后，得到函数
的图象，求
的
单调递减区间．
18．（本小题满分12 分）
现有8 名奥运会志愿者，其中志愿者
通晓日语，
通晓俄语，
通晓韩语．从中选出通晓日语、俄语和韩语的志愿者各1 名，组成一个小组．
（Ⅰ）求
被选中的概率；
（Ⅱ）求
和
不全被选中的概率．
开始
1
0
n
S
，
?
是
输入p
结束
输出
1
2n
S
S
否
1
n
n
19．（本小题满分12 分）
如图，在四棱锥
中，平面
平面
，
，
是等边三角
形，已知
，
．
（Ⅰ）设
是
上的一点，证明：平面
平面
；
（Ⅱ）求四棱锥
的体积．
20．（本小题满分12 分）
将数列
中的所有项按每一行比上一行多一项的规则排成如下数表：
记表中的第一列数
构成的数列为
，
．
为数列
的前
项和，且满足
．
（Ⅰ）证明数列
成等差数列，并求数列
的通项公式；
（Ⅱ）上表中，若从第三行起，第一行中的数按从左到右的顺序均构成等比数列，且公比为同
一个正数．当
时，求上表中第
行所有项的和．
21．（本小题满分12 分）
设函数
，已知
和
为
的极值点．
A
B
C
M
P
D
（Ⅰ）求
和
的值；
（Ⅱ）讨论
的单调性；
（Ⅲ）设
，试比较
与
的大小．
22．（本小题满分14 分）
已知曲线
所围成的封闭图形的面积为
，曲线
的内切圆半
径为
．记
为以曲线
与坐标轴的交点为顶点的椭圆．
（Ⅰ）求椭圆
的标准方程；
（Ⅱ）设
是过椭圆
中心的任意弦，是线段
的垂直平分线．
是上异于椭圆中心
的点．
（1）若
（
为坐标原点），当点
在椭圆
上运动时，求点
的轨迹方程；
（2）若
是与椭圆
的交点，求
的面积的最小值．
2008 年普通高等学校招生全国统一考试答案
1．B 解析：本小题主要考查集合子集的概念及交集运算。集合M 中必含有
1
2
,
a a ,
则
1
2
,
M
a a
或
1
2
4
,
,
M
a a a
.选B.
2．D 解析：本小题主要考查共轭复数的概念、复数的运算。可设
2
z
bi
，由
8
z z
得
2
4
8,
2.
b
b
2
2
2
2
.
8
8
i
z
z
i
z
选D.
3．A 解析：本小题主要考查复合函数的图像识别。
ln cos (
)
2
2
y
x
x
是偶函数，
可排除B、D，由cos x 的值域可以确定.选A.
4．C 解析：本小题主要考查四种命题的真假。易知原命题是真命题,则其逆否命题也是真命题,
而逆命题、否命题是假命题.故它的逆命题、否命题、逆否命题三个命题中, 真命题
有一个。选C.
5．A 解析：本小题主要考查分段函数问题。正确利用分段函数来进行分段求值。
(2)
4,
f
1
1
1
15
( )
1
.
(2)
4
16
16
f
f
f
选A.
6．D 解析：本小题主要考查三视图与几何体的表面积。从三视图可以看出该几何体是由一
个球和一个圆柱组合而成的，其表面及为
2
2
4
1
1
2
2
1 3
12 .
S
选D。
7．D 解析：本小题主要考查分式不等式的解法。易知
1
x
排除B;由
0
x
符合可排除C;
由
3
x
排除A, 故选D。也可用分式不等式的解法,将2 移到左边直接求解。
8．C 解析：本小题主要考查解三角形问题。
3 cos
sin
0
A
A
;
3
A
2
sin
cos
sin
cos
sin
,
A
B
B
A
C
2
sin
cos
sin
cos
sin(
)
sin
sin
A
B
B
A
A
B
C
C
，
.
2
C
π
6
B
.选C. 本题在求角B 时,也可用验证法.
9．B 解析：本小题主要考查平均数、方差、标准差的概念及其运算。
100
40
90
60 10
3,
100
x
2
2
2
2
1
2
1[(
)
(
)
(
) ]
n
S
x
x
x
x
x
x
n
2
2
2
2
1 [20 2
10 1
30 1
10 2 ]
100
160
8 ,
100
5
2 10 .
5
S
选B.
10．C
解
析
主
要
考
查
三
角
函
数
变
换
与
求
值
。
3
3
4
cos(
)
sin
cos
sin
3
6
2
2
5
1
3
4
cos
sin
2
2
5
，
7
3
1
4
sin(
)
sin(
)
sin
cos
.
6
6
2
2
5
选C.
11．B
解析：本小题主要考查圆与直线相切问题。
设圆心为( ,1),
a
由已知得
| 4
3|
1
1,
2(
).
5
2
a
d
a
舍
选B.
12．A 解析：本小题主要考查正确利用对数函数的图象来比较大小。
由图易得
1,
a
1
0
1;
a
取特殊点
0
1
log
0,
a
x
y
b
1
1
log
log
log 1
0,
a
a
a
b
a
1
0
1
a
b
.选A.
二、填空题
13．
2
2
1
4
12
x
y
解析：本小题主要考查圆、双曲线的性质。圆
2
0
6
8
0,
y
x
x
得圆
与坐标轴的交点分别为(2 0),
，(4 0),
，
则
2
2,
4,
12,
a
c
b
所以双曲线的标准方程为
2
2
1
4
12
x
y
14．4
解析：本小题主要考查程序框图。
1
1
1
0.8
2
4
8
，因此输出
4.
n
15．2008 解析：本小题主要考查对数函数问题。
2
2
(3 )
4 log 3
233
4log 3
233,
x
x
f
x
2
( )
4log
233,
f x
x
8
(2)
(4)
(8)
(2 )
f
f
f
f
2
2
2
2
8 233
4(log 2
2log 2
3log 2
8log 2)
1864 144
2008.
16．11 解析：本小题主要考查线性规划问题。作图(略)易知可行域为一个四角形,其四个顶
点
分别为(0
),
，0 (0
),
，2 (2 0),
，(3 5),
，验证知在点(3 5)
，时取得最大值11.
三、解答题
17．解：（Ⅰ）
．
因为
为偶函数，
所以对
，
恒成立，
因此
．
即
，
整理得
．
因为
，且
，
所以
．
又因为
，
故
．
所以
．
由题意得
，所以
．
故
．
因此
．
（Ⅱ）将
的图象向右平移
个单位后，得到
的图象，
所以
．
当
（
），
即
（
）时，
单调递减，
因此
的单调递减区间为
（
）．
18．解：（Ⅰ）从8 人中选出日语、俄语和韩语志愿者各1 名，其一切可能的结果组成的基本事
件空间
{
，
，
，
，
，
，
，
，
}
由18 个基本事件组成．由于每一个基本事件被抽取的机会均等，因此这些基本事件的发生
是等可能的．
用
表示“
恰被选中”这一事件，则
{
，
}
事件
由6 个基本事件组成，
因而
．
（Ⅱ）用
表示“
不全被选中”这一事件，则其对立事件
表示“
全被选
中”这一事件，
由于
{
}，事件
有3 个基本事件组成，
所以
，由对立事件的概率公式得
．
19．（Ⅰ）证明：在
中，
由于
，
，
，
所以
．
故
．
又平面
平面
，平面
平面
，
平面
，
所以
平面
，
又
平面
，
故平面
平面
．
（Ⅱ）解：过
作
交
于
，
由于平面
平面
，
所以
平面
．
因此
为四棱锥
的高，
又
是边长为4 的等边三角形．
因此
．
A
B
C
M
P
D
O
在底面四边形
中，
，
，
所以四边形
是梯形，在
中，斜边
边上的高为
，
此即为梯形
的高，
所以四边形
的面积为
．
故
．
20．（Ⅰ）证明：由已知，当
时，
，
又
，
所以
，
即
，
所以
，
又
．
所以数列
是首项为1，公差为
的等差数列．
由上可知
，
即
．
所以当
时，
．
因此
（Ⅱ）解：设上表中从第三行起，每行的公比都为
，且
．
因为
，
所以表中第1 行至第12 行共含有数列
的前78 项，
故
在表中第13 行第三列，
因此
．
又
，
所以
．
记表中第
行所有项的和为
，
则
．
21．解：（Ⅰ）因为
，
又
和
为
的极值点，所以
，
因此
解方程组得
，
．
（Ⅱ）因为
，
，
所以
，
令
，解得
，
，
．
因为当
时，
；
当
时，
．
所以
在
和
上是单调递增的；
在
和
上是单调递减的．
（Ⅲ）由（Ⅰ）可知
，
故
，
令
，
则
．
令
，得
，
因为
时，
，
所以
在
上单调递减．
故
时，
；
因为
时，
，
所以
在
上单调递增．
故
时，
．
所以对任意
，恒有
，又
，
因此
，
故对任意
，恒有
．
22．解：（Ⅰ）由题意得
又
，
解得
，
．
因此所求椭圆的标准方程为
．
（Ⅱ）（1）假设
所在的直线斜率存在且不为零，设
所在直线方程为
，
．
解方程组
得
，
，
所以
．
设
，由题意知
，
所以
，即
，
因为是
的垂直平分线，
所以直线的方程为
，
即
，
因此
，
又
，
所以
，
故
．
又当
或不存在时，上式仍然成立．
综上所述，
的轨迹方程为
．
（2）当
存在且
时，由（1）得
，
，
由
解得
，
，
所以
，
，
．
解法一：由于
，
当且仅当
时等号成立，即
时等号成立，此时
面积的最小值
是
．
当
，
．
当
不存在时，
．
综上所述，
的面积的最小值为
．
解法二：因为
，
又
，
，
当且仅当
时等号成立，即
时等号成立，
此时
面积的最小值是
．
当
，
．
当
不存在时，
．
综上所述，
的面积的最小值为
．
