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2008 年普通高等学校招生全国统一考试（北京卷）
数学（文史类）
本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。第Ⅰ卷1 至2 页。第Ⅱ卷3 至9
页，共150 分，考试时间120 分钟。考试结束，将本试卷和答题卡一并交回。
第Ⅰ卷（选择题 共40 分）
注意事项：
1.
答第Ⅰ卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目涂写在答题卡上。
2.
每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡颇擦干
净后，再选涂其他答案。不能答在试卷上。
一、本大题共8 小题，第小题5 分，共40 分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求
的一项。
（1）若集合A={x|-2≤x≤3}≤3, B={x|x<-1 或x>4}, 则集合A∩B 等于
（A）{x|x≤3 或x>4}
（B）{x|－1<x≤3}
（C）{x|3≤x<4}
(D) {x|－2≤x<-1}
（2）若a=log3π, b=log76，c=log20.8, 则
（A）a>b>c
（B）b>a>c
（C）c>a>b
（D）b>c>a
（3）“双曲线的方程为
”是“双曲线的准线方程为x=
”的
（A）充分而不必要条件
（B）必要而不充分条件
（C）充分必要条件
（D）既不充分也不必要条件
（4）已知△ABC 中，a=
,b=
,B=60°,那么角A 等于
（A）135°
(B)90°
(C)45°
(D)30°
（5）函数f(x)=(x-1)2+1(x<1)的反函数为
（A）f --1(x)=1+
(x>1)
（B）f--1(x)=1-
(x>1)
（C）f --1(x)=1+
(x≥1)
（D）f--1(x)=1-
(x≥1)
x-y+1≥0,
（6）若实数x，y 满足 x+y≥0, 则z=x+2y 的最小值是
x≤0,
(A)0
(B)
(C)
1
(D)2
（7）已知等差数列｛an｝中，a2=6,a5=15.若bn=a2n,则数列｛bn｝的
前5 项和等于
(A)30
（B）45
(C)90
(D)186
（8）如图，动点P 在正方体ABCD-A1B1C1D1的对角线BD1上，
过点P 作垂直平面BB1D1D 的直线，与正方体表面相交于M、
N.设BP=x,MN=y,则函数y=f(x)的图象大致是
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2008 年普通高等学校校招生全国统一考试
数学（文史类）（北京卷）
第Ⅱ卷（共110 分）
注意事项：
1.
用钢笔或圆珠笔将答案直接写在试卷上。
2.
答卷前将密封线内的项目填写清楚。
题号
二
三
总分
15
16
17
18
19
20
分数
二、填空题：本大题共6 小题，每小题5 分，共30 分。把答案填在题中横线上。
(9)若角a 的终边经过点P(1,-2),则tan 2a 的值为 .
(10)不等式
的解集是 .
(11)已知向量a 与b 的夹角为120°，且｜a｜= |b| = 4,那么a·b 的值为 .
(12)若
展开式中常数项为 ；各项系数之和为
.（用数字作答）
(13)如图，函数f(x)的图象是折线段ABC, 其中A,B,C
的坐标分别为（0，4），（2，0），（6，4），则f(f(0))=
; 函数f(x)在x=1 处的导数f′（1）= .
(14)已知函数f(x)=x2- cos x, 对于［－
］上的任
意x1,x2,有如下条件：
①
x1>x2; ②x2
1>x2
2; ③|x1|>x2.
其中能使f(x1)> f(x2) 恒成立的条件序号是
.
三、解答题：本大题共6 小题，共80 分。解答应写出文字说明。演算步骤或证明过程。
（15）（本小题共13 分）
已知函数
的最小正周期为π.
（Ⅰ）求ω 的值；
（Ⅱ）求函数f(x)在区间[0，
]上的取值范围.
（16）（本小题共14 分）
如图，在三棱锥P-ABC 中，AC=BC=2，∠ACB=90°，AP=BP=AB，PC⊥AC.
（Ⅰ）求证：PC⊥AB；
（Ⅱ）求二面角B-AP-C 的大小.
（17）（本小题共13 分）
已知函数
是奇函数.
（Ⅰ）求a,c 的值；
（Ⅱ）求函数f(x)的单调区间.
（18）（本小题共13 分）
甲、乙等五名奥运志愿者被随机地分到A，B，C，D 四个不同的岗位服务，每个岗位至少
有一名志愿者.
（Ⅰ）求甲、乙两人同时参加A 岗位服务的概率；
（Ⅱ）求甲、乙两人不在同一个岗位服务的概率。
（19）（本小题共14 分）
已知△ABC 的顶点A，B 在椭圆
上，C 在直线l: y=x+2 上，且AB∥l.
（Ⅰ）当AB 边通过坐标原点O 时，求AB 的长及△ABC 的面积；
（Ⅱ）当∠ABC=90°，且斜边AC 的长最大时，求AB 所在直线的方程.
（20）（本小题共13 分）
数列{an}满足
（Ⅰ）当a2=-1 时，求λ 及a3的值；
（Ⅱ）数列{an}是否可能为等差数列？若可能，求出它的通项公式；若不可能，说明理由；
（Ⅲ）求λ 的取值范围，使得存在正整数m, 当n＞m 时总有an＜0.
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2008 年普通高等学校招生全国统一考试
数学（文史类）（北京卷）参考答案
一、
选择题（本大题共8 小题，每小题5 分，共40 分）
（1）D （2）A （3）A （4）C
（5）B （6）A （7）C （8）B
二、填空题（本大题共6 小题，每小题5 分，共30 分）
（9）
（10）|x|x＜-2|
（11）-8 （12）10 32
（13）2 -2 （14）②
三、解答题（本大题共6 小题，共80 分）
（15）（共13 分）
解：（Ⅰ）
=
=
因为函数f(x)的最小正周期为π,且ω＞0，
所以
解得ω=1.
（Ⅱ）由（Ⅰ）得
因为0≤x≤
，
所以
≤
≤
所以
≤sin
≤1.
因此0≤
≤
，即f(x)的取值范围为[0，
]
（16）（共14 分）
解法一：
（Ⅰ）取AB 中点D，连结PD，CD.
∵AP=BP，
∴PD⊥AB.
∵AC=BC.
∴CD⊥AB.
∵PD∩CD＝D.
∴AB⊥平面PCD.
∵PC
平面PCD，
∴PC⊥AB.
（Ⅱ）∵AC=BC, AP=BP,
∴△APC≌△BPC.
又PC⊥AC，
∴PC⊥BC.
又∠ACB＝90°，即AC⊥BC，
且AC∩PC=C，
∴BC⊥平面PAC
取AP 中点E,连接BE,CE
∵AB=BP
∴BE⊥AP.
∵EC 是BE 在平面PAC 内的射影，
∴CE⊥AP.
∴∠BEC 是二面角B-AP-C 的平面角.
在△BCE 中，∠BCE=90°, BC=2, BE=
，
∴sin∠BEC=
∴二面角B-AP-C 的大小为aresin
解法二：
（Ⅰ）∵AC=BC, AP=BP,
∴△APC≌△BPC.
又PC⊥AC.
∴PC⊥BC.
∵AC∩BC=C,
∴PC⊥平面ABC.
∵AB
平面ABC，
∴PC⊥AB.
(Ⅱ)如图，以C 为原点建立空间直角坐标系C-xyz.
则C（0，0，0），A（0，2，0），B（2，0，0）.
设P（0，0，t）,
∵｜PB｜=｜AB｜＝2
，
∴t=2, P(0,0,2).
取AP 中点E，连结BE，CE.
∵｜AC｜=｜PC｜,｜AB｜=｜BP｜,
∴CE⊥AP, BE⊥AP.
∴∠BEC 是二面角B-AP-C 的平面角.
∵E(0,1,1),
∴cos∠BEC=
∴二面角B-AP-C 的大小为arccos
（17）（共13 分）
解：（Ⅰ）因为函数g(x)=f(x)-2 为奇函数，
所以，对任意的x∈R, g (-x)= -g (x), 即f (-x)- 2= -f (x)+2.
又f(x)=x3+ax2+3bx+c,
所以-x3+ax2-3bx+c-2=-x3-ax2-3bx-c+2.
所以{
解得a=0，c＝2.
（Ⅱ）由（Ⅰ）得f(x)=x3+3bx+2.
所以f′(x)=3x2+3b(b≠0).
当b＜0 时，由f′(x)=0 得x=±
x 变化时，f′(x)的变化情况如下表：
x
(-∞,-
)
-
(-
,
)
(
,+∞)
f′(x)
+
0
-
0
+
所以，当b＜0 时，函数f (x)在（-∞，-
）上单调递增，在（-
，
）上单调递减，在（
，+∞）上单调递增.
当b＞0 时，f′(x)＞0.所以函数f (x)在（-∞，+∞）上单调递增.
（18）（共13 分）
解：
（Ⅰ）记甲、乙两人同时参加A 岗位服务为事件EA，那么
P（EA）=
即甲、乙两人同时参加A 岗位服务的概率是
（Ⅱ）记甲、乙两个同时参加同一岗位服务为事件E，那么
P（E）＝
所以，甲、乙两人不在同一岗位服务的概率是
P（
）=1-P(E)=
（19）（共14 分）
解：（Ⅰ）因为AB∥l，且AB 边通过点（0，0），所以AB 所在直线的方程为y=x.
设A，B 两点坐标分别为（x1,y1）,(x2,y2).
由
得
所以
又因为AB 边上的高h 等于原点到直线l 的距离，
所以
（Ⅱ）设AB 所在直线的方程为y=x+m.
由
得
因为A，B 在椭圆上，
所以
设A，B 两点坐标分别为（x1, y1），（x2, y2）.
则
所以
又因为BC 的长等于点（0, m）到直线l 的距离，即
所以
所以当m=-1 时，AC 边最长.（这时
）
此时AB 所在直线的方程为y=x-1.
(20)（共13 分）
解：（Ⅰ）由于
且a1=1，
所以当a2= -1 时，得
,
故
从而
（Ⅱ）数列{an}不可能为等差数列.证明如下：
由a1=1，
得
若存在
，使｛an｝为等差数列，则a3-a2=a2-a1,即
解得
=3.
于是
这与｛an｝为等差数列矛盾，所以，对任意
，{an}都不可能是等差数列.
（Ⅲ）记
根据题意可知，b1 ＜0 且
，即
＞2 且
N*)，这时总存在
N*，满足：当n≥n0时，bn＞0；当n≤n0-1 时，bn
＜0.
所以由an+1=bnan及a1=1＞0 可知，若n0为偶数，则
，从而当n＞n0
时an＜0；若n0为奇数，则
，从而当n＞n0时an＞0.
因此“存在m
N*，当n＞m 时总有an＜0”的充分必要条件是：no为偶数，
记no=2k(k=1,2, …)，则
满足
故
的取值范围是
4k2+2k (k
N*).
